杜柳青, 李祥，呂發(fā)良，余永維

(重慶理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，重慶 400054)

0 前言

高精度凸輪加工采用CNC控制的-軸聯(lián)動(dòng)高速磨削，高端數(shù)控磨床上都帶有位移補(bǔ)償裝置，想要進(jìn)一步提升凸輪加工精度，就必須降低-軸聯(lián)動(dòng)加工的同步誤差，而降低同步誤差的最好方式是對(duì)加工過(guò)程進(jìn)行閉環(huán)微分補(bǔ)償。-軸聯(lián)動(dòng)加工模型實(shí)現(xiàn)微分補(bǔ)償需要計(jì)算模型導(dǎo)數(shù)，而模型的數(shù)學(xué)公式非常復(fù)雜，導(dǎo)數(shù)計(jì)算難度和計(jì)算量都非常大，在高速加工過(guò)程中無(wú)法確保數(shù)據(jù)能夠進(jìn)行實(shí)時(shí)交互。如何簡(jiǎn)化模型成為實(shí)現(xiàn)在線補(bǔ)償?shù)囊粋€(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)凸輪-軸聯(lián)動(dòng)加工進(jìn)行了大量研究。陳硯坤等應(yīng)用-軸聯(lián)動(dòng)模型設(shè)計(jì)了凸輪輪廓誤差迭代器。隋振等人研究了分別以仿形誤差、切向輪廓位置誤差、等效誤差算法等方式進(jìn)行的加工補(bǔ)償。劉偉等人設(shè)計(jì)了凸輪加工位移檢測(cè)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。張培碩等研究了凸輪磨削砂輪磨損誤差對(duì)凸輪加工的影響。孫海峰等對(duì)凸輪在線檢測(cè)加工工藝進(jìn)行了一系列研究。程智勇針對(duì)圓柱凸輪，提出了一種采用線性誤差進(jìn)行控制的四軸加工方法，與傳統(tǒng)的加工方法相比，加工精度明顯提升。

現(xiàn)有研究均先分析凸輪-軸聯(lián)動(dòng)加工數(shù)學(xué)模型，然后進(jìn)行加工補(bǔ)償。這種補(bǔ)償方式僅考慮了理論情況下凸輪輪廓的變化情況，而實(shí)際加工中其他因素導(dǎo)致的加工誤差并未被消除。如果考慮所有因素帶來(lái)的誤差會(huì)使數(shù)學(xué)模型非常復(fù)雜，不利于計(jì)算。實(shí)際加工通常都是對(duì)單級(jí)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行反饋補(bǔ)償，而消除凸輪-軸聯(lián)動(dòng)加工同步誤差的研究較少。

為解決上述問(wèn)題，提出一種凸輪加工檢測(cè)及補(bǔ)償方法。利用該方法，在加工的同時(shí)可檢測(cè)凸輪輪廓信息并反饋至終端，然后終端經(jīng)-軸聯(lián)動(dòng)加工模型計(jì)算后反饋給NC，實(shí)現(xiàn)閉環(huán)補(bǔ)償。實(shí)際的-軸聯(lián)動(dòng)加工速度非?？?，所以本文作者針對(duì)這一特點(diǎn)，通過(guò)分析升程和速度瞬心數(shù)學(xué)關(guān)系，重構(gòu)-軸聯(lián)動(dòng)加工數(shù)學(xué)模型，取得了較好效果。

1 凸輪加工補(bǔ)償數(shù)學(xué)模型

為得到凸輪加工補(bǔ)償?shù)臄?shù)學(xué)模型，首先要對(duì)已有的-軸聯(lián)動(dòng)模型進(jìn)行分析，以找到一個(gè)可行的簡(jiǎn)化方法。

1.1 磨削時(shí)X-C軸聯(lián)動(dòng)加工數(shù)學(xué)模型

進(jìn)行凸輪磨削加工時(shí)，一般提供的是凸輪升程表，或者是輪廓曲線方程()。通常情況下，輪廓曲線方程和升程表是可以相互轉(zhuǎn)換的。升程表的優(yōu)點(diǎn)是加工時(shí)只需要輸入升程數(shù)據(jù)，然后由數(shù)控系統(tǒng)自動(dòng)完成插補(bǔ)；而輪廓曲線方程的優(yōu)點(diǎn)是理論計(jì)算推導(dǎo)時(shí)無(wú)需擬合輪廓曲線。在實(shí)際加工時(shí)，為得到規(guī)則化輸出，通常采用擬合輪廓曲線的方式。

