李 梅，高鑫鑫，梅萬(wàn)全，雷 濤，韓高升，潘鵬志，張義云

(1.武漢理工大學(xué) a.資源與環(huán)境工程學(xué)院；b.土木工程與建筑學(xué)院，武漢 430070；2.中國(guó)科學(xué)院 武漢巖土力學(xué)研究所巖土力學(xué)與工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430071)

深埋長(zhǎng)大隧道工程鉆爆法施工過(guò)程中，產(chǎn)生的瞬態(tài)應(yīng)力波會(huì)嚴(yán)重?cái)_動(dòng)既有隧道，對(duì)既有隧道造成的破壞不可忽視。因此，計(jì)算地下結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載下的動(dòng)力響應(yīng)解進(jìn)而分析其變化特點(diǎn)具有重要意義。

目前，對(duì)爆破擾動(dòng)下隧道結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算多集中在穩(wěn)態(tài)分析，其解析解多以波函數(shù)展開(kāi)法為基礎(chǔ)。Yi等通過(guò)對(duì)深埋圓形襯砌隧道在平面P波作用下襯砌隧道的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)(DSCF)進(jìn)行解析計(jì)算[1]，研究了高頻及低頻入射波情況下動(dòng)力影集中系數(shù)的變化規(guī)律，以及圍巖不同位置上爆破波主頻和圍巖物理力學(xué)指標(biāo)對(duì)動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的影響[2,3]；在此基礎(chǔ)上，F(xiàn)an等在接觸面處引入線性彈簧模型[4]，系統(tǒng)研究巖體和襯砌的無(wú)量綱波數(shù)、界面彈簧常數(shù)和襯砌厚度對(duì)動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的影響；Lu等通過(guò)計(jì)算圓形隧道圍巖質(zhì)點(diǎn)速度響應(yīng)的解析解[5]，分析波源與隧道軸線的比例距離和隧道波長(zhǎng)半徑比對(duì)徑向速度比例因子(RVSF)和環(huán)向速度比例因子(HVSF)的影響。

然而，實(shí)際工程施工擾動(dòng)以瞬態(tài)波的形式傳播，對(duì)穩(wěn)態(tài)波的研究成果不能全面描述瞬態(tài)波擾動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)影響。因此，在穩(wěn)態(tài)解的基礎(chǔ)上，部分學(xué)者用數(shù)值逆變換或梯形求積等方法對(duì)瞬態(tài)彈性波入射時(shí)無(wú)限彈性介質(zhì)中隧道的解析解及動(dòng)力響應(yīng)影響進(jìn)行了研究[6-10]。梅萬(wàn)全等采用Den Iseger法數(shù)值逆變換，推導(dǎo)了深埋無(wú)襯砌隧道瞬態(tài)響應(yīng)的理論公式[6]，采用彈塑性細(xì)胞自動(dòng)機(jī)中的動(dòng)力模塊模擬爆破引起的彈塑性動(dòng)力響應(yīng)，研究隧道不同位置的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)及徑向和環(huán)向速度比例系數(shù)變化。Li等首次推導(dǎo)出了定量評(píng)估爆破荷載作用下圓形隧道周?chē)鄬?duì)速度的理論公式[7]，從理論上詳細(xì)研究了波長(zhǎng)與隧道直徑比對(duì)振動(dòng)速度放大效應(yīng)的影響。Li等用梯形求積法[8-10]，計(jì)算深埋無(wú)襯砌隧道的動(dòng)應(yīng)力、速度和位移等瞬態(tài)響應(yīng)理論解，并采用二維PFC數(shù)值模型對(duì)理論分析進(jìn)行了驗(yàn)證，研究靜態(tài)地應(yīng)力和動(dòng)態(tài)卸荷波耦合作用下既有隧道的破壞特征，并進(jìn)一步從瞬態(tài)波的卸荷速率、卸荷路徑、地應(yīng)力及開(kāi)挖半徑等角度分析隧道周?chē)膭?dòng)力響應(yīng)。

