◎崔占滿 王 妍

(天津師范大學教育學部，天津 300387)

本文對“對數(shù)函數(shù)的概念”完成了教學設計、課件和微課程制作，筆者在學校教師教育實習期間，于天津市海河中學開展了具體實踐，通過師生、生生互動，相互配合，完成了相應的教學任務，達成了良好的教學效果

一、教學設計說明

依據《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課標》)主題二“函數(shù)”，第二單元“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)”，各部分內容的關系如圖1所示

圖1

《課標》指出，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是最基本、應用最廣泛的函數(shù)，是學生進一步學習數(shù)學的基礎本單元的學習可以幫助學生掌握研究函數(shù)性質的方法，理解函數(shù)中所蘊含的運算規(guī)律，體會運用函數(shù)知識解決實際問題的作用

依據教材第四章“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”，各部分內容之間的關系如圖2所示

圖2

教學設計在《課標》的指導下，基于人教A版《普通高中教科書·第一冊(必修)》內容，以多元智能理論、布魯姆教育目標分類學，以及加涅的教學設計原理為理論基礎，突出促進數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的教育理念.此教學內容的設計旨在突出“數(shù)學發(fā)現(xiàn)學習”，教師采用GeoGebra 動態(tài)繪圖軟件輔助教學，讓學生可以通過觀察發(fā)現(xiàn)對數(shù)函數(shù)

二、教學設計實施

1教材內容分析

“對數(shù)函數(shù)的概念”選自教材第四章第四節(jié)“對數(shù)函數(shù)”(第一課時)課程安排在指數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)知識之后，是繼指數(shù)函數(shù)之后的又一個重要初等函數(shù)從知識或思想方法的角度來看，對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有很多類似的地方同時，對數(shù)函數(shù)是對數(shù)和函數(shù)知識的拓展與延伸，是解決有關自然科學領域中實際問題的重要工具

2學生學情分析

對數(shù)函數(shù)是在指數(shù)函數(shù)的基礎上，對函數(shù)主題內容的進一步研究，二者在研究內容和思想方法上存在著緊密的聯(lián)系

知識經驗分析學生在前面剛剛經歷指數(shù)函數(shù)的學習，并且通過指數(shù)與對數(shù)的相關知識，能夠熟練地掌握了指數(shù)與對數(shù)的相互轉化過程，所以學生對于本節(jié)課的內容相對容易接受

能力水平分析經過前面內容的學習，學生具備了基本的數(shù)學抽象能力、初步的合作探究能力，能夠在數(shù)形結合的思想方法下借助坐標法展開研究，但邏輯推理能力需要進一步提高

在教學過程中，教師要注重創(chuàng)設問題情境，實施啟發(fā)式教學，幫助學生加強認識新舊知識間的區(qū)別與聯(lián)系，掌握對數(shù)函數(shù)內容的同時，加深對指數(shù)函數(shù)的理解

3教學目標確定

(1)從“指對互化”出發(fā)，引出對數(shù)函數(shù)概念的形式化定義，會用對數(shù)函數(shù)的概念判斷對數(shù)函數(shù)，會求對數(shù)函數(shù)的定義域

(2)探索分析實際問題，綜合運用數(shù)學知識，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力

4教學方法與教學重、難點

教學方法：問題驅動式教學與信息技術輔助教學融合

重點：對數(shù)函數(shù)的概念及其發(fā)現(xiàn)過程

難點：對數(shù)函數(shù)的發(fā)現(xiàn)及其與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系

5教學過程設計

新課標強調“從實際問題入手有助于學生對函數(shù)概念本質的理解”，所以本節(jié)課采取“問題驅動式教學”的形式，引導學生發(fā)現(xiàn)對數(shù)函數(shù)，類比得出對數(shù)函數(shù)的概念，借助學習指數(shù)函數(shù)概念時，生物體內碳14含量與生物死亡年數(shù)關系這個實際情境來深化本節(jié)課的學習內容這樣一方面可以減少學生的認知負荷，起到知識回顧的作用，方便學生在后面的學習中，在指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間建立起相關聯(lián)系，另一方面可以幫助學生在本節(jié)課內容與實際問題之間建立起聯(lián)系

