王盛業(yè)，王海濤，熊偉，關(guān)廣豐

(大連海事大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，遼寧大連 116026)

0 前言

自從1965年STEWART對(duì)GOUGH研制的并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)，并將其應(yīng)用于飛行模擬器的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生裝置以來，六自由度平臺(tái)因其剛度大、承載能力強(qiáng)、精度高等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)模擬器、并聯(lián)機(jī)床、精密定位平臺(tái)、空間對(duì)接等領(lǐng)域。

直升機(jī)懸停救助模擬器用于在陸上實(shí)驗(yàn)室中模擬訓(xùn)練救生人員在惡劣海況條件下運(yùn)用特殊救助裝備(專用絞車、紅外搜尋、救生衣、救生筏等)進(jìn)行的直升機(jī)懸停救助任務(wù)。我國(guó)現(xiàn)有S-76+救助直升機(jī)25架，分布于11個(gè)沿海城市，實(shí)行動(dòng)態(tài)待命，以應(yīng)對(duì)突發(fā)事件。直升機(jī)救助機(jī)組訓(xùn)練只能集中到?jīng)]有海上救援任務(wù)時(shí)進(jìn)行，很大程度上限制了訓(xùn)練周期與風(fēng)險(xiǎn)。為此，某大學(xué)救助與打撈工程實(shí)驗(yàn)室建立了直升機(jī)懸停救助系統(tǒng)，相對(duì)于實(shí)際訓(xùn)練,它具有安全高效、節(jié)省成本等優(yōu)點(diǎn),是救援訓(xùn)練的重要方式。直升機(jī)懸停救助模擬系統(tǒng)由地面上的造浪水池和懸掛在橋式起重機(jī)上的救助模擬器組成，其中Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為直升機(jī)模擬機(jī)艙的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生裝置，通過采集真實(shí)救助場(chǎng)景下的直升機(jī)運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)，復(fù)現(xiàn)直升機(jī)懸停運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如圖1所示。Stewart并聯(lián)平臺(tái)在不同的救助場(chǎng)景有不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和軌跡，為保證Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)在模擬直升機(jī)懸停運(yùn)動(dòng)時(shí)的活動(dòng)范圍不超過平臺(tái)最大邊界范圍，同時(shí)，保證模擬器機(jī)艙與周圍環(huán)境不產(chǎn)生干涉，需要對(duì)Stewart平臺(tái)的可達(dá)工作空間進(jìn)行計(jì)算和分析。

圖1 直升機(jī)懸停救助模擬平臺(tái)

工作空間是并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端機(jī)構(gòu)活動(dòng)所能達(dá)到的可能方位，是評(píng)價(jià)并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作能力的一個(gè)重要指標(biāo)。與串聯(lián)機(jī)構(gòu)不同，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間表示的主要問題在于：關(guān)于任意自由度的有關(guān)限制總是耦合的，很難找到結(jié)構(gòu)尺寸與工作空間的必然聯(lián)系。對(duì)于自由度大于3的機(jī)器人，僅當(dāng)固定-3個(gè)位姿參數(shù)時(shí)，才能圖形化地描述工作空間。

目前，計(jì)算并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的主要方法有兩類：幾何方法、數(shù)值方法。幾何法原理是：確定每個(gè)滿足一定約束的主動(dòng)件所有運(yùn)動(dòng)范圍，所有主動(dòng)件運(yùn)動(dòng)范圍的交集就是并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間。幾何方法雖然快速和精確，但很難考慮所有約束，必須調(diào)整以適應(yīng)不同研究對(duì)象。在數(shù)值方法中，工作空間被笛卡爾坐標(biāo)或極坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)覆蓋，測(cè)試每個(gè)節(jié)點(diǎn)，判斷是否屬于工作空間。數(shù)值方法計(jì)算量大，邊界精度依和計(jì)算時(shí)間依賴采樣步長(zhǎng)。

