葉 榮，吳顯云，曾婷婷

（成都師范學院 物理與工程技術學院，四川 成都 611130）

0 引言

靜電場中，均勻帶電球體激發(fā)電場是最簡單的物理模型之一，求解空間各點的電場強度或電場分布是十分重要的問題。常用的方法有利用球面坐標取電荷微元產生的電場的疊加法[1-2]，由場強與電勢的微分關系計算、由場的微分方程求解[3]，和利用高斯定理計算等。其中高斯定理是靜電場問題中常用的普遍規(guī)律，對于求解具有對稱性的電場極為適用。但已有的文獻中，均勻帶電球體內激發(fā)電場的電荷的組成未加以區(qū)分，其內外電場強度的連續(xù)性問題，也沒有比較完善和準確的研究。本文首先從真空中的高斯定理求出的均勻帶電球體的電場分布與球面界面兩側法向電場的矛盾出發(fā)，理論分析了均勻帶電球體激發(fā)的靜電場的修正表達，最后明確了均勻帶電球體激發(fā)電場的基本物理模型，并對模型進行了物理解釋。

一個均勻帶電量為Q 的半徑為a 的球體，已有常見解法中是選用最簡單的高斯定理求其內外電場分布，即分別在均勻帶電球體內和球體外，取一個球面高斯面，如圖1 所示[[4-5]。

圖1 真空中的高斯定理求出的均勻帶電球體的電場

由高斯定理有：

可得到，在r ＞a 的球體外和r ＜a 的球體內各點空間，其電場強度E外和E內分別為：

電場強度的方向均沿徑向方向。由以上兩式可知，在r ＞a 的球外與r ＜a 的球內空間的交界面處，也即球表面處的電場強度，無論是由球外的電場表達式(2a)在r 從無窮遠趨于r=a，還是由球內的電場表達式(2b)在r 從球心趨于r=a，均可得到相同的結果：

由于內外電場強度的方向均沿徑向方向，則在自然坐標系下，交界面兩側的電場強度只有法向分量，而沒有切向分量。這表示均勻帶電球體內外交界面處的電場強度的法向分量是連續(xù)的。這與電磁場的邊值關系，界面兩側電場的法向分量是不連續(xù)的存在著矛盾[6]。

1 均勻帶電球體激發(fā)電場的優(yōu)化修正

均勻帶電球體所帶電量為Q，即表明電荷是均勻分布在球體內呈體分布的，也即該球體所帶凈余電荷的凈余電量為Q。由此可知，該球體不可能是導體，只能是介質。因為根據靜電場中的導體的特征，若導體帶有一定電量的電荷，其電荷全部分布在表面上，不可能均勻分布在球體內，其內部也不可能有電場。既然該均勻帶電球體為電介質，且可以假定其為各向同性線性均勻介質，則它必定有一個常數電容率ε，且通常大于真空中電容率ε0。其次，未帶電荷前，電介質整體是呈電中性的，則所帶的凈余電荷Q 只能是外來的自由電荷Qf，相應的自由電荷體密度為：

鑒于球體為電介質，在靜電場作用下，介質會被極化，因此介質球內和介質球表面會分別存在著呈體分布的極化電荷體密度ρp和呈面分布的極化電荷面密度σp。但球體內總的體極化電荷電量Qp體與球表面總的面極化電荷電量Qp面相等，且電性相反，即Qp體=-Qp面。由于自由電荷激發(fā)電位移矢量場，采用介質中的高斯定理，

根據各向同性介質中介質的電磁性質方程，即電位移矢量與電場強度的關系D=εE，可得球外真空中和球內介質中任意一點的電場強度為

電場強度的方向仍然沿徑向方向，也即只有法向分量?？梢钥闯?，由此方式求出的電場強度，在以球面為界面的兩側，電場強度的法向分量是不連續(xù)的，如圖2 所示。

圖2 介質中的高斯定理求出的均勻帶電球體的電場

由麥克斯韋方程組中法拉第電磁感應定律的積分形式，可得法向電場的邊值關系為：

該式表示，交界面上的自由電荷面密度和極化電荷面密度是界面兩側法向電場不連續(xù)的原因。對于均勻帶電球體，其自由電荷是呈體分布的，因此自由電荷面密度σf=0。

對于(8)式左邊，將(7a)和(7b)式代入，可得

對于(8)式右邊，此時只有極化電荷面密度σp。由極化電荷面密度跟界面兩側極化強度的關系，可表示為：

由于球外空間為真空，則(10)式中球外的極化強度P外=0，也即極化電荷面密度在數值上就等于介質球內的極化強度P內。進一步根據極化強度與電場強度的關系，則可得(8)式右邊

