文／孫振陽

引 言

探索性活動(dòng)離不開數(shù)學(xué)工具的支持，數(shù)學(xué)工具在學(xué)生的探索實(shí)踐中起著十分重要的作用[1]。數(shù)學(xué)工具應(yīng)用的過程也是學(xué)生創(chuàng)造性地解決問題，真正經(jīng)歷和體驗(yàn)探索的過程[2]。數(shù)學(xué)工具的使用可以將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化、具體化、形象化。學(xué)生在使用數(shù)學(xué)工具的過程中，能獲得感性認(rèn)識(shí)和直觀經(jīng)驗(yàn)，理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，更好地發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

一、數(shù)學(xué)工具應(yīng)用的策略思考

（一）關(guān)注趣味性與實(shí)踐性

數(shù)學(xué)工具的使用可以激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生在實(shí)踐操作中，自主快樂地開展學(xué)習(xí)活動(dòng)。例如，在學(xué)習(xí)“認(rèn)識(shí)厘米”時(shí)，學(xué)生可將身邊一切可以利用的生活材料及自己的身體作為數(shù)學(xué)工具，如尺子、橡皮、鉛筆、手指等。這樣學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)就不止停留于教師抽象的講解，而是借助數(shù)學(xué)工具在比較、判斷、實(shí)踐中加深理解。這樣的學(xué)習(xí)更富有趣味，更能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，有助于學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的深入認(rèn)識(shí)。

（二）關(guān)注適切性與適度性

教學(xué)中所選擇的工具要符合小學(xué)生的年齡特征，符合學(xué)科特點(diǎn)，便于學(xué)生使用和操作，進(jìn)而為教師教學(xué)服務(wù)。例如，從兒童的認(rèn)知特點(diǎn)看，小學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中更關(guān)注“有趣、好玩、新奇”的事物，為此，在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)（上冊(cè)）“平移和旋轉(zhuǎn)”時(shí)，筆者在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)了平移后，組織學(xué)生開展“推箱子”游戲活動(dòng)，并讓其交流在操作中應(yīng)用了哪些剛學(xué)習(xí)過的知識(shí)。推箱子操作很好地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。接著，在“認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)”的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，筆者拿出一個(gè)小電風(fēng)扇，讓學(xué)生初步感受旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，然后讓學(xué)生觀察扇葉是怎樣運(yùn)動(dòng)的，嘗試用手勢(shì)比劃出來。小電風(fēng)扇這一工具的使用和推箱子游戲演示都給予了學(xué)生指導(dǎo)。教師要認(rèn)識(shí)到雖然工具的使用調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，但不能讓課堂變成吹電風(fēng)扇和玩游戲，而要注重適度與適切性，利用工具某一方面的特質(zhì)，讓它為課堂所用。

（三）關(guān)注工具性與思維提升

數(shù)學(xué)工具可以輔助教學(xué)，在學(xué)生認(rèn)識(shí)的重難點(diǎn)及關(guān)鍵點(diǎn)給學(xué)生以合適的幫助，讓學(xué)生更好地理解所學(xué)知識(shí)。但是在教學(xué)過程中，教師不能一味地依賴數(shù)學(xué)工具，形成依賴后會(huì)讓學(xué)生在遇到相同或類似問題時(shí)必須使用工具[3]。教師應(yīng)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)工具可以作為教學(xué)的輔助性手段，而不是教學(xué)的必要手段。學(xué)生在利用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行操作實(shí)踐后要思考交流，提煉問題的本質(zhì)，促進(jìn)思維的提升。例如，在蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)（上冊(cè)）“可能性”的教學(xué)中，筆者給學(xué)生提供了一個(gè)不透明的口袋，里面裝了除顏色外，其他完全相同的一個(gè)紅球和一個(gè)黃球，讓學(xué)生分成4 人小組，每個(gè)小組摸10 次，記錄摸球的數(shù)據(jù)。但摸球?qū)嶒?yàn)不是學(xué)習(xí)這一課的目的，而是通過摸球?qū)嶒?yàn)收集數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。在學(xué)生摸完球后，教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行提問：“都是摸10 次，為什么每個(gè)小組摸到紅球與黃球的次數(shù)并不完全相同？”“奇怪了，同樣是第一次摸，為什么有的是紅球，有的是黃球呢？”“咱們?cè)賮碛^察，第3 組和第8 組都是5 紅5 黃，每次摸球的顏色都相同嗎？”通過這些問題的交流，學(xué)生認(rèn)識(shí)到每個(gè)小組摸到紅球和黃球的次數(shù)和次序并不完全相同，但都摸到了紅球和黃球，摸之前不確定是哪種結(jié)果，但結(jié)果只有2 種，不是紅球，就是黃球。這樣的交流與碰撞可以讓學(xué)生的思考不僅僅停留在數(shù)據(jù)表面，而是對(duì)可能性、確定和不確定性有更深入的認(rèn)識(shí)。