以上兩種方法都不適應(yīng)直升機(jī)懸停救助模擬器需要頻繁快速驗(yàn)證各種海況下直升機(jī)真實(shí)運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)的應(yīng)用場(chǎng)合，為此，本文作者提出一種基于運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的工作空間凸包算法。該方法是將并聯(lián)平臺(tái)的電動(dòng)缸行程量均勻分段，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)正解得到并聯(lián)平臺(tái)的可達(dá)位置坐標(biāo)點(diǎn)點(diǎn)集，不同于數(shù)值方法需要驗(yàn)證每個(gè)步長(zhǎng)的節(jié)點(diǎn)，該方法不需要測(cè)試冗余節(jié)點(diǎn)，節(jié)省了大量運(yùn)算。由于運(yùn)動(dòng)學(xué)正解計(jì)算獲得的可達(dá)位置坐標(biāo)點(diǎn)分布不均勻，分布規(guī)律復(fù)雜，難于公式化，運(yùn)用凸包算法將離散的可達(dá)位置坐標(biāo)點(diǎn)空間化，計(jì)算出可達(dá)工作空間三維邊界，研究分段數(shù)與三維邊界的相關(guān)性，進(jìn)一步減少求解過程中的運(yùn)算量。

研究?jī)?nèi)容如下：(1)可達(dá)工作空間凸包算法的計(jì)算模型，包括Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解和凸包算法理論模型；(2)直升機(jī)懸停模擬并聯(lián)平臺(tái)可達(dá)工作空間的計(jì)算結(jié)果及正確性驗(yàn)證。

1 計(jì)算可達(dá)工作空間點(diǎn)集

Stewart直升機(jī)懸停模擬并聯(lián)平臺(tái)主要包括與天車小車連接固定的靜平臺(tái)，與模擬艙連接的動(dòng)平臺(tái)，以及6根不帶防回轉(zhuǎn)裝置的電動(dòng)缸。平臺(tái)倒掛于橋式起重機(jī)上，靜、動(dòng)平臺(tái)與電動(dòng)缸之間通過虎克鉸連接。

平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖2所示，分別包括靜平臺(tái)鉸圓半徑、動(dòng)平臺(tái)鉸圓半徑、靜平臺(tái)短邊鉸間距、動(dòng)平臺(tái)短邊鉸間距、中位缸長(zhǎng)、電動(dòng)缸行程等6個(gè)參數(shù)。由于Stewart平臺(tái)的機(jī)構(gòu)特點(diǎn)，根據(jù)以上6個(gè)參數(shù)就可以確定平臺(tái)的基本結(jié)構(gòu)。、分別為動(dòng)、靜平臺(tái)的短邊夾角。

圖2 Stewart平臺(tái)結(jié)構(gòu)示意

Stewart平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)正解是指：已知平臺(tái)6條支腿的長(zhǎng)度，求解平臺(tái)的位置姿態(tài)。選取固定不動(dòng)的靜平臺(tái)鉸圓圓心為靜坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，選取動(dòng)鉸圓圓心為動(dòng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，定義平臺(tái)初始位置為平臺(tái)中位。在平臺(tái)每條支腿的長(zhǎng)度已知時(shí)，根據(jù)上、下鉸點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的關(guān)系，最終可獲得6個(gè)變量6個(gè)方程的非線性方程組。

將6個(gè)動(dòng)鉸點(diǎn)在坐標(biāo)系中坐標(biāo)用矩陣表示，鉸支點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可用矩陣表示為

=·

(1)

轉(zhuǎn)換矩陣可表示為下式

=

(2)

式中：c表示余弦符號(hào)cos ;s表示正弦符號(hào)sin。

運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)表示為

(3)

其中:為Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜平臺(tái)在靜坐標(biāo)系的坐標(biāo)矩陣;為Stewart平臺(tái)電動(dòng)缸的長(zhǎng)度矩陣。

以Stewart平臺(tái)中位位姿作為初始點(diǎn)，用牛頓迭代法求解非線性方程組()=0 (=1,2,…,6)，即可得到特定支腿長(zhǎng)度下的平臺(tái)位姿。

