尹曠，王紅斌，鐘連宏，張鐵，葉建斌，喇元

(1.廣東電網(wǎng)有限責(zé)任公司廣州供電局電力試驗(yàn)研究院，南方電網(wǎng)中低壓電氣設(shè)備質(zhì)量檢驗(yàn)測(cè)試重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東廣州 510410；2.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣東廣州510641)

0 前言

在自動(dòng)化生產(chǎn)線上，要求機(jī)器人末端執(zhí)行器能夠快速定位。工業(yè)機(jī)器人中柔性部件(例如諧波減速器)廣泛存在，雖然能提高傳動(dòng)效率，提供更大的傳動(dòng)比，減少剛性沖擊與噪聲，但會(huì)引起關(guān)節(jié)的柔性變形，影響軌跡跟蹤精度。同時(shí)，末端執(zhí)行器殘余振動(dòng)現(xiàn)象的出現(xiàn)會(huì)使得機(jī)器人定位精度和速度下降，從而對(duì)機(jī)器人的可靠性和穩(wěn)定度產(chǎn)生一定影響。

目前，對(duì)于機(jī)器人關(guān)節(jié)柔性的控制，一般可分為開(kāi)環(huán)控制策略與閉環(huán)控制策略。閉環(huán)控制策略有基于奇異攝動(dòng)模型的積分流形方法、PID控制、反饋線性化、自適應(yīng)控制等。與開(kāi)環(huán)控制策略相比，閉環(huán)控制策略對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的時(shí)變特性及外界干擾表現(xiàn)出了更強(qiáng)的魯棒性，但是在實(shí)際工業(yè)應(yīng)用中，采用閉環(huán)控制策略往往要求引入更多的傳感器進(jìn)行測(cè)量，使得整個(gè)控制系統(tǒng)變得更為復(fù)雜和昂貴。因此，結(jié)合工業(yè)機(jī)器人本體反饋控制器的開(kāi)環(huán)控制策略在實(shí)際應(yīng)用中更加常見(jiàn)。其中，一種應(yīng)用廣泛的開(kāi)環(huán)控制策略為基于動(dòng)力學(xué)模型的前饋力矩補(bǔ)償方法。TOMEI在傳統(tǒng)的PD控制器基礎(chǔ)上增加了基于期望參考位置的固定重力補(bǔ)償項(xiàng)。ZOLLO等通過(guò)引入“重力修正”電機(jī)位置變量，提出了添加在線重力補(bǔ)償項(xiàng)的PD控制策略。上述前饋力矩的引入，可以大幅減小PD控制器的位置增益，防止出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，避免驅(qū)動(dòng)器飽和，而前饋力矩項(xiàng)的計(jì)算需要獲取系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，但精確的動(dòng)力學(xué)模型通常難以得到。

