高考壓軸題的結(jié)構(gòu)特征與突破路徑探析*
2022-09-19 10:16:46劉綠芹
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年9期
劉綠芹
(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 321004 江蘇省鹽城市教師發(fā)展學(xué)院 224001)
《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》(2017年版2020年修訂)中關(guān)于評價提出了“要有利于考查學(xué)生的思維過程、思維深度和思維廣度”的要求，而高考數(shù)學(xué)壓軸題正是體現(xiàn)該要求的載體之一.然而，從高三數(shù)學(xué)教學(xué)實踐來看，突破壓軸題卻是學(xué)生最頭疼的問題之一，主要表現(xiàn)為“一看答案就會,不看不會”.之所以會出現(xiàn)這樣的問題，主要是對壓軸題的內(nèi)在思維結(jié)構(gòu)水平要求沒有深刻的認知，不同的問題有著不同的思維結(jié)構(gòu)水平要求，同時，學(xué)生解決問題時，也能夠表現(xiàn)出其思維結(jié)構(gòu)水平.因此，我們可以從壓軸題的思維結(jié)構(gòu)水平方面，尋找突破壓軸題的路徑.
1 思維結(jié)構(gòu)的理論基礎(chǔ)與水平劃分
對于思維結(jié)構(gòu)，在不同的研究領(lǐng)域有著不同的闡釋、理解與劃分標準.在高中數(shù)學(xué)壓軸題突破方面，我們以SOLO分類理論作為思維結(jié)構(gòu)的理論基礎(chǔ)，該理論是澳大利亞學(xué)者彼格斯(Biggs)和科利斯(Collis)兩位教授在皮亞杰認知發(fā)展階段論的理論基礎(chǔ)上發(fā)展起來的.SOLO分類理論認為，學(xué)生回答具體問題時所表現(xiàn)出來的思維結(jié)構(gòu)是可觀察的、可檢測的，稱為“可觀察的學(xué)習(xí)結(jié)果結(jié)構(gòu)”(Structure of the Observed Learning Outcome).由此可見，雖然人們很難根據(jù)皮亞杰的分類法認定學(xué)生處于哪一個發(fā)展階段，但卻可以根據(jù)SOLO分類理論，判斷學(xué)生在回答某一具體問題時的思維結(jié)構(gòu)處于哪一層次.目前，SOLO分類理論不僅已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于理科，諸如數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等，還應(yīng)用于歷史、地理、英語等文科類學(xué)科的教學(xué)和評價上.
學(xué)習(xí)是一個逐漸積累、不斷演進的過程，學(xué)生對某一內(nèi)容的理解存在多個不同的中間水平.根據(jù)SOLO分類理論，可將思維結(jié)構(gòu)水平劃分為五個層次：前結(jié)構(gòu)水平(P)、單點結(jié)構(gòu)水平(U)、多點結(jié)構(gòu)水平(M)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平(R)和抽象擴展結(jié)構(gòu)水平(E).在前結(jié)構(gòu)水平層次上，學(xué)生無法找到解決問題的相關(guān)素材以及線索，只能用一些與問題毫不相關(guān)的內(nèi)容來解答，解決不了具體問題.在單點結(jié)構(gòu)水平層次上，學(xué)生只能夠找到解決問題的線索和相關(guān)素材中的個別，依然無法解決相關(guān)問題.在多點結(jié)構(gòu)水平上，學(xué)生找到了解決問題的多個線索或多個孤立的相關(guān)素材，但未能有效整合這些素材，同樣無法真正解決問題.在關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平層次上，學(xué)生不僅能夠找到解決問題所需的線索以及所需的相關(guān)素材，而且能夠?qū)⑦@些相關(guān)素材進行整合與關(guān)聯(lián)，能夠解決相關(guān)問題.在抽象擴展水平結(jié)構(gòu)層次上，學(xué)生在找準問題線索的基礎(chǔ)上，不僅能夠?qū)⑾嚓P(guān)素材進行關(guān)聯(lián)，同時還能夠結(jié)合相關(guān)假設(shè)，解決相關(guān)問題，獲得新的解答、新的方法或新的結(jié)論.