由上可知，對(duì)爆破擾動(dòng)下深埋隧道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)瞬態(tài)解研究目前主要集中在無(wú)襯砌隧道，采用數(shù)值逆變換法和梯形求積法求解無(wú)襯砌隧道的動(dòng)力響應(yīng)，且對(duì)接觸面處和隧道內(nèi)的動(dòng)力響應(yīng)研究比較少。而實(shí)際工程中大多隧道有襯砌，故開(kāi)展爆破擾動(dòng)下有襯砌隧道結(jié)構(gòu)瞬態(tài)動(dòng)力響應(yīng)研究很有必要。鑒于相同計(jì)算精度下，數(shù)值逆變換法求解及編程復(fù)雜，因此，論文以深埋圓形有襯砌隧道為研究對(duì)象，采用波函數(shù)展開(kāi)法和梯形求積，計(jì)算平面爆破P波擾動(dòng)下隧道瞬態(tài)動(dòng)力響應(yīng)解析解，分析爆破擾動(dòng)對(duì)隧道接觸面處和隧道內(nèi)不同位置的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)(DSCF)及徑向(RVSF)和環(huán)向(HVSF)速度比例系數(shù)的影響。

1 爆破P波(瞬態(tài))擾動(dòng)下深埋圓形襯砌隧道動(dòng)力響應(yīng)解析解

研究爆破P波對(duì)有襯砌隧道瞬態(tài)動(dòng)力響應(yīng)，可在穩(wěn)態(tài)解的基礎(chǔ)上進(jìn)行，即通過(guò)對(duì)P波動(dòng)力擾動(dòng)的穩(wěn)態(tài)解進(jìn)行梯形求積，求得瞬態(tài)解析解，進(jìn)而分析圍巖及隧道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)特征。

圖1所示為位于無(wú)限空間介質(zhì)中的深埋圓形襯砌隧道模型，圍巖和襯砌均為彈性、均質(zhì)和各向同性材料，且隧道無(wú)限長(zhǎng)，可將該模型視為平面應(yīng)變模型。隧道襯砌內(nèi)半徑為a，外半徑為b，爆破P波沿X軸正向傳播。

圖 1 爆破P波擾動(dòng)下深埋圓形襯砌隧道模型Fig. 1 Model of deep circular lining tunnel under blasting P-wave disturbance

1.1 深埋圓形襯砌隧道波場(chǎng)分析

根據(jù)圖1，平行入射穩(wěn)態(tài)平面P波可表示為[11]

φ(i)=φ0ei(αsx-ωt)

(1)

利用波函數(shù)展開(kāi)法，上式可寫(xiě)為

(2)

式中：φ0為入射P波波幅；αs=ω/Cps為圍巖介質(zhì)的縱波波數(shù)；ω為入射波頻率；Cps為襯砌中的P波波速；i為虛數(shù)單位；r為隧道半徑；Jn為第一類(lèi)n階Bessel函數(shù)，其中，當(dāng)n=0時(shí)，εn=1，當(dāng)n>0時(shí)，εn=2。

當(dāng)入射P波傳播圍巖與襯砌之間的接觸面時(shí)，接觸面的存在使巖體中產(chǎn)生反射P波和反射SV波，可由第一類(lèi)Hankel函數(shù)分別表示為

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

1.2 邊界條件和穩(wěn)態(tài)P波擾動(dòng)下的動(dòng)力響應(yīng)解析解

假設(shè)圍巖與襯砌之間理想接觸，即位移和應(yīng)力連續(xù)

當(dāng)r=b時(shí)

(9)

當(dāng)r=a時(shí)

(10)

式中：σrrs、σrθs分別表示圍巖內(nèi)的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力；σrrL、σrθL分別表示襯砌內(nèi)的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力。

邊界條件結(jié)合應(yīng)力和位移勢(shì)關(guān)系，即可得待定系數(shù)An、Bn、Cn、Mn、Dn、Nn。

圍巖和隧道襯砌內(nèi)P波在傳播方向上的應(yīng)力強(qiáng)度可分別定義為

(11)