將Stewart平臺(tái)6根電動(dòng)缸的行程均勻分段，分段數(shù)為，的數(shù)值大小將決定Stewart平臺(tái)可達(dá)工作空間的解算離散點(diǎn)數(shù)和求解時(shí)間。設(shè)定動(dòng)平臺(tái)鉸圓圓心在靜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值為平臺(tái)位姿的位置描述，則每一個(gè)離散點(diǎn)代表與之對(duì)應(yīng)的一種Stewart平臺(tái)位姿。對(duì)于分段數(shù)為的6條支腿，正解后得到(+1)種平臺(tái)位姿，用點(diǎn)集表示，方便下一步凸包算法進(jìn)行空間化篩選。

2 凸包算法

凸包是計(jì)算幾何中重要的幾何結(jié)構(gòu)，把多面體的任何一個(gè)面無限延展,其他所有面都在這個(gè)延伸面的同一側(cè)，這類多面體叫做凸包。凸包算法要解決的問題是找出包圍點(diǎn)集的最小凸區(qū)域的邊界，其定義為能夠包含的最小凸集。

(4)

凸包算法框架如下：

步驟1，凸包初始化。掃描點(diǎn)集，并從中選取4個(gè)不共面的點(diǎn)構(gòu)成四面體。選取原則為：選取坐標(biāo)軸方向兩端極值點(diǎn)構(gòu)成線段，選取距離線段最遠(yuǎn)點(diǎn)構(gòu)成平面，最后選取距離該平面最遠(yuǎn)點(diǎn)構(gòu)成四面體，即初始凸包，并構(gòu)建凸包集合。

步驟2，判斷新添加點(diǎn)與凸包的相對(duì)位置。隨機(jī)選取點(diǎn)集中剩余一點(diǎn)，分別與凸包集合中所有三角形平面上一點(diǎn)連接，判斷與三角形平面法向量關(guān)系，若與所有三角平面都符合≥0，則認(rèn)為該點(diǎn)在凸包外部，否則舍棄該點(diǎn)，重新選取剩余點(diǎn)。

步驟3，構(gòu)建新的凸包集合。與凸包集合最近三點(diǎn)構(gòu)造四面體，并與四面體構(gòu)成新的凸包集合，如圖3所示。

圖3 凸包算法示意

步驟4,循環(huán)判斷點(diǎn)集中剩余的點(diǎn)。重復(fù)執(zhí)行步驟2和步驟3，直到遍歷點(diǎn)集所有點(diǎn)，算法結(jié)束。最終得到的三維凸包即為Stewart平臺(tái)的可達(dá)工作空間。凸包算法流程如圖4所示。

圖4 凸包算法流程

3 計(jì)算結(jié)果及試驗(yàn)

3.1 計(jì)算結(jié)果

基于MATLAB編寫求解程序，交互界面如圖5所示，程序輸入靜平臺(tái)鉸圓半徑、動(dòng)平臺(tái)鉸圓半徑、靜平臺(tái)短邊鉸間距、動(dòng)平臺(tái)短邊鉸間距、中位缸長(zhǎng)、電動(dòng)缸行程等6個(gè)參數(shù)，可求解出工作空間；更改交互界面輸入?yún)?shù)的數(shù)值，可求解不同結(jié)構(gòu)參數(shù)Stewart并聯(lián)平臺(tái)的可達(dá)工作空間，分段數(shù)用于調(diào)節(jié)計(jì)算時(shí)間和計(jì)算精度。該程序同時(shí)具有干涉檢測(cè)功能，添加一段直升機(jī)懸停救助模擬器運(yùn)動(dòng)狀態(tài)數(shù)據(jù)，可以繪制模擬器運(yùn)動(dòng)軌跡，并與已知平臺(tái)工作空間進(jìn)行干涉檢測(cè)。輸入實(shí)驗(yàn)室中直升機(jī)懸停救助模擬器并聯(lián)平臺(tái)參數(shù)，=1.05 m、=0.75 m、=0.2 m、=0.15 m、=1.3 m、=0.4 m,調(diào)節(jié)分段數(shù)為4，可顯示平臺(tái)結(jié)構(gòu)和平臺(tái)的可達(dá)工作空間，求得可達(dá)工作空間體積為0.137 m。平臺(tái)最大轉(zhuǎn)動(dòng)角度計(jì)算結(jié)果為：橫搖角范圍為±23°、縱搖角范圍±23°、偏航角范圍為±25°。