凸輪的升程表是根據(jù)工作狀況給定的，分為滾子、平頂、尖頂3種從動(dòng)件，為方便分析，統(tǒng)一用1個(gè)滾子代替3種從動(dòng)件。如圖1所示，以為圓心、為半徑的圓為工作從動(dòng)件，=0、=∞、=分別代表尖頂、平頂、滾子3種從動(dòng)件的半徑；為砂輪半徑；為砂輪圓心；為基圓半徑；為凸輪圓心；為工作轉(zhuǎn)角；為加工轉(zhuǎn)角；為加工狀態(tài)轉(zhuǎn)角；點(diǎn)為工作狀態(tài)下的速度瞬心。

圖1 凸輪X-C軸聯(lián)動(dòng)加工模型

由速度瞬心的相關(guān)關(guān)系可以推導(dǎo)出：

(1)

=++()

(2)

式中:()為輪廓曲線方程。

令=∠，則:

(3)

在△中,由余弦定理可得：

(4)

為磨削點(diǎn)的極半徑大小，用來(lái)表示：

(5)

最終可得：

(6)

得到-軸聯(lián)動(dòng)加工模型如下：

(7)

1.2 模型重構(gòu)

凸輪加工時(shí)通常是將升程數(shù)據(jù)直接存儲(chǔ)到NC系統(tǒng)中的升程表中，則補(bǔ)償數(shù)據(jù)也應(yīng)以同樣形式存儲(chǔ)到補(bǔ)償表中。對(duì)-軸聯(lián)動(dòng)模型求導(dǎo)得到如下補(bǔ)償模型:

(8)

其中：

式中:Δ為測(cè)頭檢測(cè)出的實(shí)際量與理論升程差值，Δ為軸補(bǔ)償量，Δ為軸的補(bǔ)償量。

從公式(8)可知,補(bǔ)償數(shù)據(jù)計(jì)算非常復(fù)雜，涉及升程的一階微分運(yùn)算和大量的平方和開(kāi)根號(hào)。在實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償過(guò)程中需要做到毫秒級(jí)的計(jì)算速度，上述公式在NC系統(tǒng)中無(wú)法達(dá)到這一要求。

根據(jù)凸輪工作狀態(tài)的不同,升程和補(bǔ)償數(shù)據(jù)的計(jì)算方式不同，當(dāng)平頂作為從動(dòng)件時(shí)速度瞬心和圖1中垂足點(diǎn)剛好重合，當(dāng)兩點(diǎn)重合后模型的幾何關(guān)系與參數(shù)量都得到了大幅簡(jiǎn)化；而不同工況的升程間可以互相轉(zhuǎn)換，將所有工況的凸輪升程全部轉(zhuǎn)化為平頂工況，采用平頂測(cè)頭進(jìn)行在線測(cè)量就可以使用簡(jiǎn)化模型來(lái)補(bǔ)償。簡(jiǎn)化后的模型如圖2所示，為凸輪軸圓心；為砂輪圓心；為工作狀態(tài)轉(zhuǎn)角；為加工狀態(tài)轉(zhuǎn)角；點(diǎn)為工作狀態(tài)下的速度瞬心。

圖2 凸輪X-C軸聯(lián)動(dòng)加工重構(gòu)模型

在△中,由幾何關(guān)系可得：

(9)

=--

(10)

(11)

=++()

(12)

(13)

由圖2中角的關(guān)系可得：

=+

(14)

(15)

綜合可得：

(16)

由此得到最后的簡(jiǎn)化模型：

(17)

2 基于模型重構(gòu)的在線補(bǔ)償

2.1 凸輪升程轉(zhuǎn)換

簡(jiǎn)化模型是在平頂從動(dòng)件的基礎(chǔ)上推導(dǎo)而來(lái)的，但多數(shù)情況下升程數(shù)據(jù)并非一定是平頂工況的，所以還需要對(duì)不同工況下的升程數(shù)據(jù)作相應(yīng)轉(zhuǎn)換。圖3所示為不同工況下升程與轉(zhuǎn)角的關(guān)系。

圖3 不同從動(dòng)件下的升程示意

圖4中，為滾子圓心、為滾子半徑；為平頂工況下轉(zhuǎn)角；為加工轉(zhuǎn)角；為滾子工況下轉(zhuǎn)角。

圖4 X-C軸聯(lián)動(dòng)凸輪升程轉(zhuǎn)換模型

假設(shè)平頂工況下升程定義為

=-

(18)

滾子工況定義為

=--

(19)

又由于+=·cos，最后化簡(jiǎn)得：

=(++)·cos--

(20)

點(diǎn)為滾子工況下的速度瞬心，∠=∠+∠，由速度瞬心定理可得：

(21)

綜合以上公式可以得到升程轉(zhuǎn)換公式如下：

(22)