(12)

以此做歸一化因子，定義隧道邊界處的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)(DSCF)為[6]

(13)

(14)

式中：σθθs、σθθL分別表示圍巖和襯砌內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的環(huán)向應(yīng)力，其中，下標(biāo)S、L分別表示圍巖和襯砌。

使用類(lèi)似的方法，用質(zhì)點(diǎn)速度峰值的大小v0s=αsωφ0·e-iωt，v0L=αLωφ0·e-iωt將徑向速度和環(huán)向速度歸一化，定義徑向和環(huán)向速度比例因子(RVSF)和(HVSF)為

(15)

(16)

(17)

(18)

1.3 瞬態(tài)P波擾動(dòng)下動(dòng)力響應(yīng)解析解

在上節(jié)所求的穩(wěn)態(tài)P波擾動(dòng)下隧道動(dòng)力響應(yīng)解析解的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)瞬態(tài)解析解，從而分析瞬態(tài)P波擾動(dòng)下隧道的動(dòng)力響應(yīng)。

參考既有文獻(xiàn)[12-14]，用三角形爆破荷載函數(shù)定義爆破荷載的時(shí)間歷程，即式(19)

(19)

圖1模型中，入射波到達(dá)襯砌外邊界時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)(即r=b時(shí)時(shí)間為零)。經(jīng)過(guò)的時(shí)間t被歸一化為通過(guò)外半徑b所需的時(shí)間

τ=Cpst/b

(20)

通過(guò)傅里葉變換，任意輸入函數(shù)f(t)引起的彈性系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)可表示為

(21)

式中：χ(xi,ω)為系統(tǒng)的導(dǎo)納函數(shù)，為單位振幅下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，可用公式(13)～(18)表示；F(ω)為爆破荷載函數(shù)(擾動(dòng)函數(shù))f(t)的傅里葉變換。

沿隧道邊界輸入的爆破荷載函數(shù)f(t)的傅里葉變換F(ω)用Heaviside階躍函數(shù)的傅里葉變換表示

(22)

式中：Re(ζ)=αsb。

系統(tǒng)的導(dǎo)納函數(shù)可以簡(jiǎn)化為

χ(xi,ω)=R(ω)+iI(ω)

(23)

式中：R(ω)和I(ω)表示頻率響應(yīng)的實(shí)部和虛部。

對(duì)于因果函數(shù)，可用正弦函數(shù)表示瞬態(tài)響應(yīng)，通過(guò)Heaviside階躍函數(shù)輸入引起的脈沖響應(yīng)，可以用下式積分表示

(24)

根據(jù)Duhamel積分，任意擾動(dòng)函數(shù)f(t)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)表示如下

(25)

當(dāng)0≤t

(26a)

當(dāng)tr≤t

(26b)

當(dāng)t≥ts

(26c)

式中，R(ω)由公式(13)～(18)的實(shí)部表示[7,8]，根據(jù)公式(26)及梯形求積法即可確定爆破荷載作用下隧道的瞬態(tài)響應(yīng)解析解。

2 梯形求積法解析解結(jié)果有效性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證梯形求積法求得的解析結(jié)果的正確性，運(yùn)用FLAC3D軟件和工程巖體破裂過(guò)程分析軟件(CASRock)中的動(dòng)力分析模塊CASRock.Dyna計(jì)算的數(shù)值結(jié)果與Matlab計(jì)算的解析解進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證[15-19]。

選取文獻(xiàn)[6]中的算例，隧道橫斷面為圓形，內(nèi)徑a=6.0 m，外徑b=6.5 m，監(jiān)測(cè)點(diǎn)位于隧道拱頂，數(shù)值模型尺寸為400 m×400 m×2 m，如圖2所示。在計(jì)算模型的左側(cè)邊界施加爆破應(yīng)力波，模擬隧道受到的瞬時(shí)動(dòng)力擾動(dòng)，時(shí)間從爆破荷載傳至隧道接觸面處開(kāi)始計(jì)算，爆破荷載上升時(shí)間2.5 ms，爆破荷載施加總時(shí)間12.5 ms。其他邊界設(shè)置為粘性人工邊界，吸收邊緣反射的應(yīng)力波。其他參數(shù)為：圍巖的彈性模量Es=50.00 GPa、密度2700 kg/m3、泊松比0.20，襯砌的彈性模量EL=30.00 GPa、密度2500 kg/m3、泊松比0.25。

