陳 燕 羅志恒

（蘇州大學(xué)附屬蘇州十中，江蘇 蘇州 215006）

1 問題提出

帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)問題是磁場(chǎng)教學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)之一.因其能有效考查學(xué)生數(shù)理結(jié)合能力、讀圖形畫圖形能力、空間思維能力，此類問題成為近年高考的熱點(diǎn)之一.以壓軸題出現(xiàn)，其情景變化多端，難以一眼洞穿.我們可以用計(jì)算機(jī)制作動(dòng)畫模擬物理情景，將帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡畫出，動(dòng)態(tài)模擬“動(dòng)態(tài)圓”變化過程，能直觀形象地探究粒子的運(yùn)動(dòng)情況，化抽象為形象，數(shù)形結(jié)合來解決物理問題.當(dāng)粒子入射點(diǎn)、速度方向一定，速度大小變化時(shí)，可以用“縮放圓”模型分析、解決問題.當(dāng)粒子速度方向一定，速度大小變化，入射點(diǎn)變化時(shí)，可以用“縮放圓”“等時(shí)圓”“移動(dòng)圓”等模型分析、解決問題.從實(shí)例中進(jìn)行解決問題策略的研究.

2 案例分析

“新鮮出爐”的2021—2022學(xué)年度蘇、錫、常、鎮(zhèn)4市高三教學(xué)情況調(diào)研（二）中的壓軸第15題，可以將物理情景轉(zhuǎn)化為物理模型，用幾何畫板畫“動(dòng)態(tài)圓”模擬粒子運(yùn)動(dòng)情況的分析.如圖1所示，某行星的赤道線，半徑為R，在其赤道平面上，行星產(chǎn)生的磁場(chǎng)可以近似看成以行星中心為圓心、半徑為3R的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.太陽(yáng)耀斑爆發(fā)時(shí)，向該行星持續(xù)不斷地輻射大量電量為q、質(zhì)量為m的帶正電的粒子，粒子速度方向平行，垂直于AB，速度大小介于某一范圍.已知從A點(diǎn)射入磁場(chǎng)的帶電粒子在磁場(chǎng)力的作用下恰能到達(dá)赤道線下半圓弧上的各點(diǎn).不計(jì)一切阻力.

圖1 粒子進(jìn)入磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)

（1）求帶電粒子的速度范圍；

（2）求帶電粒子從磁場(chǎng)邊緣到行星赤道面的最短時(shí)間；

（3）帶電粒子在該行星赤道上存在一段輻射盲區(qū)（不能到達(dá)的區(qū)域），求該盲區(qū)所對(duì)圓心角的正弦值.

解析：第（1）小問，從A點(diǎn)射入磁場(chǎng)的帶電粒子在磁場(chǎng)力的作用下恰能到達(dá)赤道線下半圓弧上的各點(diǎn)，當(dāng)粒子入射點(diǎn)、速度方向一定，速度大小變化時(shí)，可以用“縮放圓”模型分析、解決問題.如圖2-圖4逐漸增大帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，也就是“縮放圓”與赤道線下半圓弧上的各點(diǎn)相交，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑由R增大到2R.

圖2 粒子運(yùn)動(dòng)半徑為R

圖3 粒子運(yùn)動(dòng)半徑R＜r＜2R

圖4 粒子運(yùn)動(dòng)半徑r=2R

第（2）小問，輻射大量電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電的粒子，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期，可以用幾何畫板畫出半徑為R到2R的大小變化的“等時(shí)圓”，“動(dòng)態(tài)等時(shí)圓”的動(dòng)點(diǎn)D沿著磁場(chǎng)區(qū)域的外邊界即半徑為3R的大圓上運(yùn)動(dòng)，模擬速度豎直向下的帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡.帶電粒子從磁場(chǎng)邊緣到行星赤道面的時(shí)間要短，即圖5中的“等時(shí)圓”實(shí)線部分圓?。ㄏ议L(zhǎng)l）對(duì)應(yīng)的圓心角2α要小，弦長(zhǎng)l要短，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r要大.如圖6示，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)在磁場(chǎng)區(qū)域的弦正好與磁場(chǎng)的半徑重合，此時(shí)弦長(zhǎng)l最短是2R，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑為2R，此時(shí)，對(duì)應(yīng)的最小圓心角

