趙恒，周鑫，張森堂

(中國航發(fā)沈陽黎明航空發(fā)動機有限責任公司，遼寧沈陽 110043)

0 前言

由于五軸加工比三軸加工多2個額外的旋轉(zhuǎn)自由度，因此具有更好的加工效率及加工可達性。同時，由于五軸加工在加工方式上的靈活性更強，更適用于加工處理表面形貌復(fù)雜的零部件。但是，自由度的增加也會帶來刀軸矢量控制以及光順方面的難題，且由于五軸加工的加工效率、工件表面質(zhì)量以及機床進給率等都與刀軸矢量光順程度息息相關(guān)，在進行刀軸規(guī)劃時，刀軸矢量的光順處理成為重要的課題。

為實現(xiàn)刀軸矢量光順，提高加工效率和加工質(zhì)量，研究者提出了3種優(yōu)化思路和角度，即分別在局部坐標系、工件坐標系、機床坐標系內(nèi)對刀軸矢量進行光順處理。LIN等基于刀具在局部坐標系中的傾角，建立可行的刀具傾角范圍，并在此范圍內(nèi)選取合適的刀軸矢量，以提升加工表面質(zhì)量。LEE分析加工曲面局部微分幾何特性，通過約束刀具在局部坐標系內(nèi)的轉(zhuǎn)角，控制加工表面誤差。FU等在幾何誤差補償過程中，采用粒子群優(yōu)化算法對局部坐標系內(nèi)刀具傾角進行優(yōu)化，從而有效控制加工表面紋理及幾何誤差。吳寶海等通過推導刀具有效切削輪廓，分析刀具在局部坐標系內(nèi)的傾角與走刀行距之間的關(guān)系，給出刀具姿態(tài)的計算方法。羅明等人通過限制刀具在局部坐標系內(nèi)傾角的變化，結(jié)合刀具無干涉發(fā)生的條件，給出在局部坐標系內(nèi)變化均勻的刀軸矢量。上述刀軸矢量優(yōu)化均在局部坐標系內(nèi)進行，且未考慮機床旋轉(zhuǎn)軸運動學特性的限制，同時，由于刀觸點局部坐標系到機床坐標系的運動學變換屬于非線性變換，刀軸矢量在工件坐標系及機床坐標系內(nèi)的光順性難以保證。

考慮到刀軸矢量由刀觸點局部坐標系到工件坐標系屬非線性變換，在工件坐標系內(nèi)對刀軸矢量進行光順處理成為刀軸矢量光順的另一種處理手段?；诠ぜ鴺讼档牡遁S矢量光順策略具體體現(xiàn)為，在保證幾何形貌誤差及加工效率等其他加工特性的同時，盡可能實現(xiàn)刀軸矢量的光順變化。JUN等將刀軸矢量可行域以C空間子集的形式予以表示，隨后在C空間內(nèi)以殘高及工件表面幾何特性等為約束，優(yōu)化生成工件坐標系內(nèi)光順變化的刀軸矢量。HO等綜合加工誤差檢測及優(yōu)化算法，利用四元數(shù)插值的方式，在工件坐標系生成無干涉且光順性較好的刀軸矢量。以上方法的實現(xiàn)均基于刀軸矢量表達于工件坐標系內(nèi)這一前提，因此光順對象是刀軸矢量在工件坐標系內(nèi)的分量(、、)。由機床的逆向運動學可知，工件坐標系到機床坐標系的變換仍屬于非線性變換，因此，刀軸矢量分量的光順程度并不能保證機床旋轉(zhuǎn)軸角度的光順變化。在仿真和實際加工中，未對機床旋轉(zhuǎn)軸進行動力學方面約束的刀軸矢量光順方法，仍有可能出現(xiàn)機床在局部發(fā)生運動學性能超限，不利于實際加工。

近些年來，對刀軸矢量光順性的研究方向已轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯釉跈C床坐標系內(nèi)對刀軸矢量進行光順處理。XU等通過推導由刀觸點局部坐標系到機床坐標系的逆向運動學變化過程，提出各種結(jié)構(gòu)的五軸機床的機床旋轉(zhuǎn)軸角度變化光順性指標，并采用三次樣條插值的形式，對刀軸矢量進行光順處理。PLAKHOTNIK和LAUWERS將機床旋轉(zhuǎn)軸角度變換作為優(yōu)化對象，采用Dijkstra算法，尋求加工路徑上刀軸矢量變化的最短路徑，從而達到刀軸矢量的光順變化。以上方法均直接在機床坐標系內(nèi)對機床旋轉(zhuǎn)軸角度進行規(guī)劃處理，獲得機床坐標系意義下的光順刀軸矢量。XU等以機床坐標系下刀軸矢量光順為目標，并通過輪換迭代的方式對干涉進行消除，實現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)軸角加速度的優(yōu)化。WANG等通過微調(diào)局部刀具姿態(tài)，在遵循干涉碰撞約束及機床運動學性能約束的前提下，兼顧了加工過程中的切削性能。

