王小東，王會(huì)良，2，蘇建新，2

(1.河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南洛陽 471003；2.機(jī)械裝備先進(jìn)制造河南省協(xié)同創(chuàng)新中心，河南洛陽 471003)

0 前言

隨著“中國制造2025”計(jì)劃的順利展開，國家對(duì)機(jī)械制造行業(yè)提出了更高的要求，相應(yīng)的零件加工設(shè)備水平也隨之提高。電主軸是一種新型的機(jī)床加工傳動(dòng)設(shè)備，它摒棄了皮帶、齒輪等傳統(tǒng)的傳動(dòng)方式，直接將電動(dòng)機(jī)與傳動(dòng)主軸通過結(jié)構(gòu)改進(jìn)耦合在一起，大大縮短了傳動(dòng)鏈，將電動(dòng)機(jī)的動(dòng)能直接傳遞給主軸，提高了傳動(dòng)精度。

但在實(shí)際加工過程中，由于電主軸系統(tǒng)整體處于高速旋轉(zhuǎn)中，受到不可避免因素如：主軸自身不平衡量、軸承的摩擦以及加工磨削力的影響，轉(zhuǎn)動(dòng)體會(huì)在各方向產(chǎn)生微小的振動(dòng)位移偏量。這對(duì)齒輪類零件的磨削修齒質(zhì)量影響非常大，在工件的被加工表面上會(huì)以條痕或布紋痕顯現(xiàn)出來，最終影響整體零件的裝配質(zhì)量。因此，研究磨齒機(jī)電主軸的振動(dòng)特性很有必要。

目前針對(duì)數(shù)控加工用電主軸的振動(dòng)問題研究方向主要有主軸的振動(dòng)幅度、固有頻率、臨界轉(zhuǎn)速等。國內(nèi)外學(xué)者在這些方面開展了深入的研究并取得了可觀的研究成果。在整體運(yùn)動(dòng)方面，劉志松等在立式加工中心的基礎(chǔ)上對(duì)電主軸動(dòng)態(tài)誤差進(jìn)行了測(cè)試；崔方圓等建立了電主軸靜態(tài)的運(yùn)動(dòng)誤差動(dòng)力學(xué)模型。零部件方面，高峰等人建立了電主軸轉(zhuǎn)子偏心模型,通過推理得到了轉(zhuǎn)子偏心振動(dòng)方程；白向娟等針對(duì)振動(dòng)切削過程中電主軸軸端的振動(dòng)問題，研究了軸承彈性支撐單元的傳遞矩陣。以上對(duì)電主軸動(dòng)態(tài)特性的研究大多數(shù)是基于轉(zhuǎn)動(dòng)主軸的仿真分析和零部件結(jié)構(gòu)仿真優(yōu)化兩方面，而對(duì)于主軸-轉(zhuǎn)子、軸承系統(tǒng)整體數(shù)學(xué)模型的分析尚不夠深入。

為此，本文作者針對(duì)YK7350B型擺線輪成型磨齒機(jī)展開研究，利用實(shí)際參數(shù)對(duì)磨削電主軸系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模和有限元分析，得到理論固有頻率和振型，最后通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量實(shí)際加工狀態(tài)下的振動(dòng)數(shù)據(jù)。這在實(shí)際生產(chǎn)中具有很重要的應(yīng)用需求，也為后續(xù)的振動(dòng)原理分析、電主軸結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供了參考。

1 電主軸系統(tǒng)的整體建模

1.1 電主軸結(jié)構(gòu)分析

磨削電主軸的結(jié)構(gòu)如圖1所示，主軸直接安裝在電動(dòng)機(jī)內(nèi)部，與轉(zhuǎn)子耦合在一起，定子固定在電主軸外殼內(nèi)部。主軸前端伸出長(zhǎng)度用來配合不同作用的砂輪以及安裝配重環(huán)。4個(gè)滾動(dòng)軸承起支撐作用以及減小轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦力；冷卻水套負(fù)責(zé)控制溫度，減小轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的熱能。

圖1 磨削電主軸三維截面圖

由于電主軸系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，因此需對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化，選取其中對(duì)數(shù)學(xué)模型參數(shù)有影響的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。針對(duì)此問題，作者將系統(tǒng)簡(jiǎn)化為主軸-轉(zhuǎn)子、滾珠軸承3個(gè)部件作為理論建模的基礎(chǔ)。

1.2 傳遞矩陣法電主軸建模

傳遞矩陣法目前是計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性較為通用的方法。它能將復(fù)雜的多自由度系統(tǒng)分解為單自由度系統(tǒng)或基本的質(zhì)量和彈性元件。在各子系統(tǒng)的端面兩兩相互連接，通過單元傳遞矩陣從系統(tǒng)的起點(diǎn)推送至終點(diǎn)位置，利用邊界條件求解矩陣方程。

