全紅鵬，林光春，黃金月，梁建波，王韜略，廖勛寶

(1.四川大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川成都 610065；2.四川阿斯特醫(yī)療器械有限公司技術(shù)部，四川瀘州646100)

0 前言

混聯(lián)機(jī)構(gòu)兼具串聯(lián)機(jī)構(gòu)和并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)，具有承載能力強(qiáng)、剛度好、精度高、響應(yīng)快、工作范圍大等優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛用于航天、醫(yī)療、工業(yè)、軍事等各個(gè)領(lǐng)域，具有良好的實(shí)用性能。

為了更好地運(yùn)用混聯(lián)機(jī)構(gòu)，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究。黃俊杰等提出用D-H法和圖形可視化相結(jié)合的方法對(duì)3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行正向運(yùn)動(dòng)學(xué)求解。史曉娟和王高洋將仿真逆解曲線以樣條驅(qū)動(dòng)函數(shù)形式輸入給3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu),得出樣條驅(qū)動(dòng)函數(shù)下的位置正解曲線。張偉中等設(shè)計(jì)了一種新型四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并采用螺旋理論分析了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性。崔馬茹等采用空間封閉矢量法求解3-URPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置逆解?？导惖瘸浞掷妹商乜宸椒ǖ碾S機(jī)性，可以找到3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的所有位置正解。黃思等人采用雙參數(shù)數(shù)值延拓同倫算法求出正運(yùn)動(dòng)學(xué)的數(shù)值解。黃俊杰和趙俊偉運(yùn)用遺傳算法并結(jié)合運(yùn)動(dòng)方程給出并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)位置正解適應(yīng)度函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)，將計(jì)算結(jié)果代入運(yùn)動(dòng)方程求出桿長(zhǎng)。黃亮等人針對(duì)一種3SPS-3SRR并聯(lián)機(jī)構(gòu),運(yùn)用符號(hào)法對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行位置分析。楊應(yīng)洪和尹顯明通過(guò)支鏈變異法,提出一種可滿足機(jī)床2R1T運(yùn)動(dòng)要求的2RPS-RPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對(duì)其進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。

本文作者提出了一種新型3-PRS & 3P混聯(lián)機(jī)構(gòu)，對(duì)混聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行自由度分析；然后對(duì)該混聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解和正解分析，再通過(guò)數(shù)值算例進(jìn)行驗(yàn)證；最后討論了該混聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)2的運(yùn)動(dòng)范圍。通過(guò)以上分析，可以為后面分析該混聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)及其運(yùn)動(dòng)控制提供了一定的理論基礎(chǔ)。

1 機(jī)構(gòu)描述以及動(dòng)、靜坐標(biāo)系的建立

3-PRS & 3P混聯(lián)機(jī)構(gòu)主要由定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)1、動(dòng)平臺(tái)2、滑塊1、滑塊2、滑塊3、支鏈1、支鏈2、支鏈3、支鏈4、支鏈5、支鏈6組成，如圖1所示。其中定平臺(tái)與動(dòng)平臺(tái)1通過(guò)3個(gè)移動(dòng)副連接，動(dòng)平臺(tái)1與3個(gè)滑塊通過(guò)3個(gè)移動(dòng)副連接，滑塊1、滑塊2、滑塊3分別與支鏈4、支鏈5、支鏈6通過(guò)3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副連接，支鏈4、支鏈5、支鏈6與動(dòng)平臺(tái)2通過(guò)3個(gè)球副連接。各鉸接點(diǎn)分別為：(=1,2,3)、(=1,2,3)、(=1,2,3) 、(=1,2,3) ，如圖1所示。且、、構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形；、、構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形；、、構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形；、、構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形。

圖1 3-PRS & 3P混聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型

為3-PRS & 3P混聯(lián)機(jī)構(gòu)建立動(dòng)、靜坐標(biāo)系，如圖2所示，其中定平臺(tái)坐標(biāo)系為-，動(dòng)平臺(tái)1的坐標(biāo)系為′-′′′，動(dòng)平臺(tái)2的坐標(biāo)系為″-″″″。(=1,2,3)在定坐標(biāo)系下的方向高度為，(=1,2,3)在定坐標(biāo)系下的方向高度為，(=1,2,3)在定坐標(biāo)系下的方向高度為。

圖2 動(dòng)、靜坐標(biāo)系的建立

各鉸接點(diǎn)在定平臺(tái)坐標(biāo)系-(初始位型)的坐標(biāo)為

2 機(jī)構(gòu)自由度分析

如圖2所示，各支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋系均在定平臺(tái)坐標(biāo)系-下表示。支鏈1的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

=(0 0 0; 0 0 1)

(1)

