戴公連，張強(qiáng)強(qiáng)，劉文碩，黃志斌

(1.中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長沙，410083；2.東南沿海鐵路福建有限責(zé)任公司，福建福州，350013)

橋上無砟軌道是我國高速鐵路主要的軌道結(jié)構(gòu)形式，橋梁體系的箱梁軌道系統(tǒng)的溫度作用模式是高速鐵路橋梁軌道結(jié)構(gòu)設(shè)計中必須考慮的因素之一。對于橋上軌道結(jié)構(gòu)而言，中國高速鐵路規(guī)范[1]規(guī)定無砟軌道結(jié)構(gòu)的豎向正溫度梯度為90 ℃/m，通過對無砟軌道溫度梯度的實(shí)測及分析發(fā)現(xiàn)[2?3]，我國中部地區(qū)的無砟軌道溫度梯度普遍高于80 ℃/m，實(shí)測溫度梯度甚至達(dá)到100 ℃/m。由于軌道結(jié)構(gòu)的遮擋效應(yīng)，橋梁頂面的溫度場呈現(xiàn)不均勻性，對處于施工或服役狀態(tài)的橋梁溫度分布及溫度效應(yīng)的影響也均不同[4?5]。現(xiàn)有的中國規(guī)范、歐洲規(guī)范均沒有給出相應(yīng)的箱梁?無砟軌道結(jié)構(gòu)的溫度計算模式，因此，箱梁軌道系統(tǒng)的溫度分布特征仍亟待進(jìn)一步研究。目前，很多學(xué)者主要采用數(shù)值模擬、統(tǒng)計分析等方法對軌道板和箱梁的溫度梯度分布模式與溫度取值進(jìn)行了大量研究。閆斌等[6]利用無砟軌道溫度場的有限元模型，分析了地理位置、熱物性參數(shù)、環(huán)境等因素對無砟軌道溫度梯度的影響。朱勁松等[7]建立了橋?軌溫度場精細(xì)化有限元模型，研究了遮擋效應(yīng)對結(jié)構(gòu)溫度場的影響。戴公連等[8]利用CRTS Ⅱ型軌道板的實(shí)測結(jié)果建立了箱梁?無砟軌道結(jié)構(gòu)的溫差GPD 極值模型，給出了具有一定概率的軌道結(jié)構(gòu)溫度取值。申建康等[9]應(yīng)用機(jī)器學(xué)習(xí)的方法對軌道板溫度場進(jìn)行預(yù)測，具有很高的預(yù)測精度。但在實(shí)際工程中，研究者大多采用半理論半經(jīng)驗(yàn)公式或全經(jīng)驗(yàn)公式預(yù)測橋梁結(jié)構(gòu)的溫度。ABID等[10]利用逐步回歸法擬合得到由環(huán)境參數(shù)(太陽輻射量、大氣溫度及風(fēng)速)預(yù)測試驗(yàn)梁溫差的經(jīng)驗(yàn)公式，擬合度R2=0.97。劉學(xué)毅等[2]給出了一種快速計算高速鐵路道床板溫度的公式，簡化了實(shí)際中道床板溫度的預(yù)測方法，但沒有涉及箱梁溫度場的計算，無法形成一個整體的箱梁?無砟軌道結(jié)構(gòu)溫度預(yù)測方法。在既有的高速鐵路橋梁溫度場研究中，解析法具有較高精度[11]，易于分析環(huán)境變量對結(jié)構(gòu)溫度的影響。為此，本文作者結(jié)合實(shí)測溫度建立第三類邊界的箱梁?無砟軌道板溫度場的數(shù)學(xué)模型，采用積分變換法推導(dǎo)結(jié)構(gòu)導(dǎo)熱微分方程的級數(shù)解，并與結(jié)構(gòu)的實(shí)測結(jié)果和數(shù)值結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證。同時，參考相關(guān)規(guī)范提出箱梁?無砟軌道結(jié)構(gòu)溫度場的四折線及指數(shù)分布曲線，并給出箱梁?無砟軌道結(jié)構(gòu)升溫模式的計算方法。

1 結(jié)構(gòu)熱交換分析

1.1 結(jié)構(gòu)與環(huán)境的熱交換

橋梁結(jié)構(gòu)與外界環(huán)境的熱交換可分為太陽輻射、對流換熱及輻射換熱，具體熱交換方式如圖1所示。

圖1 箱梁-無砟軌道結(jié)構(gòu)的熱交換示意圖Fig.1 Schematic diagram of heat exchange of box girder-ballastless track structure

