王春元，劉志祥，張雙俠

（中南大學(xué) 資源與安全工程學(xué)院，湖南 長沙 410083）

隨著工商業(yè)的快速發(fā)展，海底資源成為人類開發(fā)的目標(biāo)之一，而海底開采的主要挑戰(zhàn)是上部海水通過開采形成的巖體裂隙灌入，可能造成采礦事故。針對巖體中的裂隙擴展，主要將其轉(zhuǎn)化為壓剪或拉剪應(yīng)力狀態(tài)下的擴展進行研究［1］，而對于更加復(fù)雜受力狀態(tài)下的裂隙起裂，多采用擴展有限元等數(shù)值模擬方法進行研究分析［2?7］。目前對于采動下頂板裂隙的擴展過程鮮有研究，尤其是針對廢石充填的采場?；诖?，本文通過分析頂板與充填體在頂板沉降過程中的不同力學(xué)作用狀態(tài)，將頂板與充填體的作用分為2個階段，第1階段，巖梁剛與充填體接觸尚未有力地傳遞或充填體對巖梁作用微小，此時巖梁底部裂隙短小，張開位移小，裂隙面兩側(cè)應(yīng)力對稱，通過巖梁內(nèi)應(yīng)力場特性分析，構(gòu)建力學(xué)模型1，得到起始裂隙的擴展方向；第2階段，巖梁與充填體充分接觸，充填體阻礙巖梁沉降，此時裂隙張開位移增大，裂隙面應(yīng)力不對稱，分析構(gòu)建了裂隙發(fā)生轉(zhuǎn)向的臨界條件，得到了裂隙垂直擴展長度與裂隙位置之間關(guān)系的模型2。最后為了說明所建模型的合理性，以三山島金礦新立礦區(qū)為研究背景，采用擴展有限元法，分析了頂板底部單裂隙垂直擴展長度和裂隙局部應(yīng)力場分布變化規(guī)律。

1 力學(xué)模型分析

充填體與頂板相互作用系統(tǒng)如圖1所示。為了簡化問題，本文首先提出以下假設(shè)：①假設(shè)在起始階段，充填在裂縫擴展前剛與頂板接觸，尚沒有力的傳遞，此段時間前假設(shè)頂板未發(fā)生沉降，充填體完全接頂，忽略頂板自重；②頂板的斷裂為彈脆性斷裂，且斷裂服從最大周向應(yīng)力判據(jù)；③充填體如彈簧支撐為完全彈性體，不考慮充填體的塑性變形。因為礦體厚度相對于礦房長度較小，所構(gòu)建的充填開采幾何模型可以作為平面應(yīng)力來處理。

圖1 充填體與頂板巖梁作用實體圖

1.1 模型1

考慮到頂板兩端只允許頂板轉(zhuǎn)動，可將充填頂板模型簡化為簡支梁處理，由于起始充填體與頂板間沒有力的傳遞，充填對整個梁體變形作用微小，可不予考慮。此問題就簡化為彈性梁在均布荷載下的變形問題，如圖2所示。彈性力學(xué)理論［8］，可得：

圖2 無充填作用下頂梁受力簡圖

由式（1）可以得出，在長度遠(yuǎn)大于深度，即l?h時，彎曲應(yīng)力σx的第一項與同階大小，為主要應(yīng)力；切應(yīng)力τxy與同階應(yīng)力，為次要應(yīng)力，而σy和彎曲應(yīng)力σx的第二項均與q同階大小，為更次要應(yīng)力。與材料力學(xué)結(jié)果比較，忽略高階項，可得：

從式（2）可以看出，梁體內(nèi)的應(yīng)力既隨梁體跨度方向變化，又隨寬度方向變化。由工程經(jīng)驗可知，造成裂紋擴展的主要是彎曲應(yīng)力σx，此外，裂隙的擴展還與周圍應(yīng)力場分布密切相關(guān)。

考慮到裂隙起始一般處在梁體底部，裂隙尺寸相對巖梁可認(rèn)為足夠小，起始裂隙閉合，可認(rèn)為裂隙的存在對原場應(yīng)力影響很小，裂隙周邊拉伸和剪切應(yīng)力均勻分布，且裂隙兩側(cè)拉伸應(yīng)力大小相等，方向相反，因此可將裂隙周圍應(yīng)力場向裂隙面轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)換后的裂隙在拉剪組合應(yīng)力下擴展。由于巖梁寬度遠(yuǎn)大于起始裂隙長度，可以將其視作無限大，建立裂隙擴展模型（模型1）如圖3所示。

