戴 霖

（江西省水利科學(xué)院，江西 南昌 330029）

0 引言

擴(kuò)展卡爾曼濾波（extended kalman filter，EKF）是在線(xiàn)性最小方差估計(jì)的基礎(chǔ)上，提出的一種實(shí)時(shí)遞推型的最優(yōu)估計(jì)濾波算法，近年來(lái)被逐步應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)的參數(shù)識(shí)別研究[1-5]當(dāng)中。為解決傳統(tǒng)EKF算法中其狀態(tài)向量維度過(guò)大導(dǎo)致該算法運(yùn)行效率變慢、識(shí)別精度下降等問(wèn)題，本文提出了一種改進(jìn)的EKF算法，引入模態(tài)坐標(biāo)變換，利用模態(tài)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換對(duì)傳統(tǒng)EKF的狀態(tài)向量進(jìn)行處理，構(gòu)建以模態(tài)坐標(biāo)初始值和結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)的狀態(tài)向量。由于結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)通常由前幾階的低階頻率成分組成，因此，對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)可以有效縮減狀態(tài)向量的維數(shù)，以保證算法的穩(wěn)定性及準(zhǔn)確性。

本文運(yùn)用該算法對(duì)一多自由度系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，并采用MATLAB軟件編制了程序。數(shù)值算例的結(jié)果表明，該算法可以對(duì)結(jié)構(gòu)的損傷參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，且識(shí)別效果較好。

1 基本理論

多自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程：

式中：M，C，K分別為結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度矩陣；p為各節(jié)點(diǎn)位移向量。

在上式中引入模態(tài)坐標(biāo)變換p=Φq。式中：q為模態(tài)坐標(biāo)，Φ為正規(guī)化模態(tài)矩陣，滿(mǎn)足ΦTMΦ=I、ΦTKΦ=Λ[Λ=diag（ω21…ω2n），ωn為結(jié)構(gòu)第n階無(wú)阻尼固有頻率]。可將上式模態(tài)坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其運(yùn)動(dòng)方程為：

式中：Γ=ΦTCΦ，定義阻尼比ξn=Cn/（2ωnMn），則當(dāng)0＜ξn＜1，即在小阻尼情況下，該方程模態(tài)坐標(biāo)可表示為：

根據(jù)狀態(tài)方程和量測(cè)方程，直接套用擴(kuò)展卡爾曼濾波算法，經(jīng)化簡(jiǎn)后其遞推公式為：狀態(tài)預(yù)測(cè)方程：

式中：Hj為非線(xiàn)性函數(shù)h（θ，x，t）的雅克比矩陣；

當(dāng)結(jié)構(gòu)質(zhì)量不變，上式計(jì)算中所需的?ωn/?αi、?φn/?αi（即固有頻率和模態(tài)關(guān)于損傷參數(shù)的靈敏度）可用基準(zhǔn)有限元模型計(jì)算[6]。

由上述多自由度體系的公式推導(dǎo)中可以看出，將模態(tài)轉(zhuǎn)換理論應(yīng)用在擴(kuò)展卡爾曼濾波中，利用模態(tài)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換對(duì)傳統(tǒng)EKF的狀態(tài)向量進(jìn)行處理，構(gòu)建以模態(tài)坐標(biāo)初始值和結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)的狀態(tài)向量后，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，可以選取相應(yīng)的模態(tài)階數(shù)進(jìn)行計(jì)算，達(dá)到縮減狀態(tài)向量維數(shù)的效果，從而保證本文改進(jìn)算法的穩(wěn)定性。

2 數(shù)值算例分析

為利用上述方法來(lái)驗(yàn)證改進(jìn)的EKF算法在結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別上的實(shí)用性，本文以一個(gè)三自由度彈簧質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)模型為例（見(jiàn)圖1）進(jìn)行驗(yàn)證。

圖1 彈簧質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)模型

本文數(shù)值仿真算例中的各單位采用無(wú)量綱化進(jìn)行處理[7]。三自由度彈簧質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)模型參數(shù)為：彈簧質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m1、m2、m3均為5；彈簧原始剛度k01、k02、k03均為200；彈簧原始阻尼比ζ1、ζ2、ζ3均為0.03；根據(jù)式（4）、式（5），假定彈簧質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)模型損傷后各彈簧剛度損傷因子α1、α2、α3分別為0.9、0.8、0.7；各彈簧阻尼比損傷因子β1、β2、β3分別為1.1、1.15、1.2。

本文通過(guò)MATLAB軟件進(jìn)行計(jì)算，在初始條件下，提取自由振動(dòng)下各個(gè)彈簧質(zhì)點(diǎn)的位移響應(yīng)信號(hào)作為觀(guān)測(cè)值，并同時(shí)加入高斯白噪聲模擬觀(guān)測(cè)噪聲的影響，對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)據(jù)中無(wú)噪聲、5%噪聲和15%噪聲3種情況分別給出識(shí)別結(jié)果。

（1）無(wú)噪聲下識(shí)別結(jié)果見(jiàn)圖2、圖3。

圖2 剛度損傷參數(shù)收斂曲線(xiàn)（無(wú)噪聲）

圖3 阻尼比損傷參數(shù)收斂曲線(xiàn)（無(wú)噪聲）

（2）5%噪聲下識(shí)別結(jié)果見(jiàn)圖4、圖5。

圖4 剛度損傷參數(shù)收斂曲線(xiàn)（5%噪聲）

圖5 阻尼比損傷參數(shù)收斂曲線(xiàn)（5%噪聲）

（3）15%噪聲下識(shí)別結(jié)果見(jiàn)圖6、圖7。

圖6 剛度損傷參數(shù)收斂曲線(xiàn)（15%噪聲）

圖7 阻尼比損傷參數(shù)收斂曲線(xiàn)（15%噪聲）

由圖2至圖7結(jié)構(gòu)各損傷因子的收斂曲線(xiàn)可以看出，在不同級(jí)別噪聲情況下，各個(gè)損傷參數(shù)的識(shí)別結(jié)果均可以快速識(shí)別，均能夠在短時(shí)間內(nèi)收斂且穩(wěn)定趨近于真實(shí)值。由表1、表2中結(jié)構(gòu)各損傷因子的識(shí)別結(jié)果可以看出，本文改進(jìn)算法可以對(duì)結(jié)構(gòu)損傷后的剛度及阻尼參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，且識(shí)別效果較好、精度較高。隨著噪聲逐級(jí)增加，雖然損傷因子的相對(duì)誤差也會(huì)相應(yīng)變大，但是各個(gè)參數(shù)識(shí)別結(jié)果的精度均較高。表1中，剛度損傷因子識(shí)別結(jié)果最大相對(duì)誤差為1.71%。表2中，阻尼比損傷因子識(shí)別結(jié)果最大相對(duì)誤差為3.33%?？梢?jiàn)，本文算法具有良好的識(shí)別效果。

表1 剛度損傷因子識(shí)別結(jié)果

表2 阻尼比損傷因子識(shí)別結(jié)果

3 結(jié)論

本文在擴(kuò)展卡爾曼濾波算法的基礎(chǔ)上，結(jié)合模態(tài)坐標(biāo)變換，提出了一種改進(jìn)的擴(kuò)展卡爾曼濾波算法，并將該算法對(duì)一多自由度彈簧質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值算例計(jì)算。結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別結(jié)果表明，該算法可以對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行有效識(shí)別，精度較高，證明了該算法在結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別領(lǐng)域當(dāng)中的可行性。因此，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)識(shí)別的問(wèn)題，可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步驗(yàn)證。