以箱梁?軌道結(jié)構(gòu)的水平面熱交換為例，太陽輻射到結(jié)構(gòu)表面上，以輻射平衡等式得到結(jié)構(gòu)表面的第二類邊界條件：

式中：γ為混凝土表面的太陽輻射吸收系數(shù)，本文取0.5[12]；qs為太陽輻射強(qiáng)度，W/m2；v為風(fēng)速，m/s；ε為混凝土表面的黑度系數(shù)，取0.88[12]；C0為Stefan-Boltzmann常數(shù)，其值為5.67×10?8W/(m2?K4)；Tu和Ta分別為混凝土表面溫度、大氣溫度(℃)；hc為對流換熱系數(shù)，W/(m2?K)，其取值與風(fēng)速有關(guān)[12?13]；hr為輻射換熱系數(shù)，W/(m2?K)，可根據(jù)結(jié)構(gòu)表面的輻射換熱公式(式(3))計算。

令h=hc+hr，代入式(1)可得

將大氣和太陽輻射與結(jié)構(gòu)的熱交換作用看作等效輻射氣溫[13?14]，用參數(shù)Te表示。

可得到結(jié)構(gòu)表面的第三類邊界條件：

另外，當(dāng)無太陽輻射情形或結(jié)構(gòu)處于遮陰面時，qs取0 W/m2，則Te=Ta。

1.2 結(jié)構(gòu)熱阻網(wǎng)絡(luò)圖

為更好地理解輻射氣溫的換熱作用及物理含義，采用熱阻網(wǎng)絡(luò)圖反映結(jié)構(gòu)的綜合對流換熱過程，如圖2所示。根據(jù)熱阻的定義，可得到結(jié)構(gòu)外表面的熱阻Qin表達(dá)式(見式(7))。當(dāng)結(jié)構(gòu)表面的面積A取單元面積，熱源Qst取0 W/m2時，式(7)與對流換熱式(6)相一致。

圖2 結(jié)構(gòu)熱交換的熱阻網(wǎng)絡(luò)圖Fig.2 Thermal resistance network of structural heat transfer

式中：Rconv和Rrad分別為結(jié)構(gòu)表面的對流熱阻和輻射熱阻，K/W，可分別用1/(Ahc)和1/(Ahr)計算得到。

同理，結(jié)構(gòu)內(nèi)表面熱交換量Qout為

式中：Td為箱梁內(nèi)表面的待求溫度，℃。對箱梁?無砟軌道結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散，單元熱節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)熱量表達(dá)式為

式中：Rcond為單元熱節(jié)點(diǎn)Tu1和Tu的導(dǎo)熱熱阻，表達(dá)式為δ/(Ak)，與相鄰的熱節(jié)點(diǎn)間的距離δ呈正比。

建立結(jié)構(gòu)熱節(jié)點(diǎn)的能量平衡方程組進(jìn)行差分求解，求得結(jié)構(gòu)體系各構(gòu)件溫度。

2 結(jié)構(gòu)溫度場模型及求解

根據(jù)熱流邊界條件轉(zhuǎn)換方法，建立對流邊界條件的結(jié)構(gòu)熱傳導(dǎo)微分方程。首先，假定混凝土結(jié)構(gòu)的熱物性參數(shù)不隨時間變化，將結(jié)構(gòu)溫度場簡化為一維瞬態(tài)、無內(nèi)熱源的邊值問題(BVP)。其次，確定流體溫度的函數(shù)表達(dá)式。太陽輻射下結(jié)構(gòu)表面的流體溫度呈周期性變化，可用簡諧波描述：

式中：i為結(jié)構(gòu)邊界的個數(shù)；Ti,a和Ti,b分別為第i個邊界處太陽輻射時間內(nèi)流體介質(zhì)的平均溫度和幅值；wi和δi分別為第i個邊界處函數(shù)的頻率及相位；t1和t2分別為日出和日落時間。

結(jié)構(gòu)邊界條件確定后，需要指定結(jié)構(gòu)的初始條件。根據(jù)本文的實(shí)測結(jié)果及文獻(xiàn)[15]的研究結(jié)果得到：夏季每天6:00 左右，結(jié)構(gòu)溫度場分布較均勻，因此，以t1時結(jié)構(gòu)均勻溫度為溫度場模型的初始溫度T0。