當(dāng)升程為尖頂從動(dòng)件時(shí)，令=0。

2.2 在線補(bǔ)償方法

計(jì)算簡(jiǎn)化模型的微分形式就可以得到簡(jiǎn)化的在線補(bǔ)償模型，補(bǔ)償微分公式如式(23)所示：

(23)

數(shù)控系統(tǒng)中補(bǔ)償表使用的是平均間隔增量數(shù)據(jù)，然而從補(bǔ)償公式中得到的是不規(guī)則間隔數(shù)據(jù)，即角度+Δ對(duì)應(yīng)的升程為+Δ，微分算子導(dǎo)致了間隔不可能相同。為得到規(guī)則化的補(bǔ)償數(shù)據(jù)，可以通過(guò)最小二乘法擬合得到原曲線方程，然后通過(guò)曲線方程得到規(guī)則化的升程數(shù)據(jù)。

本文作者擬采用的在線補(bǔ)償方式是通過(guò)凸輪前一輪加工的檢測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)下一輪加工進(jìn)行補(bǔ)償。這種補(bǔ)償方式需要模型有極高的靈敏度。而簡(jiǎn)化模型最大的優(yōu)勢(shì)就是模型復(fù)雜度低，計(jì)算中用到的一階和二階微分都可以在加工之前計(jì)算存儲(chǔ)到系統(tǒng)中，極大地減少了計(jì)算量，避免了計(jì)算滯后，為實(shí)時(shí)補(bǔ)償提供了保障。

在實(shí)際補(bǔ)償時(shí)，由于會(huì)用到前一輪的檢測(cè)數(shù)據(jù)，而初始加工時(shí)是沒(méi)有檢測(cè)數(shù)據(jù)的，所以第一輪的加工是不帶補(bǔ)償?shù)??；谶@一特點(diǎn)，該補(bǔ)償方式叫做延遲補(bǔ)償模式。延遲檢測(cè)補(bǔ)償?shù)墓ぷ髟硎峭馆喖庸で耙惠喌臋z測(cè)數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)模型計(jì)算得到補(bǔ)償后，疊加到下一輪的加工中。延遲補(bǔ)償工作過(guò)程如圖5所示，凸輪經(jīng)過(guò)多輪加工后得到最終輪廓曲線。

圖5 延遲補(bǔ)償過(guò)程示意

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及分析

本文作者對(duì)小基圓凸輪加工的檢測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬驗(yàn)證。首先，根據(jù)升程表繪制凸輪的散點(diǎn)圖，以觀察輪廓曲線變化趨勢(shì)，如圖6所示。然后，根據(jù)-軸聯(lián)動(dòng)數(shù)學(xué)模型得到聯(lián)動(dòng)加工曲線圖，如圖7所示，該曲線為理論輪廓曲線的參考曲線。

圖6 升程散點(diǎn) 圖7 X-C軸聯(lián)動(dòng)數(shù)據(jù)曲線

在高速外圓磨床HBW23-P上對(duì)該凸輪進(jìn)行磨削檢測(cè)實(shí)驗(yàn)，并在線檢測(cè)記錄每輪磨削后的實(shí)際輪廓，隨機(jī)抽取一輪檢測(cè)結(jié)果，繪制出實(shí)際與理論輪廓的對(duì)比圖，如圖8所示。

圖8 檢測(cè)對(duì)比

以相同條件進(jìn)行磨削補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)，隨機(jī)抽取一輪補(bǔ)償測(cè)試結(jié)果數(shù)據(jù)與檢測(cè)數(shù)據(jù)作對(duì)比，如圖9所示?？梢钥闯觯航?jīng)過(guò)補(bǔ)償后，每輪的平均誤差都會(huì)減小，凸輪輪廓更接近理論的輪廓曲線，驗(yàn)證了文中補(bǔ)償方法能夠有效提高凸輪的磨削精度。

圖9 補(bǔ)償測(cè)試結(jié)果與檢測(cè)結(jié)果對(duì)比

4 總結(jié)

本文作者通過(guò)分析現(xiàn)有-軸聯(lián)動(dòng)加工模型，提出了補(bǔ)償模型重構(gòu)的方法。該重構(gòu)模型與原模型相比較，算法復(fù)雜程度更低，降低了計(jì)算補(bǔ)償數(shù)據(jù)的時(shí)間，使它能夠很好地運(yùn)用在實(shí)際的凸輪檢測(cè)補(bǔ)償加工中；結(jié)合升程轉(zhuǎn)換理論，使這種模型可以普及到不同從動(dòng)件工況的凸輪加工中，最終得到通用的補(bǔ)償模型；通過(guò)延遲補(bǔ)償模式，實(shí)現(xiàn)了在線檢測(cè)補(bǔ)償功能，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該模型的有效性。