二、數(shù)學(xué)工具在課堂教學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用

（一）合理使用實(shí)物工具，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，使用的實(shí)物工具有很多，如小棒、圖形紙片、計(jì)數(shù)器、七巧板、釘子板等。學(xué)生合理使用這些數(shù)學(xué)工具，可以在觀察與操作實(shí)踐中積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)?！凹埳系脕斫K覺淺，絕知此事要躬行”。學(xué)生通過使用實(shí)物工具進(jìn)行操作實(shí)驗(yàn)，通過參與操作活動(dòng)獲得感性的經(jīng)驗(yàn)，把操作經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，能夠?yàn)樗季S發(fā)展助力。

以蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)（下冊(cè)）“三角形的內(nèi)角和”為例，三角形的三個(gè)角并不靠在一起，學(xué)生無法直接感知三角形內(nèi)角和的大小。為此，教師可提供量角器和多張三角形紙片，讓學(xué)生動(dòng)手試一試。學(xué)生既可以使用量角器測(cè)量算出三角形內(nèi)角和，又可以用三角形紙片動(dòng)手撕一撕、拼一拼、折一折。學(xué)生在操作實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角合在一起能夠形成一個(gè)平角，從而發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和是180°。

又如，在蘇教版數(shù)學(xué)二年級(jí)（上冊(cè)）“認(rèn)識(shí)線段”的教學(xué)中，教師給學(xué)生展示一根毛線，同時(shí)問道：“誰能把它拉直？”在學(xué)生拉直之后，教師適時(shí)追問：“誰能來指一指，說說從哪兒到哪兒是直的?！痹趯W(xué)生指過之后，教師揭示線段的定義：“像這樣把線拉直，兩手之間的一段可以看作線段?！睂W(xué)生利用實(shí)物工具，通過觀察、動(dòng)手操作，抽象出線段的定義，初步了解了線段的本質(zhì)特征，在腦海中形成了線段的表象。接著，教師可以讓學(xué)生同桌合作，一人拉直毛線，一人指一指，說一說從哪兒到哪兒可以看成一條線段，豐富學(xué)生對(duì)線段的認(rèn)知。此外，教師還可讓學(xué)生調(diào)整毛線的位置，變化毛線的長(zhǎng)度與方向，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然它們方向不同、長(zhǎng)短不一，但都是直的，有兩個(gè)端點(diǎn)，都是線段。學(xué)生通過動(dòng)手操作學(xué)具，在實(shí)踐中能夠發(fā)現(xiàn)各種不同線段的表現(xiàn)形式，總結(jié)出線段的本質(zhì)特征。

（二）創(chuàng)意使用自制工具，適應(yīng)學(xué)生需要

自制工具是指為了適應(yīng)課堂教學(xué)的實(shí)際需要，針對(duì)課堂教學(xué)內(nèi)容開發(fā)的感知材料，如實(shí)物、模型、儀器等器具。將自制教具應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，一方面可以彌補(bǔ)現(xiàn)有實(shí)物工具存在的不足，另一方面也可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)質(zhì)量。

例如，在蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)（下冊(cè)）“三角形的三邊關(guān)系”教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)教材中提供的4 根小棒長(zhǎng)度是2 厘米、4 厘米、5 厘米和8 厘米，教材中沒有展示2 根小棒的長(zhǎng)度之和與第3 根小棒長(zhǎng)度相等時(shí)不能圍成三角形的實(shí)踐過程，而是直接明確這種情況不能圍成三角形。教師如果給學(xué)生提供兩根小棒的長(zhǎng)度之和等于第三根這樣的學(xué)具會(huì)出現(xiàn)什么樣的情況呢？于是，在教學(xué)中，筆者給學(xué)生提供長(zhǎng)度為2 厘米、5 厘米、6 厘米和8 厘米這4 根小棒，讓學(xué)生嘗試用這4根小棒去圍三角形。學(xué)生在嘗試用2 厘米、6 厘米和8厘米小棒圍三角形這種情況時(shí)，由于在實(shí)際操作中，小棒會(huì)有一定的寬度，在表象上讓這三根小棒圍成一個(gè)非?！氨狻钡娜切危ㄈ鐖D1）。這時(shí)學(xué)生會(huì)形成思維上的誤區(qū)，疑惑兩邊之和等于第三邊時(shí)是否能圍成三角形。為解決學(xué)生這一疑惑，教師可以讓學(xué)生在辯論與交流中發(fā)現(xiàn)是由于小棒存在寬度，如果忽略小棒的寬度，就無法圍成三角形。利用學(xué)具進(jìn)行操作難道就真的無法驗(yàn)證兩邊之和等于第三邊這種情況嗎？為了突破這一教學(xué)難點(diǎn)，筆者考慮自制學(xué)具。小棒的寬度會(huì)影響結(jié)果的判斷，那就在學(xué)具制作中克服這一不利因素，但考慮在現(xiàn)實(shí)中存在的物體無論長(zhǎng)短，都會(huì)有寬度這一要素，所以在自制數(shù)學(xué)工具時(shí)，筆者考慮使用塑料軟尺，裁剪出對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度的尺子，在操作實(shí)踐前給學(xué)生示范，把尺子帶刻度的邊靠在一起，嘗試去圍三角形（如圖2），這樣就不會(huì)受到小棒寬度這一不相關(guān)因素的干擾。

