盧 恒，徐旭松，王樹剛，王 皓

(1.江蘇理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，江蘇常州213001；2.無錫市檢驗(yàn)檢測(cè)認(rèn)證研究院,江蘇無錫214100)

1 引 言

葉片是渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)的核心部件，其型面精度是保證空氣動(dòng)力學(xué)性能、可靠性、穩(wěn)定性的關(guān)鍵元素。高效、精確的評(píng)定葉片型線誤差對(duì)控制葉片加工質(zhì)量具有重要意義[1]。葉片型面測(cè)量有接觸式測(cè)量與非接觸式測(cè)量[2]，其中接觸式測(cè)量主要以三坐標(biāo)測(cè)量法為主，是目前精度較高的測(cè)量方式之一[3]。三坐標(biāo)測(cè)量葉片主要采用等高法進(jìn)行測(cè)量，由于系統(tǒng)誤差及隨機(jī)誤差的存在，需要對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)之間進(jìn)行配準(zhǔn)，以獲得較精確的誤差評(píng)定結(jié)果。

在誤差評(píng)定的過程中需要解決2個(gè)關(guān)鍵問題：①如何尋找實(shí)測(cè)點(diǎn)在理論輪廓中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，針對(duì)這一問題，主要采用的方法是對(duì)理論輪廓進(jìn)行樣條函數(shù)擬合，用分割逼近的方法對(duì)理論輪廓尋求最近對(duì)應(yīng)點(diǎn)；②如何統(tǒng)一實(shí)測(cè)基準(zhǔn)與理論基準(zhǔn)的問題，本質(zhì)是求解實(shí)測(cè)點(diǎn)集與理論點(diǎn)集的剛性變換矩陣，也即是對(duì)實(shí)測(cè)點(diǎn)集與理論點(diǎn)集的配準(zhǔn)問題[4]。

葉片型線的配準(zhǔn)分為初配準(zhǔn)和精配準(zhǔn)。初配準(zhǔn)目的是使測(cè)量數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)的空間位姿盡量接近，可以在很大程度減小實(shí)測(cè)點(diǎn)集與理論點(diǎn)集的位置偏差，給精配準(zhǔn)提供良好的初值條件，主要算法有遺傳算法[5]、力矩主軸法[6]、三點(diǎn)對(duì)齊法[7]；精配準(zhǔn)可使理論點(diǎn)集與實(shí)測(cè)點(diǎn)集處于最佳配準(zhǔn)狀態(tài)，目前主要以迭代最近點(diǎn)(iterative closest point，ICP)算法為主。

Yang J L等[8]提出一種全局優(yōu)化與ICP結(jié)合的算法，該算法既能保證配準(zhǔn)精度同時(shí)加快了收斂速度。Xu G L等[9]提出最大化熵準(zhǔn)則的ICP算法，實(shí)現(xiàn)有噪聲和離群點(diǎn)的二維點(diǎn)集配準(zhǔn)。Lamine T M等[10]提出了聚類迭代最近點(diǎn)算法(clustering iterative closet point，CICP)，該算法將理論點(diǎn)云中與實(shí)際點(diǎn)云中相對(duì)應(yīng)的局部點(diǎn)云進(jìn)行配準(zhǔn)，適合處理密度變化較大的點(diǎn)云。Chetverrikov D等[11]提出了裁剪迭代最近點(diǎn)算法(trimmed iterative closet point，TrICP)，通過引入重疊率對(duì)點(diǎn)云重疊部分配準(zhǔn)，有效降低了未重疊部分配準(zhǔn)誤差。Wu Z Z[12]等引入最大相關(guān)準(zhǔn)則(MCC)作為相似性度量，提出了一種魯棒尺度ICP算法。該算法具有消除異常點(diǎn)和噪聲干擾的特點(diǎn)。

本文針對(duì)傳統(tǒng)ICP算法配準(zhǔn)精度較低的問題，提出一種改進(jìn)ICP算法的葉片型線輪廓度誤差評(píng)定方法,對(duì)傳統(tǒng)ICP算法配準(zhǔn)結(jié)果進(jìn)行NURBS曲線擬合后，再做進(jìn)一步精配準(zhǔn)[13]，有效提高了配準(zhǔn)精度。

2 基于矢量對(duì)齊法的型線數(shù)據(jù)初配準(zhǔn)

本文在三點(diǎn)對(duì)齊法的基礎(chǔ)上，基于單條葉片截面線數(shù)據(jù)有序排列且一一對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)，采用一種基于矢量對(duì)齊法的型線數(shù)據(jù)初配準(zhǔn)，如圖1所示。