思維結(jié)構(gòu)水平劃分針對的是學(xué)生回答或解決問題時所反應(yīng)出來的學(xué)習(xí)結(jié)果的結(jié)構(gòu)，是對學(xué)生的思維水平進行質(zhì)性劃分，其聚焦點為學(xué)生.而思維結(jié)構(gòu)水平要求是針對具體問題而言，通過對問題的分析，提出解決問題時需要學(xué)生具備什么樣的結(jié)構(gòu)水平，其聚焦點為問題.對于解決高考壓軸題而言，需要根據(jù)試題進展的不同階段，提出具體的思維結(jié)構(gòu)水平要求，并針對性地進行突破，力求讓更多的學(xué)生達到更高的思維結(jié)構(gòu)水平.
2 壓軸題的思維結(jié)構(gòu)特征
高考數(shù)學(xué)壓軸題之所以難度大，是因為它對思維結(jié)構(gòu)的要求有別于普通試題.在普通綜合類數(shù)學(xué)試題中，往往注重循序漸進，思維結(jié)構(gòu)水平要求起點低，一般是從單一結(jié)構(gòu)水平(U)出發(fā)為主，終點多為關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平(R).在進展過程中，逐步要求，逐級提升，呈線性狀態(tài).而高考數(shù)學(xué)壓軸題的思維結(jié)構(gòu)水平要求起點較高，多以多點結(jié)構(gòu)水平(M)為起點，抽象擴展水平(E)為終點，其思維結(jié)構(gòu)水平要求呈逐漸加速形態(tài)，如下圖.因此，探析壓軸題思維結(jié)構(gòu)水平要求特征將有助于進一步明確突破路徑.
圖1 試題進展與思維結(jié)構(gòu)水平要求的關(guān)系
2.1 單一結(jié)構(gòu)水平為表象，多點結(jié)構(gòu)水平為實質(zhì)
在高考壓軸題中，經(jīng)常會出現(xiàn)一類題設(shè)較短、知識背景看似簡單的問題，乍一看是單一結(jié)構(gòu)水平(U)要求，但實則是多點結(jié)構(gòu)水平(M)要求.該類試題常常將以鮮明的單點知識為表象，但在試題解決的進程中不知不覺地需要帶入其他知識點或解題方法，僅憑單一結(jié)構(gòu)水平無法解決相關(guān)問題的.
例1
(2021年高考全國乙卷第19題)設(shè){a
}是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列{b
}滿足已知a
,3a
,9a
成等差數(shù)列.
(1)求{a
}和{b
}的通項公式；(2)記S
,T
分別為{a
}和{b
}的前n
項和.
證明：從該題的表面條件來看，是等比數(shù)列問題，然而數(shù)列{a
}中的a
,a
,a
間又有特殊的關(guān)聯(lián)關(guān)系，顯然，該問題不得不引入等差數(shù)列的知識——等差中項，運用a
+9a
=2×3a
,再結(jié)合a
=1，可解出進而{a
},{b
}的通項公式不難得出.
根據(jù)第(1)問可知從結(jié)構(gòu)上看，分子是等差數(shù)列，分母是等比數(shù)列，究竟用等差數(shù)列求和公式還是等比數(shù)列求和公式解決該問題呢？顯然，T
既不是等差數(shù)列的求和，也不是等比數(shù)列的求和，單純靠一種方法已無法解決該問題，需要引入新的解決問題方法——錯項相減法，即在兩邊同乘得再將兩式相減，得其中即為新轉(zhuǎn)化的等比數(shù)列求和問題，至此，第(2)問不難解決.
由此可見，該題僅靠單一的等比數(shù)列的公式或等差數(shù)列的公式是無法解決的，必須引入新的知識和方法，只有在多點結(jié)構(gòu)水平的基礎(chǔ)上才能解決問題.
2
.
2 多點結(jié)構(gòu)水平為臺階，關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平為核心
高考壓軸題一般設(shè)置多問，難度逐步遞進，呈臺階式發(fā)展，知識方法的使用也呈現(xiàn)出多樣態(tài)，并相互關(guān)聯(lián).
此類問題以多點結(jié)構(gòu)水平要求為基礎(chǔ)，搭建臺階，但徹底解決相關(guān)問題則需要達到關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平要求.
