朱圣舉 朱 潔 王思儀 馬維云

(1. 中國石油長慶油田分公司 勘探開發(fā)研究院， 西安 710018；2. 低滲透油氣田勘探開發(fā)國家工程實(shí)驗(yàn)室， 西安 710018；3. 中國石油長慶油田分公司 第六采氣廠， 西安 710018；4. 中國石油長慶油田分公司 第八采油廠， 西安 710021)

0 前 言

在帶隔板底水油藏直井開發(fā)中，假設(shè)隔板上部油層全部射開、下部油層不射孔，則從油井開始生產(chǎn)時(shí)原始油水界面逐漸呈圓臺(tái)形上升而形成底水錐進(jìn)。隨著油井產(chǎn)油量的增加，水錐高度逐漸上升，直到產(chǎn)油量達(dá)到某一個(gè)定值時(shí)水錐突破，油井見水，此時(shí)的最大無水產(chǎn)油量即帶隔板底水油藏直井的臨界產(chǎn)量。

Guo等人研究了無隔板底水油藏直井臨界產(chǎn)量公式(以下稱“Guo氏公式”)，并求得了最佳射孔程度[1]。此后，一些學(xué)者在Guo氏公式的基礎(chǔ)上作了深入研究。張興國等人研究了夾層對(duì)底水的抑制作用[2-3]。李春蘭等人進(jìn)一步研究了帶氣頂?shù)姿筒刂本淖罴焉淇孜恢眉俺潭?，但未?duì)Guo氏公式作修正[4]。朱圣舉等人研究了帶隔板底水油藏直井的見水時(shí)間，但并未涉及臨界產(chǎn)量[5-7]，之后又重新修正了Guo氏公式[8]。李傳亮等人推導(dǎo)出了帶隔板底水油藏直井的臨界產(chǎn)量公式，計(jì)算結(jié)果顯示當(dāng)油層射開厚度為零時(shí)的臨界產(chǎn)量最大，這顯然不符合實(shí)際情況[9-11]。何巍等人進(jìn)一步對(duì)帶隔板的油井臨界產(chǎn)量公式作了改進(jìn)，考慮了油層射孔程度的影響，但并未對(duì)Guo氏公式進(jìn)行修正[12-14]。

在這些后續(xù)研究中，仍未能統(tǒng)一認(rèn)識(shí)或推導(dǎo)出合理的帶隔板底水油藏直井臨界產(chǎn)量公式，也未就最佳隔板位置作深入討論。因此，本次研究將依據(jù)滲流力學(xué)理論，重新推導(dǎo)帶隔板底水油藏直井的臨界產(chǎn)量公式。

1 帶隔板底水油藏直井?dāng)?shù)學(xué)模型的建立

1.1 扇狀曲面面積公式

假設(shè)油藏屬性為均質(zhì)且各向同性，忽略毛管力及表皮因子，以穩(wěn)定滲流為主(見圖1)。以半徑為ξ的曲線弧繞z軸旋轉(zhuǎn)一周形成扇狀曲面，其面積公式如式(1)所示[15]：

圖1 帶隔板底水油藏直井滲流示意圖

(1)

式中：A—— 扇狀曲面面積，m2；

r—— 垂直于z軸的xOy平面上的極坐標(biāo)，m；

rb—— 隔板半徑，m；

ξ—— 扇狀徑向滲流半徑，m；

b—— 半徑上限，m；

φ0—— 線段CD、CE的夾角， (°)。

此扇狀體曲面上的任一點(diǎn)，存在式(2)所示關(guān)系：

z2+(r-rb)2=ξ2,rb≤r≤rb+ξ

(2)

式中：z—— 自A點(diǎn)垂直向下的z軸坐標(biāo)值，m。

變換式(2)，得到式(3)：

(3)

于是有式(4)：

(4)

將式(4)代入式(1)，得到式(5)：

(5)

求解積分之后，得到式(6)：

(6)

當(dāng)b→rb+ξ時(shí)，得到式(7)：

A=2πξ2cosφ0+π2rbξ-2πrbξφ0

(7)

經(jīng)過推導(dǎo)，將扇狀曲面的面積A轉(zhuǎn)換成ξ的函數(shù)，且扇狀曲面垂直于ξ。

1.2 扇狀徑向滲流流量公式

據(jù)達(dá)西滲流定律[16]，推導(dǎo)得到式(8)所示扇狀徑向滲流流量公式：

(8)

式中：Qs—— 扇狀徑向滲流流量，m3/d；

C1—— 常數(shù)，取0.086 4；

K—— 儲(chǔ)層滲透率，10-3μm2；

μ—— 流體黏度，mPa·s；

re—— 油井的泄油半徑，m；

rwb—— 隔板邊緣水錐頂點(diǎn)處的滲流半徑，m；

pe——re處對(duì)應(yīng)的壓力，MPa；

pb—— 隔板邊緣rb處的壓力，MPa。

將式(7)代入式(8)，推導(dǎo)得到式(9)：

(9)

