朱新波,李海洋,鄭惠欣,徐 亮

(1. 南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院,南京 211106；2. 上海衛(wèi)星工程研究所,上海 201109；3. 上海市深空探測技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 201109)

0 引 言

“天問一號”火星探測器于2021年2月10日成功完成火星制動捕獲,成為我國首個環(huán)繞火星的探測器。2021年5月15日,“祝融”火星車成功著陸火星北半球的烏托邦平原?；鹦翘綔y一直是深空探測的熱點(diǎn),而且其中也有著諸多學(xué)術(shù)問題亟待研究。火星大氣進(jìn)入問題始終是學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn),也有一系列與天問一號大氣進(jìn)入相關(guān)的高水平研究與應(yīng)用成果發(fā)表。除了火星大氣進(jìn)入問題,環(huán)火受攝軌道動力學(xué)研究同樣對火星探測具有重要意義。

在火星車火星表面工作期間,位于環(huán)火軌道的“天問一號”環(huán)繞器為火星車與地面站提供中繼服務(wù)。環(huán)繞器在中繼任務(wù)期間必須運(yùn)行在合適的中繼軌道上,才能夠提供穩(wěn)定可靠的中繼服務(wù)。但由于環(huán)繞器在環(huán)火軌道上受到火星非球形攝動、大氣攝動、第三體引力攝動等影響,中繼軌道星下點(diǎn)會出現(xiàn)漂移,無控情況下會導(dǎo)致中繼弧段受到影響,甚至無法滿足中繼條件。對于常見的火星環(huán)繞軌道,影響最主要的是火星非球形攝動,其中最受關(guān)注的是帶諧項(xiàng)。已有研究主要包括帶諧項(xiàng)攝動下的環(huán)火軌道特性或者軌道演化規(guī)律。而已有的火星探測任務(wù),也主要位于低軌近圓軌道,根據(jù)探測任務(wù)需求,也主要利用帶諧項(xiàng)攝動設(shè)計(jì)其軌道漂移特性。

一般軌道設(shè)計(jì)中所考慮的最主要的攝動項(xiàng)為帶諧項(xiàng),但是田諧項(xiàng)也會在某些情況下起到重要作用,如地球同步軌道衛(wèi)星的軌道漂移現(xiàn)象。關(guān)于田諧項(xiàng)對環(huán)火軌道的影響并沒有太多研究,但是本文分析表明,火星環(huán)繞器的中繼軌道星下點(diǎn)漂移在帶諧項(xiàng)攝動模型與考慮田諧項(xiàng)的高精度軌道模型兩種情況下呈現(xiàn)出完全不同的特性,這一特性正是由田諧項(xiàng)產(chǎn)生的軌道共振導(dǎo)致。對于本文所考慮的環(huán)火軌道,如果仍然采取軌道設(shè)計(jì)中通用的帶諧項(xiàng)分析進(jìn)行設(shè)計(jì),其關(guān)鍵特性將會得到完全不同的結(jié)果,從而影響到任務(wù)實(shí)施。因此,研究清楚田諧項(xiàng)攝動與中繼軌道漂移特性的關(guān)系具有十分重要的意義。

本文首先對環(huán)繞器中繼軌道星下點(diǎn)漂移的特殊現(xiàn)象進(jìn)行了描述,然后通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)的方法,分析了不同攝動項(xiàng)對中繼軌道星下點(diǎn)漂移特性的影響,從中找到了田諧項(xiàng)是導(dǎo)致特殊漂移特性的主要因素；接著通過對星下點(diǎn)過著陸點(diǎn)緯度時的經(jīng)度進(jìn)行簡化計(jì)算,將原因進(jìn)一步定位到軌道半長軸增大；最后,通過對攝動項(xiàng)的數(shù)學(xué)分析,發(fā)現(xiàn)田諧項(xiàng)導(dǎo)致的軌道共振是該問題的根本原因。