圖5 Stewart平臺(tái)工作空間求解程序

3.2 算法效率

算法求解速度和求解分辨率與點(diǎn)集中點(diǎn)的數(shù)量有關(guān)。分段數(shù)越大，點(diǎn)集中點(diǎn)的數(shù)量越多，求解時(shí)間越長(zhǎng)，求解分辨率越高。程序運(yùn)行計(jì)算機(jī)配置如下：Intel Core i5-4460@3.20 GHz、RAM8.00 GB。數(shù)值算法采用邊界搜索法，以動(dòng)平臺(tái)鉸圓圓心為起點(diǎn)，將空間按步長(zhǎng)劃分為離散點(diǎn)，驗(yàn)證每個(gè)離散點(diǎn)是否滿足支腿長(zhǎng)度、轉(zhuǎn)角等限制。圖6顯示凸包算法計(jì)算點(diǎn)的數(shù)量與耗時(shí)關(guān)系曲線，橫坐標(biāo)是離散點(diǎn)的數(shù)量，用對(duì)數(shù)表示，左側(cè)縱坐標(biāo)為算法耗時(shí)。從凸包算法耗時(shí)和數(shù)值算法耗時(shí)兩條曲線趨勢(shì)可以看出：隨著計(jì)算點(diǎn)數(shù)量的增多，兩種算法的時(shí)間消耗和計(jì)算點(diǎn)的數(shù)量趨近于線性關(guān)系，在相同計(jì)算點(diǎn)數(shù)條件下，凸包算法耗時(shí)僅為數(shù)值算法的50%。另一方面，數(shù)值算法依賴大量數(shù)據(jù)的求解，計(jì)算點(diǎn)數(shù)的數(shù)量級(jí)通常在百萬以上，而凸包算法在幾萬數(shù)量級(jí)時(shí)，就可以得到體積穩(wěn)定的工作空間。右側(cè)縱坐標(biāo)描述了計(jì)算點(diǎn)數(shù)與可達(dá)工作空間的體積大小關(guān)系曲線，可以看出：當(dāng)分段數(shù)大于4時(shí)，工作空間的體積大小趨于穩(wěn)定，計(jì)算結(jié)果不再變化。分段數(shù)為4時(shí)，點(diǎn)集內(nèi)點(diǎn)的數(shù)量為15 625個(gè)，耗時(shí)72 s。兩種算法效率對(duì)比可以看出，不僅在相同計(jì)算量的條件下，凸包算法更加快速，并且在實(shí)際工程應(yīng)用中，凸包算法可以用低于數(shù)值算法兩個(gè)數(shù)量級(jí)的計(jì)算量得到體積穩(wěn)定的工作空間。

圖6 凸包算法計(jì)算點(diǎn)的數(shù)量與耗時(shí)關(guān)系

3.3 算法準(zhǔn)確度驗(yàn)證

直升機(jī)懸停救助模擬器并聯(lián)平臺(tái)處于極限位姿時(shí)，是并聯(lián)平臺(tái)所能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離，驗(yàn)證并聯(lián)平臺(tái)處于極限位姿時(shí)動(dòng)平臺(tái)圓心在求解的可達(dá)工作空間的邊界上，即可證明程序的準(zhǔn)確性。分別對(duì)并聯(lián)平臺(tái)的15個(gè)極限位姿時(shí)動(dòng)平臺(tái)圓心位置進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果顯示:當(dāng)并聯(lián)平臺(tái)處于沿空間坐標(biāo)軸平移的極限位姿時(shí)，動(dòng)平臺(tái)圓心位于計(jì)算得出的可達(dá)工作空間邊界之上；當(dāng)并聯(lián)平臺(tái)處于繞空間坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的極限位姿時(shí)，動(dòng)平臺(tái)圓心在可達(dá)工作空間邊界之內(nèi)。圖7為其中4組試驗(yàn)結(jié)果，動(dòng)平臺(tái)圓心為黑色圓點(diǎn)。