對(duì)支鏈1求反螺旋，得到支鏈1的約束螺旋系為

(2)

對(duì)式(2)求二次反螺旋得

(3)

同理支鏈2和支鏈3的運(yùn)動(dòng)螺旋系與支鏈1的運(yùn)動(dòng)螺旋系是一樣的，所以支鏈2和支鏈3的約束螺旋系與支鏈1的也一樣。所以動(dòng)平臺(tái)1受到5個(gè)約束，分別約束繞著軸、軸、軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和沿著軸和軸的移動(dòng)。所以動(dòng)平臺(tái)1只有一個(gè)沿著軸的移動(dòng)自由度。

支鏈4的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(4)

式中:、、、為非零的有限實(shí)數(shù)。對(duì)支鏈4求反螺旋，得到支鏈4的約束螺旋為

(5)

式(5)表示過(guò)點(diǎn)且平行支鏈4轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線的約束力。

由于機(jī)構(gòu)具有對(duì)稱性，同理得支鏈5的約束反螺旋為

(6)

式(6)表示過(guò)點(diǎn)且平行支鏈5轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線的約束力。

同理支鏈6的約束反螺旋為

(7)

式(7)表示過(guò)點(diǎn)且平行支鏈6轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線的約束力。

對(duì)式(5)(6)(7)求二次反螺旋得：

(8)

(9)

其中:表示機(jī)構(gòu)的自由度;表示機(jī)構(gòu)的階數(shù)，它依賴于公共約束，=6-;表示機(jī)構(gòu)的構(gòu)件數(shù)(包括固定構(gòu)件);表示運(yùn)動(dòng)副數(shù)目;表示第個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度;表示冗余約束;表示局部自由度。在該混聯(lián)機(jī)構(gòu)中=6、=9，運(yùn)動(dòng)副所含有的自由度為18(3+3+3+2×3)，冗余約束=10，局部自由度=0。所以機(jī)構(gòu)的自由度為：=6(9-12-1)+18+10-0=4。這與螺旋理論算出來(lái)的自由度一致。

3 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

由于支鏈1、支鏈2、支鏈3只改變動(dòng)平臺(tái)1的工作空間，因此這里運(yùn)動(dòng)學(xué)分析時(shí)，先假設(shè)它們固定不動(dòng)，而只考慮支鏈4、支鏈5、支鏈6運(yùn)動(dòng)的情況，這樣就簡(jiǎn)化了分析的難度，相當(dāng)于分析3-PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)。后文再說(shuō)明考慮了支鏈1、支鏈2、支鏈3運(yùn)動(dòng)時(shí)的情況。

3.1 機(jī)構(gòu)的逆解分析

混聯(lián)機(jī)構(gòu)逆解分析就是已知?jiǎng)悠脚_(tái)2中心″的位姿，求驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)()(=1,2,3)的輸入量。設(shè)為球副所在平面的中心，繞著軸的轉(zhuǎn)角為，繞著軸的轉(zhuǎn)角為。

設(shè)動(dòng)平臺(tái)2中心″在定平臺(tái)上的坐標(biāo)=(,,)，(=1,2,3)在動(dòng)平臺(tái)2的動(dòng)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(″,″,″)，則在定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)表達(dá)式為·+(=1,2,3)。其中：

(10)

圖3 逆解分析模型

(11)

(=1,2,3)有兩組解，為了提高混聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度，統(tǒng)一取負(fù)號(hào)，即點(diǎn)從頂部向底部滑動(dòng)。

3.2 機(jī)構(gòu)的正解分析

已知輸入桿長(zhǎng)(=1,2,3)，求動(dòng)平臺(tái)2的位姿。求解混聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解是有一定難度，而一般構(gòu)型采用數(shù)值分析法進(jìn)行求解。本文作者也采用數(shù)值分析法求解。已知移動(dòng)驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)的變化規(guī)律，則可以求出點(diǎn)的具體數(shù)值。點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式為:·+(=1,2,3)，這樣點(diǎn)坐標(biāo)就含有未知參數(shù)、和。由于||=(=1,2,3)，則有

(12)

對(duì)式(12)，采用牛頓迭代法來(lái)求解該非線性方程組。其中，式(12)可以寫成

()=0，=(,,)，=(,,)。根據(jù)牛頓迭代法有：+1=-·，其中為雅可比矩陣：

給定輸入?yún)?shù)1、2、3，根據(jù)給定的初始向量進(jìn)行迭代，最后得到符合精度要求的向量，即混聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出位姿參數(shù)。初始向量的給定要符合機(jī)構(gòu)的近似解，不然在一定的精度要求下，可能得不到解。

4 數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證及其仿真

下面通過(guò)表1所示的混聯(lián)機(jī)構(gòu)具體的結(jié)構(gòu)參數(shù)，對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的逆解模型和正解模型進(jìn)行仿真和驗(yàn)證。