1 現(xiàn)象描述

1.1 “天問一號”環(huán)火軌道簡述

“天問一號”環(huán)繞器的環(huán)火軌道為大偏心率、傾角接近90°的軌道,整個任務(wù)過程中主要分為三個階段。

第一階段：停泊軌道?；鹦擒囍懬?需要在該軌道上對預(yù)定著陸區(qū)開展詳查。停泊軌道周期約為兩個火星日(49.2 h),可保證探測器每兩個火星日就可以對預(yù)定著陸區(qū)開展一次詳查。

第三階段：遙感軌道。環(huán)繞器在中繼軌道工作完成后進(jìn)入科學(xué)探測遙感軌道,對火星進(jìn)行科學(xué)探測,兼顧為火星車提供中繼通信服務(wù)。遙感探測主要在近火點(diǎn)附近進(jìn)行,而近火點(diǎn)幅角受火星非球形攝動會在火星緯度方向進(jìn)行漂移,從而實(shí)現(xiàn)對火星全球的覆蓋。

由于中繼任務(wù)階段環(huán)繞器與火星車之間的通信是否可見受軌道漂移影響較大,對軌道攝動更為敏感,本文重點(diǎn)關(guān)注環(huán)繞器中繼任務(wù)階段的軌道受攝問題。

1.2 中繼軌道星下點(diǎn)漂移

由于軌道攝動,環(huán)繞器在中繼軌道運(yùn)行時星下點(diǎn)并不會始終保持在著陸點(diǎn)上空,而是會出現(xiàn)漂移。分析采用的火星慣性系下的平均軌道根數(shù)如下。

表1 火星慣性系下中繼軌道平均軌道根數(shù)Table 1 Mean orbital elements in Mars inertial frame

計(jì)算使用全攝動模型,考慮了120階的JGMRO120 d火星引力場模型、第三體引力攝動、太陽光壓攝動和大氣阻力攝動,其具體軌道遞推計(jì)算公式可參見文獻(xiàn)[20-21]。工程實(shí)踐表明該模型能夠非常好地表示真實(shí)軌道。

環(huán)繞器進(jìn)入中繼軌道后,在不進(jìn)行軌道維持的情況下,30天內(nèi)星下點(diǎn)軌跡如圖1所示。星下點(diǎn)過著陸點(diǎn)緯度時的經(jīng)度隨時間變化情況如圖2所示。星下點(diǎn)計(jì)算公式可參見文獻(xiàn)[20-21]。

圖1 環(huán)繞器星下點(diǎn)軌跡漂移Fig.1 The orbiter’s sub-satellite point trajectory drifts

圖2 環(huán)繞器過著陸點(diǎn)緯度的經(jīng)度隨時間變化Fig.2 Variation of the orbiter’s longitude passing the latitude of landing site over time

由于各種工程約束存在,當(dāng)環(huán)繞器星下點(diǎn)經(jīng)度漂移著陸點(diǎn)較遠(yuǎn)時,就無法再提供中繼通信服務(wù)。圖2中兩條紅線之間的區(qū)域表示中繼可用的區(qū)域。從圖中可以看到,當(dāng)環(huán)繞器進(jìn)入中繼軌道后,前10天內(nèi)星下點(diǎn)過著陸點(diǎn)緯度的經(jīng)度先隨時間遞增到最大值,后20天內(nèi)隨時間遞減,該變化趨勢既不是單調(diào)變化,也不是短周期性變化。

軌道設(shè)計(jì)中一般認(rèn)為,對于非同步軌道,考慮中心天體的非球形攝動至4階帶諧項(xiàng)已經(jīng)可以較高精度地反映軌道攝動變化的主要特征?？紤]火星主要非球形攝動項(xiàng)后,平均軌道根數(shù)表示的軌道長期項(xiàng)變化率如下式：

(1)

式中：表示軌道半長軸,表示軌道偏心率,表示軌道傾角,表示升交點(diǎn)赤經(jīng),表示近火點(diǎn)幅角,表示平近點(diǎn)角,表示軌道角速度,表示軌道半通徑,表示火星平均赤道半徑。