圖7 并聯(lián)平臺(tái)極限位姿與可達(dá)工作空間位置關(guān)系

同時(shí)，對(duì)Stewart平臺(tái)可達(dá)工作空間的求解結(jié)果進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。由于零姿態(tài)角時(shí)Stewart平臺(tái)的工作空間最大，實(shí)驗(yàn)方案選擇測(cè)量在動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角為(0,0,0)時(shí)，平面和平面處可達(dá)工作空間邊界的坐標(biāo)值。首先固定軸坐標(biāo)為0，將直升機(jī)懸停救助模擬器分別沿軸和軸方向移動(dòng)，使其處于極限位姿，此時(shí)選取動(dòng)平臺(tái)圓心為測(cè)量點(diǎn)，測(cè)量圓心分別距離平面和平面的數(shù)值，可以得到兩個(gè)測(cè)量位置。將懸停救助模擬器回歸到初始位置，按上述操作對(duì)軸方向每隔0.05 m進(jìn)行一輪測(cè)量，共可以得到22個(gè)測(cè)量位置。將直升機(jī)懸停救助模擬器移動(dòng)到測(cè)量平臺(tái)可達(dá)空間邊界值，并與通過正解包絡(luò)法計(jì)算得到的邊界值進(jìn)行對(duì)比，誤差為正表示計(jì)算值比測(cè)量值大，誤差為負(fù)表示計(jì)算值比測(cè)量值小。結(jié)果顯示：正解包絡(luò)法在平臺(tái)可達(dá)工作空間的上下兩端精度較高，誤差為1%左右，在工作空間中部誤差較大，且為正誤差，誤差在5%以內(nèi)。

分別在平面和平面的軸方向均勻選取11個(gè)測(cè)量點(diǎn)，測(cè)量平臺(tái)可達(dá)空間邊界值，并與通過正解包絡(luò)法計(jì)算得到的邊界值進(jìn)行對(duì)比，誤差為正表示計(jì)算值比測(cè)量值大，誤差為負(fù)表示計(jì)算值比測(cè)量值小。表1結(jié)果顯示：正解包絡(luò)法在平臺(tái)可達(dá)工作空間的上下兩端精度較高，誤差為1%左右，在工作空間中部誤差較大，且為正誤差，誤差在5%以內(nèi)。

表1 可達(dá)工作空間計(jì)算值與測(cè)量值對(duì)比

4 結(jié)論

提出一種基于Stewart并聯(lián)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解和凸包算法結(jié)合的可達(dá)工作空間求解方法：將平臺(tái)6條支腿伸長(zhǎng)量離散化，用運(yùn)動(dòng)學(xué)正解得到并聯(lián)平臺(tái)的可達(dá)位置坐標(biāo)點(diǎn)點(diǎn)集，結(jié)合凸包算法將離散的可達(dá)位置坐標(biāo)點(diǎn)空間化，計(jì)算出可達(dá)工作空間三維邊界，并通過研究分段數(shù)與三維邊界的相關(guān)性，進(jìn)一步減少求解過程中的運(yùn)算量。

該方法與常用可達(dá)空間求解方法相比，不必預(yù)設(shè)工作空間范圍后預(yù)測(cè)各個(gè)節(jié)點(diǎn)，減少了大量冗余計(jì)算，對(duì)于一般Stewart平臺(tái)，1 min左右就可以計(jì)算得到可達(dá)工作空間的三維參數(shù)；同時(shí)，該方法具有較好的精確度，兩端誤差1%，最大誤差在5%以內(nèi)。對(duì)直升機(jī)懸停救助模擬器不同工況下運(yùn)動(dòng)軌跡的干涉檢測(cè)提供了依據(jù)，為以后建立類似救助模擬器提供了參考。