教師活動主要包含創(chuàng)設學習情境、提出問題、養(yǎng)成思想方法、恰當運用過程評價學生活動主要涉及“分析任務—設計方案—解決問題—分享交流”環(huán)節(jié)

師：通過前面內容的學習我們知道，7=2可以根據指數(shù)與對數(shù)的關系轉化成=log7，類比該轉化過程，請同學們思考=2可以怎樣表示

生：=log

【設計意圖】回顧指數(shù)與對數(shù)的關系，利用該關系將特殊的指數(shù)函數(shù)進行轉化，進而發(fā)現(xiàn)和提出問題“轉化得到的對應關系是否也為函數(shù)”，發(fā)展學生的邏輯推理素養(yǎng)

師：我們知道=2是指數(shù)函數(shù)，那么=log是函數(shù)嗎？

師：大家不妨先畫出=2的圖像，然后根據函數(shù)概念，結合圖像進行小組探究哪個小組可以給大家說一下呢？

生：我們小組認為=log是函數(shù)結合圖像(圖3)分析可得，任取一值，都能找到唯一確定的值與之對應，滿足函數(shù)概念

圖3

【設計意圖】深化“數(shù)形結合”的思想方法研究問題，一方面可以回顧判斷函數(shù)的依據——函數(shù)的概念，另一方面積累基本活動經驗，為下面一般化對應關系的研究奠定基礎

師：為了更加直觀地得出該結論，老師利用GeoGebra軟件給大家繪制了以下動態(tài)過程觀察函數(shù)圖像(圖4)，我們可以看到，的取值范圍為(0，+∞)，記為數(shù)集，的取值范圍為，記為數(shù)集由動態(tài)過程可得，在數(shù)集中任取一值，在數(shù)集中都能找到唯一確定的值與之對應

圖4

【設計意圖】利用信息技術，由“靜態(tài)”到“動態(tài)”，再次驗證該結論的正確性，一是彌補孤立點的局限性，增加連續(xù)性；二是呈現(xiàn)形式更加直觀，加深學生理解，發(fā)展學生直觀想象素養(yǎng)

師：通過上述的研究過程，我們得出=log是函數(shù)下面，我們一起來回顧一下探究過程我們知道指數(shù)函數(shù)的一般形式為=(>0，且≠1)，當?shù)讛?shù)=2時，我們得到=2，由指數(shù)與對數(shù)的關系將其轉化成=log，進而根據函數(shù)定義結合圖像判斷得出=log是函數(shù)通過上述思路，你還能提出什么問題嗎？

生：更加一般的對應關系=log也是函數(shù)嗎？

【設計意圖】由教師提出問題，到學生提出問題，一方面可以培養(yǎng)學生提出問題的能力，另一方面自然引出本節(jié)課的主要研究問題

師：問題提出得非常好！請大家思考當>0，且≠1時，一般化的=log是函數(shù)嗎？大家可以仿照上述=log的探究過程，多畫出幾個函數(shù)圖像，小組討論一下

【設計意圖】通過小組探究活動，增加學生的自主性，經歷由特殊到一般的研究過程，培養(yǎng)學生合作學習、合情推理的能力

師：為了說服性更強地得出該結論，老師以0<<1為例，利用GeoGebra軟件給大家繪制了以下動態(tài)過程觀察函數(shù)圖像(圖5)，我們可以看到，的取值范圍為(0，+∞)，記為數(shù)集，的取值范圍為，記為數(shù)集隨著底數(shù)的變化，由動態(tài)過程可得，在數(shù)集中任取一值，在數(shù)集中依然能找到唯一確定的值與之對應

圖5

【設計意圖】借助信息技術輔助教學，結果更加直觀，理由更加充分

師：通過上述探究，我們知道=log(>0，且≠1)也是函數(shù)通常，我們用表示自變量，表示函數(shù)因此，我們將字母和對調，寫成=log(>0，且≠1)這就是我們今天要學習的對數(shù)函數(shù)的表達式定義域也就是數(shù)集，即(0，+∞)

師：下面老師給出四個函數(shù)，請各小組根據對數(shù)函數(shù)表達式，判斷它們是否為對數(shù)函數(shù),并思考一下判斷函數(shù)是否為對數(shù)函數(shù)的依據是什么

例：給出下列函數(shù)

