王友利，張 鐸，王曉慧

（太原科技大學(xué) 機械工程學(xué)院，山西 太原 0300024）

工件采用裝夾法加工時，為了保證其在某一工序的加工精度要求，在加工前就必須使工件相對于刀具及機床處于準確位置，這就需要對工件進行定位，也就是對工件通過施加約束以限制工件的自由度，而工件自由度的約束在于通過與定位元件接觸來實現(xiàn)?；诠ぜc定位元件接觸關(guān)系，提出定位法線概念，根據(jù)定位法線數(shù)量及其之間的幾何關(guān)系，建立自由度判定的幾何定理及數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)學(xué)模型來判定工件定位狀態(tài)，使得傳統(tǒng)自由度判定的定位原理轉(zhuǎn)化為法線數(shù)量及幾何關(guān)系的數(shù)學(xué)表達，更直觀和簡潔，為計算機輔助夾具設(shè)計中自由度的判定建立基礎(chǔ)。

1 工件自由度判定的幾何定理及其數(shù)學(xué)模型

1.1 定位法線及其自由度的判定幾何定理

將工件與定位元件接觸點的法線稱為定位法線[1]，簡稱法線，法線組成的平面為法平面。將定位元件與工件接觸方式分為點接觸、線接觸和面接觸[2]，按照定位元件與工件定位要素的接觸方式對其概括與分類，獲得常用定位元件的定位法線數(shù)量和法線之間的幾何關(guān)系，概括起來有以下幾種：

（1）工件與定位元件為點接觸，如定位元件為單個支承釘、擋銷和削邊銷等，此時定位法線為工件與定位元件接觸點處的法線，數(shù)量為1 條。特殊的點接觸的還有工件采用頂尖定位錐孔，此時定位要素為錐孔，定位元件采用頂尖，接觸方式可簡化為3 個點的接觸，定位法線互交且不共面，數(shù)量為3 條。

（2）工件與定位元件為線接觸，如定位元件定位銷、定位心軸、定位套和V 型塊等。線可以由2 點來形成，一個圓可以由2 個點來確定，因此上述定位元件按照接觸長度分為交點在軸心線上2 條相互垂直的法線，和交點在軸心線上相距一定距離的兩對相互垂直的2 條定位法線。特殊的有采用支承板定位外圓，此時也為線接觸，定位法線相互平行，數(shù)量為2 條。

（3）工件與定位元件為面接觸，如支承板、階梯軸的大端面等，定位法線則為平面上3 條相互平行但不共面的法線。

基于定位法線的數(shù)量及其幾何關(guān)系可建立判定工件自由度的幾何定理[2]，簡述如下。

（1）單法線：單條法線限制工件在其法線方向上的移動自由度。

（2）兩法線相交：若工件的兩條法線相交，則工件在法平面內(nèi)沿法線方向的兩個移動自由度被限制。

（3）兩法線平行：若工件的兩條法線平行，則工件沿法線方向移動自由度及繞法平面垂線方向的轉(zhuǎn)動自由度被限制。

（4）三法線相交（不共面）：若工件的三條法線相交于一點，則工件法平面內(nèi)任意三個方向的移動自由度被限制。

（5）相交法線的等效：平面上的兩條相交法線可等效為平面上任意兩個方向互交的兩條法線，限制該平面上任意兩個方向的移動自由度。

工件上的定位法線所限制的自由度滿足法線的集合定理，即一條法線限制一個自由度，限制自由度的數(shù)量等于法線的數(shù)量。根據(jù)六點定位原理，工件完全定位時法線的數(shù)量最多為6 條，法線數(shù)量超過6 條一定存在過定位情況。

過定位判斷：三條法線相交且共面，則法線所在平面內(nèi)的方向有一個移動自由度過定位；三條法線平行且共面，則沿法線方向移動自由度過定位。

1.2 基于幾何定理的工件定位自由度數(shù)學(xué)模型

根據(jù)上述幾何定理及其推導(dǎo)，建立笛卡爾坐標系，基于定位法線的工件定位幾何定理的自由度數(shù)學(xué)模型見表1。

表1 基于定位法線的工件定位幾何定理的自由度數(shù)學(xué)模型

2 實例應(yīng)用

連桿工件加工大頭孔的定位簡圖[3],圖1 所示。工件的定位基面底面和小頭孔均已加工，采用一個支承板和一個長銷以及一個擋銷定位，現(xiàn)分析工件該定位下的自由度。根據(jù)常用定位元件的定位法線的數(shù)量及其位置關(guān)系，將各定位法線在圖中表示。支承板有3條不共面的平行法線，長銷2 有4 條法線，擋銷有1條法線，則一共有8 條定位法線，如主視圖所示。工件完全定位時法線數(shù)量最多為6 條，所以該定位為過定位。法線FX1、FX2和FX3為不共面的三條平行法線，自由度模型

圖1 連桿工件過定位分析簡圖

可看出其X^、Y^的自由度限制2 次，屬于過定位。

根據(jù)上述自由度模型，要解決工件過定位有兩種方式：

（1）第一種方式是將FY1和FY2兩條平行法線中限制的X^和FX1、FX2和FX3不共面的三條平行法線中的限制的Y^消除掉，則需將FY1和FY2與FX1和FX2各去掉一條法線，也即將長銷改為短銷，如圖2 所示。

圖2 連桿工件正確定位分析簡圖1

圖3 連桿工件正確定位分析簡圖2

以上兩種改進后的定位方式都可以使連桿工件完全定位，但從定位基面的穩(wěn)定性選擇來看，第一種方式的定位基面更大，相比較下第一種改進后的定位方式更好。

3 結(jié)語

基于定位法線的工件自由度判定的新方法，采用了簡單直觀的定位法線來表示，其幾何關(guān)系和數(shù)學(xué)模型表達更直觀簡潔，特別適用于復(fù)雜零件和特殊零件的組合定位的分析判定以及不合理定位的改正。該自由度判定方法簡單易學(xué)，可采用計算機輔助進行，為計算機輔助夾具設(shè)計中自由度的判定建立了基礎(chǔ)。