王愛虎，唐遠(yuǎn)華

(華南理工大學(xué) 工商管理學(xué)院，廣東 廣州 510640)

隨著經(jīng)濟(jì)與人口的增長，我國車輛保有量逐年增大，但是道路面積有限，由此引發(fā)的交通擁堵問題日益突出，如何治理交通擁堵成為城市發(fā)展的難題[1-2]。1968年，Braess[3]首次提出布雷斯悖論(Braess paradox)，該悖論指出新建道路可能反倒會(huì)加劇擁堵，而新建之后加劇擁堵的道路稱為布雷斯悖論路段(下文簡稱“悖論路段”)。由于布雷斯悖論下，增大路網(wǎng)容量反倒會(huì)造成出行時(shí)間延長，因此分析布雷斯悖論帶來的影響對(duì)治理交通擁堵具有重要意義。

為定量分析不同需求水平下布雷斯悖論對(duì)交通系統(tǒng)的影響，本文以廣州、蘇州、加利福尼亞高速公路網(wǎng)為例，在特定需求下定位布雷斯悖論路段；并計(jì)算悖論路段關(guān)閉前后的無秩序代價(jià)，探討交通路網(wǎng)中無秩序代價(jià)的動(dòng)態(tài)變化特性，進(jìn)一步分析關(guān)閉悖論路段帶來的效率影響，從而提出交通管理建議。

論文的貢獻(xiàn)如下：1) 從實(shí)證角度出發(fā)，基于3城市高速公路網(wǎng)定位悖論路段，驗(yàn)證布雷斯悖論在現(xiàn)實(shí)中存在的可能性；2) 分析實(shí)際路網(wǎng)的無秩序代價(jià)曲線，探索無秩序代價(jià)隨需求的動(dòng)態(tài)變化特性；3) 比較存在悖論路段和關(guān)閉悖論路段后的無秩序代價(jià)，定量分析關(guān)閉悖論路段帶來的效率改進(jìn)。

1 文獻(xiàn)綜述

布雷斯悖論解釋了資源改善可能造成負(fù)面效應(yīng)的原因[4]，以簡單網(wǎng)絡(luò)來演示悖論的發(fā)生過程[5]。原始路網(wǎng)為圖1(a)，路阻函數(shù)(volume delay function)如圖中所示，現(xiàn)有4 000輛車需要從點(diǎn)S到達(dá)點(diǎn)D，一共有兩條路徑，分別是S-M-D和S-N-D，由于兩條路徑上的路阻函數(shù)結(jié)構(gòu)一致，均為(其中x為路段流量)和45的組合，因此最終的均衡結(jié)果是：走兩條路徑的車輛數(shù)相等，各為2 000。所以每輛車的出行時(shí)間為。當(dāng)新修了一條從M到達(dá)N的道路之后，形成3條路線，分別是S-M-D、S-M-N-D、S-N-D，出行時(shí)間分別為因?yàn)橐还灿? 000輛車，所以，因此即使當(dāng)所有用戶都選擇路線S-MN-D，該路線的通行時(shí)間為80 min，仍然小于其他兩條路線的通行時(shí)間。所以即使在最壞情況下，所有用戶還是會(huì)選擇走S-M-N-D路線。因此新建道路后的結(jié)果是：用戶的出行時(shí)間為80 min，比修路前多15 min[5]，此時(shí)用戶無法通過單方面的行動(dòng)來改善處境，即形成了納什均衡[6]。從示例中可以發(fā)現(xiàn)，資源改善之后路網(wǎng)系統(tǒng)的表現(xiàn)反倒變差了，這種現(xiàn)象稱為布雷斯悖論。