設(shè)理論點(diǎn)集為Pi(i=1，2，…，n)，實(shí)測(cè)點(diǎn)集為Qi(i=1，2，…，n)。理論點(diǎn)集與實(shí)測(cè)點(diǎn)集數(shù)量相等且一一對(duì)應(yīng)，取理論點(diǎn)集Pi中兩點(diǎn)P1、P2，對(duì)應(yīng)實(shí)測(cè)點(diǎn)集兩點(diǎn)為Q1、Q2。由此可以計(jì)算初始旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移矩陣T。對(duì)實(shí)測(cè)點(diǎn)集Qi分別作用旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移矩陣T,可得新的實(shí)測(cè)點(diǎn)集Qi。

圖1 基于矢量對(duì)齊法的初配準(zhǔn)Fig.1 Initial registration based on vector alignment method

具體步驟如下；

(1) 取理論點(diǎn)集Pi中相對(duì)距離較遠(yuǎn)的兩點(diǎn)P1、P2。

(2) 于測(cè)量點(diǎn)集Qi中找到對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)Q1、Q2。

(4) 若使u，v兩矢量方向相同，有如下關(guān)系式

|νR×u|=0

(1)

式中：u的方向?yàn)镻1指向P2，大小為P1到P2的距離；v的方向?yàn)镼1指向Q2，大小為Q1到Q2的距離。

(5) 代入點(diǎn)集坐標(biāo)求得旋轉(zhuǎn)矩陣R。

(6) 對(duì)實(shí)測(cè)點(diǎn)集Qi作用R得更新后點(diǎn)集Si(i=1，2，…，n)。

(7) 對(duì)應(yīng)Qi中Q1、Q2，更新為S1、S2。

(8) 計(jì)算平移矩陣,

T=S1-Q1

(2)

(9) 對(duì)點(diǎn)集Si作用平移矩陣T，得新的實(shí)測(cè)點(diǎn)集Qi。

Qi=Si-T

(3)

3 基于改進(jìn)ICP算法的葉片型線精配準(zhǔn)

3.1 傳統(tǒng)ICP算法

ICP算法的基本原理為最小二乘法，即對(duì)于2個(gè)不同坐標(biāo)系下的點(diǎn)集，通過尋找使點(diǎn)對(duì)之間距離平方和最小的旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移矩陣T[14]。設(shè)Pi(i=1，2，…，n)為理論點(diǎn)集，Qi(i=1，2，…，n)為實(shí)測(cè)點(diǎn)集，尋找實(shí)測(cè)點(diǎn)集的變換矩陣使目標(biāo)函數(shù)minF(R,T)最小，數(shù)學(xué)模型如下:

(4)

算法步驟如下；

(1) 在實(shí)測(cè)點(diǎn)集Qi中尋找與理論點(diǎn)集Pi對(duì)應(yīng)的最近點(diǎn)點(diǎn)集Pik(k為迭代次數(shù))，使得：

(5)

(2) 根據(jù)式(4)計(jì)算R和T。

(3) 對(duì)點(diǎn)集Pi進(jìn)行作旋轉(zhuǎn)平移變換，

(6)

(4) 計(jì)算平均距離dk+1，

(7)

(5) 當(dāng)dk+1大于終止迭代誤差τ時(shí)，返回步驟1繼續(xù)迭代，直到dk+1小于τ或者迭代次數(shù)達(dá)到預(yù)定的閾值為止。

其中步驟(2)的求解主要采用奇異值分解(singular value decomposition，SVD)方法，方法如下：

(1) 分別計(jì)算點(diǎn)集Pi，Qi的質(zhì)心Pc，Qc，

(8)

(9)

(2) 分別對(duì)點(diǎn)集Pi，Qi去中心化，

PN=P-Pc

(10)

QN=Q-Qc

(11)

式中:PN，QN為Pi，Qi去中心化的新點(diǎn)集。

(3) 計(jì)算矩陣H，

(12)

(4)SVD分解，

H=UΣVT

(13)

式中:U、V為正交矩陣；Σ為對(duì)角矩陣。

(5) 求解變換旋轉(zhuǎn)矩陣R0和平移矩陣T0，

R0=V·UT

(14)

T0=Qc-R·Pc

(15)

3.2 改進(jìn)ICP算法的精配準(zhǔn)

由于采用最小二乘法的ICP算法求解變換矩陣存在較大誤差，為進(jìn)一步提高求解精度，設(shè)定對(duì)原實(shí)測(cè)點(diǎn)集Qi作用變換矩陣R0、T0所得點(diǎn)集為Qj，對(duì)點(diǎn)集Qj進(jìn)行NURBS曲線擬合。再利用自適應(yīng)粒子群算法重新求解變換矩陣R、T。