表1 具體的結(jié)構(gòu)參數(shù)

其中:表示、、形成的正三角形邊長(zhǎng);表示動(dòng)平臺(tái)2三個(gè)球副中心點(diǎn)形成的正三角形邊長(zhǎng);表示點(diǎn)(=1,2,3)到點(diǎn)(=1,2,3)的固定距離;表示點(diǎn)在定坐標(biāo)系下的初始高度；表示點(diǎn)在定坐標(biāo)系下的初始高度。

4.1 反解模型

給定動(dòng)平臺(tái)2中心點(diǎn)″的運(yùn)動(dòng)規(guī)律如下：

(13)

在SolidWorks中建立混聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型，然后將其導(dǎo)入ADAMS中，如圖4所示，并將給定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律添加到動(dòng)平臺(tái)2中心點(diǎn)。其中在ADAMS中，添加的驅(qū)動(dòng)為一般點(diǎn)驅(qū)動(dòng)。

圖4 ADAMS虛擬樣機(jī)模型

逆解模型的仿真結(jié)果如圖5(a)所示。根據(jù)式(11)，利用MATLAB編程，并繪制出(=1,2,3)桿長(zhǎng)變化曲線，如圖5(b)所示。

圖5 反解模型計(jì)算和仿真結(jié)果對(duì)比

從圖5(a)和圖5(b)可以看出:兩者(=1,2,3)變化曲線高度吻合，從而驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)反解模型的正確性。

4.2 正解模型

給定3個(gè)滑塊移動(dòng)驅(qū)動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律如下：

(14)

在ADAMS中，給定3個(gè)滑塊的移動(dòng)驅(qū)動(dòng)，然后仿真求解動(dòng)平臺(tái)2的位姿如圖6(a)、圖6(b)所示。根據(jù)式(12)，采用牛頓迭代法，在MATLAB中編程。其中，給定的初始值為(0 0 177.8),求解精度為1×10。繪制動(dòng)平臺(tái)2位姿曲線如圖6(c)、圖6(d)所示。

圖6 正解模型計(jì)算和仿真結(jié)果對(duì)比

從圖6(a)和圖6(c)可以看出:兩者動(dòng)平臺(tái)2中心點(diǎn)的位置變化曲線高度吻合；從圖6(b)和圖6(d)可以看出:兩者旋轉(zhuǎn)角度、變化曲線高度吻合，從而驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)正解模型的正確性。

5 混聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)2運(yùn)動(dòng)范圍分析

前面運(yùn)動(dòng)學(xué)分析都是基于支鏈1、支鏈2、支鏈3桿長(zhǎng)保持固定不變，這樣做的目的是便于分析該混聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解、逆解。但是，為了增加動(dòng)平臺(tái)2的運(yùn)動(dòng)范圍，可以讓一個(gè)電機(jī)同時(shí)驅(qū)動(dòng)支鏈1、支鏈2、支鏈3到達(dá)一定的高度保持不變，然后在這一高度下，再次進(jìn)行混聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解和逆解的分析，分析方式和前面一致，只是豎直方向的位移發(fā)生了變化而已。理論上，當(dāng)只有支鏈1、支鏈2、支鏈3驅(qū)動(dòng)，則該混聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)2中心點(diǎn)″豎直方向的位移可在71.57～221.57 mm內(nèi)變化。而前面的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，是動(dòng)平臺(tái)2中心點(diǎn)″在定坐標(biāo)系下，方向?yàn)?77.80 mm(初始位型)下的正解、逆解而已。

當(dāng)仍采用式(14)運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，動(dòng)平臺(tái)2運(yùn)動(dòng)范圍如圖7所示?？梢钥闯觯涸摶炻?lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)2具有較大的運(yùn)動(dòng)范圍，使該混聯(lián)機(jī)構(gòu)得到了最大化利用。

圖7 動(dòng)平臺(tái)2運(yùn)動(dòng)范圍

6 結(jié)論

(2)通過(guò)余弦定理、空間坐標(biāo)變換法和牛頓迭代法等建立該混聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的逆解模型和正解模型，并在SolidWorks中建立該混聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型，再將其導(dǎo)入ADAMS中進(jìn)行仿真驗(yàn)證。驗(yàn)證結(jié)果高度吻合，證明了混聯(lián)機(jī)構(gòu)逆解模型和正解模型的正確性。

(3)提出了一種3-PRS & 3P混聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對(duì)其動(dòng)平臺(tái)2的運(yùn)動(dòng)范圍進(jìn)行了分析，分析結(jié)果表明：該混聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)2具有較大的運(yùn)動(dòng)范圍。