圖1 布雷斯悖論的發(fā)生過程Figure 1 The process of Braess paradox

布雷斯悖論的反直覺結(jié)果引發(fā)了學(xué)者多角度探索的興趣，例如探索悖論的發(fā)生條件。Bagloee等[7]指出布雷斯悖論的存在依賴于用戶的路徑選擇行為，而用戶的路徑選擇行為是路網(wǎng)結(jié)構(gòu)和出行需求的交互結(jié)果，可以將這兩個(gè)條件分別看作供給(路網(wǎng)結(jié)構(gòu))和需求(出行需求)，二者通過調(diào)節(jié)用戶的選擇從而決定悖論是否能夠發(fā)生。對(duì)于給定的路阻函數(shù)，只有出行需求處于特定區(qū)間時(shí)才會(huì)發(fā)生悖論，而區(qū)間范圍取決于路阻函數(shù)[8-9]。在實(shí)證研究方面，Bagloee等[10]以溫尼伯路網(wǎng)為例進(jìn)行悖論路段定位，發(fā)現(xiàn)關(guān)閉62條悖論路段后能夠減少6 989 min的總出行時(shí)間，相當(dāng)于建造一英里長的大橋。Ma等[4]以航道網(wǎng)絡(luò)為例進(jìn)行悖論鏈接定位，發(fā)現(xiàn)移除悖論鏈接之后，能夠節(jié)省3.8%的總出行時(shí)間。

從已有研究來看，布雷斯悖論的存在讓路網(wǎng)系統(tǒng)產(chǎn)生了巨大的效率損失，而這種效率損失的產(chǎn)生根源是用戶的“非合作行為”[7]。從用戶角度來看，當(dāng)每個(gè)用戶都追求最快路徑時(shí)形成“用戶均衡”狀態(tài)，其本質(zhì)是交通流的納什均衡[6]。但是從整個(gè)路網(wǎng)系統(tǒng)的角度來看，更好的結(jié)果應(yīng)當(dāng)是用戶在選擇路線時(shí)能夠通過合作來減少整個(gè)路網(wǎng)的出行總時(shí)間，這種途徑形成的交通流結(jié)果稱為“系統(tǒng)最優(yōu)”[7]。然而，實(shí)際情境中的用戶往往是從自身利益出發(fā)進(jìn)行決策，因此形成的結(jié)果通常是用戶均衡，這就導(dǎo)致了實(shí)際結(jié)果與系統(tǒng)最優(yōu)之間的差距。Koutsoupias等[11]在1999年提出用無秩序代價(jià)(price of anarchy，POA)來度量這種差距，以用戶均衡的總成本與系統(tǒng)最優(yōu)的總成本的比值來表示。

2008年Youn等[12]基于波士頓、倫敦和紐約的真實(shí)路網(wǎng)，定位悖論路段，并計(jì)算在不同需求水平下的POA，發(fā)現(xiàn)POA可以高達(dá)28%，表明高POA是一個(gè)嚴(yán)重問題。尤其是對(duì)于導(dǎo)致低效率的悖論路段，POA值能夠反映當(dāng)悖論路段存在時(shí)由于用戶非合作行為導(dǎo)致的效率損失，因此分析路網(wǎng)POA對(duì)于認(rèn)識(shí)交通系統(tǒng)特性和提升交通效率具有指導(dǎo)意義。但是目前在布雷斯悖論以及POA方面的研究還存在以下不足：1) 關(guān)閉悖論路段能否降低POA，目前還沒有研究給出答案；2) 目前除了文獻(xiàn)[12]以外，絕大多數(shù)POA的研究基于理論網(wǎng)絡(luò)分析，因此對(duì)于實(shí)際路網(wǎng)中的POA變化特性認(rèn)識(shí)不足。