具體步驟如下；

(1) 對(duì)點(diǎn)集Qj進(jìn)行NURBS擬合，得到擬合曲線S，計(jì)算曲線S上到理論點(diǎn)集Pi的最近點(diǎn)集Qk,

(16)

(2) 采用自適應(yīng)粒子群算法[15,16]建立如下適應(yīng)度函數(shù)

(17)

(3) 設(shè)置算法參數(shù)如下：N為種群數(shù)量，一般取20～40，為了提高算法的搜索效果，這里N取為40；c1為自我學(xué)習(xí)因子，c2為群體學(xué)習(xí)因子，c1是控制種群中粒子在自己的維度上與最好位置的距離，c2是控制粒子在種群總維度上的最好距離，學(xué)習(xí)因子太大，則種群隨機(jī)搜索性能較好，但是種群的收斂性能降低，經(jīng)過算法調(diào)試，這里c1取為0.8，c2為1.2；ωmax為最大慣性權(quán)重，ωmin為最小慣性權(quán)重，慣性權(quán)重隨著粒子目標(biāo)適應(yīng)值的改變而改變，當(dāng)粒子目標(biāo)分散時(shí)，減小慣性權(quán)重，粒子目標(biāo)一致時(shí)，增加慣性權(quán)重，經(jīng)過算法調(diào)試，這里ωmax取為0.8，ωmin為0.1；M為最大迭代次數(shù)，經(jīng)過測(cè)試，當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到100左右時(shí)，目標(biāo)適應(yīng)值趨于平穩(wěn)，這里M取為100；搜索空間維數(shù)D為3，也是目標(biāo)函數(shù)的決策變量個(gè)數(shù)，分別是旋轉(zhuǎn)矩陣的旋轉(zhuǎn)角度、平移矩陣的平面二維方向的平移。

(4) 初始化種群個(gè)體，并計(jì)算各個(gè)粒子的適應(yīng)度zg，以及全局最優(yōu)適應(yīng)度pg。

(5) 進(jìn)入主循環(huán)，更新粒子位移、速度，以及慣性權(quán)重，更新規(guī)則如下：

x(t+1)=x(t)+v(t+1)

(18)

式中:x(t+1)為粒子更新后的位移；x(t)為更新前的位移；v(t+1)為更新后的粒子速度；t為粒子位移和速度的時(shí)間函數(shù)。

v(t+1)=ωv(t)+c1r1[pi-x(t)]+c2r2[pg-x(t)]

(19)

式中:ω為初始慣性權(quán)重；r1，r2為隨機(jī)函數(shù)rand;pi為個(gè)體最優(yōu)適應(yīng)度。

(20)

式中:f為粒子實(shí)時(shí)的目標(biāo)函數(shù)值;favg和fmin分別表示當(dāng)前所有粒子的平均值和最小目標(biāo)值。

(6) 將每個(gè)粒子的適應(yīng)值與粒子的最小適應(yīng)值比較，如果更新后的粒子適應(yīng)值比最小適應(yīng)值小，則將更新后的粒子作為最小適應(yīng)值，否則保留更新前的最小適應(yīng)值。比較當(dāng)前所有的個(gè)體最佳適應(yīng)值和群體最佳適應(yīng)值，并更新群體最佳適應(yīng)值。

(7) 重復(fù)(3)，(4)步驟，直到算法收斂或者達(dá)到最大迭代次數(shù)。

(8) 輸出最佳個(gè)體，即R和T。

(9) 對(duì)點(diǎn)集Qk進(jìn)行變換，此時(shí)實(shí)測(cè)點(diǎn)集與理論點(diǎn)集達(dá)到最佳匹配狀態(tài)。

4 線輪廓度誤差評(píng)定

4.1 線輪廓度公差

線輪廓度公差是指被測(cè)實(shí)際要素相對(duì)于理想輪廓線所允許的變動(dòng)全量，它用來控制空間曲線的形狀或位置誤差。如圖2所示，線輪廓度公差帶是包絡(luò)一系列圓(直徑為公差值Tl)的2包絡(luò)曲線之間的區(qū)域，各圓圓心應(yīng)位于理想輪廓曲線上，其中被測(cè)實(shí)際輪廓線上的離散測(cè)量點(diǎn)必須位于包絡(luò)一系列圓的兩包絡(luò)曲線之間[17]。

圖2 線輪廓度公差帶Fig.2 Line profile tolerance zone

4.2 評(píng)定方法

目前線輪廓度的評(píng)定主要采用最小二乘法和最小區(qū)域法，現(xiàn)采用一種基于最小區(qū)域法的葉型線輪廓度誤差評(píng)定方法，如圖3所示。

