盧錦華，石曉君，胡凱燕，鄧曙艷

(廣東石油化工學(xué)院 建筑工程學(xué)院，廣東 茂名 525000)

微流控芯片的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)經(jīng)常借助電滲現(xiàn)象輸送樣本流體，如高分子溶液，或者血液等生物流體[1,2]。電滲流研究是微尺度流動(dòng)研究的一項(xiàng)重要分支，由早期不同形狀的微管道內(nèi)流動(dòng)研究[3,4]發(fā)展到近幾年不同外加環(huán)境(如旋轉(zhuǎn)環(huán)境[5]、外加磁場(chǎng))對(duì)電滲流動(dòng)特征的影響規(guī)律的研究[6]。隨著微機(jī)電技術(shù)在生物醫(yī)學(xué)等交叉領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，一些微流控芯片需要操作非導(dǎo)電樣本，如油質(zhì)液體等。Brask等[7]首次提出借助導(dǎo)電流體電滲流動(dòng)帶動(dòng)非導(dǎo)電流體進(jìn)行傳輸?shù)碾p層驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。自此雙層電滲流動(dòng)的研究廣受關(guān)注。文獻(xiàn)[8]研究了平板微管道內(nèi)已達(dá)到穩(wěn)態(tài)的雙層電滲流模型。文獻(xiàn)[9]考慮液-液界面附近的Maxwell條件下提出了瞬態(tài)的雙層導(dǎo)電流體電滲流動(dòng)模型。生物芯片實(shí)驗(yàn)室等微流控芯片需要傳輸、混合或分離導(dǎo)電率較低的樣本，導(dǎo)電流體和非導(dǎo)電流體組成的雙層電滲流從瞬態(tài)到穩(wěn)態(tài)的研究揭示了雙層流動(dòng)電-流場(chǎng)全局發(fā)展機(jī)理，為微流控芯片內(nèi)的驅(qū)動(dòng)元件的設(shè)計(jì)、優(yōu)化以及精確操作提供一定的理論參考。而平板微管道內(nèi)的瞬態(tài)由導(dǎo)電流體帶動(dòng)非導(dǎo)電流體的電滲流動(dòng)尚未得到關(guān)注?；诖?，本文考慮導(dǎo)電流體-非導(dǎo)電流體電滲流動(dòng)從瞬態(tài)到穩(wěn)態(tài)的發(fā)展過(guò)程，提出相應(yīng)的控制方程，首先利用拉普拉斯變換法推導(dǎo)了雙層速度場(chǎng)解析解，從而掌握了雙層系統(tǒng)的瞬態(tài)速度分布，其次討論導(dǎo)電流體電滲特質(zhì)對(duì)雙層流動(dòng)的影響規(guī)律，相關(guān)結(jié)果可以為微流控芯片雙層驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的精確控制與優(yōu)化提供理論依據(jù)。

1 數(shù)學(xué)模型

圖1 平板微管道內(nèi)雙層不互溶流體結(jié)構(gòu)

(1)

式中：K、e0、kB、T0、n0和z0分別為電動(dòng)寬度、基本電荷、玻爾茲曼數(shù)、絕對(duì)溫度、離子濃度和離子價(jià)。

電勢(shì)在平板微管道軸線上滿足對(duì)稱條件，在壁面上等于zeta電勢(shì)，因此獲得如下邊界條件：

(2)

根據(jù)常微分方程解的形式以及邊界條件(式(2))，獲得式(1)的解，即電勢(shì)分布如下：

Ψ=[ζcosh(Ky)]/cosh(K)

(3)

(4)

式中：t、y、v1和v2分別為無(wú)量綱化后的時(shí)間變量、縱向變量、導(dǎo)電流體速度和非導(dǎo)電流體速度；ρ為密度；U為參考速度；m0為流體黏度。

雙層速度和剪切力在液-液界面上滿足連續(xù)性條件，導(dǎo)電流體速度和非導(dǎo)電流體速度在壁面上均滿足無(wú)滑移條件，雙層流體初始時(shí)刻靜止，此時(shí)，雙層速度分布的初邊界條件為

(5)

(6)

(7)

根據(jù)常微分方程解的形式和邊界條件(式(7))，可得式(6)的解如下：

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：P=1,2,…。當(dāng)時(shí)間變量t→∞，式(10)和(11)變?yōu)榉€(wěn)態(tài)的速度分布，即：

(12)

(13)

進(jìn)一步合并v1和v2便獲得雙層電滲流瞬態(tài)速度分布v。分別對(duì)式(12)和式(13)進(jìn)行積分，可獲得雙層電滲流流量Q，即導(dǎo)電流體和非導(dǎo)電流體流量表達(dá)式如下：

(14)

(15)

2 結(jié)果與討論

當(dāng)K=10，ζ=-1時(shí)，不同時(shí)刻下，雙層速度分布以及達(dá)到穩(wěn)態(tài)的速度分布如圖2所示，其中液-液界面右側(cè)流體為導(dǎo)電流體，液-液左側(cè)流體為非導(dǎo)電流體。當(dāng)K=100，ζ=-1時(shí)，不同時(shí)刻下，雙層速度分布以及達(dá)到穩(wěn)態(tài)的速度分布如圖3所示，其中液-液界面右側(cè)流體為導(dǎo)電流體，液-液左側(cè)流體為非導(dǎo)電流體。

圖2 K=10、ζ=-1，雙層速度及達(dá)到穩(wěn)態(tài)的雙層速度分布 圖3 K=100、ζ=-1，雙層速度及達(dá)到穩(wěn)態(tài)的雙層速度分布