將中繼軌道采用火星非球形攝動項(xiàng)進(jìn)行軌道遞推,可以得到在該模型下環(huán)繞器30天內(nèi)星下點(diǎn)過著陸點(diǎn)緯度時的經(jīng)度隨時間變化情況,如圖3所示。

圖3 僅考慮非球形攝動J4項(xiàng)時,環(huán)繞器過著陸點(diǎn)緯度的經(jīng)度隨時間變化Fig.3 Variation of the orbiter’s longitude passing the latitude of landing site over time when only considering non-spherical perturbation J4

可以看到,在火星主要非球形攝動項(xiàng)下,環(huán)繞器星下點(diǎn)過著陸點(diǎn)緯度時的經(jīng)度呈現(xiàn)出單調(diào)遞增的趨勢,跟實(shí)際情況完全不同。根據(jù)對式(1)中非球形攝動主要帶諧項(xiàng)的攝動影響進(jìn)行分析可知,環(huán)繞器軌道半長軸、偏心率與傾角的平根保持不變,升交點(diǎn)赤經(jīng)與近火點(diǎn)幅角的平根長期項(xiàng)線性變化,而這種軌道變化不會導(dǎo)致過著陸點(diǎn)緯度的經(jīng)度表現(xiàn)出圖2先變大再變小的特性。因此,一定是其他某個在軌道設(shè)計(jì)中通常并不被考慮的攝動項(xiàng),起到了決定性的作用。本文將對該問題進(jìn)行深入研究,可以為后續(xù)火星環(huán)繞探測任務(wù)軌道設(shè)計(jì)提供重要參考。

2 攝動分析

2.1 關(guān)鍵攝動項(xiàng)分析

首先分析不同的攝動力模型下,中繼軌道星下點(diǎn)過著陸點(diǎn)緯度時的經(jīng)度隨時間變化情況,從而找出導(dǎo)致中繼漂移現(xiàn)象的主要攝動因素。

考慮全攝動模型和,非球形攝動模型。全攝動模型與上文一致,,非球形攝動模型僅采用JGMRO 120 d火星引力場模型,和表示考慮的最高階數(shù)和次數(shù),如模型(即通常所說的)表示考慮了,和項(xiàng)。不同攝動模型下隨時間變化情況如圖4所示。

圖4 不同攝動模型下中繼軌道星下點(diǎn)過著陸點(diǎn)緯度時的經(jīng)度隨時間變化Fig.4 Variation of the orbiter’s longitude passing the latitude of landing site over time under different perturbation models

從圖4(a)和圖4 (b)可以看出,火星非球形攝動在中繼軌道漂移中起到主要作用；從圖4 (c)和圖4 (d)可以看出,考慮非球形攝動模型時星下點(diǎn)漂移特性仍然與真實(shí)情況保持一致,但是當(dāng)考慮非球形攝動模型時星下點(diǎn)漂移特性發(fā)生了明顯變化,出現(xiàn)了完全不同的漂移規(guī)律。因此,從圖4中可以初步得出結(jié)論,3階3次田諧項(xiàng)是導(dǎo)致星下點(diǎn)漂移特殊現(xiàn)象的主要因素。

2.2 軌道根數(shù)攝動分析

下面分別對非球形攝動模型和非球形攝動模型對軌道根數(shù)的攝動進(jìn)行分析。

從圖5到圖8可以看出,非球形攝動仍然主要體現(xiàn)著帶諧項(xiàng)攝動的主要特征,即平均軌道根數(shù)下的半長軸、偏心率、軌道傾角幾乎保持不變；非球形攝動下,軌道根數(shù)變化趨勢發(fā)生了明顯變化：30天內(nèi)半長軸隨時間明顯增大；偏心率變化趨勢也與下相反,但是從近火點(diǎn)高度升高的更快來看,半長軸與偏心率這兩個描述軌道形狀的根數(shù)中,半長軸起到更為主導(dǎo)的作用；軌道傾角隨時間明顯減?。簧稽c(diǎn)赤經(jīng)與非球形攝動稍有偏差,主要是由于半長軸的變化導(dǎo)致升交點(diǎn)赤經(jīng)漂移率發(fā)生了變化；近火點(diǎn)幅角變化與非球形攝動基本一致。