定義包絡(luò)所有測(cè)點(diǎn)的上、下包絡(luò)線形成的最小距離為輪廓度誤差E:

E=du+dl

(21)

式中：du和dl分別為實(shí)測(cè)點(diǎn)集中在理論輪廓線外、內(nèi)的最大偏離點(diǎn)。

圖3 線輪廓度誤差Fig.3 Line profile error

5 實(shí)例分析

5.1 樣本數(shù)據(jù)

本次實(shí)驗(yàn)采用海克斯康三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)某渦輪葉片進(jìn)行測(cè)量數(shù)據(jù)采樣，通過誤差篩選，得到本次分析數(shù)據(jù)Pi，共計(jì)110個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。

5.2 算法分析對(duì)比

配準(zhǔn)前、后的理論點(diǎn)集Pi與實(shí)測(cè)點(diǎn)集Qi如圖4所示。

圖4 配準(zhǔn)前、后的理論點(diǎn)集Pi與實(shí)測(cè)點(diǎn)集QiFig.4 The theoretical point set Pi and measured point set Qi before and after registration

對(duì)實(shí)測(cè)點(diǎn)集Qi進(jìn)行NURBS曲線擬合，如圖5所示。結(jié)合自適應(yīng)粒子群算法對(duì)點(diǎn)集進(jìn)一步精配準(zhǔn)，得到兩種方法迭代結(jié)果局部對(duì)比圖，如圖6所示。

圖5 對(duì)實(shí)測(cè)點(diǎn)集Qi進(jìn)行NURBS曲線擬合Fig.5 The measured point set Qi was fitted with NURBS curve

收斂值F，輪廓度誤差E與采用傳統(tǒng)ICP算法對(duì)比如表1所示。

表1中，最大誤差為實(shí)測(cè)點(diǎn)集對(duì)應(yīng)理論點(diǎn)集中的最大歐氏距離，最小誤差為實(shí)測(cè)點(diǎn)集對(duì)應(yīng)理論點(diǎn)集中的最小歐氏距離。由圖6和表1可知：采用改進(jìn)的ICP算法與傳統(tǒng)ICP算法相比，可進(jìn)一步降低收斂值，從而達(dá)到提高兩個(gè)點(diǎn)集之間配準(zhǔn)精度；改進(jìn)ICP算法比傳統(tǒng)ICP算法配準(zhǔn)后的最大誤差和最小誤差更小，輪廓度誤差減小28.57%。

圖6 迭代結(jié)果局部對(duì)比圖Fig.6 Local comparison diagram of iteration results

表1 配準(zhǔn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表Tab.1 Registration data statistics tablemm mm

綜上所述，改進(jìn)ICP算法和傳統(tǒng)ICP算法在配準(zhǔn)初始階段均可使收斂值F快速下降到某一穩(wěn)定值，但改進(jìn)ICP算法可以進(jìn)一步迭代配準(zhǔn)，使收斂值F進(jìn)一步減少。究其原因，主要有兩點(diǎn)：一方面，改進(jìn)的ICP算法對(duì)實(shí)測(cè)點(diǎn)集采用了NURBS曲線擬合，搜索到了理論點(diǎn)集與實(shí)測(cè)點(diǎn)集之間歐氏距離更小的對(duì)應(yīng)最近點(diǎn)；另一方面，采用自適應(yīng)粒子群算法對(duì)點(diǎn)集進(jìn)行配準(zhǔn)，該算法具有不易過早收斂且不易陷入局部最優(yōu)的優(yōu)點(diǎn)，使得收斂結(jié)果更為精確可靠。

6 結(jié) 語

在三點(diǎn)對(duì)齊法基礎(chǔ)上提出了基于矢量對(duì)齊法的葉片型線初配準(zhǔn)，使配準(zhǔn)點(diǎn)集的空間位姿更加快速有效的貼合；使用NURBS方法擬合實(shí)測(cè)點(diǎn)集數(shù)據(jù)，再利用自適應(yīng)粒子群算法對(duì)實(shí)測(cè)點(diǎn)集進(jìn)一步的迭代配準(zhǔn)，有效提高了配準(zhǔn)精度；最后對(duì)配準(zhǔn)結(jié)果采用基于最小區(qū)域法的線輪廓度誤差評(píng)定，實(shí)現(xiàn)了對(duì)葉片型線誤差的精確評(píng)價(jià)。實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果表明：改進(jìn)方法相對(duì)于傳統(tǒng)ICP算法，可在原有收斂值基礎(chǔ)上達(dá)到進(jìn)一步收斂的效果，輪廓度誤差相對(duì)減小28.57%。該方法有效提高了葉片型線輪廓度誤差評(píng)定的精確度，從而為葉片的加工質(zhì)量提供了可靠判定。