因此，優(yōu)化五軸機床刀軸矢量的平順性，應(yīng)綜合考慮旋轉(zhuǎn)軸在機床坐標系內(nèi)的動力學表現(xiàn)，并對它加以約束。四元數(shù)插值法基于工件坐標系，是一種用于五軸刀軸矢量規(guī)劃的經(jīng)典的有效方法，經(jīng)過矢量插值后的刀位文件在工件坐標系下通常具有很好的平順性表現(xiàn)。利用四元數(shù)插值方法得到的刀位文件在機床坐標系下，通常也具有較好的整體表現(xiàn)。同時，經(jīng)典的四元數(shù)插值方法考慮了加工誤差的限制，很好地兼顧了加工精度、高效性及刀軸平順性。但如前所述，由于工件坐標系和機床坐標系之間的非線性變換，工件坐標系平順變化的刀軸矢量，在經(jīng)過逆向運動學變化之后，某些區(qū)域的動力學特性會超限，不利于加工過程及加工完成質(zhì)量。針對四元數(shù)插值方法在規(guī)劃過程中的旋轉(zhuǎn)軸角加速度局部過大導致機床負載超限的問題，本文作者提出一種基于四元數(shù)插值方法的角加速度超限區(qū)域檢測并修正的方法。如圖1所示，以雙轉(zhuǎn)臺五軸數(shù)控機床的刀軸矢量規(guī)劃為例。首先，固定易干涉區(qū)域內(nèi)的關(guān)鍵刀軸矢量，基于關(guān)鍵刀軸矢量，利用經(jīng)典的四元數(shù)插值方法，生成整個加工路徑上的初始刀軸矢量；然后，遍歷初始刀軸矢量，以初始刀軸矢量的角加速度是否超過允許值為條件，判斷超限區(qū)域；最后，對不滿足機床角加速度限制要求的超限區(qū)域，采取一種基于機床各旋轉(zhuǎn)軸角加速度分治優(yōu)化的五軸加工刀軸矢量插值方法，局部修正超限區(qū)域的刀軸矢量，得到機床坐標系下滿足機床旋轉(zhuǎn)軸動力學特性的刀軸矢量。

圖1 AC雙轉(zhuǎn)臺五軸機床

1 初始刀軸矢量的產(chǎn)生

以雙轉(zhuǎn)臺五軸機床為例，介紹四元數(shù)插值的算法流程。經(jīng)典四元數(shù)插值算法分為兩個模塊：四元數(shù)插值模塊、加工誤差檢測及優(yōu)化模塊。四元數(shù)插值光順算法的具體流程如圖2所示。

圖2 四元數(shù)插值光順算法流程

首先，利用加工幾何誤差限制及刀具半徑，對加工軌跡進行離散，在加工軌跡上生成符合加工誤差限制的刀觸點序列，完成刀觸點的規(guī)劃。然后，進行刀軸矢量的規(guī)劃，刀軸矢量的規(guī)劃過程包含四元數(shù)插值過程，以及加工誤差檢測過程。

1.1 四元數(shù)插值模塊

四元數(shù)插值模塊的流程：(1)由用戶人為地在曲率變化大、易產(chǎn)生干涉區(qū)域設(shè)置關(guān)鍵刀軸矢量，指定不發(fā)生干涉的關(guān)鍵刀軸矢量，并將所指定的關(guān)鍵刀軸矢量改寫為四元數(shù)形式；(2)利用矢量插值算法中的四元數(shù)插值算法，對關(guān)鍵刀軸矢量進行插值，綜合插值所得矢量與關(guān)鍵刀軸矢量，作為刀位文件，具體做法如下。

首先，將插值首尾的關(guān)鍵刀軸矢量利用四元數(shù)的形式、表示出來。四元數(shù)通常被用于表示三維空間中一對矢量之間的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系，擁有4個分量。

=[,]=[,,,]

(1)

在獲得首尾刀軸矢量的四元數(shù)形式之后，中間刀軸矢量的插值方式如下：

∈[2,-1]

(2)

式中:1,為首末端點刀軸矢量的夾角。若首尾關(guān)鍵刀軸矢量的角度變化過小，為避免除零錯誤，則采用線性插值。

在完成上述插值過程后，遍歷所得的刀軸矢量，檢查是否有干涉發(fā)生，若發(fā)生干涉，則在干涉區(qū)域內(nèi)選取干涉最嚴重的刀軸矢量位置，重新設(shè)置新的無干涉的關(guān)鍵刀軸矢量，并在重新獲得的關(guān)鍵刀軸矢量之間進行四元數(shù)插值，直至無干涉發(fā)生。