令π-2φ0=θ0，θ0為定義角。對(duì)式(9)求積分，得到式(10)：

(10)

由于

(11)

式中：H—— 總油層厚度，m；

h—— 隔板以上的油層厚度(全部射開)，m。

將式(11)代入式(10)，得到式(12)：

(12)

1.3 帶隔板底水油藏直井臨界產(chǎn)量公式

首先，計(jì)算上部平面徑向滲流的流量，如式(13)所示：

(13)

式中：Qr—— 上部平面徑向滲流流量，m3/d。

然后，得到上部平面徑向滲流任一點(diǎn)的壓力分布公式，如式(14)所示：

pb0+C2γoz， 0

(14)

式中：p(r，z) —— 上部平面徑向滲流任一點(diǎn)壓力，MPa；

C2—— 常數(shù)，取0.001；

γo—— 原油的容重, kN/m3；

pb0——rb處油層頂部的壓力，MPa。

由式(12)得到下部扇狀徑向滲流任一點(diǎn)的壓力分布公式，如式(15)所示：

pb0+C2γoz，h

(15)

式中：p(ξ，z) —— 下部扇狀徑向滲流任一點(diǎn)壓力，MPa。

在兩種流動(dòng)模式的分界面上，即在界面z=h及ξ=r-rb上，式(14)與式(15)的壓力應(yīng)當(dāng)相等。因此，在界面z=h及ξ=r-rb=re-rb構(gòu)成的圓弧上，Qr與Qs的關(guān)系如式(16)所示：

(16)

則可得到產(chǎn)液總量公式，如式(17)所示：

(17)

式中：Qt—— 全井產(chǎn)液總量，m3/d。

接著，討論水錐頂點(diǎn)(rb)處的情況。當(dāng)位于頂點(diǎn)油側(cè)時(shí)，由式(15)可得式(18)：

pb0+C2γo(h+ξz)

(18)

式中：po(ξz) —— 水錐頂點(diǎn)油側(cè)的壓力，MPa；

ξz—— 下部扇狀徑向滲流模式中從隔板邊緣垂直向下的距離，m。

水錐頂點(diǎn)靜水壓力的計(jì)算，如式(19)所示：

pw(ξz)=pe0+C2γoH-C2γw(H-h-ξz)(19)

式中：pw(ξz) —— 水錐頂點(diǎn)的靜水壓力，MPa；

γw—— 水的容重，kN/m3；

pe0——re處油層頂部的壓力，MPa。

此時(shí)，設(shè)：

f(ξz)=pw(ξz)-po(ξz)

(20)

如果要使最大的水錐保持穩(wěn)定，則必須在水錐頂點(diǎn)滿足以下條件：

條件Ⅰpw(ξz)=po(ξz)，其函數(shù)如式(21)所示：

f(ξz)=0

(21)

條件Ⅱ油相的垂向壓力梯度必須等于靜水壓力梯度，其函數(shù)如式(22)所示：

(22)

將式(18)和式(19)代入式(20)，則得到式(23)：

(pe0-pb0)-C2Δγ(H-h-ξz)

(23)

其中Δγ=γw-γo。再由式(15)，得到式(24)：

(24)

將式(23)和式(24)代入式(21)，得到式(25)：

C2Δγ(H-h-ξz)=0

(25)

將式(25)代入式(22)，得到式(26)：

(26)

變換式(26)后，得到式(27)：

(27)

將式(27)代入式(25)，令C=C1·C2= 86.4×10-6，得到扇狀徑向滲流臨界產(chǎn)量方程，如式(28)所示：

(28)

式中：x—— 隔板位置系數(shù)，x=h/H；

y—— 隔板封隔系數(shù)，y=rb/re。

通過式(28)無法直接求得扇狀徑向滲流流量(Qs)的臨界產(chǎn)量解析解，因此，改用數(shù)值法進(jìn)行求解。將求解得到的Qs代入式(17)，即可得到全井的臨界產(chǎn)量(Qcr)。

臨界產(chǎn)量公式的適用條件如式(29)所示：

(29)

2 實(shí)例分析

以鄂爾多斯盆地某砂巖底水油藏YZQ為實(shí)例，運(yùn)用推導(dǎo)出的公式進(jìn)行分析。該油藏采用直井開采方式，主要參數(shù)為：H=15 m；K=142×10-3μm2；μ=2.0 mPa·s；Δγ=1.47 kN/m3；rw=0.1 m；rwb≈0.1 m；re=250 m。