例如，圓錐曲線問題往往與直線一起出現(xiàn)，并以直線的變化為主線，主導(dǎo)著試題的變化與發(fā)展方向.
在實踐中，多點結(jié)構(gòu)水平能夠解決多個相對獨立的基本問題，但由于直線的變化，導(dǎo)致相關(guān)知識之間的聯(lián)系較為密切，問題變得錯綜復(fù)雜.
顯然，單點結(jié)構(gòu)水平無法解決相關(guān)問題，這就需要關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平來解決問題.
例2
(2019年全國卷Ⅱ第21題)已知點A
(-2,0),B
(2,0),動點M
(x
,y
)滿足直線AM
與BM
的斜率之積為記M
的軌跡為曲線C.
(1)求C
的方程，并說明C
是什么曲線.
(2)過坐標原點的直線交C
于P
,Q
兩點，點P
在第一象限，PE
⊥x
軸，垂足為E
，連結(jié)QE
并延長交C
于點G.
①證明：△PQG
是直角三角形；②求△PQG
面積的最大值.
該題的結(jié)構(gòu)是以橢圓為框架，以直線變化為核心，構(gòu)建圓錐曲線中的基本圖形——三角形.
第(1)問中，僅需運用斜率之積為和橢圓標準方程即可解決問題，求得C
的方程為第(2)問中，根據(jù)條件，由直線PQ
逐步演變至PE
,QE
及QG
,逐步形成△PQG
，并證明該三角形是直角三角形，求該三角形面積的最大值.
顯然，該題演變至此，已無法僅靠橢圓的知識和方法來解決問題，需要將橢圓、直線、函數(shù)等關(guān)聯(lián)起來解決問題.
第(2)問中的第①小問通過“設(shè)而不求”的方法，即設(shè)直線PQ
的方程為y
=kx
(k
>0)，將其與橢圓方程組成方程組，求得含參數(shù)的P
,Q
,E
點的坐標分別為(t
,tk
),(-t
, -tk
),(t
,0)，其中進而將直線QG
與橢圓組成方程組，得到含參數(shù)的G
點坐標，并求得PG
的斜率為至此，該小題得證.
對于第②問，它是在第①問的基礎(chǔ)上，得到故△PQG
的面積由此，該問題演變成了函數(shù)求最值的問題，即令可將問題轉(zhuǎn)化為基本不等式問題，從而求解出△PQG
的最大值.
從整體上看，該題一步一個臺階，拾級而上，逐步關(guān)聯(lián)各種數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法，最終解決問題.
2
.
3 關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平為基礎(chǔ)，抽象擴展水平為目的
高考數(shù)學(xué)壓軸題之所以難，是因為壓軸題不僅要求學(xué)生具有扎實的基礎(chǔ)，還要求能夠?qū)⒍喾N數(shù)學(xué)知識、方法、思想等關(guān)聯(lián)、融合，并在此基礎(chǔ)上，跳出原有體系框架，進行抽象擴展，獲得新的解決問題的途徑與方法.
擴展抽象水平必須建立在關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平的基礎(chǔ)之上，它是思維結(jié)構(gòu)水平中的最高層次.
因此，高考的最后一道壓軸題主要以該水平為命題的出發(fā)點，考查學(xué)生的抽象擴展能力.
例3
(2021年新高考Ⅰ卷第22題)已知函數(shù)f
(x
)=x
(1-lnx
).
(1)討論f
(x
)的單調(diào)性；(2)設(shè)a
,b
為兩個不相等的正數(shù)，且b
lna
-a
lnb
=a
-b
，證明：該題的條件較為簡潔，只有唯一的一個，即函數(shù)f
(x
)=x
(1-lnx
)，再無其他信息.
問題也較為清晰，第(1)問討論該函數(shù)的單調(diào)性，第(2)問是在等式的基礎(chǔ)上，證明不等式.
該題的第(1)問屬于基礎(chǔ)題，不難解得f
(x
)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)減區(qū)間為(1,+∞).