1.2 加工誤差檢測模塊

將四元數(shù)插值模塊中獲得的刀軸矢量輸入加工誤差檢測模塊，判斷所得刀軸矢量是否超出加工誤差限制。加工誤差的限制可用式(3)表示:

(3)

其中:為圓環(huán)銑刀的小圓半徑;為小圓圓心;為加工軌跡曲率中心;為兩刀觸點之間加工誤差最大位置處對應(yīng)的參數(shù)，∈[0,1]。具體推導過程參見文獻[8]。

若是所得刀位文件在某區(qū)域的加工誤差超出限制，則在該區(qū)域內(nèi)利用線性插值，插入一中間矢量，直至加工誤差落到限制范圍之內(nèi)。

2 超限區(qū)域的確定

在實際加工中發(fā)現(xiàn)，在利用四元數(shù)插值算法獲得工件坐標系內(nèi)光順的刀軸矢量后，機床運動學性能仍有可能在局部刀位發(fā)生超限，進而損害加工性能和加工精度。

因此，有必要對四元數(shù)初始規(guī)劃刀路進行局部修正，而完成修正過程的前提是對所得刀軸矢量進行超限區(qū)域的確定。確定不滿足機床旋轉(zhuǎn)軸運動學特性的超限區(qū)域的過程，實際上是尋找一系列的刀觸點索引，使得該索引上的刀軸矢量運動學性能超限。

將刀觸點軌跡離散化處理(如圖3所示)后，機床旋轉(zhuǎn)軸運動學特性的約束條件可以表述為

圖3 刀觸點離散

(4)

因此，超限區(qū)域的確定過程可轉(zhuǎn)換為如下優(yōu)化模型：

s.t.-≤≤

(5)

3 局部刀軸矢量優(yōu)化

在局部刀軸矢量優(yōu)化過程中，將超限區(qū)域內(nèi)的旋轉(zhuǎn)軸角加速度平方和當作機床旋轉(zhuǎn)軸特性的衡量指標。因此，優(yōu)化模型可以角加速度變化最小作為目標函數(shù)，具體如下：

(6)

結(jié)合上述目標函數(shù)極小值出現(xiàn)的必要條件?/?,=0，可得到如下的線性方程：

(7)

其中：為求導后的相應(yīng)系數(shù)。為求解上述線性方程組，需人工指定關(guān)鍵刀軸矢量。在局部刀軸矢量的優(yōu)化過程中，通常將超限區(qū)域邊界處的刀軸矢量設(shè)定為關(guān)鍵刀軸矢量。關(guān)鍵刀軸矢量指定完成后，便可對上述線性方程組進行求解，完成對超限區(qū)域刀軸矢量的局部優(yōu)化。

4 加工實例

利用所提刀軸矢量優(yōu)化算法對葉輪葉片進行刀軸矢量優(yōu)化處理，從而驗證算法的有效性。仿真實例中機床進給速度設(shè)置為3 000 mm/min， 機床旋轉(zhuǎn)軸的運動學限制設(shè)置為1 rad/s、10 rad/s。優(yōu)化前后刀軸矢量如圖4所示，利用文中所提超限區(qū)域識別算法，確定超限區(qū)域為序列點區(qū)間為[30，72]。由此也可驗證工件坐標系下的刀軸矢量光順性并不能保證機床旋轉(zhuǎn)軸角度的光順變化。為此，對所提取的超限區(qū)域，應(yīng)用文中所提的刀軸矢量局部優(yōu)化算法進行進一步的局部優(yōu)化處理，以改善局部刀軸矢量的光順性。

圖4 葉輪及優(yōu)化前后刀軸矢量

優(yōu)化前后刀軸矢量的角加速度如圖5所示?？芍簝?yōu)化后的刀軸矢量保留大部分初始刀軸矢量數(shù)據(jù)，意味著算法保留了初始規(guī)劃刀軸矢量較優(yōu)的切削特性，同時解決了機床旋轉(zhuǎn)軸角加速度在局部的突變，甚至解決了超出機床旋轉(zhuǎn)軸限制的問題，得到真正機床坐標系下光順的刀軸矢量。

圖5 優(yōu)化前后的機床旋轉(zhuǎn)軸角加速度

5 結(jié)語

(1)針對現(xiàn)有刀軸矢量光順算法僅考慮全局光順的不足，提出一種基于機床坐標系的刀軸矢量局部優(yōu)化算法。

(2)對利用四元數(shù)插值法得到的初始刀軸矢量進行預(yù)處理，將超限區(qū)域的判定過程轉(zhuǎn)化為對二次規(guī)劃問題的求解。

(3)對葉輪葉片的加工仿真實例表明，利用所提出的超限區(qū)域判定算法及局部刀軸矢量優(yōu)化算法能夠?qū)崿F(xiàn)對刀軸矢量局部調(diào)整的目標，提高機床運動學性能，從而實現(xiàn)更好的刀軸矢量光順性。