歐陽瑋媛 鄭秋月

（1.漳州第一中學，福建 漳州 363000；2.漳州市第八中學，福建 漳州 363000）

根據(jù)《福建省“十三五”教育發(fā)展專項規(guī)劃》，2017 年起福建省中考數(shù)學由各地市自主命題轉(zhuǎn)為全省統(tǒng)一命題。數(shù)學思想方法是全面地、籠統(tǒng)地討論“what to do，how to do，why do it such”［1］。本文對福建省2017-2022 年內(nèi)的中考數(shù)學試題基于數(shù)學思想方法的視角進行梳理與分析，福建省中考對數(shù)學思想方法的考查體現(xiàn)為應用性和綜合性，即一道題考查多種思想方法，一種思想方法在不同的知識點進行考查；再基于數(shù)形結(jié)合思想視角對題目進行分析與審視，提出試題背后滲透的數(shù)形結(jié)合思想。

一、問題的提出

“雙減”政策下，中考數(shù)學不再是追求難度和計算量，而是更加注重考查學生對于思想方法的理解與應用，有些題目不用計算，根據(jù)圖象就可以獲取很多解題關(guān)鍵信息。歷年來，福建省中考重視對數(shù)學思想方法的考查（如表1）。而在一道題中考查多種數(shù)學思想方法大都以數(shù)形結(jié)合思想為基礎(chǔ)，這就要求學生需要有扎實的數(shù)學基礎(chǔ)，了解和掌握數(shù)形結(jié)合思想方法，形成快速有效的解題策略。本文通過分析中考試題，探究導致學生學習困境的原因，為中考備考及教與學提出建議。

數(shù)形結(jié)合思想主要出現(xiàn)在利潤最值問題、對稱性問題、求函數(shù)表達式問題、幾何問題四大題型中，學生對這四大題型常常感到無從下手，導致得分率不高，主要問題是在只知道運用計算的方法算出結(jié)果，寫不出必要的文字說明或者是出現(xiàn)漏解、錯解，在知識點的學習過程中停留在一知半解的狀態(tài)，知道結(jié)論卻不知道掌握其圖象進行數(shù)形結(jié)合分析，究其根本原因是學生沒有意識到數(shù)形結(jié)合思想的重要性，不會運用數(shù)形結(jié)合思想，也反映出在學習和教學過程中有效滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要性。

文章對福建省近6 年來數(shù)學中考中的四大題型進行分析，選取典例分析其中蘊含的數(shù)形結(jié)合思想以及學生常見的處理問題的誤區(qū)，強調(diào)數(shù)形結(jié)合思想的重要性，進一步分析在教學過程中如何利用數(shù)形結(jié)合思想深度挖掘問題，有效提高學生分析、解決問題的能力。

二、數(shù)形結(jié)合思想滲透貫穿于數(shù)學中考

通過對福建省2022 年中考25 道真題分析可知（如表2），數(shù)形結(jié)合思想貫穿始終（除第3、7、17、19題外），是最普遍、最利于解題的基礎(chǔ)性思維，是數(shù)學學習的一種重要視角，是解決數(shù)學問題的重要抓手，是數(shù)學核心素養(yǎng)的一部分［2］。

表2 2022 年福建省中考數(shù)學真題

三、福建省2017-2022 年中考典例解析

通過對福建省2017-2022 年中考試題中數(shù)形結(jié)合思想方法的分析與研究，結(jié)合中考熱點問題，進一步探究如何在平時的教學過程以及中考數(shù)學總復習中有效滲透數(shù)形結(jié)合思想，扎實學生數(shù)學基礎(chǔ)，提升學生靈活運用數(shù)形結(jié)合思想方法解決問題的能力。

