楊武偉, 石照耀, 林 虎

(1.北京工業(yè)大學(xué)材料與制造學(xué)部北京市精密測(cè)控技術(shù)與儀器工程技術(shù)研究中心，北京100124；2.中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院，北京100029)

1 引 言

凸輪軸測(cè)量?jī)x是發(fā)動(dòng)機(jī)、油泵中凸輪軸的專用測(cè)量?jī)x器[1,2]，其測(cè)量準(zhǔn)確性會(huì)影響凸輪產(chǎn)品的加工質(zhì)量判斷。為此，測(cè)量?jī)x器在使用之前需要采用特定的標(biāo)準(zhǔn)器具進(jìn)行綜合示值誤差的校準(zhǔn)，從而反映儀器的計(jì)量特性[3,4]。

標(biāo)準(zhǔn)器具一般可以采用加工精度高的凸輪軸，但實(shí)際應(yīng)用過程中，由于凸輪輪廓形狀復(fù)雜，導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)凸輪軸加工困難。為此，采用偏心輪軸來間接替代凸輪的方法，通過在一根軸上布置1個(gè)或多個(gè)偏心圓輪，實(shí)現(xiàn)凸輪軸多個(gè)參量的替代測(cè)量；且偏心圓輪采用了基本的幾何圓特征，實(shí)現(xiàn)高精度的加工也相對(duì)較為容易。劉瑞生等[5]設(shè)計(jì)了標(biāo)準(zhǔn)偏心凸輪檢具來檢測(cè)凸輪軸自動(dòng)測(cè)量?jī)x綜合精度和重復(fù)性精度；楊志勇等[6]利用標(biāo)準(zhǔn)凸輪軸來校準(zhǔn)凸輪軸、曲軸測(cè)量?jī)x；劉盟盟等[7,8]研制了偏心軸標(biāo)準(zhǔn)器，推導(dǎo)了偏心軸標(biāo)準(zhǔn)器理論升程的計(jì)算方法，開展了利用偏心軸標(biāo)準(zhǔn)器校準(zhǔn)凸輪軸測(cè)量?jī)x升程誤差的方法研究。

偏心輪軸需要測(cè)量的參量包括基本的幾何形位誤差，如軸頸跳動(dòng)誤差、圓度、直線度，還包括凸輪對(duì)應(yīng)的幾何參量，如升程和相位角等。在實(shí)際應(yīng)用中，偏心輪軸不僅可以利用凸輪軸專用測(cè)量?jī)x進(jìn)行測(cè)量，也可利用極坐標(biāo)測(cè)量?jī)x、三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)等通用型坐標(biāo)測(cè)量?jī)x器對(duì)其相關(guān)參量進(jìn)行測(cè)量[9～13]。凸輪軸專用測(cè)量?jī)x配備了平面測(cè)頭、滾子測(cè)頭及刀口測(cè)頭，可以根據(jù)凸輪機(jī)構(gòu)從動(dòng)件的型式選擇；而通用型坐標(biāo)測(cè)量?jī)x主要配備的都是球形測(cè)頭，無法同凸輪軸專用測(cè)量?jī)x一樣直接測(cè)量得到從動(dòng)件所對(duì)應(yīng)的升程及升程誤差。

本文提出了基于坐標(biāo)反推法的偏心輪軸升程測(cè)量方法，在獲取偏心圓輪表面輪廓點(diǎn)坐標(biāo)后，通過理論推導(dǎo)和計(jì)算，從而實(shí)現(xiàn)升程及升程誤差的測(cè)量。

2 偏心輪軸

偏心輪軸主要由參考軸頸、偏心圓輪、頂尖孔等部分組成，針對(duì)參考軸頸及偏心圓輪直徑D、偏心圓輪相位差α、偏心距e等參量進(jìn)行設(shè)計(jì)，以此模擬凸輪軸轉(zhuǎn)動(dòng)過程產(chǎn)生的偏心位移。如圖1所示為偏心輪軸示意圖，包括兩個(gè)參考軸頸A和B，兩個(gè)偏心圓輪E1和E2，其中E1和E2不僅存在相位差α，相對(duì)參考軸也存在一定的偏心量e1和e2，N1、N2、M1、M2代表其形位公差對(duì)應(yīng)的基準(zhǔn)。