高速鐵路橋梁結(jié)構(gòu)為有限截面，則一維混凝土結(jié)構(gòu)的導(dǎo)熱微分方程為

式中：α為混凝土材料的熱擴(kuò)散系數(shù)；d為一維混凝土結(jié)構(gòu)的截面高度。

為使結(jié)構(gòu)溫度場的初始擾動為零，引入溫度變量θ(x,t)：

將式(10)代入導(dǎo)熱方程(11)，得到結(jié)構(gòu)溫度的控制方程為

則結(jié)構(gòu)上表面(x=0)的對流邊界條件為

結(jié)構(gòu)下表面(x=d)的對流邊界條件為

結(jié)構(gòu)的初始條件為

式中：k為混凝土導(dǎo)熱系數(shù)；h1和h2分別為結(jié)構(gòu)外表面、內(nèi)表面的綜合對流換熱系數(shù)；fi′(t)為結(jié)構(gòu)表面流體溫度式(式(10))的變形式。

為簡化求解過程，對式(10)進(jìn)行變換：

式中：ΔTf,i=Ti,a-T0；Tf,i(t)=-Ti,bcos(wi(t-δi))。

通過引用溫度變量對原導(dǎo)熱方程進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得到的控制方程可采用積分變換法進(jìn)行求解。由雙對流邊界條件式(14)和(15)可以確定本征函數(shù)式X(βn,x)和本征值βn的超越方程為[16]：

采用分離變量法對控制方程進(jìn)行變量分離，可得到其解的正、逆函數(shù)變換式[16]：

式(20)為逆變公式，式(21)為積分變換式。

將式(21)代入逆變式(20)，可得到控制方程的一般解[16]：

將式(12)代入式(23)，可得原方程的級數(shù)解為

式(24)中，T(x,t)為一維混凝土溫度場模型的疊加表達(dá)式，由于大體積或截面過高的結(jié)構(gòu)初始溫度分布不均勻，會產(chǎn)生一定的計算誤差；當(dāng)初始溫度取值確定后，結(jié)構(gòu)溫度場的計算精度與級數(shù)展開項數(shù)n有關(guān)，一般項數(shù)越多，精度越高[16]。僅需要確定結(jié)構(gòu)邊界的流體溫度表達(dá)式，即可計算箱梁?無砟軌道結(jié)構(gòu)中任一構(gòu)件的溫度。

3 模型驗(yàn)證

在江西境內(nèi)的1座32 m高速鐵路箱梁?無砟軌道板中預(yù)埋多個溫度傳感器，并連續(xù)進(jìn)行4 a 觀測。采用預(yù)埋BGK-3700 溫度計作為溫度測量元件，利用分布式網(wǎng)絡(luò)測量系統(tǒng)，每隔30 min 進(jìn)行實(shí)時采集，溫度測點(diǎn)布置如圖3所示。

圖3 結(jié)構(gòu)截面的溫度傳感器分布Fig.3 Distribution of temperature sensors of structural section

3.1 定解條件

根據(jù)現(xiàn)場實(shí)測結(jié)果統(tǒng)計得到無砟軌道板的豎向溫差在夏至日(7月23日)前后達(dá)到最大值，約17 ℃，因此，本文僅對夏至前后幾天的實(shí)測溫度進(jìn)行理論建模及分析。利用2014?07?19 至2014?07?25 連續(xù)升溫的實(shí)測溫度建立箱梁?無砟軌道結(jié)構(gòu)和箱梁底板的溫度場模型。

為避免結(jié)構(gòu)的初始溫度對溫度場計算產(chǎn)生誤差，選取連續(xù)升溫的第3天(2014?07?22)的實(shí)測溫度確定溫度場模型的邊界條件及初始條件，如圖4所示。2014?07?22，太陽輻射較有規(guī)律地發(fā)生變化，最大輻照度為800 W/m2左右。

圖4 2014年輻射氣溫和太陽輻照度的時程曲線Fig.4 Time history curves of radiation temperature and solar irradiance in 2014