圖5 平均半長軸受攝變化Fig.5 Change of mean semimajor axis under perturbation

圖6 平均偏心率受攝變化Fig.6 Change of mean eccentricity under perturbation

圖7 平均傾角受攝變化Fig.7 Change of mean inclination under perturbation

圖8 平均升交點(diǎn)赤經(jīng)受攝變化Fig.8 Change of mean RAAN under perturbation

通過比較與非球形攝動下軌道攝動的差異,可以初步認(rèn)為,中繼軌道漂移特性是由非球形攝動導(dǎo)致的半長軸增大或者軌道傾角減小導(dǎo)致,具體原因?qū)⒃谙挛倪M(jìn)一步分析。

3 λφ簡化計(jì)算與漂移原因分析

3.1 λφ簡化計(jì)算方法

為了進(jìn)一步分析中繼軌道星下點(diǎn)過著陸點(diǎn)緯度時的經(jīng)度漂移特性的原因,需要對進(jìn)行簡化計(jì)算,從而可以對不同變量進(jìn)行剝離,找到漂移特殊現(xiàn)象的主要因素。

首先需要計(jì)算過指定緯度圈的交點(diǎn)周期。圖9中指定緯度圈的緯度為,表示沿衛(wèi)星運(yùn)動方向從標(biāo)準(zhǔn)緯度圈起量的角度,表示沿衛(wèi)星運(yùn)動方向從升交點(diǎn)到指定緯度圈的角度,根據(jù)圖有：

圖9 星下點(diǎn)過指定緯度圈示意圖Fig.9 Diagram of the sub-satellite point crossing a specified circle of latitude

+=+

(2)

式中：表示真近點(diǎn)角。

因此,計(jì)算變化一周的時間,即可得到,即有：

(3)

在約一個軌道周期的時間內(nèi),可以將軌道根數(shù)的變化率近似為常數(shù)。真近點(diǎn)角可以通過平近點(diǎn)角來求得：

(4)

(5)

式中：Mean2True表示平近點(diǎn)角與真近點(diǎn)角的轉(zhuǎn)換,具體過程可參考文獻(xiàn)[20]。

根據(jù)球面三角形,有：

(6)

(7)

因此可以通過數(shù)值的方法求解交點(diǎn)周期,即求解以下方程：

(8)

該方程可以使用軌道周期作為初值簡單快速求解。

求得交點(diǎn)周期后,即可再通過火星自轉(zhuǎn)角速度和軌道升交點(diǎn)赤經(jīng)漂移速度,求得過指定緯度的經(jīng)度漂移Δ：

(9)

式中：表示火星自轉(zhuǎn)角速度,表示軌道圈數(shù)。

對于攝動情況,軌道根數(shù)的變化率見公式(1),利用上述方法可以求得的估計(jì)值,并且將其與實(shí)際軌道積分計(jì)算下得到的實(shí)際值進(jìn)行比較,結(jié)果如圖10所示。

圖10 J4攝動下過給定緯度時的經(jīng)度比較Fig.10 Comparison of the longitudes passing a specified latitude under J4 perturbation

從圖10中可以看出,的簡化計(jì)算方法具有較高的精度,后續(xù)可以使用該方法計(jì)算并進(jìn)行分析。

3.2 λφ漂移原因分析

根據(jù)上一節(jié)結(jié)果,待進(jìn)一步分析確定漂移特性是由非球形攝動導(dǎo)致的半長軸增大引起,還是軌道傾角減小引起。

為了簡化分析,根據(jù)圖5中非球形攝動對平均軌道根數(shù)的攝動結(jié)果,假設(shè)半長軸和傾角在30天內(nèi)約為線性變化,其變化表達(dá)式為：

()=+Δ

(10)

()=+Δ

(11)