圖1 偏心輪軸示意圖Fig.1 Schematic diagram of eccentric wheel shaft

偏心輪軸與凸輪軸主要區(qū)別之處在于其不存在基圓，利用偏心圓輪廓替代凸輪輪廓線。如圖2所示，偏心圓輪在繞回轉(zhuǎn)中心O1回轉(zhuǎn)過程中同樣存在升程H即工作半徑R在參考方向上變化量，可分為推程(A區(qū)、B區(qū))和回程(C區(qū)、D區(qū))兩部分；升程最大的點(diǎn)T為其“桃尖”，位于回轉(zhuǎn)中心和偏心圓圓心相連接的中心線上即180°所對(duì)應(yīng)的位置；相位角θ為偏心圓輪型面上指定點(diǎn)與回轉(zhuǎn)軸線構(gòu)成的平面相對(duì)于參考平面之間的夾角。

圖2 偏心圓輪升程示意圖Fig.2 Schematic diagram of eccenter lift

3 理論升程與坐標(biāo)反推升程

偏心輪軸在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，同樣需要考慮從動(dòng)件的類型，實(shí)現(xiàn)對(duì)不同測(cè)頭升程測(cè)量誤差的校準(zhǔn)[14]。偏心圓輪的設(shè)計(jì)輪廓為標(biāo)準(zhǔn)圓，可以根據(jù)與從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律來推導(dǎo)其理論升程?？紤]到偏心圓輪輪廓誤差的存在，其實(shí)際升程與理論升程會(huì)存在一定的差別，本文提出了一種坐標(biāo)反推法，通過偏心圓輪輪廓點(diǎn)坐標(biāo)推導(dǎo)出平面測(cè)頭、滾子測(cè)頭和刀口測(cè)頭所對(duì)應(yīng)的實(shí)際升程。

3.1 平面測(cè)頭理論升程及坐標(biāo)反推升程

H=O1O2-O1M=e(1- cosθ)

(1)

圖3 平面測(cè)頭理論升程計(jì)算模型Fig.3 Theoretical lift calculation model of plane probe

利用坐標(biāo)測(cè)量?jī)x器對(duì)偏心圓輪測(cè)量時(shí)，可以得到其表面點(diǎn)坐標(biāo)值Pi(xi,yi,zi)進(jìn)一步可以反推出平面測(cè)頭與坐標(biāo)值Pi接觸時(shí)，所對(duì)應(yīng)的偏心圓輪相位角和升程值。由于偏心圓輪截面為二維輪廓曲線，表面輪廓點(diǎn)的坐標(biāo)可簡(jiǎn)化為Pi(xi,yi)，如圖4所示。

圖4 坐標(biāo)反推平面測(cè)頭升程計(jì)算模型Fig.4 Calculation model of plane probe lift based on coordinate inversion

對(duì)應(yīng)的平面測(cè)頭升程具體求解方法如下：

在△PiO2O1中，根據(jù)余弦定理可求得,

(2)

(3)

Hi=O1A-(R-e)

(4)

根據(jù)式(3)和式(4)可求得平面測(cè)頭反推升程Hi為

(5)

3.2 滾子測(cè)頭理論升程及坐標(biāo)反推升程

e(1- cosθ)-(R+r)

(6)

圖5 滾子測(cè)頭理論升程計(jì)算模型Fig.5 Theoretical lift calculation model of roller probe

滾子測(cè)頭坐標(biāo)反推升程計(jì)算模型如圖6所示。

圖6 坐標(biāo)反推滾子測(cè)頭升程計(jì)算模型Fig.6 Calculation model of roller probe lift based on coordinate inversion

同理可求出滾子測(cè)頭與偏心圓輪表面輪廓點(diǎn)Pi接觸時(shí)所對(duì)應(yīng)的相位角和升程值。

在△O1PiO2中，可求得

(7)

(8)

最終求出相位角θi和升程Hi為

(9)

(10)

3.3 刀口測(cè)頭理論升程及坐標(biāo)反推升程

對(duì)于刀口測(cè)頭所對(duì)應(yīng)的升程模型可簡(jiǎn)化為滾子測(cè)頭半徑r為0時(shí)的模型，如圖7所示。 其理論升程為

(11)