與(9)式相等。這表明，采用介質中的高斯定理求得的球內外電場強度是正確的，其結果也符合電磁場的邊值關系。

2 均勻帶電球體激發(fā)電場的基本物理模型

從以上的分析可知，由介質中的高斯定理可以先得到輔助量電位移矢量，再由電位移矢量可得均勻帶電球體內外任意一點的電場強度。事實上，直接由真空中的高斯定理也可以得到不矛盾的結果，但需要將高斯面內的電荷加以區(qū)別，如圖3 所示。

圖3 均勻帶電球體電荷組成及電場分布物理模型

在r ＞a 的球外真空中，高斯定理等式右邊的電荷量應為高斯面內包圍的全部電荷，即：

其中，Q總=Qf+Qp體+Qp面，式中Q總表示高斯面內所包圍的總電荷量，Qf表示均勻帶電球上帶的總自由電荷量，Qp體為球內總的體極化電荷量，Qp面則是分布在球面上的總面極化電荷量。由于Qp體=-Qp面，則Q總=Qf，這個Qf即常被描述成均勻帶電球體所帶電荷量Q。于是，球外的電場強度為：

與(2a)式及(7a)式相同。

在r ＜a 的介質球內，高斯面內所包圍的電荷為部分自由電荷和部分體極化電荷。根據極化電荷體密度ρp和自由電荷體密度ρf的關系：

可知，高斯面內包圍的極化電荷比自由電荷少，但兩者之比是不變的。直接運用高斯定理

將(16)式代入(15)式即可得到球內的電場強度為

此結果與(7b)式同，但與(2b)式不同，其差別在(17)式里分母中的電容率為介質的電容率ε，而(2b)式里分母中的電容率為真空電容率ε0。

由以上討論可知，介質球所帶的自由電荷Qf、球體內的極化電荷Qp體和球面極化電荷Qp面都對電場強度有貢獻，在運用由電場強度表示的積分形式高斯定理時，三種電荷都是激發(fā)電場強度的源。

以一種薄膜材料二氧化鉿（HfO2）為例，其相對電容率εr=ε/ε0=12.49[7]。假設該薄膜介質球半徑為5cm，所帶自由電荷電量為Qf=Q=1.6×10-6C，通過數值計算的仿真分析，可得不同區(qū)域的電場強度變化規(guī)律，如圖4 所示。

圖4 均勻帶電球體內外場強分布曲線

3 結語

精確描述均勻帶電球體的電場分布是靜電學中既基礎又重要的問題。本文對均勻帶電球體內外的靜電場表達式進行了嚴格推導與理論分析，給出了均勻帶電球體激發(fā)電場的基本物理模型。得到當r ＞a 時，Qp體和Qp面都可以等價成一個電量相等的在球心的點電荷，但由于電性相反，兩者激發(fā)的電場在球外互相抵消，其結果是球外的電場只與介質球所帶的自由電荷Qf有關，該Qf即為通常描述的均勻帶電球體所帶的電量Q；當r ＜a 時，Qp面對球內電場沒有貢獻，或激發(fā)的電場在球內為0，同樣，任意r ＜a 的高斯面至球面之間的球殼部分內的自由電荷和體極化電荷在r ＜a 的區(qū)域激發(fā)的電場也為0，但任意r ＜a的高斯面內的部分自由電荷和部分極化電荷激發(fā)的電場均不為0，此時運用由電場強度表示的積分形式高斯定理時，則需要把這兩種電荷都考慮進來，才能得到滿足電場強度邊值關系的球面兩側的電場強度是不連續(xù)的結果。該研究進一步明晰了均勻帶電球體激發(fā)電場的物理模型，得到了與電場法向分量連續(xù)性理論吻合的修正表達，可對大學物理、電磁學、電動力學等基礎問題提供參考，也可對相關電磁軟件的開發(fā)提供借鑒與佐證，后續(xù)將進一步對非均勻、各向異性等帶電體激發(fā)的電場進行深入研究。