式中：Δ=2.5 km/天,Δ=-0.0246°/天,表示軌道漂移時間。

使用簡化計(jì)算方法,在攝動帶來的軌道根數(shù)變化基礎(chǔ)上,再分別根據(jù)上式考慮半長軸的增加和傾角的減小,再來看的變化情況。

從圖11中可以看到,只有當(dāng)半長軸增大時,呈現(xiàn)出了與真實(shí)情況一致的變化特性,軌道傾角的減小并不會導(dǎo)致該特性。

圖11 不同軌道變化下過給定緯度時的經(jīng)度比較Fig.11 Comparison of the longitudes passing a specified latitude under different orbital changes

通過以上一系列數(shù)值實(shí)驗(yàn),可以得到如下結(jié)論：田諧項(xiàng)非球形攝動引起的軌道半長軸增大,是先增大再減小的主要因素。由于帶諧項(xiàng)使得單調(diào)增大,因此可以認(rèn)為初期的增大主要是由帶諧項(xiàng)引起；半長軸增大會使得軌道周期變長,導(dǎo)致減小,因此可以認(rèn)為隨后的減小是半長軸增大導(dǎo)致的。

但是,田諧項(xiàng)攝動為何會導(dǎo)致半長軸增大,仍需要進(jìn)一步分析。

4 軌道受攝共振

考慮非球形攝動的中心天體引力場位函數(shù)可以寫成以下形式：

(12)

式中：,,分別表示衛(wèi)星距中心天體質(zhì)心的距離、經(jīng)度和緯度。其中：

(13)

(14)

其中,與是通過測量得到的一組引力位系數(shù),一般可以直接由描述非球形引力場的模型給出。對于=0下的系數(shù),即(,0),其特征與經(jīng)度無關(guān),稱為帶諧項(xiàng)系數(shù)；對于>0下的系數(shù),即,(,),其特征與經(jīng)度有關(guān),稱為田諧項(xiàng)系數(shù)。

,是勒讓德多項(xiàng)式,其中對于軌道設(shè)計(jì)中一般會考慮的4階帶諧項(xiàng)有：

(15)

而對于田諧項(xiàng)有：

(16)

關(guān)于帶諧項(xiàng)攝動的研究已經(jīng)較多,本文將針對上文分析得出結(jié)論的關(guān)鍵攝動項(xiàng)非球形攝動展開深入分析。項(xiàng)的引力場位函數(shù)可寫為：

(17)

其中

+=-

(18)

=-[()+]

(19)

幾個角度的關(guān)系如圖12所示,和分別表示星下點(diǎn)經(jīng)度和緯度,()表示火星固連系軸與慣性系軸的夾角,表示升交點(diǎn)經(jīng)度與的角度差,表示星下點(diǎn)經(jīng)度與升交點(diǎn)的角度差。從圖中關(guān)系以及球面三角公式,有：

圖12 田諧項(xiàng)相關(guān)角度關(guān)系示意圖Fig.12 Diagram of the tesseral harmonics perturbation related angles

(20)

式中：=+。因此用軌道根數(shù)描述的項(xiàng)引力場位函數(shù)可以寫為：

(21)

將該公式進(jìn)行進(jìn)一步推導(dǎo),結(jié)合三角公式：

(22)

可得:

(23)

根據(jù)拉格朗日攝動方程可知,半長軸的變化率與引力場位函數(shù)對平近點(diǎn)角的偏導(dǎo)數(shù)相關(guān),因此可以將引力場位函數(shù)對平近點(diǎn)角求偏微分,再對時間進(jìn)行積分,即可得到半長軸變化的表達(dá)式。引力場位函數(shù)與平近點(diǎn)角的關(guān)系推導(dǎo)如下。

將和展成平近點(diǎn)角的三角級數(shù),取到項(xiàng)的結(jié)果為：

(24)

因此可以將項(xiàng)引力場位函數(shù)描述為平近點(diǎn)角的函數(shù)：

(25)

使用函數(shù)表示和展成平近點(diǎn)角的展開項(xiàng),表達(dá)式為：

3)+(1-6)cos(3+3+3)+

3+3)