太陽升起時刻為6:00，據(jù)此計算得到箱梁?軌道板和箱梁底板的均勻溫度分別為34 ℃和25 ℃。忽略溫度場分布的微小差異(偏差約2 ℃)，令初始溫度T0分別為34 ℃和25 ℃。

采用Fourier函數(shù)擬合日照時間(6:00—18:00)范圍內(nèi)軌道板表面的輻射氣溫，并轉(zhuǎn)化為余弦形式：

箱梁底板無太陽輻射，日氣溫變化可用以下經(jīng)驗(yàn)公式[17]表示：

3.2 綜合換熱系數(shù)取值

采用式(29)計算箱梁中不同位置的綜合換熱系數(shù)：

箱梁外表面的風(fēng)速為1 d 中實(shí)測風(fēng)速的平均值；箱梁內(nèi)的風(fēng)速取v=0 m/s；hr利用式(3)計算。

文獻(xiàn)[13]研究了綜合換熱系數(shù)對結(jié)構(gòu)預(yù)估溫度場的影響，發(fā)現(xiàn)1 d中綜合換熱系數(shù)為平均值時引起的溫度計算誤差不超過6%。2014?07?22的實(shí)測平均風(fēng)速為2 m/s，按照上述方法進(jìn)行計算可得到日照時長內(nèi)換熱系數(shù)平均值分別如下：軌道板表面的換熱系數(shù)為20.7 W/(m2·K)，箱梁內(nèi)表面的換熱系數(shù)為20.2 W/(m2·K)，箱梁底板處的換熱系數(shù)為11.7 W/(m2·K)。

3.3 方法驗(yàn)證

將定解條件代入式(24)，得到箱梁?無砟軌道結(jié)構(gòu)中不同位置(d1～d6)和箱梁底板不同位置(d7～d10)的溫度級數(shù)解，并與有限差分法的數(shù)值解進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)構(gòu)溫度的級數(shù)解與數(shù)值解如圖5所示，其中，溫度級數(shù)解用d表示，數(shù)值解用d′表示。

圖5(a)所示為2014?07?22 太陽輻射時長內(nèi)結(jié)構(gòu)溫度的級數(shù)解(級數(shù)展開式前8項求和的結(jié)果)和數(shù)值解的時程曲線，兩者溫度時空變化規(guī)律相一致。對比兩者的溫度波動特征發(fā)現(xiàn)：1)在太陽升起時刻(6:00)，不同深度處(d1～d6)的溫度計算結(jié)果均收斂于結(jié)構(gòu)的初始溫度；2)導(dǎo)熱方程的級數(shù)解在非線性邊界條件出現(xiàn)不收斂的情形[14]，結(jié)構(gòu)外表面(d1=0 m)溫度的級數(shù)解與數(shù)值解的誤差較大，最大絕對誤差達(dá)到2.3 ℃。

圖5 結(jié)構(gòu)溫度的級數(shù)解與數(shù)值解對比Fig.5 Comparison between series solutions and numerical solutions of structural temperature

圖5(b)所示為2014?07?22 太陽輻射時間內(nèi)箱梁底板溫度的級數(shù)解和數(shù)值解的時程曲線。從圖5(b)可見：由于底板處無太陽輻射，邊界的熱流擾動很小，級數(shù)解和數(shù)值解的最大誤差小于0.5 ℃，兩者的時程曲線幾乎重合，表明太陽輻射是影響混凝土溫度場的主要因素。

經(jīng)對比可知，箱梁?軌道結(jié)構(gòu)溫度場的級數(shù)解與數(shù)值解的最大相對誤差小于5%，表明采用積分變換法求解箱梁?軌道結(jié)構(gòu)溫度場模型是準(zhǔn)確、可行的。

3.4 計算結(jié)果與實(shí)測結(jié)果對比

圖6所示為2014?07?22 太陽輻射時長內(nèi)軌道板溫度的實(shí)測值(T1～T4)和計算值(T′1～T′4)時程曲線。從圖6(a)可見，由于溫度預(yù)估模型的初始值高于實(shí)測值約2 ℃，致使特征點(diǎn)T′1和T′2的計算升溫速率均比實(shí)測溫度高；道床板內(nèi)特征點(diǎn)T′1距軌道板表面0.05 m，其最高溫度發(fā)生的時間保持一致，峰值溫度的誤差在1 ℃左右。從圖6(b)可見：底座板距結(jié)構(gòu)表面0.25 m，其溫度時程曲線具有升溫晚、溫度波動小的特點(diǎn)，底座板內(nèi)特征點(diǎn)(T′3和T′4)的溫度計算值與實(shí)測特征點(diǎn)(T3和T4)的溫度平均誤差均為1 ℃左右。