計(jì)算得到的有襯砌隧道DSCF如圖3所示。位于圍巖與襯砌接觸面處監(jiān)測(cè)點(diǎn)的DSCF明顯大于襯砌內(nèi)部監(jiān)測(cè)點(diǎn)，理論計(jì)算DSCF峰值略大于數(shù)值模擬DSCF峰值，且數(shù)值結(jié)果與理論結(jié)果的差異相比曲線振幅較小，其差異可忽略，說(shuō)明用梯形求積計(jì)算爆破擾動(dòng)下有襯砌隧道的動(dòng)力響應(yīng)合理。

圖 2 數(shù)值模型(單位：m)Fig. 2 Numerical model(unit:m)

圖 3 動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的梯形求積解與FLAC3D數(shù)值模擬解比較Fig. 3 Comparison between trapezoidal quadrature solution of DSCF and FLAC3D numerical simulation solution

3 爆破P波擾動(dòng)下圓形襯砌隧道動(dòng)力響應(yīng)分析

3.1 工程背景

錦屏二級(jí)水電站1#，3#引水隧洞工程，引水隧洞采用TBM和鉆爆法結(jié)合開(kāi)挖，洞線平均長(zhǎng)度16.67 km，全洞一般埋深1500～2000 m，最大埋深2525 m，其中，TBM開(kāi)挖段為圓形隧洞，開(kāi)挖半徑約6.6 m，襯砌厚度0.6 m，屬于典型的深埋長(zhǎng)大隧洞。

引水隧洞主要穿越三疊系下統(tǒng)、雜谷腦組、上統(tǒng)、白山組、鹽塘組共5套地層，在TBM開(kāi)挖段埋深較大、地應(yīng)力較高的白山組地層中選取垂直于引水隧洞軸線的豎直剖面作為計(jì)算斷面，計(jì)算模型材料物理學(xué)參數(shù)如表1所列。

表 1 材料物理學(xué)參數(shù)

3.2 隧洞瞬態(tài)動(dòng)力響應(yīng)分布規(guī)律

采用上述解析解公式研究爆破擾動(dòng)下隧洞瞬態(tài)動(dòng)力響應(yīng)分布規(guī)律，取爆破荷載標(biāo)準(zhǔn)化上升時(shí)間τr=5，總時(shí)間與上升時(shí)間的比值ts/tr=5，其他計(jì)算參數(shù)如表1所列。爆破擾動(dòng)對(duì)隧洞接觸面處和隧洞襯砌內(nèi)的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)及速度振動(dòng)比例因子的計(jì)算結(jié)果如圖4所示。隧洞襯砌內(nèi)與隧洞接觸面處的動(dòng)力響應(yīng)曲線形狀相同，幅度顯著減小。

爆破荷載加卸載過(guò)程中產(chǎn)生的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)見(jiàn)圖4(a)和圖4(b)，爆破擾動(dòng)過(guò)程中，隧洞和襯砌接觸面處及隧洞內(nèi)表面處均產(chǎn)生了明顯的動(dòng)應(yīng)力集中，主要表現(xiàn)為拉應(yīng)力集中于θ=0和π處，壓應(yīng)力集中于θ=π/2處。θ=0和π處的DSCF時(shí)程曲線趨勢(shì)大致相同，加載過(guò)程中，DSCF迅速增加到第一個(gè)正峰值，然后下降到最小值；卸載過(guò)程中，DSCF從最小值增大到次正峰值，然后減小到零。θ=π/2處的DSCF時(shí)程曲線趨勢(shì)大致相同，加卸載過(guò)程中，DSCF增加到第一個(gè)正峰值后再降到最小值，最后減小到零。