圖5 粒子進(jìn)入磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的“等時(shí)圓”

圖6 半徑2R弦長(zhǎng)最短“等時(shí)圓”

第（3）小問，可以用幾何畫板畫出半徑為R到2R的大小變化的“動(dòng)態(tài)圓”，“動(dòng)態(tài)圓”的動(dòng)點(diǎn)D沿著磁場(chǎng)區(qū)域的外邊界即半徑為3R的大圓上運(yùn)動(dòng)，模擬速度豎直向下的帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，可以看出從不同點(diǎn)豎直向下射入環(huán)形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的速度不同的粒子到達(dá)赤道線圓弧上的不同點(diǎn).帶電粒子運(yùn)動(dòng)速度大小一定，即“動(dòng)態(tài)圓”的半徑一定，越靠右豎直向下進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的粒子到達(dá)赤道線圓弧上的位置越靠右，如圖7、8比較所示.當(dāng)此半徑一定的動(dòng)態(tài)圓與赤道線圓弧相切時(shí)如圖8所示，即此速度的帶電粒子能到達(dá)赤道線圓弧上的最靠右位置.若增大粒子入射速度，即增大“動(dòng)態(tài)圓”半徑，則粒子能到達(dá)赤道線圓弧上的更靠右位置，如圖9所示.帶電粒子運(yùn)動(dòng)半徑最大為2R，它能夠打到該行星赤道的上半圓的區(qū)域最大.如圖10所示，最大速度運(yùn)動(dòng)粒子的圓弧軌跡與赤道上半圓弧相切點(diǎn)，為能輻射到赤道線圓弧上的最大區(qū)域的右上邊界，半徑最大為2R的“動(dòng)態(tài)圓”的動(dòng)點(diǎn)D沿著磁場(chǎng)區(qū)域的外邊界即半徑為3R的大圓弧上順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，可得到涂色部分所對(duì)應(yīng)的赤道線圓弧線部分即帶電粒子能打到的區(qū)域，剩下的赤道線圓弧線部分為帶電粒子輻射盲區(qū)（不能到達(dá)的區(qū)域）.

圖7 速度一定、靠左入射粒子運(yùn)動(dòng)軌跡

圖8 速度一定、最靠右入射粒子軌跡

圖9 速度最大、最靠右入射粒子軌跡

圖10所示幾何關(guān)系，△OO′C為等腰三角形，所以，.

圖10 最大“動(dòng)態(tài)圓”顯示輻射區(qū)域

三角形底邊與AB平行，所以輻射盲區(qū)圓心角

從第（1）小問解決分析中我們可以總歸納出帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)問題“動(dòng)圓”模型1.

模型1：“縮放圓”，如圖11所示.

圖11 “縮放圓”（半徑不同的內(nèi)切圓）

適用條件：帶電粒子從同一點(diǎn)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)速度的方向不變，大小改變即.粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是半徑不同的內(nèi)切圓.

應(yīng)用方法：以入射點(diǎn)為定點(diǎn)，圓心在垂直于初速度方向的一條直線上，將半徑縮放作軌跡圓，從而探索出臨界條件.

第（2）小問可以應(yīng)用“縮放圓”模型分析，如圖5、6所示，帶電粒子從圖上的同一點(diǎn)D以方向都是豎直向下，大小不同的速度射入有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，帶電粒子速度大，則其在磁場(chǎng)中的軌跡圓弧長(zhǎng)度（對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)）在減小，如圖6所示，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)在磁場(chǎng)區(qū)域的弦正好與磁場(chǎng)的半徑重合，最短為2R，所以圓弧長(zhǎng)度除速度，即帶電粒子從磁場(chǎng)邊緣到行星赤道面的時(shí)間最短.