圖1

圖2

（三）靈活使用思維工具，讓認(rèn)知結(jié)構(gòu)化

思維工具是指對(duì)思維過程和思維結(jié)果進(jìn)行可視化呈現(xiàn)，用圖式、思維導(dǎo)圖等形式將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具象化，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生降低理解的難度，最大程度促進(jìn)學(xué)生積極探索，幫助學(xué)生建立更完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

以蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)（上冊(cè)）“角的分類”為例，學(xué)生利用活動(dòng)角不斷轉(zhuǎn)動(dòng)，認(rèn)識(shí)了銳角、直角、鈍角、平角和周角。然后，學(xué)生就認(rèn)識(shí)的角進(jìn)行分類并探討它們之間的關(guān)系，逐步形成這樣的知識(shí)結(jié)構(gòu)，即銳角＜直角＜鈍角＜平角＜周角。這時(shí)，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生疑惑，如比周角小又比平角大的角叫什么角？181°的角是什么角等。在討論交流中，學(xué)生嘗試?yán)脭?shù)軸表示我們所認(rèn)識(shí)的角（如圖3），逐步清晰認(rèn)識(shí)到直角、平角和周角表示的是確定度數(shù)的角，而銳角和鈍角表示的是一個(gè)角的范圍。筆者可進(jìn)一步給學(xué)生介紹，在大于180°、小于360°這個(gè)范圍內(nèi)的角可以稱為優(yōu)角，與優(yōu)角相對(duì)的大于0°、小于180°這個(gè)范圍內(nèi)的角被統(tǒng)稱為劣角。

圖3

（四）科學(xué)使用信息工具，豐富學(xué)生想象力

現(xiàn)代信息工具的使用為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來了許多便利。常見的數(shù)學(xué)信息工具是幾何畫板。使用幾何畫板有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性的同時(shí)，培養(yǎng)其發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。教師利用幾何畫板動(dòng)態(tài)展示教學(xué)內(nèi)容或數(shù)學(xué)問題，可以把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得形象、直觀。保持幾何關(guān)系是幾何畫板的精髓和特點(diǎn)，幾何圖形無論如何變化，它們之間的幾何關(guān)系都保持不變。

以蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)（下冊(cè)）“圓柱和圓錐”為例，有些練習(xí)是關(guān)于平面圖形怎樣旋轉(zhuǎn)形成立體圖形。但在教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生理解起來比較困難，特別是比較復(fù)雜的圖形，曾經(jīng)也嘗試過制作教具，但發(fā)現(xiàn)制作教具比較費(fèi)時(shí)間，效果也不理想，PPT也很難實(shí)現(xiàn)演示的效果。而幾何畫板能有效解決這一問題，達(dá)到良好的直觀演示效果。在練習(xí)中，對(duì)于“長(zhǎng)方形繞一條邊旋轉(zhuǎn)一周會(huì)形成什么圖形”這一問題，學(xué)生在嘗試用語言描述后用幾何畫板直觀進(jìn)行演示（如圖4），對(duì)由面到體的過程形成了一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)。通過幾何畫板還可以讓學(xué)生感受直角三角形繞兩條直角邊怎樣形成一個(gè)圓錐。幾何畫板的運(yùn)用不僅僅局限在圓柱和圓錐的學(xué)習(xí)，還可以演示三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)不斷變化，內(nèi)角和永遠(yuǎn)等于180°（如圖5），三角形的第三條邊變化的范圍（如圖6）。

圖4

圖5

圖6

結(jié) 語

綜上所述，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中使用數(shù)學(xué)工具可以讓學(xué)生通過自主、合作、探究親身經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生的過程，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程可視化。這樣的過程可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助他們?cè)诨顒?dòng)中積累經(jīng)驗(yàn)，形成清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，豐富想象力，培養(yǎng)思維能力和解決問題的能力，促進(jìn)其數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升。同時(shí)，教師應(yīng)注意，不同類型的數(shù)學(xué)工具并不是孤立的，而是相互聯(lián)系、密不可分的。教師應(yīng)基于學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，在教學(xué)過程中協(xié)同使用多種數(shù)學(xué)工具，使學(xué)生成為主動(dòng)的學(xué)習(xí)者與探索者，推動(dòng)學(xué)生思維品質(zhì)的提升。