圖3 裂隙擴展模型1

假設(shè)梁體內(nèi)的豎向應(yīng)力只與豎向坐標(biāo)有關(guān)，根據(jù)梁體內(nèi)的應(yīng)力分布已知，可將兩端的應(yīng)力向裂隙面切向和法向分解，分解公式如下：

式中α為裂隙面法向與x軸的夾角，，將其代入式（3），求得：

由于τyxcosβsinβ和τxycosβsinβ在裂隙面法向上大小相等、方向相反，相互抵消，即得：

由文獻(xiàn)［9］可知：

考慮到裂隙尺寸相對于巖體尺寸很小，根據(jù)經(jīng)典斷裂理論，裂紋尖端的周向應(yīng)力場表達(dá)式如下：根據(jù)最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則，即得：

當(dāng)θ＝±π時，（τrθ）θ＝±π≠0。

設(shè)θ＝θ0，滿足：

由式（9）可以看出，對于任意位置的微小裂隙，裂隙的擴展角度不但與裂隙初始角度有關(guān)，還與應(yīng)力場分布有關(guān)。

將式（2）代入式（9），可得：

即當(dāng)裂隙長度微小，且處在梁體底部邊緣時，剪切應(yīng)力趨向于零，裂隙擴展方向僅與初始裂隙角有關(guān)，而與應(yīng)力場大小和位置無關(guān)。當(dāng)β＝90°、θ0＝0時，裂隙垂直梁跨度方向，沿垂直巖梁中心層方向擴展，即沿著垂直拉伸應(yīng)力方向擴展。

1.2 模型2

考慮到巖梁沉降過程緩慢，與充填體發(fā)生緊密接觸，即充填反力阻礙巖梁沉降，此時巖梁仍向下沉降，因充填反力與頂板狀態(tài)有關(guān)，頂板的沉降曲線為非線性，下部充填反力荷載q′也應(yīng)非線性分布，在梁跨中部達(dá)到最大，此外，由材料力學(xué)知識可知，無充填體時，巖梁撓度曲線為三次冪函數(shù)分布，且應(yīng)滿足邊界條件，關(guān)于y軸對稱，考慮到在巖梁兩端上覆荷載主要由礦柱承擔(dān)，即巖梁兩端充填荷載應(yīng)為0，當(dāng)存在充填體作用時，由文獻(xiàn)［10］可知，此微分方程的一般解應(yīng)具有四階以上的導(dǎo)數(shù)，而此方程只能說明巖梁平衡狀態(tài)，無法描述巖梁緩慢沉降過程，故將巖梁位移假設(shè)為余弦函數(shù)分布，其表達(dá)式應(yīng)為：

式中k≥0，k與充填體參數(shù)有關(guān)，當(dāng)巖梁與充填體不發(fā)生接觸時，k＝0，建立力學(xué)模型如圖4所示。

圖4 充填作用下頂梁受力簡圖

充填體的存在相當(dāng)于對覆巖荷載在巖梁每一點處的彎矩進行了削弱，因為巖梁沉降位移相比巖梁跨度較小，變形可認(rèn)為是小變形，巖梁為線彈性體，可以進行載荷疊加，即等效載荷為：

采用材料力學(xué)的方法得到剪力和彎矩：

取梁厚度b＝1，計算慣性矩得：

計算矩形梁截面上距中心軸為y的橫線以外面積對中心軸的梁截面靜矩為：

計算任意梁截面上的正應(yīng)力σx和切應(yīng)力τxy為：

經(jīng)過整理，得：

巖梁剛發(fā)生沉降時，充填反力對巖梁的作用微小，可近似認(rèn)為充填反力不起作用，裂隙擴展模型仍可采用模型1，但當(dāng)充填反力對巖梁的阻礙不可忽略時，裂隙已擴展足夠長度，不可將其視為足夠小，此外，裂隙在拉剪組合應(yīng)力下已有一定的張開位移，裂隙面兩側(cè)所受荷載不對稱。

由模型1的推導(dǎo)分析可知，垂直裂隙的起始擴展與應(yīng)力場和位置無關(guān)，當(dāng)巖梁發(fā)生沉降后，隨著裂隙張開位移增大，裂隙面兩側(cè)應(yīng)力分布不再對稱，裂隙擴展方向?qū)l(fā)生變化，此時需建立非對稱荷載下的裂隙擴展模型。由于此時裂隙長度不可忽略，裂隙面兩側(cè)應(yīng)力分布非均勻，需要從宏觀尺度建立模型進行分析。