(1)=log(3-2) (2)=2log03

師：聽完同學們的匯報，我們發(fā)現(xiàn)各小組的結果有些出入，下面我們一起來看一下首先，觀察對數(shù)函數(shù)的表達式，我們可以看到對數(shù)符號前系數(shù)為1，因此(2)不是對數(shù)函數(shù)；其次，我們可以看到對數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1，因此(3)不是對數(shù)函數(shù)；最后，我們可以看到對數(shù)的真數(shù)僅有自變量，因此(1)不是對數(shù)函數(shù)，只有(4)是對數(shù)函數(shù)通過上述觀察，我們就得到了判斷對數(shù)函數(shù)的三點依據

【設計意圖】加深學生對函數(shù)概念的理解，確定判斷對數(shù)函數(shù)的主要依據，便于學生厘清對數(shù)函數(shù)表達式結構

師：我們剛學習的對數(shù)函數(shù)概念能解決什么問題呢？請同學們思考下面的問題

問題1：當生物死亡后，它機體內原有的碳14含量會按確定的比率衰減(稱為衰減率)，大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”按照上述變化規(guī)律，生物體內碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關系？

師：如果設死亡生物體內碳14含量為，死亡年數(shù)為，那么二者間存在什么關系？

【設計意圖】回顧研究指數(shù)函數(shù)時的事例，一方面是因為學生熟悉，可以減小認知負荷；另一方面這可以方便學生在后續(xù)學習中，在指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間建立起相關聯(lián)系

問題2：考古學家每發(fā)現(xiàn)一個死亡生物體內的碳14含量就可以求出它的死亡年數(shù)嗎？你能給出具體的關系式嗎？

【設計意圖】深化對數(shù)函數(shù)在實際生活中的應用，幫助學生在本節(jié)課內容與實際問題之間建立起聯(lián)系

圖6 圖7

如圖6所示，教師在黑板左側梳理對數(shù)函數(shù)概念及其判斷依據；黑板中間播放PPT；如圖7所示，教師在黑板右側板演例題及實際問題的解決過程

7作業(yè)與拓展學習

必做題：課后練習1

求下列函數(shù)的定義域：

選做題：教材例2

假設某地初始物價為1，每年以5%的增長率遞增，經過年后物價為

(1)該地的物價經過幾年會翻一番？

(2)填寫下表，并根據表中的數(shù)據，說明該地物價的變化規(guī)律

物價x12345678910年數(shù)y0

【設計意圖】安排分層作業(yè)，使大部分學生都可以在各自的水平上有所收獲和提高，為今后的學習探究打下基礎必做題主要考查學生對對數(shù)函數(shù)概念的掌握程度，選做題主要考查學生解決實際問題的能力

三、設計思想解析

1突出知識結構主線，問題驅動式教學

教師精心設計探究過程，從特殊的指數(shù)和對數(shù)間的關系到一般的指數(shù)和對數(shù)間的關系，引出對數(shù)函數(shù)定義，在這個過程中，教師讓學生動手作圖，結合函數(shù)概念分析函數(shù)圖像，既培養(yǎng)了學生自主探究知識的能力，又能讓學生感受到數(shù)學的圖形美

2運用GeoGebra動態(tài)繪圖軟件設計數(shù)學實驗

本節(jié)課設計中教師使用的是GeoGebra動態(tài)繪圖軟件，它能夠實時改變對數(shù)函數(shù)的底數(shù)值，同時或繼時呈現(xiàn)不同底數(shù)對數(shù)函數(shù)的圖像特征，方便學生觀察、分析、總結對數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律現(xiàn)代信息技術的深度融入，對于提高教師的教學效率和學生的直觀素養(yǎng)具有良好的促進作用

3注重教學設計、課堂教學與學業(yè)評價的一致性

本節(jié)課按照《課標》的要求，基于教材的內容，通過設置問題串，合理編排教學內容，合理安排教學過程，幫助學生構建出自主、合作、探究的學習方式，使其在教師的指導下完成對數(shù)函數(shù)概念的探究與學習

在作業(yè)布置方面，教師考慮到學生的差異性，作業(yè)采取分層設計的形式，作業(yè)布置一道必做題，一道選做題，既不加重學生學習負擔，又盡可能發(fā)揮學生的潛能，滿足不同數(shù)學學習水平的學生的發(fā)展需求