徐維武 朱賢良

(安徽省樅陽(yáng)縣教育教學(xué)研究室 246700)

三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是高中數(shù)學(xué)中的一類重要函數(shù)，可與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等諸多知識(shí)點(diǎn)交匯融合.以三次函數(shù)為載體的試題已成為高考命題中的熱點(diǎn)與亮點(diǎn)，主要涉及三次函數(shù)的圖象、單調(diào)性、對(duì)稱性、零點(diǎn)、最值與值域等類型.掌握有關(guān)三次函數(shù)圖象規(guī)律，有利于指導(dǎo)我們高效且有趣地進(jìn)行解題.

1 三次函數(shù)性質(zhì)

性質(zhì)1 (單調(diào)性)導(dǎo)函數(shù)f′(x)=3ax2+2bx+c，其零點(diǎn)的判別式Δ=4(b2-3ac).

(1)當(dāng)a>0時(shí),若Δ≤0，則f′(x)≥0，故f(x)在R上單調(diào)遞增；

若Δ>0，則方程f′(x)=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1,x2(不妨設(shè)x1

x(-∞,x1)(x1,x2)(x2,+∞)f '(x)+-+f(x)↗↘↗

(2)當(dāng)a<0時(shí),若Δ≤0，則f′(x)≤0，故f(x)在R上單調(diào)遞減；

若Δ>0，則方程f′(x)=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1,x2(不妨設(shè)x1

x(-∞,x1)(x1,x2)(x2,+∞)f '(x)-+-f(x)↘↗↘

性質(zhì)2 (極值)由性質(zhì)1可知，當(dāng)a>0且Δ>0時(shí)，f(x)有一個(gè)極大值點(diǎn)x1和一個(gè)極小值點(diǎn)x2；

當(dāng)a<0且Δ>0時(shí)，f(x)有一個(gè)極小值點(diǎn)x1和一個(gè)極大值點(diǎn)x2；

當(dāng)Δ≤0時(shí)，f(x)無(wú)極值點(diǎn).

性質(zhì)4 (零點(diǎn))由性質(zhì)1，2，3可知，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)

性質(zhì)6 (圖象)根據(jù)上述性質(zhì)，三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖象有四種類型(如圖1，2，3，4).

圖1 圖2 圖3 圖4

把握住三次函數(shù)的圖象特征，我們可以由此來(lái)輕松求解高考中“三次”問(wèn)題.

2 三次函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用

2.1 圖象問(wèn)題

例1(2015年高考安徽卷·文10)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖5所示，則下列結(jié)論正確的是( ).

圖5

A.a>0,b<0,c>0,d>0

B.a>0,b<0,c<0,d>0

C.a<0,b<0,c>0,d>0

D.a>0,b>0,c>0,d<0

解析由三次函數(shù)的圖象可知，a>0，且f′(x)=3ax2+2bx+c=0有兩個(gè)不等正根x1,x2，故

從而b<0，c>0.又d=f(0)>0，故正確選項(xiàng)為A.

點(diǎn)評(píng)三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)，本題在求解時(shí)要注意借助二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)判定b與c的符號(hào).

2.2 單調(diào)性問(wèn)題

例2(2013年高考全國(guó)Ⅱ卷·理10文11)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( ).

A.?x0∈R，f(x0)=0

B.函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對(duì)稱圖形

C.若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(-∞,x0)上單調(diào)遞減

D.若x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f′(x0)=0

解析顯然A,B，D項(xiàng)均正確；對(duì)于C項(xiàng)，若x0是f(x)=x3+ax2+bx+c的極小值點(diǎn)，則f(x)的大致圖象如圖1所示，f(x)在區(qū)間(-∞,x0)上先遞增后遞減，即C項(xiàng)錯(cuò)誤.

點(diǎn)評(píng)三次函數(shù)的單調(diào)性分為“增”“減”“增減增”“減增減”四種情形，只需結(jié)合其圖象即可得出正確的判斷.

2.3 極值問(wèn)題

例3(2021年高考全國(guó)乙卷·理10文12)設(shè)a≠0，若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點(diǎn)，則( ).

A.abC.aba2

解析令f(x)=0，解得x=a或x=b，即x=a與x=b是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn).