第（3）小問也可以應(yīng)用“縮放圓”模型分析，如圖12所示，比較從同一位置射入磁場(chǎng)的粒子，速度越大，即運(yùn)動(dòng)的軌跡圓越大，能輻射到赤道線圓弧上的點(diǎn)越靠右，輻射到赤道線圓弧上的區(qū)域越大，不能輻射到的區(qū)域即盲區(qū)越小.

圖12 用“縮放圓”模型比較分析

從本題第（2）小問解決分析中我們可以歸納出帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)問題中“動(dòng)圓”模型2.

模型2：“等時(shí)圓”.

適用條件：同一粒子以不同大小的速度射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，或質(zhì)量和帶電量相同，運(yùn)動(dòng)速度大小不同的粒子射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，即粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不同運(yùn)動(dòng)周期相等的圓.

應(yīng)用方法：根據(jù)問題情景畫出半徑大小不等的“等時(shí)圓”，確定圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角，從而探索出臨界條件.

如圖13和圖14兩個(gè)“等時(shí)圓”，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)在磁場(chǎng)區(qū)域的弦正好與磁場(chǎng)的半徑重合，此時(shí)弦長(zhǎng)l最短是2R，從兩圖對(duì)比中可以看出圖速度大的粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的實(shí)線圓弧部分對(duì)應(yīng)的圓心角2α小，圖14中粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑為2R，三角形是等邊三角形，對(duì)應(yīng)的最小圓心角.

圖13 半徑小于2R弦長(zhǎng)最短“等時(shí)圓”

圖14 半徑2R弦長(zhǎng)最短“等時(shí)圓”

從本題第（3）小問分析、解決中我們可以總歸納出帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)問題中“動(dòng)圓”模型3.

模型3：“移動(dòng)圓”.

適用條件：粒子的速度大小、方向均一定，入射點(diǎn)位置不同.

應(yīng)用方法：將半徑r=mv／qB的圓移動(dòng).

如圖10所示，將半徑為2R的圓上的點(diǎn)D沿著磁場(chǎng)區(qū)域的外邊界，即半徑為3R的圓弧上由A點(diǎn)開始沿順時(shí)針移動(dòng)，半徑為2R的圓移動(dòng)，可得到涂色部分所對(duì)應(yīng)的赤道線圓弧線部分即粒子能打到的區(qū)域，剩下的赤道線圓弧線部分為粒子輻射盲區(qū).

解題策略：利用“縮放圓”模型，粒子速度方向一定，大小不同，以入射點(diǎn)為定點(diǎn)，圓心在垂直于初速度方向的一條直線上，將半徑縮放作軌跡圓.“等時(shí)圓”模型，質(zhì)量和帶電量相同，運(yùn)動(dòng)速度大小不同的粒子，即粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不同運(yùn)動(dòng)周期相等的圓.“移動(dòng)圓”模型粒子的速度大小、方向均一定，入射點(diǎn)位置不同，將半徑r=mv／qB的圓移動(dòng).以上3種“動(dòng)態(tài)圓”模型，再結(jié)合案例中有界環(huán)形磁場(chǎng)區(qū)域，從而探索出臨界條件.借助計(jì)算機(jī)軟件輔助模擬，動(dòng)態(tài)顯示粒子軌跡，再應(yīng)用物理規(guī)律和幾何知識(shí)，數(shù)形結(jié)合解決問題.

3 反思總結(jié)

帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)問題的解決策略如圖15所示.

圖15

帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)問題，尤其是多個(gè)粒子從不同位置以相同或不同的速度、從同一位置以相同速率、不同方向或從同一位置以不同速率進(jìn)入有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，更需要結(jié)合幾何知識(shí)確定臨界條件.這是解決此類問題的關(guān)鍵所在，也是難點(diǎn)所在.往往是大家思維和方法上的難點(diǎn)，我們?nèi)裟芙柚皠?dòng)態(tài)圓”，將圓進(jìn)行平移、縮放、旋轉(zhuǎn)，形成一種“動(dòng)態(tài)”的軌跡呈現(xiàn)，就能“化靜為動(dòng)”，從而消除或減少大家在解題過程中的思維、方法障礙，化繁瑣為簡(jiǎn)單，化抽象為形象，問題迎刃而解.