另一種常見(jiàn)的前饋控制方法是輸入整形算法。在能準(zhǔn)確獲取柔性系統(tǒng)參數(shù)的情況下，輸入整形器可以完全消除因關(guān)節(jié)柔性引起的殘余振動(dòng)現(xiàn)象。但是，工業(yè)機(jī)器人所表現(xiàn)出的柔性系統(tǒng)的非線性、時(shí)變性與強(qiáng)耦合性，使得確定機(jī)器人柔性系統(tǒng)參數(shù)有一定困難。依靠不變的柔性系統(tǒng)參數(shù)所設(shè)計(jì)出的傳統(tǒng)輸入整形器已經(jīng)無(wú)法有效抑制機(jī)器人在執(zhí)行不同工作任務(wù)時(shí)出現(xiàn)的殘余振動(dòng)現(xiàn)象。為減小確定柔性系統(tǒng)參數(shù)時(shí)的不確定性，常見(jiàn)的做法是提高輸入整形器的魯棒性，以在一定程度上降低系統(tǒng)參數(shù)不確定性對(duì)抑振效果的影響。然而，脈沖個(gè)數(shù)的增加會(huì)延長(zhǎng)系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)滯時(shí)間，為解決延時(shí)問(wèn)題引入的負(fù)脈沖又會(huì)激發(fā)未建模模態(tài)的振動(dòng)，且對(duì)于多桿機(jī)構(gòu)，系統(tǒng)參數(shù)隨構(gòu)型變化較大，單純提高輸入整形器的魯棒性也未能取得理想的抑振效果。對(duì)此，研究人員提出了自適應(yīng)輸入整形器，它可以隨系統(tǒng)參數(shù)變化。根據(jù)是否需要對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，自適應(yīng)輸入整形器可分為直接自適應(yīng)輸入整形器和間接自適應(yīng)輸入整形器。直接自適應(yīng)輸入整形器利用機(jī)器人末端執(zhí)行器附加的外設(shè)(例如加速度傳感器、壓電片)測(cè)得的殘余振動(dòng)信號(hào)直接對(duì)輸入整形器參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)，跳過(guò)系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)這一環(huán)節(jié)。RHIM、COLE等分別基于最優(yōu)任意時(shí)滯濾波器(OATF)和有限脈沖響應(yīng)濾波器(FIR)提出了直接自適應(yīng)策略，降低了環(huán)境噪聲對(duì)輸入整形器參數(shù)調(diào)節(jié)的影響。間接自適應(yīng)輸入整形器則需要先對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，然后根據(jù)辨識(shí)結(jié)果得到輸入整形器。設(shè)計(jì)間接自適應(yīng)輸入整形器的關(guān)鍵在于實(shí)現(xiàn)對(duì)柔性系統(tǒng)參數(shù)的準(zhǔn)確辨識(shí)，辨識(shí)方法可分為頻域辨識(shí)和時(shí)域辨識(shí)兩大類。TZES、KHORRAMI等在頻域上利用時(shí)變傳遞函數(shù)估計(jì)法(TTFE)和經(jīng)驗(yàn)傳遞函數(shù)估計(jì)法(ETFE)對(duì)系統(tǒng)固有頻率進(jìn)行辨識(shí)，在線調(diào)整輸入整形器參數(shù)。該方法需要對(duì)大量的采樣樣本進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT)，計(jì)算量龐大，收斂速度較慢，因此催生了更為快速便捷的時(shí)域辨識(shí)方法。PEREIRA、TRAPERO等利用代數(shù)非漸進(jìn)辨識(shí)法對(duì)單連桿柔性機(jī)械臂進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)，避免了初始條件不確定性問(wèn)題。PARK和CHANG針對(duì)某些工業(yè)機(jī)器人重復(fù)性作業(yè)任務(wù)這一應(yīng)用背景提出一種簡(jiǎn)便的迭代學(xué)習(xí)策略，利用機(jī)器人末端附加外設(shè)采集到的殘余振動(dòng)信號(hào)對(duì)輸入整形器參數(shù)進(jìn)行迭代更新，最終抑制了殘余振動(dòng)。

本文作者在機(jī)器人關(guān)節(jié)位置PD反饋控制律的基礎(chǔ)上，提出一種前饋力/位混合控制策略。該控制策略基于柔體動(dòng)力學(xué)模型的前饋力矩控制算法和后置多模態(tài)自適應(yīng)輸入整形算法?？紤]到多自由度機(jī)器人系統(tǒng)參數(shù)的時(shí)變特性，采用后置多模態(tài)自適應(yīng)輸入整形器對(duì)參考軌跡進(jìn)行整形，以抑制末端執(zhí)行器的殘余振動(dòng)。結(jié)合傳統(tǒng)工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)僅有電機(jī)配置編碼器的特點(diǎn)，建立六自由度工業(yè)機(jī)器人柔體動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型，并將它改寫為成僅包含電機(jī)轉(zhuǎn)角變量的動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)方程。采用加權(quán)最小二乘法對(duì)它進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，該辨識(shí)方法不需要附加關(guān)節(jié)編碼器與其他測(cè)量設(shè)備。將動(dòng)力學(xué)模型改寫為力矩計(jì)算方程，根據(jù)自適應(yīng)整形后的軌跡計(jì)算得到前饋力矩并加入關(guān)節(jié)位置PD控制律中進(jìn)行柔性補(bǔ)償，提高軌跡跟蹤精度。

1 柔體動(dòng)力學(xué)建模與辨識(shí)

文中的研究對(duì)象為基于具有6個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的六自由度工業(yè)機(jī)器人，如圖1所示。