為了研究臨界產(chǎn)量與隔板位置的關(guān)系，分別取不同的x、y值，將該油藏開發(fā)初期的實(shí)際數(shù)據(jù)代入式(17)和式(28)。經(jīng)過計(jì)算發(fā)現(xiàn)：在同一隔板封隔系數(shù)下，隨著隔板位置系數(shù)的逐漸增大，臨界產(chǎn)量呈先增大后減小的變化趨勢，且其間存在一個(gè)極大值；在同一隔板位置系數(shù)下，隨著隔板封隔系數(shù)的增大，臨界產(chǎn)量呈逐漸增大的變化趨勢。在不同隔板封隔系數(shù)下，臨界產(chǎn)量與隔板位置系數(shù)的關(guān)系如圖2所示。

圖2 不同隔板封隔系數(shù)下臨界產(chǎn)量與隔板位置系數(shù)的關(guān)系

(1) 以Z1井、Z2井、Z3井為例。其隔板位置系數(shù)分別為0.30、0.40、 0.60；泥巖隔板厚度均為1.0 m，隔板封隔系數(shù)均為0.40 。將實(shí)際參數(shù)代入式(17)和式(28)進(jìn)行計(jì)算，求得Z1井、Z2井、Z3井的臨界產(chǎn)量分別為4.36、4.51、3.89 m3/d。這3口井開發(fā)初期的實(shí)際產(chǎn)液量均為4.50 m3/d，其中Z2井經(jīng)過6個(gè)月的生產(chǎn)期才見水，而Z1井、Z3井分別只經(jīng)過了3個(gè)月、2個(gè)月的生產(chǎn)期即迅速見水。相比之下，Z1井、Z3井的實(shí)際產(chǎn)液量均超過了其臨界產(chǎn)量，而Z2井的實(shí)際產(chǎn)液量未超過其臨界產(chǎn)量，無水采油期相對(duì)較長。

(2) 以Z4井、Z5井為例。其隔板封隔系數(shù)分別為0.40、0.50；泥巖隔板厚度均為0.8m；隔板位置系數(shù)均為0.50。將實(shí)際參數(shù)代入式(17)和式(28)進(jìn)行計(jì)算，求得Z4井、Z5井的臨界產(chǎn)量分別為4.35、6.03 m3/d。這2口井開發(fā)初期的實(shí)際產(chǎn)液量均為5.50 m3/d，Z5井經(jīng)過8個(gè)月的生產(chǎn)期才見水，而Z4井只經(jīng)過了3.5個(gè)月的生產(chǎn)期即迅速見水。相比之下，Z4井的實(shí)際產(chǎn)液量超過了其臨界產(chǎn)量，而Z5井的實(shí)際產(chǎn)液量未超過其臨界產(chǎn)量，無水采油期相對(duì)較長。

為了分析最佳隔板位置系數(shù) (xopt)的分布區(qū)間，繪制了最佳隔板位置系數(shù)與隔板封隔系數(shù)的關(guān)系曲線(見圖3)。分析結(jié)果表明：隨著隔板封隔系數(shù)的增大，最佳隔板位置系數(shù)呈逐漸減小的變化趨勢；而且，當(dāng)隔板封隔系數(shù)為0.2～0.8時(shí)，最佳隔板位置系數(shù)主要分布于0.33～0.43，相對(duì)比較集中。此分析結(jié)果可為實(shí)際生產(chǎn)過程中的打隔板作業(yè)提供參考[17]。

圖3 最佳隔板位置系數(shù)與隔板封隔系數(shù)的關(guān)系

3 結(jié) 語

本次研究中，基于滲流力學(xué)理論重新推導(dǎo)了帶隔板底水油藏直井臨界產(chǎn)量公式。通過這次公式推導(dǎo)，對(duì)射孔厚度為零時(shí)臨界產(chǎn)量最大這一問題作了修正，并明確了隔板位置系數(shù)最佳值的計(jì)算。最后，運(yùn)用新公式針對(duì)帶隔板底水油藏進(jìn)行了實(shí)例分析。結(jié)果表明： 在同一隔板封隔系數(shù)下，隨著隔板位置系數(shù)的逐漸增大，臨界產(chǎn)量呈先增大后減小的變化趨勢，且其間存在一個(gè)極大值；在同一隔板位置系數(shù)下，隨著隔板封隔系數(shù)的增大，臨界產(chǎn)量呈逐漸增大的變化趨勢。同時(shí)，隨著隔板封隔系數(shù)的增大，最佳隔板位置系數(shù)呈逐漸減小的變化趨勢；當(dāng)隔板封隔系數(shù)為0.2～0.8時(shí)，最佳隔板位置系數(shù)主要分布于0.33～0.43，相對(duì)比較集中。