然而，該題的第(2)問卻無法直接看出與條件函數(shù)f
(x
)=x
(1- lnx
)及第(1)問的聯(lián)系，試題難度突然陡增，導(dǎo)致一些學(xué)生在此結(jié)束該題.
但一部分具備了關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生能夠繼續(xù)探索，他們想到了將第(2)問中的條件“b
lna
-a
lnb
=a
-b
”與主題干中條件“函數(shù)f
(x
)=x
(1-lnx
)”相關(guān)聯(lián)，這是解決問題的關(guān)鍵，于是有了整理“同類項”，構(gòu)造函數(shù)的想法，將“b
lna
-a
lnb
=a
-b
”變形為隨后卻發(fā)現(xiàn)，不具備函數(shù)f
(x
)的結(jié)構(gòu)特征，不滿足f
(a
)=f
(b
)，于是一部分學(xué)生便束手無策.
到此，該題進入了抽象擴展水平要求階段，盡管該題f
(a
)≠f
(b
)，但若學(xué)生具備了抽象擴展水平，能夠從a
擴展到從b
擴展到的話，即可獲得再令進而將證明q
>2和p
+q
.
從該題的結(jié)構(gòu)來看，該是以關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平為基礎(chǔ)，主要目的是考察學(xué)生的抽象擴展水平.
3 壓軸題的突破路徑探析
突破壓軸題需要具備一定的基本知識和基本技能，僅僅處在前結(jié)構(gòu)水平和單一結(jié)構(gòu)水平上是無法有效突破壓軸題的，因此，壓軸題的突破路徑應(yīng)至少建立在多點結(jié)構(gòu)水平之上，否則無法實施.
3.1 注重核心內(nèi)容的周邊知識積累，提升多點結(jié)構(gòu)水平
作為綜合題的高考數(shù)學(xué)壓軸題，不可能僅僅由一種知識構(gòu)成，它往往是圍繞某一核心內(nèi)容做文章，并配以其他知識作為補充，以求達到綜合的效果.根據(jù)往年的高考試卷統(tǒng)計，在高中數(shù)學(xué)的眾多考點中，能夠設(shè)置為高考數(shù)學(xué)壓軸題的核心知識較為明確，一般為函數(shù)綜合、導(dǎo)數(shù)綜合、數(shù)列綜合和解析幾何綜合四大類.在突破這些壓軸題時，不僅需要對這些核心知識有較為深刻的掌握，同時，還要對周邊相關(guān)知識有一定量的積累，例如，解決函數(shù)類壓軸題需要用到的周邊知識有集合、方程、導(dǎo)數(shù)、不等式等；解決導(dǎo)數(shù)類壓軸題需要用的周邊知識有函數(shù)及其性質(zhì)、幾何、不等式等；解決數(shù)列類壓軸需要用的周邊知識有函數(shù)、方程、不等式等；解決解析幾何類壓軸題需要用到函數(shù)、向量、方程、不等式等.
在探尋壓軸題突破路徑時，除了深入掌握核心知識外，要特別注重梳理核心內(nèi)容的周邊知識，它們往往就是突破壓軸題的一個節(jié)點，缺少了任何一個都將影響問題的解決.在實踐中，通過對周邊知識的梳理，我們往往能找到突破壓軸題的相關(guān)知識.因此，扎扎實實的多點結(jié)構(gòu)水平是突破壓軸題的基礎(chǔ).
3.2 挖掘多種知識間的隱藏聯(lián)系，形成關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平
高考數(shù)學(xué)壓軸題中的多種知識是試題結(jié)構(gòu)中的節(jié)點，這些節(jié)點之間通過數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法構(gòu)成各種各樣的聯(lián)系，然而，聯(lián)系往往又是隱性的，并不表露于試題，因此，挖掘多種知識間的隱藏聯(lián)系是解決壓軸題的核心，挖掘出壓軸題中蘊含的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想是突破壓軸題的重要途徑.