圖1 六自由度工業(yè)機(jī)器人

引起機(jī)器人末端殘余振動(dòng)的主要因素是關(guān)節(jié)柔性，故必須在動(dòng)力學(xué)建模時(shí)考慮關(guān)節(jié)的柔性。本文作者采用SPONG提出的柔性關(guān)節(jié)模型，如圖2所示。該模型將柔性關(guān)節(jié)等價(jià)為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，關(guān)節(jié)柔性通過(guò)線性彈簧來(lái)描述，其彈性系數(shù)即為關(guān)節(jié)剛度。與剛體動(dòng)力學(xué)僅在連桿上建立坐標(biāo)系不同，基于SPONG柔性關(guān)節(jié)模型建立相應(yīng)的柔體動(dòng)力學(xué)方程前需要在每個(gè)連桿與電機(jī)上都建立坐標(biāo)系。因此，每個(gè)關(guān)節(jié)都包含電機(jī)轉(zhuǎn)角與連桿轉(zhuǎn)角2個(gè)關(guān)節(jié)變量。

圖2 SPONG柔性關(guān)節(jié)模型[18]

利用拉格朗日能量法建立標(biāo)準(zhǔn)的柔體動(dòng)力學(xué)模型：

(1)

在配置關(guān)節(jié)編碼器或采用激光跟蹤儀等外部精密測(cè)量?jī)x器的情況下，可以同時(shí)測(cè)得電機(jī)轉(zhuǎn)角和連桿轉(zhuǎn)角兩個(gè)變量，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的準(zhǔn)確辨識(shí)。但是，在工業(yè)機(jī)器人上配置關(guān)節(jié)編碼器或使用激光跟蹤儀等外部精密測(cè)量?jī)x器會(huì)大幅增加生產(chǎn)成本。對(duì)此，結(jié)合工業(yè)機(jī)器人僅配置電機(jī)編碼器的特點(diǎn)，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，并將它改寫為僅包含電機(jī)轉(zhuǎn)角變量的動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)方程，然后采用加權(quán)最小二乘法對(duì)它進(jìn)行辨識(shí)。

利用PHAM等對(duì)柔體動(dòng)力學(xué)模型的簡(jiǎn)化方法，在進(jìn)行動(dòng)力學(xué)辨識(shí)時(shí)，每次使用激勵(lì)軌跡驅(qū)動(dòng)一個(gè)軸運(yùn)動(dòng)，同時(shí)鎖住其他軸不動(dòng)。將六軸工業(yè)機(jī)器人標(biāo)準(zhǔn)柔體動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化為

l，2l，2=0

(2)

(3)

式中：

====0

(4)

=sin()

(5)

=cos()

(6)

=sin(+)

(7)

=cos(+)

(8)

=sin()cos(+)

(9)

=cos()cos(+)

(10)

=cos()sin(+)-

cos()sin()cos(+)

(11)

=sin()sin(+)+

cos()cos()cos(+)

(12)

式中：表示連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m表示電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;表示關(guān)節(jié)的剛度;表示連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)角度;r表示電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度;vj表示連桿的黏性摩擦力因數(shù);vm表示電機(jī)的黏性摩擦力因數(shù)；sm表示電機(jī)的庫(kù)侖摩擦力因數(shù)；l，1和l，2為連桿的重力項(xiàng)系數(shù)；表示關(guān)節(jié)的減速比。

與標(biāo)準(zhǔn)柔體動(dòng)力學(xué)方程相比，在省略了科氏力和向心力項(xiàng)、慣性力的耦合項(xiàng)、連桿的庫(kù)侖摩擦力項(xiàng)以及第六軸的重力項(xiàng)后，動(dòng)力學(xué)模型的復(fù)雜程度和計(jì)算量大幅下降，為消除連桿轉(zhuǎn)角這一動(dòng)力學(xué)辨識(shí)過(guò)程中的不可測(cè)變量奠定了基礎(chǔ)。與文獻(xiàn)[6-7]僅對(duì)柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的重力項(xiàng)和關(guān)節(jié)剛度建模相比，文中所建立的簡(jiǎn)化模型還考慮了連桿與電機(jī)的慣性力與摩擦力，但忽略的科氏力與向心力等動(dòng)力學(xué)項(xiàng)可以以下一小節(jié)中提出的通過(guò)各個(gè)關(guān)節(jié)位置控制的PD反饋控制律補(bǔ)償。

對(duì)式(3)進(jìn)行變換，可以將不可測(cè)變量(連桿轉(zhuǎn)角)用包含可測(cè)變量(電機(jī)轉(zhuǎn)角r)的表達(dá)式表示：

(13)

對(duì)式(13)求導(dǎo)可得：

(14)

(15)

將式(13)—(15)代入式(2)，得到線性辨識(shí)方程為

=

(16)

式中：

(17)

=[,,,,,,,,]

(18)

(19)