圖6 結(jié)構(gòu)溫度的級數(shù)解與數(shù)值解對比Fig.6 Comparison between measured temperatures and calculation temperatures of ballastless track slab

經(jīng)統(tǒng)計，實(shí)測溫度與計算溫度的最大相對誤差為8%，可滿足實(shí)際工程中結(jié)構(gòu)的溫度場分析及溫度模式預(yù)測要求。

4 箱梁?無砟軌道升溫模式的計算

4.1 軌道板表面溫度的計算方法對比

軌道板中的溫度測點(diǎn)距結(jié)構(gòu)外表面的距離越小，對應(yīng)的溫度波動越大，如圖6所示。日照時間內(nèi)道床板中的溫度波動幅值均在10 ℃以上，而底座板中溫度測點(diǎn)距軌道板表面0.44 m，溫度的波動幅值僅為0.5 ℃，由此假設(shè)：在日照時間內(nèi)無砟軌道板表面的熱擾動范圍僅局限在軌道結(jié)構(gòu)內(nèi)，可按半無限大結(jié)構(gòu)的溫度場模型分析箱梁?無砟軌道結(jié)構(gòu)溫度場。

根據(jù)半無限大固體的一維非穩(wěn)態(tài)溫度場的解析解[16]，同時忽略結(jié)構(gòu)溫度場中瞬態(tài)溫度項的影響。當(dāng)f1(t)>T(0,t)時，可得到結(jié)構(gòu)表面溫度的簡化計算式：

式中：ta和tb分別為結(jié)構(gòu)表面流體溫度的平均值和振幅；β為流體溫度的相位；φ為結(jié)構(gòu)表面溫度與流體溫度的振幅比值；ψ為結(jié)構(gòu)表面溫度相比流體溫度滯后的相位角。

將流體溫度函數(shù)式(25)的相關(guān)參數(shù)分別代入式(24)和(30)，可求得不同溫度場模型的表面溫度計算值。日照時間內(nèi)軌道結(jié)構(gòu)表面溫度的時程曲線如圖7所示。從圖7可見：由于日出后2～3 h 范圍內(nèi)，結(jié)構(gòu)表面流體溫度小于結(jié)構(gòu)表面溫度(f1(t)

圖7 結(jié)構(gòu)表面溫度的計算結(jié)果對比Fig.7 Comparison of calculation results of structural surface temperature

4.2 箱梁?無砟軌道溫度模式的擬合結(jié)果

新西蘭規(guī)范[18]、美國AASHTO 規(guī)范[19]分別給出了混凝土結(jié)構(gòu)豎向溫度的五次拋物線形式和三折線分布形式。雖然規(guī)范中均考慮了不同鋪裝厚度(5～10 cm)對結(jié)構(gòu)溫差取值的影響，但既有溫度模式對板厚近50 cm的箱梁?無砟軌道結(jié)構(gòu)不適用。文獻(xiàn)[15]通過對箱梁?無砟軌道板溫度場進(jìn)行長期測試與統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)在夏季高溫時期，混凝土結(jié)構(gòu)出現(xiàn)年最大正溫差，可采用指數(shù)曲線描述結(jié)構(gòu)豎向溫度分布。

參考混凝土結(jié)構(gòu)溫度的三折線分布形式，利用2014年及2015年夏至日(15:00)的箱梁?無砟軌道結(jié)構(gòu)的實(shí)測溫度擬合結(jié)構(gòu)最不利正溫差，得到結(jié)構(gòu)豎向溫度的四折線分布形式，如圖8所示。由于箱梁底板無太陽輻射，溫度波動很小，距底板外表面0.15 m范圍內(nèi)的溫差為1 ℃左右，因此，底板溫度分布也采用折線表示。

同時，采用指數(shù)曲線擬合箱梁?無砟軌道結(jié)構(gòu)的溫度計算值，得到指數(shù)溫度分布與實(shí)測溫度、折線溫度分布均比較接近，擬合度較高，如圖8所示。利用2組實(shí)測數(shù)據(jù)計算得到道床板的溫度梯度分別為80 ℃/m 和70 ℃/m，兩者均小于中國高速鐵路設(shè)計規(guī)范值90 ℃/m[1]。