針對(duì)以上不足，本文將基于實(shí)際路網(wǎng)量化布雷斯悖論帶來的效率損失，從實(shí)證出發(fā)重點(diǎn)探討以下問題。

1) 中國城市高速公路網(wǎng)是否存在發(fā)生布雷斯悖論的可能？

2) POA隨需求的變化有何規(guī)律？關(guān)閉悖論路段能否改變POA曲線？

3) 能夠提供哪些交通管理啟示？

2 模型和方法

2.1 交通流分配模型

交通流分配的任務(wù)是按照特定原理將車流量分配到各條出行路徑中，目前廣泛認(rèn)可的原理是Wardrop第一原理和第二原理。Wardrop第一原理認(rèn)為用戶以自身出行時(shí)間最短為目標(biāo)，獨(dú)立地作出路徑選擇決策，即用戶均衡(user equilibrium)；Wardrop第二原理認(rèn)為存在一個(gè)集中指揮者，該指揮者以最小化整個(gè)系統(tǒng)的出行總時(shí)間為目標(biāo)來指揮所有用戶的路徑選擇，即系統(tǒng)最優(yōu)(system optimum)[13]。其中用戶均衡交通流分配模型[13-14]的結(jié)構(gòu)如下。

式中，xa為 路段a的路段流量；ta(x)為路段a的路阻函數(shù)；qw為起點(diǎn)?終點(diǎn)對(duì)(origin-destination，OD)w的出行需求；為OD對(duì)w之間第k條路徑的流量；為包含關(guān)系變量。當(dāng)路徑k中包含路段a時(shí)，=1；反之，δwa,k=0。

式(2)保證了OD對(duì)w之間所有路徑流量的和等于總需求；式(3)要求每一條路徑上的流量是非負(fù)的；式(4)根據(jù)路徑流量的分布計(jì)算出所有路段上的流量。求解上述模型可以獲得用戶均衡條件下的交通流分布[13]。

系統(tǒng)最優(yōu)交通流分配模型[13]的結(jié)構(gòu)如下。

系統(tǒng)最優(yōu)交通流分配的目標(biāo)函數(shù)是所有路段流量乘以對(duì)應(yīng)路阻函數(shù)的和，約束條件與用戶均衡交通流分配一致。求解上述模型可以獲得系統(tǒng)最優(yōu)條件下的交通流分布[13]。

2.2 布雷斯悖論路段定位方法

在悖論路段的識(shí)別定位過程中，需要計(jì)算各個(gè)路段在一定車流量下的通行時(shí)間，因此首先需要確定路阻函數(shù)。美國聯(lián)邦公路局基于大量的交通調(diào)查得出道路車流量與通行時(shí)間之間的關(guān)系，并形成了目前廣泛使用的路阻函數(shù)模型，即美國聯(lián)邦公路局函數(shù)(Bureau of Public Roads，BPR)[15]。

式中，t0a是路段a在自由流狀態(tài)下的通行時(shí)間；xa是 路段a的路段流量；Ca是路段a的通行能力；α、β均 為參數(shù)，參考文獻(xiàn)[16]： α=0.15，β=4。后續(xù)將根據(jù)BPR函數(shù)計(jì)算路段的通行時(shí)間。

確定路阻函數(shù)后，將路網(wǎng)結(jié)構(gòu)、路網(wǎng)參數(shù)、出行OD作為輸入數(shù)據(jù)，基于Frank Wolfe算法[17]，利用Python進(jìn)行交通分配得到原始路網(wǎng)下的出行總時(shí)間T0；并依次關(guān)閉1條路段，設(shè)關(guān)閉的路段為路段n，計(jì)算關(guān)閉路段n后的出行總時(shí)間Tn，如果Tn＜T0，表明路段n是悖論路段，反之路段n不是悖論路段。

2.3 POA計(jì)算公式

3 實(shí)證結(jié)果分析

本節(jié)以中國廣州和蘇州，結(jié)合美國加利福尼亞的高速公路網(wǎng)，驗(yàn)證實(shí)際路網(wǎng)中存在布雷斯悖論；并分析POA隨需求變化的動(dòng)態(tài)特性，以及比較關(guān)閉悖論路段后的POA曲線變化規(guī)律。

3.1 悖論路段定位

3.1.1 確定路網(wǎng)結(jié)構(gòu)和路網(wǎng)參數(shù)