(1)當(dāng)a>0時(shí)，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，f(x)的單調(diào)性為“增減增”，要使x=a是f(x)的極大值點(diǎn)，則函數(shù)f(x)的大致圖象如圖6所示，故0a2；

圖6 圖7

(2)當(dāng)a<0時(shí)，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，f(x)的單調(diào)性為“減增減”，要使x=a是f(x)的極大值點(diǎn)，則函數(shù)f(x)的大致圖象如圖7所示，故ba2.

綜上，ab>a2，即正確選項(xiàng)為D.

點(diǎn)評(píng)本題在繪制三次函數(shù)的圖象時(shí)，需要注意x=a既是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，又是f(x)的零點(diǎn)，同時(shí)a的正負(fù)情況還決定了函數(shù)的單調(diào)性.

例4(2013年高考安徽卷·理10)若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x1,x2，且f(x1)=x1，則關(guān)于x的方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是( ).

A.3 B.4 C.5 D.6

解析因?yàn)閒(x)=x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x1,x2，則方程f′(x)=3x2+2ax+b=0的兩根為x1,x2，故方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0等價(jià)于f(x)=x1或f(x)=x2.

因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判定直線y=x1，y=x2與曲線y=f(x)交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(1)若x1>x2，注意到f(x1)=x1，故f(x)的大致圖象如圖8所示，此時(shí)直線y=x1，y=x2與曲線y=f(x)共有三個(gè)交點(diǎn)；

圖8 圖9

(2)若x1

綜上，不論x1,x2的大小關(guān)系如何，關(guān)于x的方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)都是3，故選A.

點(diǎn)評(píng)本題中三次函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的單調(diào)性為“增減增”，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)在于區(qū)分x1,x2中哪個(gè)是極大值點(diǎn)、哪個(gè)是極小值點(diǎn).

2.4 零點(diǎn)問(wèn)題

例5(2015年高考安徽卷·理15)設(shè)x3+ax+b=0，其中a,b均為實(shí)數(shù).下列條件中，使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是____(寫出所有正確條件的編號(hào)).

①a=-3,b=-3；②a=-3,b=2；③a=-3,b>2；④a=0,b=2；⑤a=1,b=2.

解析設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax+b，因?yàn)閮H有一個(gè)零點(diǎn)，故其圖象有三種可能：

(1)當(dāng)f′(x)=3x2+a的零點(diǎn)的判別式Δ=-12a≤0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞增，恰好一個(gè)零點(diǎn)，故④⑤正確；

綜上，使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的條件是①③④⑤.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查三次函數(shù)y=x3+ax+b的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合三次函數(shù)的圖象特征即可輕松破解.

例6(2012年高考全國(guó)大綱卷·理10)已知函數(shù)y=x3-3x+c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c等于( ).

A.-2或2 B.-9或3

C.-1或1 D.-3或1

解析由y=x3-3x+c得y′=3x2-3，其導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)為x=±1，此即y=x3-3x+c的極值點(diǎn).

因?yàn)楹瘮?shù)y=x3-3x+c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)，故y極大=y|x=-1=2+c=0或y極小=y|x=1=-2+c=0，即c=-2或2.

點(diǎn)評(píng)三次函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，有兩種情形：極大值為零或極小值為零，解題時(shí)要注意考慮全面.

例7(2020年高考浙江卷·9)已知a,b∈R且ab≠0，對(duì)于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0，則( ).

A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0

解析設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b)，顯然其零點(diǎn)為x=a，x=b與x=2a+b.

注意到ab≠0，故b≠2a+b.下面就零點(diǎn)是兩個(gè)還是三個(gè)來(lái)展開討論，并繪制函數(shù)圖象：

(1)若三個(gè)零點(diǎn)兩兩不相等，則由x≥0時(shí)恒有f(x)≥0可知f(x)的圖象如圖10所示，其三個(gè)零點(diǎn)a<0，b<0，2a+b<0；

圖10 圖11 圖12

(2)若a=b，則f(x)=(x-a)2(x-3a)，符合題意的圖象如圖11所示，此時(shí)a=b<0；

(3)若a=2a+b，則a+b=0，故有f(x)=(x-a)2(x+a)，符合題意的圖象如圖12所示，此時(shí)a>0，b<0.

綜上，b<0，正確選項(xiàng)為C.

點(diǎn)評(píng)本題中，當(dāng)函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，要注意x=a為非變號(hào)零點(diǎn)，這對(duì)繪制函數(shù)圖象至關(guān)重要.