其中：為第個(gè)關(guān)節(jié)辨識(shí)方程的觀測(cè)矩陣;為第個(gè)關(guān)節(jié)待辨識(shí)動(dòng)力學(xué)參數(shù)組成的向量。由簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型所推導(dǎo)出的辨識(shí)方程可知，第二、三、四、五軸每個(gè)關(guān)節(jié)有9個(gè)待辨識(shí)的基礎(chǔ)動(dòng)力學(xué)參數(shù)(,,…,)，第一、六軸因沒(méi)有重力項(xiàng)，每個(gè)關(guān)節(jié)有7個(gè)待辨識(shí)的基礎(chǔ)動(dòng)力學(xué)參數(shù)(,,…,)，共計(jì)50個(gè)基礎(chǔ)動(dòng)力學(xué)參數(shù)。

動(dòng)力學(xué)參數(shù)的辨識(shí)一般是在離線條件下進(jìn)行，采用事先規(guī)劃好的激勵(lì)軌跡驅(qū)動(dòng)機(jī)器人，根據(jù)機(jī)器人本體配置的傳感器采回的軌跡點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的力矩值，利用最小二乘法可以對(duì)待辨識(shí)動(dòng)力學(xué)參數(shù)向量進(jìn)行估計(jì)?？紤]模型誤差及采樣時(shí)存在的噪聲問(wèn)題會(huì)影響辨識(shí)結(jié)果的精度，引入誤差向量，設(shè)采集到的軌跡點(diǎn)樣本為個(gè)，將式(16)改寫為

=+

(20)

式中:為×1的第關(guān)節(jié)的電機(jī)實(shí)測(cè)力矩向量；為×的觀測(cè)矩陣，為關(guān)節(jié)待辨識(shí)基礎(chǔ)動(dòng)力學(xué)參數(shù)的個(gè)數(shù)；為×1的誤差向量。激勵(lì)軌跡采用有限傅里葉級(jí)能有效提高參數(shù)辨識(shí)的收斂速度和抗噪能力。采集到的軌跡點(diǎn)和力矩需利用巴特沃茲濾波器和中心差分法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，辨識(shí)算法采用加權(quán)最小二乘法以提高辨識(shí)精度。

2 基于柔體動(dòng)力學(xué)模型的前饋力矩補(bǔ)償控制算法

第1節(jié)建立了六自由度工業(yè)機(jī)器人柔體動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型，并給出了柔體動(dòng)力學(xué)參數(shù)的辨識(shí)方法。結(jié)合已規(guī)劃好的期望運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)已完成辨識(shí)的柔體動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型可以得到驅(qū)動(dòng)各個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)行期望軌跡所需的關(guān)節(jié)計(jì)算力矩。將關(guān)節(jié)計(jì)算力矩作為前饋補(bǔ)償控制項(xiàng)，與反饋力矩結(jié)合，共同作用于伺服電機(jī)底層的電流環(huán)，即將機(jī)器人控制系統(tǒng)分為基于動(dòng)力學(xué)模型的前饋控制部分和基于伺服誤差的反饋控制部分，控制框圖如圖3所示。

圖3 附加前饋補(bǔ)償控制項(xiàng)的控制框圖

附加前饋補(bǔ)償控制項(xiàng)的優(yōu)點(diǎn)在于，在期望軌跡已知的情況下，可以預(yù)先通過(guò)動(dòng)力學(xué)模型離線計(jì)算出機(jī)器人動(dòng)力學(xué)特性中已建模部分的驅(qū)動(dòng)力矩，而基于伺服誤差的反饋控制部分則僅需提供用于補(bǔ)償系統(tǒng)外部未知擾動(dòng)或未建模部分等非確定因素引起的力矩。與傳統(tǒng)的獨(dú)立關(guān)節(jié)PD控制系統(tǒng)相比，附加前饋補(bǔ)償控制項(xiàng)可以減少PD反饋控制增益，避免過(guò)高反饋增益帶來(lái)的驅(qū)動(dòng)器飽和問(wèn)題，減少機(jī)器人軌跡跟蹤誤差。而文中所采用的基于柔體動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型的前饋力矩補(bǔ)償控制方法，與文獻(xiàn)[6-7]中的重力項(xiàng)補(bǔ)償方法相比，前饋計(jì)算力矩不僅包括運(yùn)行期望軌跡所需的重力項(xiàng)，還包括慣性力項(xiàng)、連桿與電機(jī)的摩擦力項(xiàng)，可以進(jìn)一步減少PD反饋增益，提高機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)性能。第1節(jié)中建模時(shí)所忽略的科氏力等動(dòng)力學(xué)項(xiàng)，可由基于伺服誤差的反饋控制環(huán)節(jié)進(jìn)行補(bǔ)償。