圖7 刀口測(cè)頭理論升程計(jì)算模型Fig.7 Theoretical lift calculation model of knife-edge probe

刀口測(cè)頭對(duì)應(yīng)偏心圓輪輪廓點(diǎn)坐標(biāo)Pi反推升程計(jì)算模型如圖8所示。

圖8 坐標(biāo)點(diǎn)反推刀口測(cè)頭升程計(jì)算模型Fig.8 Calculation model of knife-edge probe lift based on coordinate inversion

相對(duì)應(yīng)的相位角θi和升程Hi為

(12)

(13)

3.4 坐標(biāo)點(diǎn)測(cè)量誤差對(duì)升程的影響

在偏心圓輪實(shí)際的測(cè)量過程中，對(duì)其表面輪廓坐標(biāo)點(diǎn)的測(cè)量難免存在誤差，這將直接影響不同從動(dòng)件的升程值。以平面測(cè)頭為例，如圖9所示。

圖9 坐標(biāo)點(diǎn)測(cè)量誤差對(duì)平面測(cè)頭升程的影響Fig.9 Influence of coordinate point measurement error on the lift of plane probe

其他從動(dòng)件與平面測(cè)頭類似，表面輪廓坐標(biāo)點(diǎn)測(cè)量誤差即測(cè)量?jī)x器的精度將直接對(duì)升程值產(chǎn)生影響，實(shí)際計(jì)算升程時(shí)應(yīng)考慮儀器測(cè)量誤差帶來的影響。

(14)

4 偏心圓輪“桃尖”確定

凸輪升程曲線在設(shè)計(jì)時(shí)一般是以理論凸輪升程表的形式給出一組離散數(shù)據(jù)[15,16]，數(shù)據(jù)的參考起點(diǎn)為升程最高點(diǎn)即“桃尖”，因此在凸輪測(cè)量過程中需要先找到凸輪“桃尖”,參見文獻(xiàn)[14]。

“桃尖”位置的準(zhǔn)確性會(huì)影響凸輪升程誤差，所以在確定凸輪“桃尖”的問題出現(xiàn)了多種處理方法，如最大值法、敏感點(diǎn)法、轉(zhuǎn)折點(diǎn)法等[17]。同樣，在測(cè)量偏心輪軸時(shí)也存在確定“桃尖”的問題。由于輪廓加工誤差的存在，其升程最高點(diǎn)不一定為“桃尖”點(diǎn)。本文采用最小二乘法確定“桃尖”，使得升程誤差的平方和為最小。

因?yàn)槠膱A輪截面為二維圓輪廓曲線，所以利用表面輪廓點(diǎn)坐標(biāo)可擬合得到最小二乘圓心點(diǎn)，由回轉(zhuǎn)中心點(diǎn)到圓心點(diǎn)的延長(zhǎng)線與輪廓線的交點(diǎn)作為偏心圓輪“桃尖”，并以其作為參考點(diǎn)評(píng)定偏心圓輪升程及升程誤差。

5 實(shí)驗(yàn)與分析

5.1 實(shí)驗(yàn)過程

本文采用一臺(tái)極坐標(biāo)測(cè)量?jī)x器對(duì)偏心輪軸進(jìn)行測(cè)量，如圖10所示。

圖10 偏心輪軸升程測(cè)量實(shí)驗(yàn)Fig.10 Eccentric wheel shaft lift measurement experiment

儀器配備3個(gè)直線運(yùn)動(dòng)軸系及1個(gè)回轉(zhuǎn)軸系，探測(cè)系統(tǒng)為三維掃描測(cè)頭。被測(cè)的偏心輪軸具有2個(gè)不同直徑的參考軸頸A和B，2個(gè)偏心圓輪E1和E2。