首先，從OpenStreetMap網(wǎng)站下載高速公路網(wǎng)矢量數(shù)據(jù)，導(dǎo)入ArcGIS軟件中進(jìn)行處理，取得符合要求的路網(wǎng)拓?fù)浜吐范伍L度；然后，基于路網(wǎng)結(jié)構(gòu)和公路編碼，借助高德地圖進(jìn)行路名匹配，得到各個(gè)路段的名稱；最后，根據(jù)路段名稱查找對(duì)應(yīng)高速公路的車道數(shù)和自由流速度，并參考《公路通行能力手冊》計(jì)算路段通行能力和自由流時(shí)間[18]，得到路網(wǎng)參數(shù)。處理后廣州、蘇州、加利福尼亞路網(wǎng)如圖2。

圖2 高速公路網(wǎng)結(jié)構(gòu)Figure 2 Structure of expressway networks

3.1.2 確定出行OD

廣州路網(wǎng)的出行OD為1對(duì)：T-H；蘇州路網(wǎng)的出行OD為2對(duì)：T1-H和T2-H；加利福尼亞的出行OD為4對(duì)：T1-H1、T1-H2、T2-H1、T2-H2。為尋找發(fā)生布雷斯悖論的需求區(qū)間，設(shè)置由低向高逐次加大的出行需求量，在各個(gè)需求量下定位悖論路段。即在路網(wǎng)結(jié)構(gòu)、路網(wǎng)參數(shù)和出行OD的基礎(chǔ)上，改變各對(duì)出行OD之間的需求量，重復(fù)進(jìn)行交通流分配，直至發(fā)現(xiàn)悖論路段，并記錄下對(duì)應(yīng)的需求量。結(jié)果如表1。當(dāng)各路網(wǎng)的出行OD處于以下需求量時(shí)會(huì)發(fā)生布雷斯悖論。其中，需求量的單位為veh/h，表示輛/h。

表1 發(fā)生布雷斯悖論時(shí)的需求水平Table 1 Demand of occurring Braess paradox

在上述需求水平下，各個(gè)路網(wǎng)的悖論路段如表2和圖3。廣州路網(wǎng)存在1條悖論路段，關(guān)閉之后能減少0.72%的總出行時(shí)間；蘇州路網(wǎng)存在1條悖論路段，關(guān)閉之后能減少1.79%的總出行時(shí)間；加利福尼亞路網(wǎng)存在2條悖論路段，關(guān)閉之后分別能減少1.51%、1.09%的總出行時(shí)間。實(shí)證表明，在特定出行需求下，不同路網(wǎng)結(jié)構(gòu)和OD對(duì)之間都可能發(fā)生布雷斯悖論，導(dǎo)致交通效率的損失，其結(jié)果與Bagloee等[10]一致。

圖3 悖論路段定位結(jié)果Figure 3 Results of paradox links

表2 關(guān)閉悖論路段減少的總出行時(shí)間Table 2 Total time reduced by closing the paradox link

3.2 無秩序代價(jià)分析

根據(jù)上文的研究結(jié)果可知，3個(gè)路網(wǎng)在一定的需求水平下會(huì)發(fā)生布雷斯悖論。但是出行需求是動(dòng)態(tài)變化的，那么當(dāng)需求量發(fā)生變化時(shí)，路網(wǎng)效率如何變化？接下來計(jì)算關(guān)閉悖論路段前后不同需求下的POA(對(duì)于存在1條以上悖論路段的路網(wǎng)，只關(guān)閉?T%最大的悖論路段)，結(jié)果如圖4。

由圖4可以得到以下結(jié)論。

圖4 關(guān)閉悖論路段后的POA曲線Figure 4 POA curves without the paradox link

1) 高需求和低需求下不發(fā)生布雷斯悖論，在中間需求下才有可能發(fā)生悖論。

在足夠低的需求下POA等于1，在足夠高的需求下POA無限趨于1，而在中間需求下POA顯著大于1。雖然3個(gè)路網(wǎng)的峰數(shù)及峰值有所不同，但一致的是3個(gè)路網(wǎng)的POA曲線均呈“中間高兩頭低”的形態(tài)。