一般來(lái)說(shuō)，規(guī)劃好的期望軌跡僅為關(guān)于連桿轉(zhuǎn)角的函數(shù)，故需對(duì)第1節(jié)所建立的柔體動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型進(jìn)行修改，消去中間變量電機(jī)轉(zhuǎn)角。在不考慮重力項(xiàng)的情況下，式(2)可以寫為如下形式：

(21)

對(duì)式(21)求導(dǎo)可得：

(22)

(23)

將式(21)—(23)代入式(3)，再考慮重力項(xiàng)的影響，可得基于柔體動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型的前饋力矩計(jì)算公式：

(24)

式(24)僅與待辨識(shí)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)和規(guī)劃好的期望軌跡及其導(dǎo)數(shù)有關(guān)。機(jī)器人關(guān)節(jié)位置控制律最終可以表示為

(25)

另外，與傳統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)控制方法不同(直接發(fā)送給電機(jī)規(guī)劃好的連桿轉(zhuǎn)角期望軌跡)，在得到規(guī)劃好的連桿轉(zhuǎn)角期望軌跡后，利用式(21)—(23)重新計(jì)算考慮了關(guān)節(jié)柔性變形的電機(jī)轉(zhuǎn)角期望軌跡，再將它發(fā)送給各個(gè)關(guān)節(jié)的伺服電機(jī)，從而降低機(jī)器人的軌跡跟蹤誤差。而關(guān)節(jié)柔性引起的殘余振動(dòng)，則在下一節(jié)中通過(guò)對(duì)規(guī)劃好的連桿轉(zhuǎn)角期望軌跡進(jìn)行輸入整形來(lái)解決。

3 后置多模態(tài)直接自適應(yīng)輸入整形

機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)帶來(lái)的最明顯問(wèn)題是機(jī)器人末端執(zhí)行器在運(yùn)動(dòng)停止后的殘余振動(dòng)?？紤]工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)的時(shí)變性與非線性特征，采用后置多模態(tài)直接自適應(yīng)輸入整形前饋位置控制算法抑制殘余振動(dòng)，其控制結(jié)構(gòu)框圖如圖4所示。該算法跳過(guò)了系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)環(huán)節(jié)，直接利用機(jī)器人末端采集到的殘余振動(dòng)信號(hào)計(jì)算輸入整形器的參數(shù)值。輸入整形器參數(shù)的調(diào)整一般包含3個(gè)部分：脈沖個(gè)數(shù)、脈沖幅值、脈沖發(fā)生時(shí)間，每個(gè)部分的調(diào)整都是一個(gè)復(fù)雜的非線性問(wèn)題。對(duì)此，RHIM等選用了最優(yōu)任意時(shí)滯濾波器，其最大優(yōu)點(diǎn)是僅需要調(diào)整脈沖幅值，而脈沖個(gè)數(shù)和脈沖發(fā)生時(shí)間均可預(yù)先確定。為引入線性算法對(duì)輸入整形器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化處理，RHIM等基于線性假定置換了參數(shù)調(diào)整環(huán)節(jié)和系統(tǒng)的位置，采用后置輸入整形器對(duì)系統(tǒng)實(shí)際輸出()進(jìn)行整形，得到整形輸出()。整形輸出()與期望輸出()之間存在一預(yù)測(cè)誤差()，在將參數(shù)調(diào)整環(huán)節(jié)后置處理后可以引入遞歸最小二乘法使預(yù)測(cè)誤差()最小化，同時(shí)解出后置輸入整形器的最優(yōu)參數(shù)解，最后將后置輸入整形器的最優(yōu)參數(shù)解傳遞給前置輸入整形器，最終抑制殘余振動(dòng)。

圖4 后置直接自適應(yīng)輸入整形控制結(jié)構(gòu)框圖

對(duì)于整形輸出()，在任一時(shí)刻有：

()=()()

(26)