考慮到巖梁的對稱性，只對左側(cè)巖梁進行分析。由于巖梁上裂隙的存在只對巖梁局部應(yīng)力場有影響，梁上離裂紋為W的兩截面上的外力相同，需將裂隙面左端荷載向裂隙左面簡化，裂隙面右端荷載向裂隙右面簡化，且考慮到裂隙面已有一定張開位移，需將左端彎矩和剪力向左側(cè)裂隙面簡化，右側(cè)彎矩向裂隙面右側(cè)簡化，分析非對稱荷載下的裂隙轉(zhuǎn)向的原因，建立的裂隙擴展模型（模型2）如圖5所示。

圖5 裂隙擴展模型2

左側(cè)面的應(yīng)力分布為：

右側(cè)面的應(yīng)力分布為：

由于巖梁沉降過程比較緩慢，可認(rèn)為覆巖荷載是逐漸增加的，將其視作準(zhǔn)靜力過程，對稱荷載下拉剪裂隙沿與拉應(yīng)力垂直方向擴展，但當(dāng)覆巖荷載增加時，裂隙張開位移增大，裂隙面兩側(cè)荷載不再對稱，此時裂隙已有較大張開位移，控制裂隙方向的拉伸荷載在裂隙面兩側(cè)不對稱，對于左側(cè)巖梁，M2＞M1，即左側(cè)拉伸應(yīng)力大于右側(cè)，由荷載疊加原理可知，M2中與M1相等的部分造成裂隙繼續(xù)沿與垂直拉伸荷載方向擴展，M2中大于M1的部分造成裂隙向拉伸荷載較大的一側(cè)轉(zhuǎn)向，考慮到裂隙在受力大于材料斷裂韌性后就有張開位移，而裂隙何時發(fā)生轉(zhuǎn)向是問題的關(guān)鍵，本文認(rèn)為當(dāng)裂隙兩側(cè)應(yīng)力差值造成的應(yīng)力強度因子剛好等于巖石斷裂韌性時，裂隙發(fā)生轉(zhuǎn)向，朝著拉伸應(yīng)力較大的一側(cè)偏轉(zhuǎn)。

非對稱荷載下單裂紋的應(yīng)力強度計算公式為：

式中p－（τ），p＋（τ），q－（τ），q＋（τ）分別為裂隙面兩側(cè)的法向及切向荷載。

由于本文所建立的坐標(biāo)系y軸位于梁體中心，取裂隙面中心應(yīng)力并代入積分，得：

所以裂隙發(fā)生轉(zhuǎn)向的條件為：

其中：

考慮到巖梁跨度很長，高度很大，所取W使之離裂隙足夠遠(yuǎn)，認(rèn)為此處的應(yīng)力場不會受到裂隙的影響，此處，可認(rèn)為W為常數(shù)；k反映充填體剛度大小，k值越大，充填體剛度越大；Fσ為修正系數(shù)。

由式（26）可以看出，當(dāng)x絕對值較小，即巖梁中心附近時，裂隙擴展長度越大，即裂隙垂直擴展長度越大，x絕對值較大時，裂隙垂直擴展長度越小。

2 數(shù)值模擬分析

以三山島金礦新立礦區(qū)為背景，選取巖梁長度80 m、寬度20 m，充填體高度25 m，兩側(cè)礦柱寬度10 m，初始裂隙長度2 m，上部荷載4 MPa，采用最大主應(yīng)力斷裂準(zhǔn)則，巖體抗拉強度取3.18 MPa，損傷演化以位移表示，即單元發(fā)生0.001 m位移時，即認(rèn)為斷裂，采用擴展有限元法，研究左側(cè)離梁中心底部0 m，10 m，20 m處單裂隙擴展規(guī)律?？紤]到頂板沉降過程緩慢，采用靜力分析法，分析計算得到裂隙擴展形態(tài)主應(yīng)力云圖如圖6所示。

圖6 擴展有限元計算結(jié)果

從圖6可以看出，裂隙的存在和擴展只對局部應(yīng)力場產(chǎn)生影響，而對整個巖梁區(qū)域應(yīng)力場影響微小。充填體的存在使巖梁受力狀態(tài)從橫力彎曲到兩向受壓狀態(tài)。此外，充填體剛度越大，壓縮量越小，巖梁沉降越小，裂隙越早尖滅。