（一）利潤最值問題

案例1：（2022 年福建省中考數(shù)學試卷第22 題）在學校開展”勞動創(chuàng)造美好生活“主題系列活動中，八年級（1）版負責校園某綠化角的設(shè)計、種植與養(yǎng)護。同學們約定沒人養(yǎng)護一盆綠植，計劃購買綠蘿和吊蘭兩種綠植共46 盆，且綠蘿盆數(shù)不少于吊蘭盆數(shù)的2 倍。已知綠蘿每盆9 元，吊蘭每盆6 元。

（1）采購組計劃將預算經(jīng)費390 元全部用于購買綠蘿和吊蘭，問可購買綠蘿和吊蘭各多少盆？

（2）規(guī)劃組認為有比390 元更省錢的方案，請求出購買兩種綠植總費用的最小值。

本題考查二元一次方程組的應用、一次函數(shù)的性質(zhì)［3］。1.由綠蘿和吊蘭的關(guān)系可以列出二元一次方程組求解箱數(shù)；2.假設(shè)綠蘿m盆，可以列出總費用W=3m+276，這是一次函數(shù)并且k＞0，可得W隨著m的增大而增大，由題意綠蘿盆數(shù)不少于吊蘭盆數(shù)的2倍，所以且m為整數(shù)，確定自變量的取值范圍，當m=31 時，總費用最小值為369 元。雖然考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，但其實很多學生只是生搬硬套，在考試中只知道用計算的方法算出結(jié)果，卻無法寫出必要的文字說明，追根究底，是在一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)學習過程中，不是數(shù)形結(jié)合，將圖象與性質(zhì)結(jié)合起來融會貫通，而是將兩者分開，死記硬背結(jié)論。在日常教學過程中，應讓學生充分感受題目中描述的情景，提取題目中的有效信息，把條件轉(zhuǎn)化為符號語言和圖形語言，給學生留下充足的時間進行深度思考，讓學生感受用數(shù)形結(jié)合來描述事物變化的過程，從而提升學生的數(shù)學表達能力。

（二）對稱性問題

案例2：（2019 年福建省中考數(shù)學試卷第10 題）若二次函數(shù)y＝|a|x2＋bx＋c的圖象過不同的五點A（m，n），B（0，y1），C（3-m，n），D（2，y2），E（2，y3），求y1，y2，y3的大小關(guān)系（ ）

A.y1＜y2＜y3B.y1＜y3＜y2

C.y3＜y2＜y1D.y2＜y3＜y1

本題考查的是二次函數(shù)的對稱性，在確定二次項系數(shù)是|a|＞0 的情況下，圖象開口向上，再觀察題目給出的五個點，A點和C點的函數(shù)值相同，由二次函數(shù)的對稱性可得對稱軸為，畫出二次函數(shù)的圖象，此時，離對稱軸越近函數(shù)值越小，從而確定y1，y2，y3的大小關(guān)系。函數(shù)問題是初中數(shù)學學習的重難點，遇到函數(shù)問題，多采用數(shù)形結(jié)合思想。在函數(shù)教學過程中，需注重對函數(shù)圖象與性質(zhì)的探索與分析，讓學生自己觀察，試著總結(jié)，再得出結(jié)論，讓學生充分感受到每一種函數(shù)圖象的特點，如正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的對稱性，使數(shù)量關(guān)系與幾何直觀巧妙結(jié)合在一起，讓抽象的問題具體化，化難為易。

（三）求函數(shù)表達式問題

案例3：（2020 年福建省中考數(shù)學試卷第25 題（1）已知直線l1：y＝-2x＋10 交y軸于點A，交x軸于點B，二次函數(shù)的圖象過A，B兩點，交x軸于另一點C，BC＝4，且對于該二次函數(shù)圖象上的任意兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），當x1＞x2≥5 時，總有y1＞y2。求二次函數(shù)的表達式。