式中:()=[(),(),…,()]，表示后置參數(shù)調(diào)整環(huán)節(jié)中最優(yōu)任意時(shí)滯濾波器在離散時(shí)刻時(shí)的脈沖幅值，而最優(yōu)任意時(shí)滯濾波器的脈沖個(gè)數(shù)與系統(tǒng)的振動(dòng)模態(tài)階數(shù)有關(guān)。由文獻(xiàn)[13]可知，當(dāng)脈沖個(gè)數(shù)≥2+1時(shí)，才能完全消除柔性系統(tǒng)的個(gè)振動(dòng)模態(tài)()=[(),(-)…[-(-1)]]，表示計(jì)算整形輸出()所需要的系統(tǒng)實(shí)際輸出()的采樣點(diǎn)。

對(duì)于期望輸出()，在任一時(shí)刻有：

()=()()()

(27)

式中：()表示前置輸入整形器傳遞函數(shù)；()表示柔性系統(tǒng)傳遞函數(shù);()表示參考輸出。在無(wú)法準(zhǔn)確獲知柔性系統(tǒng)傳遞函數(shù)的情況下不能完全確定理論輸出()。但是由最優(yōu)任意時(shí)滯濾波器的特性可知，期望輸出()在運(yùn)動(dòng)停止(-1)時(shí)間后必須為0。利用期望輸出()的這一部分信息，便可對(duì)預(yù)測(cè)誤差()進(jìn)行最小化。文中采用遞歸最小二乘法進(jìn)行求解，為保證整形前后系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)值不變，需對(duì)標(biāo)準(zhǔn)遞歸最小二乘法進(jìn)行修改，添加歸一化條件，即：

()=1

(28)

式中:=[1,1，…,1]，添加歸一化條件約束后可得到后置輸入整形器在離散時(shí)刻時(shí)的脈沖幅值向量()表達(dá)式為

(29)

迭代初始值為

(30)

給定一個(gè)時(shí)滯時(shí)間，從初始值出發(fā)開(kāi)始迭代，選取迭代的收斂值為后置輸入整形器的最優(yōu)參數(shù)解，再將它傳輸給前置輸入整形器。在求解輸入整形器的最優(yōu)參數(shù)解時(shí)所用的系統(tǒng)實(shí)際輸出()可以為任何能反映系統(tǒng)振動(dòng)的信號(hào)，機(jī)器人末端的殘余振動(dòng)加速度通過(guò)加速度傳感器采集。文中所提出的力/位前饋混合控制策略控制框圖如圖5所示。

圖5 力/位混合前饋控制框圖

由軌跡發(fā)生器產(chǎn)生連桿轉(zhuǎn)角期望軌跡，利用式(21)計(jì)算出電機(jī)轉(zhuǎn)角期望軌跡，驅(qū)動(dòng)機(jī)器人進(jìn)行預(yù)實(shí)驗(yàn)。采集機(jī)器人末端的殘余振動(dòng)信號(hào)后利用后置多模態(tài)自適應(yīng)輸入整形器進(jìn)行求解，得到前置輸入整形器的最優(yōu)參數(shù)解。對(duì)連桿轉(zhuǎn)角期望軌跡進(jìn)行整形，得到連桿轉(zhuǎn)角期望整形軌跡。根據(jù)式(24)計(jì)算出各個(gè)關(guān)節(jié)的前饋力矩值，與電機(jī)轉(zhuǎn)角期望整形軌跡一起發(fā)送至伺服電機(jī)，對(duì)目標(biāo)機(jī)器人實(shí)現(xiàn)力/位混合前饋控制。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及結(jié)果分析

基于廣州某公司RB03A1型六自由度工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖6所示，機(jī)器人最大負(fù)載30 N，機(jī)器人末端殘余振動(dòng)信號(hào)的檢測(cè)采用Type 8395A三向加速度傳感器。

圖6 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

4.1 柔體動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)辨識(shí)實(shí)驗(yàn)

進(jìn)行柔體動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)時(shí)，每次只給一個(gè)關(guān)節(jié)發(fā)送激勵(lì)軌跡，其余關(guān)節(jié)鎖定在原位，逐一對(duì)每個(gè)關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。在采用激勵(lì)軌跡進(jìn)行動(dòng)力學(xué)辨識(shí)實(shí)驗(yàn)獲得動(dòng)力學(xué)模型后，須設(shè)計(jì)一條驗(yàn)證軌跡以驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確性。將驗(yàn)證軌跡代入辨識(shí)得到的動(dòng)力學(xué)模型，計(jì)算得到對(duì)應(yīng)于驗(yàn)證軌跡的預(yù)測(cè)力矩，再用驗(yàn)證軌跡驅(qū)動(dòng)機(jī)器人得到對(duì)應(yīng)的實(shí)際力矩，通過(guò)觀察預(yù)測(cè)力矩與實(shí)際力矩曲線的重合度判斷動(dòng)力學(xué)模型是否準(zhǔn)確。激勵(lì)軌跡和驗(yàn)證軌跡的計(jì)算公式均采用有限傅里葉級(jí)數(shù)，軌跡如圖7所示。動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)實(shí)驗(yàn)得到的關(guān)節(jié)電機(jī)編碼器值和力矩值需采用巴特沃茲濾波器進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，采用中心差分法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行求導(dǎo),辨識(shí)算法采用加權(quán)最小二乘法，以提高辨識(shí)精度。