主軸-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是固定在一起的質(zhì)量均勻的實(shí)體，按傳遞矩陣?yán)碚摽蓪⑾到y(tǒng)簡(jiǎn)化為個(gè)無體積的等厚剛性圓盤和-1個(gè)等質(zhì)量的彈性軸段，每?jī)蓚€(gè)圓盤用彈性軸段隔開并分別與軸段的兩個(gè)端面進(jìn)行連接，由于軸段也是無體積的理想狀態(tài)，所以將軸段的質(zhì)量平均分配在兩端的截面上使其固定，軸段的抗彎剛度的值為截面處的平均值。

軸承在系統(tǒng)中起到固定作用，在實(shí)際的磨削加工中，受轉(zhuǎn)速變化的影響，其剛度呈非線性變化，應(yīng)作為彈性支承進(jìn)行分析。所以在此作者將軸承簡(jiǎn)化為一個(gè)受力彈簧，其徑向剛度為，角剛度為，如圖2所示。

圖2 電主軸結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化模型

將離散得到的電主軸模型簡(jiǎn)化為總質(zhì)量集成模型，取帶彈性支承的第(=1,2,…,-1)個(gè)圓盤和第個(gè)軸段進(jìn)行分析。由經(jīng)典動(dòng)力學(xué)可知，典型單元的傳遞矩陣為

=

(1)

其中軸段的單元傳遞矩陣為

(2)

剛性圓盤的單元傳遞矩陣為

(3)

其中：為單元軸段長(zhǎng)度，mm；為材料彈性模量，N/mm；為截面慣性力矩，mm；為進(jìn)動(dòng)角速度，r/min；為節(jié)點(diǎn)處質(zhì)量，kg；為自轉(zhuǎn)速度，r/min；為直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量， kg/mm；與剪切彈性模量和截面形狀有關(guān)，查閱相關(guān)資料后經(jīng)過推算，取0.886；在此模型中圓盤沒有支承，和都為0。

對(duì)于中間的轉(zhuǎn)子和主軸耦合軸段，將轉(zhuǎn)子自身所受的重力轉(zhuǎn)化為內(nèi)部軸段所受的力，并使軸段中的各個(gè)圓盤都受到同樣大小的力以達(dá)到受力平衡，設(shè)力的大小為′。取轉(zhuǎn)子軸段中任意典型單元進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，則轉(zhuǎn)子軸段中剛性圓盤的傳遞矩陣為

(4)

其對(duì)應(yīng)的軸段的單元傳遞矩陣為

(5)

其總的傳遞矩陣方程為

(6)

其整個(gè)軸系的頻率方程為

(7)

1.3 傳遞矩陣的驗(yàn)證

通過前面?zhèn)鬟f矩陣公式可以看出當(dāng)為定值時(shí)，可求得整個(gè)系統(tǒng)的多階頻率和振型分布。在此設(shè)定=1，此時(shí)可求得軸系方程的固有頻率，進(jìn)而算出臨界轉(zhuǎn)速。通過查閱電主軸相關(guān)型號(hào)以及測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)，得出電主軸系統(tǒng)部分參數(shù)如表1所示。

表1 電主軸系統(tǒng)參數(shù)

利用MATLAB有限元軟件進(jìn)行矩陣計(jì)算和分析，輸入結(jié)構(gòu)參數(shù)和頻率范圍，約定邊界條件。將電主軸系統(tǒng)離散為14個(gè)節(jié)點(diǎn)，轉(zhuǎn)子受約束產(chǎn)生的載荷和變形作用在中間分段，節(jié)點(diǎn)5和節(jié)點(diǎn)9兩端作用力分別為′2，如圖3所示。

圖3 電主軸離散有限元模型

將離散模型的左端面作為計(jì)算開始的初始截面。按規(guī)定順序連乘，計(jì)算整體的傳遞矩陣。

(8)

則整體計(jì)算為

(9)

為計(jì)算方便將初始截面設(shè)置為主軸的左端面，從標(biāo)號(hào)1開始(見圖2)，利用MATLAB軟件進(jìn)行整體的矩陣運(yùn)算，選擇合適的頻率范圍以及邊界約束條件，將電主軸參數(shù)代入最終方程可計(jì)算出電主軸的固有頻率約為180.6 Hz。通過轉(zhuǎn)換公式：

=60

(10)

算出此電主軸的臨界轉(zhuǎn)速為10 836 r/min。后續(xù)會(huì)對(duì)此結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步的研究和驗(yàn)證。

2 電主軸系統(tǒng)的有限元分析

利用三維繪圖和ANSYS軟件，首先將電主軸模型導(dǎo)入ANSYS進(jìn)行布爾和運(yùn)算，目的是對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化。通過添加約束將轉(zhuǎn)子和主軸固定在一起，對(duì)主軸、轉(zhuǎn)子以及軸承分別施加接觸關(guān)系、約束以及對(duì)應(yīng)的材料屬性，最后對(duì)整個(gè)電主軸系統(tǒng)進(jìn)行四面體單元網(wǎng)格處理，確定單元數(shù)4 243個(gè)、節(jié)點(diǎn)數(shù)8 628個(gè)。有限元模型如圖4所示。