(26)

3)+(1-6)cos(3+3-3)+

3-3)

(27)

(28)

(29)

可以看到,平近點(diǎn)角描述的項(xiàng)引力場位函數(shù)可使用一基本函數(shù)單元描述：

=cos[+3(±)]

(30)

式中：=1,2,3,4,5,表示一整數(shù)。

則

(31)

結(jié)合拉格朗日攝動方程：

(32)

進(jìn)而有：

cos[+3(±)]

(33)

式中：為系數(shù),為軌道運(yùn)動平均角速度,為火星自轉(zhuǎn)角速度。從式中可以看到：

1)如果與正好成某個比例關(guān)系時,分母會出現(xiàn)等于零的情況,將會產(chǎn)生軌道共振,導(dǎo)致軌道半長軸顯著增大；

2)軌道半長軸的變化仍是周期性運(yùn)動。

中繼軌道周期約為火星日的1/3,即/=1/3,通過以上計(jì)算可以得到,對于項(xiàng)攝動,當(dāng)=1時,會導(dǎo)致半長軸出現(xiàn)小分母,進(jìn)而產(chǎn)生軌道共振,從而在某段時間內(nèi)表現(xiàn)為半長軸顯著增大的現(xiàn)象。

將軌道遞推時間設(shè)為365天,項(xiàng)與項(xiàng)攝動下的半長軸變化情況如圖13所示。可以看到,相比于攝動,項(xiàng)攝動會導(dǎo)致半長軸長周期運(yùn)動有較為顯著的振蕩現(xiàn)象,這與上文推導(dǎo)所得到的軌道共振結(jié)論一致。一般工程任務(wù)在地球同步軌道設(shè)計(jì)時需要考慮田諧項(xiàng)帶來的東西漂移的影響,而對于非同步軌道很少考慮田諧項(xiàng)的影響,但是本文的分析結(jié)果表明非同步軌道上的環(huán)火衛(wèi)星在軌道設(shè)計(jì)時也需要注意田諧項(xiàng)產(chǎn)生的軌道共振現(xiàn)象。同時可以看到,在前30天左右半長軸顯著增大,與前文分析中環(huán)繞器軌道半長軸在30天內(nèi)增大的現(xiàn)象一致。環(huán)繞器進(jìn)入中繼軌道后正好處于半長軸增大的階段,從而最終導(dǎo)致了過著陸點(diǎn)緯度時的經(jīng)度出現(xiàn)先增大再減少的現(xiàn)象。

圖13 365天內(nèi)半長軸受攝變化Fig.13 Changes of semi-major axis under perturbation within 365 days

5 結(jié) 論

本文對環(huán)繞器中繼軌道星下點(diǎn)過著陸點(diǎn)緯度時的經(jīng)度先增大再減小的特殊現(xiàn)象進(jìn)行了分析。通過一系列數(shù)值分析,結(jié)合星下點(diǎn)過著陸點(diǎn)緯度時經(jīng)度的簡化計(jì)算方法,找到了火星非球形攝動田諧項(xiàng)導(dǎo)致的軌道半長軸增大是產(chǎn)生該特殊現(xiàn)象的主要原因。進(jìn)一步,通過對田諧項(xiàng)引力場位函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)分析,發(fā)現(xiàn)當(dāng)中繼軌道周期約為火星日的1/3時,田諧項(xiàng)會產(chǎn)生軌道共振,從而使得半長軸長周期運(yùn)動有著較為顯著的振蕩現(xiàn)象,在某段時間內(nèi)表現(xiàn)為半長軸顯著增大。工程中一般僅在同步軌道衛(wèi)星設(shè)計(jì)上會考慮田諧項(xiàng)的影響,但是本文進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了田諧項(xiàng)對非同步軌道上的環(huán)火衛(wèi)星也可以產(chǎn)生較為顯著的軌道共振現(xiàn)象,可以為后續(xù)火星環(huán)繞探測任務(wù)軌道設(shè)計(jì)提供重要參考。