圖7 激勵(lì)軌跡與驗(yàn)證軌跡

各個(gè)關(guān)節(jié)柔體動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果如表1所示。根據(jù)動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算出的各個(gè)關(guān)節(jié)的預(yù)測(cè)力矩和實(shí)際力矩及兩者誤差如圖8所示?？芍侯A(yù)測(cè)力矩與實(shí)際力矩基本重合。根據(jù)圖8計(jì)算各關(guān)節(jié)力矩曲線最大相對(duì)誤差如表2所示，可知最大相對(duì)誤差為第一軸的25%，其余各軸均在20%以內(nèi)，說(shuō)明該柔體動(dòng)力學(xué)模型能準(zhǔn)確反映機(jī)器人本體的動(dòng)力學(xué)特性。

表1 柔體動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

圖8 柔體動(dòng)力學(xué)模型驗(yàn)證效果

表2 力矩曲線最大相對(duì)誤差

4.2 前饋力位混合控制算法效果驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

文中從關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差和機(jī)器人末端執(zhí)行器殘余振動(dòng)抑制效果兩方面檢驗(yàn)所提出的前饋力/位混合控制算法實(shí)際應(yīng)用效果?？紤]RB03A1工業(yè)機(jī)器人的特點(diǎn)，基于柔體動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型的前饋力矩補(bǔ)償算法僅用于配置諧波減速器的第4、6關(guān)節(jié)，而后置多模態(tài)直接自適應(yīng)輸入整形算法則用于所有關(guān)節(jié),以保證各個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)行軌跡時(shí)間長(zhǎng)度相等。驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)采用的連桿轉(zhuǎn)角期望軌跡為笛卡爾空間中的一條時(shí)間最優(yōu)直線軌跡，因是在關(guān)節(jié)空間進(jìn)行輸入整形，故需將它用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)理論將笛卡爾空間直線轉(zhuǎn)換至各個(gè)軸的關(guān)節(jié)空間進(jìn)行描述，如圖9所示。

圖9 關(guān)節(jié)空間中各個(gè)關(guān)節(jié)的期望軌跡

在所提出的力/位混合前饋控制策略中，后置多模態(tài)直接自適應(yīng)輸入整形器預(yù)先確定的參數(shù)分別為=5、=15 ms，根據(jù)預(yù)先規(guī)劃好的時(shí)間最優(yōu)連桿轉(zhuǎn)角期望軌跡，利用式(21)計(jì)算出的電機(jī)轉(zhuǎn)角期望軌跡驅(qū)動(dòng)機(jī)器人進(jìn)行預(yù)實(shí)驗(yàn)。采集末端執(zhí)行器的殘余振動(dòng)信號(hào)，選取主振方向的殘余振動(dòng)加速度進(jìn)行迭代計(jì)算，整形器參數(shù)計(jì)算過(guò)程如圖10所示。取最后收斂值為最優(yōu)解，則整形器最后的參數(shù)如式(31)所示。

圖10 輸入整形器脈沖幅值計(jì)算過(guò)程

(31)