具體測(cè)量步驟如下：

(1) 將偏心輪軸固定在上下頂尖之間，先粗測(cè)參考軸頸A、B和偏心圓輪E1，確定其在機(jī)器坐標(biāo)系OXYZ下的位置。

(2) 利用參考軸頸A和B的圓心構(gòu)建工件坐標(biāo)系z(mì)軸，以偏心圓輪E1圓心和z軸構(gòu)建工件坐標(biāo)系x軸。

(3) 基于已建好的工件坐標(biāo)系，采用極坐標(biāo)測(cè)量方式，回轉(zhuǎn)軸系C在回轉(zhuǎn)的同時(shí)，測(cè)頭沿著Y軸做跟隨運(yùn)動(dòng)，從而測(cè)得偏心圓輪表面輪廓點(diǎn)坐標(biāo)值。

5.2 數(shù)據(jù)處理與升程計(jì)算

(1) 偏心圓輪“桃尖”確定

坐標(biāo)反推平面測(cè)頭實(shí)際升程計(jì)算模型如圖11所示。

圖11 坐標(biāo)反推平面測(cè)頭實(shí)際升程計(jì)算模型Fig.11 Calculation model of actual lift of plane probe based on coordinate inversion

由第5.1節(jié)中測(cè)量步驟(1),粗測(cè)偏心圓輪所得到的最小二乘圓心為O2;由測(cè)量步驟(3),掃描偏心圓輪所得到的表面輪廓點(diǎn)坐標(biāo)值為Pi(xi,yi)，擬合計(jì)算得到的最小二乘圓心為O3，O3與O2存在角度差ε=0.010 2°。

由回轉(zhuǎn)中心O1到圓心點(diǎn)O3的延長(zhǎng)線與輪廓線的交點(diǎn)T即為偏心圓輪“桃尖”。

(2) 坐標(biāo)變換與升程計(jì)算

(15)

(16)

滾子測(cè)頭和刀口測(cè)頭坐標(biāo)反推升程計(jì)算模型與此類似。

5.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

利用表面輪廓點(diǎn)坐標(biāo)擬合得到偏心圓輪E1直徑φ=59.987 4 mm，圓度誤差為0.87 μm，偏心距為12.498 8 mm。將上述結(jié)果代入3種測(cè)頭理論升程方程，可得到如圖12所示的理論升程曲線。

圖12 3種測(cè)頭理論升程Fig.12 Theoretical lift of three kinds of probes

滾子測(cè)頭直徑3 mm，與測(cè)量實(shí)驗(yàn)采用的球測(cè)頭直徑一致。從圖12可以看出，滾子測(cè)頭理論升程曲線與刀口測(cè)頭理論升程曲線基本重合。

將3種測(cè)頭坐標(biāo)反推升程與理論升程的差值曲線如圖13所示。

圖13 3種測(cè)頭實(shí)際升程與理論升程差值Fig.13 Difference between actual lift and theoretical lift of three kinds of probes

平面測(cè)頭對(duì)應(yīng)的升程差值為0.87 μm，滾子測(cè)頭對(duì)應(yīng)的升程差值為0.90 μm，刀口測(cè)頭對(duì)應(yīng)的升程差值為0.90 μm?？梢?，由于偏心圓輪輪廓誤差的影響，基于坐標(biāo)反推的實(shí)際升程與理論升程并不相同，前者更能準(zhǔn)確反映實(shí)際的從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律。由于滾子測(cè)頭直徑較小，其對(duì)應(yīng)升程差值與刀口測(cè)頭對(duì)應(yīng)升程差值基本相同。

6 結(jié) 論

本文提出了利用偏心輪軸表面輪廓點(diǎn)坐標(biāo)反推平面測(cè)頭、滾子測(cè)頭和刀口測(cè)頭的升程算法，利用最小二乘圓擬合圓心和回轉(zhuǎn)中心點(diǎn)確定了偏心圓輪“桃尖”。在一臺(tái)極坐標(biāo)測(cè)量?jī)x器上開展了偏心輪軸測(cè)量實(shí)驗(yàn)，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)分別計(jì)算了3種測(cè)頭對(duì)應(yīng)的理論升程和坐標(biāo)反推升程的差值，分別為0.87 μm，0.90 μm及0.90 μm；實(shí)踐證明了基于坐標(biāo)反推升程的方法的有效性，能夠更準(zhǔn)確地反映從動(dòng)件實(shí)際運(yùn)動(dòng)規(guī)律。