巨小鵬

(陜西省漢中市龍崗學(xué)校 723102)

極坐標(biāo)與參數(shù)方程作為選做題，由于難度不大，極易被考生選擇.文章從設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)、參數(shù)幾何意義和極坐標(biāo)應(yīng)用三種不同方法入手，對(duì)極坐標(biāo)與參數(shù)方程問(wèn)題做了例題總結(jié)，在例題總結(jié)中強(qiáng)化基本概念和幾何意義，找到“破題”入口.

1 利用參數(shù)方程的參數(shù)幾何意義

幾個(gè)常見的參數(shù)方程：

(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率．

當(dāng)cosα≠0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為

y=xtanα+2-tanα；

當(dāng)cosα=0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x=1．

(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程得

(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0．

①

于是直線l的斜率k=tanα=-2．

“破題”與評(píng)注關(guān)鍵是恰巧線段中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，利用直線的參數(shù)幾何意義，求出直線斜率.本題考查曲線的極坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，考查直線參數(shù)方程的幾何意義，對(duì)于這一類問(wèn)題的處理，一般就是將直線的參數(shù)方程與曲線普通方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求解問(wèn)題.

(1)求a的值和直線l的直角坐標(biāo)方程及l(fā)的參數(shù)方程；

于是l的直角坐標(biāo)方程為l:x+y-2=0；

“破題”與評(píng)注關(guān)鍵是利用直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義得出|AM|·|AN|=|t1|·|t2|=|t1t2|，|AM|+|AN|=|t1|+|t2|=|t1-t2|.本題考查曲線的極坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，考查直線參數(shù)方程的幾何意義，將直線的參數(shù)方程與普通方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求解，屬于常規(guī)題.

2 利用參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)

(1)若a=-1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；

綜上，a=8或a=-16.

“破題”與評(píng)注先把直線與橢圓的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立兩個(gè)方程，可得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的參數(shù)方程，求橢圓上一點(diǎn)到一條直線的距離的最大值，可以直接利用點(diǎn)到直線的距離公式，表示出橢圓上的點(diǎn)到直線的距離，此時(shí)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵，即利用三角換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求解問(wèn)題，利用三角有界性求出最值，進(jìn)而求得參數(shù)a的值．

(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值以及此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo).

“破題”與評(píng)注把參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎?、加減消參法、平方和(差)消參法、乘法消參法、混合消參法等．

3 利用極坐標(biāo)的應(yīng)用

(1)求直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程，并指明曲線C的形狀；

得ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ+1=0.

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為

x2+y2-2x-2y+1=0.

即曲線C是圓心為(1,1)，半徑r=1的圓.

設(shè)A,B對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1,ρ2，則

“破題”與評(píng)注此題關(guān)鍵是極坐標(biāo)方程的求法及其應(yīng)用，重點(diǎn)考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力.在求曲線交點(diǎn)、距離、線段長(zhǎng)等幾何問(wèn)題時(shí)，求解的一般方法是將其化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解，或者直接利用極坐標(biāo)的幾何意義求解.因此，需要學(xué)生理解極坐標(biāo)中幾個(gè)核心概念，比如極角極徑的含義，這也是學(xué)生容易忽略的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)完也容易遺忘.

圖1

(1)求C2的極坐標(biāo)方程及a；

解析消去C2參數(shù)方程中的φ，可得(x+2)2+y2=4.又由x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C2的極坐標(biāo)方程為ρ=-4cosθ.

由于C2與x軸的其中一個(gè)交點(diǎn)A(異于點(diǎn)O)的極坐標(biāo)為(4,π)，故4=a(1-sinπ)，即a=4.

所以C3的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R).

又C1與C3相交E,O,F三點(diǎn)，得

|OE|=|ρE|=4(1-sinα)>0,

|OF|=|ρF|=4(1+sinα)>0.

所以|EF|=|OE|+|OF|=8.

復(fù)習(xí)過(guò)程中首先要注重學(xué)生對(duì)基本概念與方法的學(xué)習(xí)，特別是核心概念的理解，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)與技能，從而快速“破題”，以此提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)與圓錐曲線三種方程的整合.然后要重視思想和方法的總結(jié)，比如數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想和分類討論思想.最后強(qiáng)化參數(shù)幾何意義、極徑、極角和參數(shù)方程的理解，比如類型三中利用極徑的幾何意義解題，大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算，解答思路也更清晰.