由圖2可知，當(dāng)時(shí)間變量取值相對(duì)小的時(shí)候，即t=0.0005時(shí)，只有壁面附近的導(dǎo)電流體在電滲力的作用下獲得速度，隨著時(shí)間的推進(jìn)，壁面附近流體帶動(dòng)整體導(dǎo)電流體向前流動(dòng)；當(dāng)t=0.005時(shí)，導(dǎo)電流體整體處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，進(jìn)一步隨著時(shí)間的推進(jìn)，導(dǎo)電流體開(kāi)始帶動(dòng)非導(dǎo)電流體向前流動(dòng)，如t=0.05時(shí)雙層速度分布所示。當(dāng)時(shí)間增長(zhǎng)到t=5時(shí)，瞬態(tài)速度與穩(wěn)態(tài)速度重疊，說(shuō)明雙層電滲流當(dāng)t=5時(shí)已經(jīng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，速度分布不再隨時(shí)間變化。由穩(wěn)態(tài)雙層速度分布可知，與單層電滲流相比，由于液-液界面黏性力消耗一部分導(dǎo)電流體動(dòng)量，雙層電滲流不再呈現(xiàn)塞型速度剖面，其中導(dǎo)電流體呈現(xiàn)拋物型剖面，最高速度流層偏向平板微管道下側(cè)壁面，非導(dǎo)電流體呈現(xiàn)線性速度剖面，離導(dǎo)電流體越近的流層，其速度越高。

由圖2、圖3可知，隨著電動(dòng)寬度K由10增加到100，因管道高度固定不變，故雙電層相應(yīng)地變薄，壁面自由帶電離子隨之減少，導(dǎo)致導(dǎo)電流體壁面附近的電滲力作用區(qū)域變窄，無(wú)論任何時(shí)刻，緊貼壁面的導(dǎo)電流體速度最高。與圖2的雙層瞬態(tài)速度分布相比，由于電動(dòng)寬度的增加，導(dǎo)電流體整體獲得的速度較高，帶動(dòng)非導(dǎo)電流體向前流動(dòng)的速度也較高，且導(dǎo)電流體最高速度流層更加靠近平板微管道下側(cè)壁面。

圖4為當(dāng)K=10，ζ=-1時(shí)，雙層流量Q隨時(shí)間t的變化趨勢(shì)，其中Q1為導(dǎo)電流體流量，Q2為非導(dǎo)電流體流量。圖5為當(dāng)K=100，ζ=-1時(shí)，雙層流量Q隨時(shí)間t的變化趨勢(shì)，其中Q1為導(dǎo)電流體流量，Q2為非導(dǎo)電流體流量。

圖4 K=10、ζ=-1，導(dǎo)電/非導(dǎo)電流體流量隨時(shí)間的變化 圖5 K=100、ζ=-1，導(dǎo)電/非導(dǎo)電流體流量隨時(shí)間的變化

由圖4可知，導(dǎo)電流體流量和非導(dǎo)電流體流量相比，導(dǎo)電流體更早獲得速度進(jìn)入運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即導(dǎo)電流體在不穩(wěn)態(tài)階段流動(dòng)的持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)，而非導(dǎo)電流體在不穩(wěn)態(tài)階段流動(dòng)的持續(xù)時(shí)間較短，更快速進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。無(wú)論是導(dǎo)電流體還是非導(dǎo)電流體流動(dòng)，當(dāng)時(shí)間t達(dá)到O(1)時(shí)，雙層流體開(kāi)始進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，流量基本不再隨著時(shí)間發(fā)生變化。另外，導(dǎo)電流體流量比非導(dǎo)電流體流量高出好幾倍。

與圖4相比，圖5中導(dǎo)電流體流量顯著提高，非導(dǎo)電流體流量變化不顯著，導(dǎo)電流體整體獲得速度的時(shí)間也更早。其解釋如下，電動(dòng)寬度的變化對(duì)導(dǎo)電流體流動(dòng)影響更大，導(dǎo)電流體流動(dòng)速度峰值明顯得到提升，且其速度剖面也有明顯變化；而非導(dǎo)電流體流動(dòng)速度剖面變化不顯著，最終導(dǎo)致其流量變化也不顯著。

3 結(jié)語(yǔ)

考慮平板微管道內(nèi)瞬態(tài)雙層流動(dòng)，下層為導(dǎo)電流體，上層為非導(dǎo)電流體，導(dǎo)電流體在電滲力作用下向前流動(dòng)，帶動(dòng)非導(dǎo)電流體獲得速度，從而形成雙層電滲流動(dòng)，且隨著時(shí)間的推進(jìn)逐漸達(dá)到穩(wěn)態(tài)。利用拉普拉斯變換法求解了雙層瞬態(tài)電滲流柯西動(dòng)量方程，獲得了雙層速度分布和雙層流量。展示了不同時(shí)刻的瞬態(tài)雙層速度分布，發(fā)現(xiàn)雙層速度分布呈現(xiàn)拋物型剖面，其速度最大值發(fā)生在導(dǎo)電流體區(qū)域內(nèi)，偏向管道壁面。討論了不同的電動(dòng)寬度下的雙層速度分布和流量，發(fā)現(xiàn)電動(dòng)寬度對(duì)導(dǎo)電流體流動(dòng)速度和流量的影響更大。另外，當(dāng)時(shí)間達(dá)到O(1)時(shí)，瞬態(tài)雙層流動(dòng)基本達(dá)到穩(wěn)態(tài)。上述結(jié)果可以為微流控芯片內(nèi)雙層驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供理論依據(jù)。