以巖梁左端底部為坐標(biāo)原點、以巖梁寬度方向為y軸、以巖梁延伸方向為x軸正向建立局部坐標(biāo)系，采用插件提取裂隙的擴展路徑如圖7所示。

圖7 不同位置處裂隙擴展路徑

從圖7可以看出，處在梁體中心的裂隙，由于兩側(cè)應(yīng)力對稱，裂隙方向不發(fā)生改變，垂直中心層擴展；不同位置的裂隙起始都發(fā)生垂直巖梁中心層方向的擴展，且越遠(yuǎn)離巖梁方向，裂隙垂直擴展長度越小，當(dāng)裂隙在40 m位置處時，裂隙垂直擴展長度達(dá)到了8 m；當(dāng)裂隙在30 m位置處時，裂隙的垂直擴展長度僅2.5 m。隨著裂隙張開位移增大，裂隙面右側(cè)應(yīng)力大于左側(cè)應(yīng)力，導(dǎo)致裂隙擴展方向偏離原來方向，隨著張開位移繼續(xù)增大，兩側(cè)面應(yīng)力不均衡程度繼續(xù)增大，導(dǎo)致裂隙擴展角度即與x軸夾角不斷減小，裂隙路徑越來越平緩。對于離含水層越近的頂板，離巖梁中心越近的裂隙，由于其張開位移大，垂直擴展路徑長，更容易與含水層導(dǎo)通，對采場安全的威脅越大；對于遠(yuǎn)離巖梁中心的裂隙，當(dāng)頂板高度超過一定距離后，裂隙擴展越加平緩，直至最后接近水平，對安全生產(chǎn)威脅小。

選取40 m處裂隙為研究對象，分析其在擴展中的裂隙周邊局部應(yīng)力場變化，結(jié)果如圖8～9所示。

圖8 不同位置處裂隙擴展路徑下的拉伸應(yīng)力

在起始階段，由于裂隙閉合或裂隙張開位移很小，裂隙面兩側(cè)水平應(yīng)力最大為4.061 MPa，拉伸應(yīng)力場幾乎對稱，剪切應(yīng)力場兩側(cè)存在不對稱；當(dāng)裂隙開始發(fā)生轉(zhuǎn)向，裂隙面局部區(qū)域右側(cè)拉伸應(yīng)力場明顯大于左側(cè)應(yīng)力場，而此時裂隙兩側(cè)剪切應(yīng)力場幾乎對稱，由此得出裂隙轉(zhuǎn)向主要由拉伸應(yīng)力場的不均勻分布造成；當(dāng)巖梁沉降，裂隙兩側(cè)拉伸應(yīng)力和剪切應(yīng)力強度因子小于材料斷裂韌度，裂隙停止擴展。

圖9 不同位置處裂隙擴展路徑下的剪切應(yīng)力

3 結(jié) 論

1）針對充填體與頂板作用下頂梁沉降過程中頂板裂隙擴展進行了較為系統(tǒng)地研究，考慮到起始狀態(tài)下，頂板尚未與充填體發(fā)生力的傳遞作用，此時任意位置的垂直裂隙都只沿著垂直巖梁中心層方向擴展。

2）當(dāng)巖梁發(fā)生沉降，裂隙張開位移增大，裂隙面兩側(cè)應(yīng)力分布不對稱，當(dāng)裂隙面兩側(cè)應(yīng)力差造成的應(yīng)力強度因子達(dá)到材料斷裂韌性時，裂隙擴展方向逐漸發(fā)生偏離，朝著拉伸應(yīng)力較大的方向偏轉(zhuǎn)；且離巖梁中心越近的裂隙，垂直擴展長度越大；越遠(yuǎn)離巖梁中心的裂隙，垂直擴展長度越小。

3）處在離巖梁中心20 m位置處的裂隙，垂直擴展長度為8 m，處在離巖梁中心10 m位置處的裂隙，垂直擴展長度僅2.5 m，處在巖梁中心的裂隙不發(fā)生偏轉(zhuǎn)。越接近巖梁中心的裂隙，垂直擴展長度大，對水流的沿程阻力小，更容易發(fā)生突水。

4）在沉降過程中造成裂隙轉(zhuǎn)向的主要原因是拉伸應(yīng)力場的不均勻分布。