由文獻(xiàn)綜述部分已知，布雷斯悖論的發(fā)生是因?yàn)橛脩艟夂拖到y(tǒng)最優(yōu)的結(jié)果存在差距，即只有POA大于1才有可能發(fā)生布雷斯悖論。因此上述結(jié)果表明在低需求和高需求下都不會(huì)發(fā)生布雷斯悖論，在中間需求水平下才具備發(fā)生布雷斯悖論的條件。

Youn等[12]基于紐約路網(wǎng)的仿真發(fā)現(xiàn)POA值先是隨著車流量的增大而上升，到達(dá)一定值之后開始下降并無限趨于1，即在低需求和高需求下都不會(huì)因?yàn)橛脩舻姆呛献餍袨楫a(chǎn)生明顯的效率損失，只有當(dāng)需求量處于中間水平時(shí)才會(huì)產(chǎn)生較大的效率損失，本文結(jié)論與文獻(xiàn)[12]的結(jié)論基本一致。

2) 關(guān)閉悖論路段后POA曲線的整體形態(tài)基本不變，但局部POA有變化。

關(guān)閉悖論路段后的廣州路網(wǎng)POA曲線仍然存在兩個(gè)峰，蘇州的POA曲線仍然只有1個(gè)明顯的峰值，加利福尼亞路網(wǎng)仍然存在一個(gè)主峰和緊隨主峰之后的小幅度波動(dòng)。此外，3個(gè)路網(wǎng)的POA曲線呈現(xiàn)“中間高兩頭低”的形態(tài)，說明關(guān)閉悖論路段不會(huì)根本性地改變POA曲線的走勢。但關(guān)閉悖論路段后部分需求下的POA值低于關(guān)閉悖論路段前，相反部分需求下的POA值高于關(guān)閉悖論路段前。該結(jié)果說明關(guān)閉悖論路段的效果會(huì)隨著需求水平的變化而變化，對(duì)于不同的需求水平，關(guān)閉悖論路段帶來的效率變化存在差距甚至相反。

4 結(jié)論

本文以廣州、蘇州、加利福尼亞高速公路網(wǎng)為例，驗(yàn)證了在特定出行需求下，3個(gè)路網(wǎng)中均存在布雷斯悖論路段，關(guān)閉后3個(gè)路網(wǎng)分別能減少0.72%、1.79%、1.51%的總出行時(shí)間，并分析了存在悖論路段時(shí)POA隨需求量的變化，發(fā)現(xiàn)3個(gè)路網(wǎng)的結(jié)果一致：POA曲線均呈現(xiàn)“中間高兩頭低”的形態(tài)，即在中間需求下才有發(fā)生布雷斯悖論的可能；而關(guān)閉悖論路段之后，路網(wǎng)POA曲線的總體形態(tài)不變，但是局部需求下的POA值表現(xiàn)為增大或減小，即關(guān)閉悖論路段可以在一定程度上調(diào)整用戶均衡和系統(tǒng)最優(yōu)之間的差距。

因此在交通管理中，可以實(shí)時(shí)監(jiān)控各路段的POA值，結(jié)合出行量識(shí)別路網(wǎng)中的悖論路段，通過關(guān)閉或限流等措施避免或削弱悖論路段的影響，以更快的響應(yīng)速度提高路網(wǎng)系統(tǒng)的出行效率。另一方面，在前期路網(wǎng)規(guī)劃中，更需要基于城市內(nèi)重點(diǎn)區(qū)域間的車流量規(guī)模預(yù)測，分析新建道路是否會(huì)導(dǎo)致路網(wǎng)系統(tǒng)發(fā)生布雷斯悖論，避免布雷斯悖論帶來的效率損失。

未來的研究可以進(jìn)一步改進(jìn)悖論路段定位算法，從定位悖論路段轉(zhuǎn)化為定位悖論路段組合，并補(bǔ)充隨機(jī)用戶均衡模型的分析，從而與用戶均衡模型的運(yùn)行結(jié)果相比較，分析有限理性是否會(huì)給研究結(jié)果帶來顯著影響。