本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。對于未知參數(shù)，常常需要結(jié)合函數(shù)圖象，進行分類討論。BC=4，C點坐標有兩種情況，在B點的左邊或者右邊，C（9，0）或C（1，0），若拋物線過C（9，0），當5＜x＜7 時，y隨x的增大而減小，不符合題意；若拋物線過C（1，0），當x＞3 時，必有y隨x的增大而增大，符合題意。因此C（1，0）。利用B、C點坐標即可求出二次函數(shù)表達式。除了參數(shù)，函數(shù)中取值范圍無法確定，取最大值或最小值等也需要數(shù)形結(jié)合進行分類討論。忽視數(shù)形結(jié)合容易導致思維的局限性，考慮問題不全面，容易出現(xiàn)漏解、錯解，數(shù)形結(jié)合則有利于提升學生的理性思維品質(zhì)和分析綜合能力，培養(yǎng)嚴謹?shù)臄?shù)學思維。

（四）幾何問題

案例4：（2019 年福建省中考數(shù)學試卷第21 題）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°。將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個角度α得到△DEC，點A，B的分別對應點D，E。

（1）若點E恰好落在邊AC上，如圖①，求∠ADE的大??；

圖①

（2）若α＝60°，F(xiàn)為AC的中點，如圖②，

圖②

求證：四邊形BEDF是平行四邊形。

本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)、直角三角形、等腰三角形和平行四邊形。（1）觀察圖形旋轉(zhuǎn)前與旋轉(zhuǎn)后的變與不變，將求∠ADE的大小轉(zhuǎn)化為求∠CDA與∠CDE的差，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得∠ADE=15°。（2）將求證四邊形BEDF是平行四邊形轉(zhuǎn)化為求證DE與BF平行且相等，求證DE與BF平行，轉(zhuǎn)化為求證一組內(nèi)錯角相等，利用∠DEC=90°，延長BF交EC于點G（如圖③），得∠DEC=∠BGE=90°，問題（2）得證。幾何是初中數(shù)學學習的重難點，學生遇到問題找不到切入點，在教學過程中需要引導學生通過觀察圖形，“將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言，通過數(shù)形結(jié)合有利于將問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)掌握的知識，將復雜問題轉(zhuǎn)化為幾個簡單的問題，將抽象問題轉(zhuǎn)化為具體、直觀的問題以便精確求解、化繁為簡”［4］。

圖③

四、啟示與展望

數(shù)形結(jié)合思想的形成是一個長期的過程，需要在日常數(shù)學學習和教學過程中逐步滲透，形成系統(tǒng)化的數(shù)形結(jié)合思想認知結(jié)構(gòu)。首先，教師在日常教學要有意識地滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學生從利用數(shù)形結(jié)合思想解決一道簡單問題到用數(shù)形結(jié)合思想與其他數(shù)學思想方法共同解決一道復雜問題，逐漸增加難度。其次，教師需要引導學生在閱讀題目中進行深度思考，提取題目中的有效信息，通過數(shù)形結(jié)合將題目中的條件轉(zhuǎn)化為符號語言和圖形語言；加強針對性，通過解決進階式變式問題提升學生的邏輯性、綜合性和探索性，訓練學生的思維能力和探索能力，揭示數(shù)形結(jié)合的思想方法。最后，教師需要把最基本的知識點講透，把利用數(shù)形結(jié)合思想解題的策略講到位，在練習和糾錯中不斷鞏固和深化，形成規(guī)律性的理性認識，培養(yǎng)學生靈活運用數(shù)形結(jié)合思想方法分析、解決問題的能力。

數(shù)形結(jié)合思想的形成不同于數(shù)學知識的理解、掌握和運用，它需要在知識教學與方法教學中形成，同時需要與學生的認知發(fā)展水平相適應［5］。數(shù)學結(jié)合思想是數(shù)學思想方法中的核心思想方法，是必修重視的數(shù)學核心素養(yǎng)，如何更好更有效滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，讓學生形成良好的數(shù)形結(jié)合認知視角和思維品質(zhì)、提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，仍然需要在教學過程中不斷探索研究與完善。