圖 4 平面爆破P波擾動(dòng)下隧道動(dòng)力響應(yīng)解析結(jié)果Fig. 4 Analytical results of tunnel dynamic response under plane blasting P-wave disturbance

爆破荷載在達(dá)到θ=0(圖4(c))處，介質(zhì)徑向速度迅速達(dá)到峰值并逐漸減小到零，在θ=π/2(圖4(d))時(shí)，介質(zhì)徑向速度產(chǎn)生輕微震蕩，但速度振動(dòng)幅值較小。

3.3 圍巖與襯砌彈性模量比對(duì)隧洞瞬態(tài)動(dòng)力響應(yīng)峰值的影響

考慮到密度和泊松比對(duì)襯砌動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)影響較小[20]，因此，主要研究爆破P波擾動(dòng)下圍巖與襯砌彈性模量比對(duì)隧洞瞬態(tài)動(dòng)力響應(yīng)峰值的影響，分析結(jié)果可參與指導(dǎo)隧洞減震施工。引入圍巖與襯砌介質(zhì)彈性模量比γ=Es/EL，計(jì)算參數(shù)見(jiàn)表1。圖5～7給出了彈性模量比γ=1～10時(shí)，洞室動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)峰值、徑向和環(huán)向速度比例因子峰值分布。

當(dāng)γ<2時(shí)，隨著γ的增加，洞室襯砌內(nèi)動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)峰值、徑向和環(huán)向速度比例因子峰值降低最快；γ=4時(shí)，動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)峰值下降值占對(duì)應(yīng)最大下降值的80%，徑向和環(huán)向速度比例因子峰值下降值占對(duì)應(yīng)最大下降值72%。但在γ從1到10增大過(guò)程中，圍巖與襯砌的接觸面處的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)峰值、徑向和環(huán)向速度比例因子峰值無(wú)顯著變化，可見(jiàn)，對(duì)圍巖進(jìn)行加固，提高其彈性模量，可使部分襯砌中的能量轉(zhuǎn)到圍巖，且圍巖與襯砌彈性模量比越大，越有利于隧洞結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。

圖 5 動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)峰值隨γ的變化Fig. 5 Variation of maximum DSCF with γ

圖 6 徑向速度比例因子峰值隨γ的變化Fig. 6 Variation of maximum RVSF with γ

圖 7 環(huán)向速度比例因子峰值隨γ的變化Fig. 7 Variation of maximum HVSF with γ

4 結(jié)論

論文基于波函數(shù)展開(kāi)法，在穩(wěn)態(tài)解的基礎(chǔ)上，采用梯形求積，推導(dǎo)了平面爆破P波擾動(dòng)下圓形有襯砌隧道動(dòng)力響應(yīng)的瞬態(tài)解析解，分析了爆破P波擾動(dòng)對(duì)隧道襯砌接觸面處和隧道內(nèi)的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)(DSCF)及徑向和環(huán)向速度振動(dòng)(RVSF、HVSF)的影響。研究成果可為類(lèi)似工程計(jì)算提供參考。主要結(jié)論如下：

(1)隧道襯砌與圍巖之間接觸面處拱頂及兩側(cè)拱腰位置的DSCF、RVSF和HVSF的變化趨勢(shì)相同，且接觸面處的響應(yīng)峰值要大于襯砌內(nèi)側(cè)。

(2)隧道頂板處的DSCF和HVSF效應(yīng)遠(yuǎn)比左右側(cè)壁處顯著，相反，隧道兩側(cè)壁處的RVSF效應(yīng)遠(yuǎn)比頂板處顯著，且動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)響應(yīng)峰值遠(yuǎn)大于速度振動(dòng)響應(yīng)峰值。

(3)增大圍巖與襯砌彈性模量之比可有效降低襯砌內(nèi)動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)峰值和速度比例因子峰值，但超過(guò)2～4倍比例后，降低效果有限，建議對(duì)圍巖采取注漿加固等措施提高圍巖與襯砌彈性模量比，保證隧道結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。