選用ZV輸入整形器進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。通過(guò)后置自適應(yīng)輸入整形器獲得整形期望軌跡后，代入公式(24)求解出關(guān)節(jié)4、6的前饋力矩，將它們同電機(jī)轉(zhuǎn)角期望軌跡一同發(fā)送至各個(gè)關(guān)節(jié)。為便于描述實(shí)驗(yàn)結(jié)果，定義殘余振動(dòng)加速度信號(hào)的最大峰值點(diǎn)為殘余振動(dòng)最大振幅，殘余振動(dòng)抑制效果如圖11所示?？芍悍较?yàn)闅堄嗾駝?dòng)主振方向，力/位混合前饋控制能將、、3個(gè)方向的最大振幅減少至未整形前的10.8%、10.1%、14.5%，而ZV輸入整形器則能將、、3個(gè)方向的最大振幅分別減少至未整形前的26.6%、19.3%、45.1%。另外，考慮到環(huán)境噪聲及加速度傳感器的靈敏度問(wèn)題，認(rèn)為當(dāng)3個(gè)方向的殘余振動(dòng)加速度均衰減至1 m/s時(shí)，振動(dòng)已經(jīng)穩(wěn)定下來(lái)。以調(diào)整時(shí)間最長(zhǎng)方向所用時(shí)間作為該輸入整形器的調(diào)整時(shí)間，則實(shí)驗(yàn)所采用的各種輸入整形器調(diào)整時(shí)間如表3所示?？芍号c未整形的軌跡相比，ZV整形器和力/位混合前饋控制算法的穩(wěn)定時(shí)間分別減少至未整形前的28.7%、15.0%，表明這2種方法均能使殘余振動(dòng)快速衰減。

表3 輸入整形器調(diào)整時(shí)間

圖11 不同控制策略殘余振動(dòng)抑制效果

圖12所示為關(guān)節(jié)4、6的軌跡跟蹤誤差?？芍涸谖锤郊忧梆伭匮a(bǔ)償控制項(xiàng)時(shí)，關(guān)節(jié)4僅靠關(guān)節(jié)位置PD反饋控制的軌跡跟蹤誤差均方根為0.628 6 rad，而在附加前饋力矩補(bǔ)償項(xiàng)后，軌跡跟蹤誤差均方根為0.589 3 rad，減少了6.25%；軌跡跟蹤最大誤差絕對(duì)值在附加前饋力矩補(bǔ)償項(xiàng)前后分別為1.136 1、1.039 8 rad，減少了8.47%；而對(duì)于關(guān)節(jié)6，在附加前饋力矩補(bǔ)償項(xiàng)前后，軌跡跟蹤誤差均方根分別為0.440 6、0.423 5 rad，減少了3.87%，軌跡跟蹤最大誤差絕對(duì)值分別為0.693 6、0.661 5 rad，減少了4.63%。結(jié)果表明：所提出的前饋力/位混合策略能在關(guān)節(jié)位置PD反饋控制的基礎(chǔ)上，有效抑制殘余振動(dòng)現(xiàn)象，進(jìn)一步提高軌跡跟蹤精度。

圖12 關(guān)節(jié)4、6的軌跡跟蹤誤差

5 結(jié)論

針對(duì)控制工業(yè)機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)時(shí)存在的軌跡跟蹤誤差問(wèn)題和殘余振動(dòng)問(wèn)題，進(jìn)行了研究。

建立了柔體動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型，并針對(duì)工業(yè)機(jī)器人僅配置電機(jī)編碼器的特點(diǎn)，將它改寫成僅包含電機(jī)轉(zhuǎn)角變量的動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)方程，然后采用加權(quán)最小二乘法對(duì)其進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，激勵(lì)軌跡與驗(yàn)證軌跡均基于有限傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行構(gòu)建。結(jié)果表明：利用所辨識(shí)得到的動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算出的預(yù)測(cè)力矩與實(shí)際力矩最大相對(duì)誤差為25%，該模型所反映的機(jī)器人本體動(dòng)力學(xué)特性能滿足機(jī)器人動(dòng)力學(xué)控制的需求。

在工業(yè)機(jī)器人獨(dú)立關(guān)節(jié)PD位置反饋控制的基礎(chǔ)上，提出一種基于柔體動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型的前饋力矩補(bǔ)償控制算法和后置多模態(tài)直接自適應(yīng)輸入整形算法的前饋力/位混合前饋控制策略。結(jié)果表明：在減少軌跡跟蹤誤差方面，所提出的力/位混合前饋控制策略能將配置諧波減速器第4、6關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差均方根分別減少6.25%、3.87%，軌跡跟蹤最大誤差絕對(duì)值減少8.47%、4.63%；在抑制末端殘余振動(dòng)方面，力/位混合控制策略能將、、3個(gè)方向的最大振幅減少至未整形前的10.8%、10.1%、14.5%，明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的輸入整形器。所提出的前饋力/位混合控制策略，可以在僅有電機(jī)配置編碼器的情況下，有效提高軌跡跟蹤精度，抑制末端執(zhí)行器的殘余振動(dòng)現(xiàn)象。