圖4 電主軸簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)有限元模型

選用迭代算法分析該模型的模態(tài)振型，截取前5階振動(dòng)的振型圖及對(duì)應(yīng)的振動(dòng)頻率圖(見圖5)進(jìn)行分析。

從圖5—圖6可以看出：1～3階電主軸左端面的變形量都很小，較為穩(wěn)定，滿足了動(dòng)靜剛度的設(shè)計(jì)需求。模態(tài)一階振動(dòng)頻率188.64 Hz與第1節(jié)數(shù)學(xué)計(jì)算固有頻率結(jié)果180.6 Hz大致相同，驗(yàn)證了傳遞矩陣?yán)碚摻＝Y(jié)果的正確性。存在誤差的原因在于有限元分析時(shí)的約束和接觸分析與實(shí)際情況還是有所偏差。1、2階模態(tài)頻率值相同，振型表現(xiàn)為正交，視為一對(duì)重根。4階及以上由于頻率過高，變形量較大，電主軸結(jié)構(gòu)實(shí)際已損壞。同時(shí)此臨界轉(zhuǎn)速=60×188.64=11 318 r/min相對(duì)于磨齒機(jī)正常工作下的轉(zhuǎn)速(小于5 000 r/min)來說差距較大，說明實(shí)際加工中能夠避開固有頻率振動(dòng)區(qū)，保證了加工過程中的安全。

圖5 電主軸5階模態(tài)振型

圖6 電主軸前5階振動(dòng)頻率

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建

以YK7350型數(shù)控?cái)[線輪磨齒機(jī)為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，測(cè)試其電主軸在正常加工環(huán)境下的振動(dòng)情況。其他硬件設(shè)施包含：M+P振動(dòng)測(cè)儀一臺(tái)、數(shù)據(jù)采集卡以及若干帶線路的振動(dòng)加速度傳感器。實(shí)驗(yàn)測(cè)點(diǎn)的位置分布如圖7所示。

圖7 實(shí)際磨削實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)圖片

作者分別對(duì)磨齒機(jī)整機(jī)在、方向的振動(dòng)特性進(jìn)行分析，方向有電主軸專用固定架，在實(shí)際加工中軸向竄動(dòng)可以忽略不計(jì)。對(duì)兩個(gè)方向采集到的不同時(shí)域振動(dòng)信號(hào)和頻域信號(hào)進(jìn)行分析。

3.2 數(shù)據(jù)采集處理及分析

利用MATLAB7.1軟件編寫傅里葉函數(shù)變換程序，對(duì)采集到的電主軸振動(dòng)頻率的成分進(jìn)行處理，得到、方向上的頻譜圖。分別進(jìn)行了兩種工況下的測(cè)量以提高實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性，工況一設(shè)定電主軸轉(zhuǎn)速為2 500 r/min，工況二設(shè)為3 000 r/min，加工磨削深度都為0.003 mm，如圖8所示。

圖8 工況一下機(jī)床振動(dòng)頻譜

圖9 工況二下機(jī)床振動(dòng)頻譜

從圖8(a)(b)對(duì)比可以看出：在頻率為189 Hz時(shí)，振動(dòng)加速度都出現(xiàn)了最大峰值。該頻率與前兩章計(jì)算出的固有頻率接近，同時(shí)在頻率40 Hz處也出現(xiàn)了峰值，與實(shí)驗(yàn)工作頻率(=2 500/60=42 Hz)十分接近，說明該處的峰值與電主軸的工作頻率有一定的關(guān)聯(lián)，方向的整體振動(dòng)與方向相比較大。

工況二中同樣是在189 Hz處產(chǎn)生最大峰值，可以判斷189 Hz可能已接近電主軸的固有頻率值。同時(shí)在51 Hz處也產(chǎn)生與工況一類似的情況(=3 000/60=50 Hz)，數(shù)值較工況一有所增加，對(duì)方向的振動(dòng)影響也較為明顯。其后高階頻率的振動(dòng)加速度峰值可能與電主軸固定倍頻有關(guān)。

4 結(jié)論

(1)通過對(duì)電主軸數(shù)學(xué)建模、有限元分析以及實(shí)際實(shí)驗(yàn)，完成了該款電主軸的一系列校核，得出其固有頻率接近189 Hz。在實(shí)際加工中要使運(yùn)行轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)的頻率盡量遠(yuǎn)離固有頻率，保證加工的安全性。

(2)通過兩次實(shí)驗(yàn)對(duì)比，得出電主軸的振動(dòng)加速度與實(shí)際工作頻率有較大的聯(lián)系，原因是在該頻率處砂輪與工件接觸，受到不斷變化的磨削力的影響，振幅也會(huì)隨著工作頻率的增加而不斷增加。

(3)通過對(duì)頻譜圖進(jìn)行分析，得到固有頻率處的振動(dòng)加速度值最大，最大為0.004 92。同一條件下方向的整體振動(dòng)要比方向大，原因是受到較大慣性轉(zhuǎn)動(dòng)力矩及砂輪配重環(huán)重力的影響，為后續(xù)電主軸精度的提高提供了理論支撐。