圖8 箱梁?無砟軌道結(jié)構(gòu)豎向溫度的擬合曲線Fig.8 Fitting curves of vertical temperature of box girderballastless track structure

4.3 箱梁?無砟軌道升溫模式的參數(shù)計算

結(jié)合箱梁?無砟軌道結(jié)構(gòu)溫度場的實(shí)測溫度與計算溫度，提出2種箱梁軌道結(jié)構(gòu)的最不利溫度分布曲線，如圖9所示(其中，l為結(jié)構(gòu)截面總高度；d為結(jié)構(gòu)溫度作用范圍；ΔT1～ΔT4，ΔTu1，ΔTd1均為結(jié)構(gòu)溫度特征值)。圖9(a)中，四折線分布形式需要4 個參數(shù)(ΔT1，ΔT2，ΔT3，ΔT4)才能確定，每個參數(shù)之間需按指定間隔距離取值；圖9(b)中，指數(shù)分布形式僅需要3個參數(shù)(ΔTu1，ΔTd1和a)，可適用于不同高度的結(jié)構(gòu)截面，其函數(shù)形式為

圖9 箱梁?無砟軌道結(jié)構(gòu)的溫度作用模式Fig.9 Temperature action model of box girder ballastless track structure

式中：ΔTu1和ΔTd1分別為結(jié)構(gòu)截面上表面和下表面的溫度特征值，其值分別為截面上、下表面溫度與截面內(nèi)部最小溫度的差值；a為指數(shù)溫度分布的衰減參數(shù)。

對于箱梁?無砟軌道結(jié)構(gòu)的指數(shù)溫度分布曲線，衰減參數(shù)a可利用結(jié)構(gòu)溫度計算結(jié)果擬合得到。由于溫度級數(shù)解為時間t的變量，可計算出不同時刻的結(jié)構(gòu)溫度場分布；同時，對于不同截面高度，不同工況下的結(jié)構(gòu)溫度模式均可計算。相比于傳統(tǒng)溫度模式的計算方法[2?3]，利用結(jié)構(gòu)溫度級數(shù)解可以得到不同環(huán)境參數(shù)、材料參數(shù)或截面高度的結(jié)構(gòu)溫度場分布。

表1所示為不同溫度分布曲線的參數(shù)計算結(jié)果。由表1可知：1) 不同環(huán)境下結(jié)構(gòu)表面的溫度ΔT1取值不同；2)結(jié)構(gòu)內(nèi)的溫度ΔT2～ΔT4幾乎保持一致。在沒有結(jié)構(gòu)實(shí)測溫度時，利用結(jié)構(gòu)表面溫度的級數(shù)解(式(24))或近似解(式(30))計算表面溫度，ΔT2～ΔT4可按照表1取值。

表1 不同溫度模式的計算結(jié)果對比Table 1 Comparison of calculation results of different temperature models

5 結(jié)論

1)結(jié)合實(shí)橋溫度與氣象參數(shù)建立了第三類邊界條件的箱梁?無砟軌道結(jié)構(gòu)溫度場的預(yù)估模型，采用積分變換法求得了太陽輻射時長內(nèi)結(jié)構(gòu)溫度場模型的級數(shù)解。

2)箱梁?無砟軌道溫度場的級數(shù)解可由級數(shù)展開式前8項求和近似得到，與數(shù)值解的最大相對誤差為5%，與實(shí)測數(shù)據(jù)的最大誤差為8%?；炷两Y(jié)構(gòu)溫度場的級數(shù)解可適用于不同截面高度、不同時刻的結(jié)構(gòu)溫度預(yù)測。

3)當(dāng)?shù)刃л椛錃鉁卮笥诨炷两Y(jié)構(gòu)表面溫度時，有限域結(jié)構(gòu)的表面溫度級數(shù)解與半無限域結(jié)構(gòu)的表面溫度近似解的計算誤差在1 ℃之內(nèi)，可采用結(jié)構(gòu)溫度的近似解快速計算結(jié)構(gòu)表面溫度。

4)高速鐵路箱梁?無砟軌道結(jié)構(gòu)的四折線溫度分布曲線和指數(shù)溫度分布曲線與實(shí)測溫度分布曲線擬合度高。