一是函數(shù)綜合壓軸題中蘊含著函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、待定系數(shù)法、構(gòu)造法等數(shù)學(xué)思想與方法；二是導(dǎo)數(shù)綜合壓軸題中蘊含著數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、換元等數(shù)學(xué)思想與方法；三是數(shù)列綜合壓軸題中蘊含著函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、構(gòu)造法、數(shù)學(xué)歸納法等數(shù)學(xué)思想與方法；四是解析幾何綜合類壓軸題中蘊含著等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、待定系數(shù)法、參數(shù)法等數(shù)學(xué)思想與方法.由此可見，數(shù)學(xué)思想與方法并不固定屬于某一類壓軸題，它可以存在于不同的問題類型里，這些隱藏著的數(shù)學(xué)思想與方法是多種知識間的紐帶，通過它們可以將壓軸題由繁化簡、由難轉(zhuǎn)易.
因此，當學(xué)生處在關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平層次上時，能夠發(fā)現(xiàn)壓軸題中多種知識的隱藏聯(lián)系，并通過數(shù)學(xué)思想與方法，游刃有余地將不同類型的知識進行互相轉(zhuǎn)換、重新組合，將其轉(zhuǎn)變成熟悉的數(shù)學(xué)問題，進而使壓軸題得到突破.
3.3 密集發(fā)散性思維觸角，突破抽象擴展水平
突破高考壓軸題除了需要具有廣泛的基礎(chǔ)知識、靈活的思想方法外，還需要具有密集的發(fā)散性思維觸角，能夠敏銳感知到與問題相關(guān)的各種內(nèi)容、各種思路.發(fā)散性思維的觸角越多越敏銳，則突破抽象擴展水平的可能性越大，解決壓軸題的可能性也將越大.
解決高考壓軸類問題時，需要思維由已知分別發(fā)散到高度相關(guān)的內(nèi)容、一般相關(guān)的內(nèi)容或較少相關(guān)的內(nèi)容.在平時的實踐過程中，要有意識地關(guān)注與提煉看似邊緣知識里的核心內(nèi)容，以此來密集發(fā)散性思維觸角，同時，要注重提煉其中的核心方法與核心思想，以提升發(fā)散性思維觸角的敏銳度，達到隨時抽象與擴展的要求.然而，鑒于人的思維層次從關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)提升到抽象擴展結(jié)構(gòu)需要付出巨大的努力，指望所有的學(xué)生達到更高層次是很不現(xiàn)實的.因此，在平時教學(xué)過程中，教師要特別注重因材施教，盡量讓每個學(xué)生在數(shù)學(xué)中得到最大可能的發(fā)展，但不勉強每一個學(xué)生都達到抽象擴展水平.
4 結(jié)束語
高考壓軸題千變?nèi)f化，在基于SOLO分類理論的思維結(jié)構(gòu)視域下，突破高考壓軸題需要教師深入分析多種不同類型的高考壓軸題，明確各種壓軸題的思維結(jié)構(gòu)要求，并由此選擇不同的思維結(jié)構(gòu)水平進階路徑.同時，要劃分不同學(xué)生現(xiàn)有壓軸題思維結(jié)構(gòu)水平，并根據(jù)不同的學(xué)生給予不同的突破路徑及具體策略，在學(xué)生明確了自己的等級水平后，再進一步激發(fā)其深入學(xué)習(xí)的欲望.當壓軸題的思維結(jié)構(gòu)要求與學(xué)生的現(xiàn)有思維結(jié)構(gòu)水平相匹配時，突破高考壓軸題將不再是可望而不可及的目標.
猜你喜歡
中學(xué)生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學(xué))(2022年6期)2022-06-30 06:36:02
中學(xué)生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學(xué))(2022年6期)2022-06-30 06:36:02
小學(xué)生學(xué)習(xí)指導(dǎo)(中年級)(2022年4期)2022-04-26 06:34:46
今日農(nóng)業(yè)(2021年9期)2021-11-26 07:41:24
中學(xué)生數(shù)理化·七年級數(shù)學(xué)人教版(2021年10期)2021-11-22 07:53:00
中學(xué)生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學(xué))(2021年4期)2021-07-20 07:18:48
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版)(2019年4期)2019-09-18 15:15:11
當代陜西(2019年15期)2019-09-02 01:52:00
學(xué)苑創(chuàng)造·A版(2018年11期)2018-02-01 06:29:20
數(shù)學(xué)小靈通·3-4年級(2017年10期)2017-11-08 08:42:51
