卜祥偉，姜寶續(xù)

（空軍工程大學，a.防空反導學院；b.研究生院，陜西 西安 710051）

0 引言

乘波體飛行器（waverider vehicle，WV）具有高升力、低阻力和高升阻比的突出特點，非常有助于實現(xiàn)其高速飛行。WV 一直以來都是世界各航空航天大國爭奪空天權的優(yōu)先發(fā)展方向?？刂葡到y(tǒng)被認為是WV 的“神經(jīng)中樞”，對于保障其安全飛行和順利完成任務使命至關重要。WV 特殊的動力學特性給其控制系統(tǒng)設計帶來了多重挑戰(zhàn)，WV 的飛行控制問題也一直都是控制領域的一個前沿熱點問題［1-2］。

近年來，國內(nèi)外科技人員對WV 的飛行控制進行了系統(tǒng)研究，在模型建立、特性分析與控制仿真等方面取得了豐碩成果［3-5］。文獻［5-7］考慮系統(tǒng)受擾、執(zhí)行器故障、存在約束等情形下WV 的強魯棒控制問題，雖能保證控制系統(tǒng)滿意的穩(wěn)態(tài)精度，但對誤差收斂過程的瞬態(tài)性能無法進行定量或定性設計。鑒于WV 大機動飛行對其飛行控制系統(tǒng)的動態(tài)性能有著極高的要求，在保證控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的基礎上，還必須確保其具有出色的動態(tài)性能［8］。預設性 能 控制［9］（prescribed performance control，PPC）已被證明是一種可以有效保證控制系統(tǒng)滿意動態(tài)性能的新方法，近年來在WV 的飛行控制中也有較多創(chuàng)新性研究。針對傳統(tǒng)PPC 依賴精確誤差初值的技術缺陷，文獻［10］通過設計一種新型性能函數(shù)，為WV 提出了一種新穎的神經(jīng)網(wǎng)絡PPC 方法。仿真結果雖然證明了該算法的有效性，但是過大的性能函數(shù)初值有可能導致跟蹤誤差的超調(diào)量失控。為此，文獻［11］提出了一種可以保證跟蹤誤差小超調(diào)（甚至零超調(diào)）收斂的PPC 新方法，并將其應用于WV 的飛行控制，保證了速度跟蹤誤差與高度跟蹤誤差零超調(diào)收斂。進一步，文獻［12］針對傳統(tǒng)PPC［9-11］收斂時間不明確的缺點，構造了一種有限時間收斂的新型性能函數(shù)，可以保證跟蹤誤差在任意設定的時間內(nèi)收斂到穩(wěn)態(tài)，進一步提高了PPC 方法的工程實用性。

盡管現(xiàn)有WV 的PPC 研究也取得了一定的進展，但同時應當看到，現(xiàn)有研究還存在明顯不足。上述PPC［9-12］方法為了保證控制魯棒性，通常采用神經(jīng)網(wǎng)絡或者模糊系統(tǒng)對WV 的未知模型進行在線逼近，并基于Lyapunov 理論為權值向量設計使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的在線學習律，這必然導致過大的在線學習量［13］，難以保證WV 機動飛行對其控制實時性的苛刻要求。此外，WV 在臨近空間飛行時遭受的外部突變擾動必然會引起跟蹤誤差的短時間波動，如果誤差波動幅度過大，就會造成誤差接近甚至越過PPC 的約束包絡，將直接導致控制奇異，此亦即所謂的現(xiàn)有PPC 的脆弱性缺陷［14］。

基于以上分析，本文為WV 提出一種無需任何在線學習參數(shù)的非脆弱PPC 新方法。通過設計一種新型性能函數(shù)，使得PPC 的約束包絡能夠自主“感知”誤差波動情況，并有針對性地調(diào)整約束包絡的形狀，從而避免傳統(tǒng)PPC 可能存在的控制奇異問題，并克服現(xiàn)有PPC 的脆弱性缺陷?；贚yapunov理論證明了閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及預設性能的可達性。最后，通過數(shù)值對比仿真驗證了所提方法的有效性和優(yōu)越性。

1 WV 運動模型

美國學者Bolender［3］等將WV 機體橫向寬度單位化，建立了縱向運動的一體化解析式二維模型，為飛行控制設計提供了模型基礎。Parker［4］等進一步將該模型進行合理簡化，建立了如下被廣泛采用的參數(shù)擬合模型：

注釋1：WV 的幾何外形與受力情況如圖1 所示。WV 的縱向運動模型包含5 個剛體狀態(tài)、2 個彈性狀態(tài)和2 個控制輸入。參數(shù)與變量詳細定義見表1。由于彈性狀態(tài)η1與η2完全不可測，借鑒相關文獻［6，8，15］的通常做法，將利用控制系統(tǒng)的魯棒性對彈性振動進行被動抑制。

表1 參數(shù)定義Table 1 Definitions of parameters

圖1 WV 幾何外形與受力示意圖Fig.1 Geometry and force map of WVs

控制目標是：為Φ，δe設計合適的控制律，使得v→vr，h→hr，γ→γr，θ→θr，Q→Qr，并且所有跟蹤誤差均滿足期望的非脆弱預設性能。這里，vr∈?＞0，hr∈?＞0為給定的參考指令，γr∈?，θr∈?，Qr∈? 為待設計的虛擬控制律。

假設1［15］：vr∈?＞0，hr∈?＞0及其對時間的一階導數(shù)∈?＞0，∈?＞0均有界。

2 非脆弱PPC 設計

傳統(tǒng)PPC 在遭遇強干擾時，極易誘發(fā)控制奇異，表現(xiàn)出明顯的脆弱性缺陷。為此，將為WV 的速度子系統(tǒng)（即式（1））與高度子系統(tǒng)（即式（2）～（5））設計一種新型非脆弱PPC 策略。

2.1 速度控制律設計

設計目標是為Φ選取合適的控制律，使得跟蹤誤差=v-vr滿足如下非脆弱預設性能

考慮到不等式（8）不便于控制器設計，對其進行如下等價變換

式中：Tv(φv)=exp(φv)/(1+exp(φv))為轉換函數(shù)；φv∈? 為轉換誤差。由于Tv(φv) ∈(0，1)，則易知式（12）與式（8）等價。

對式（12）求逆，得到

將速度控制律Φ設計為

式中：ιv∈?＞0。

下面，對速度子系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行證明。

對式（13）求導并代入式（1），（12），可得

式中：κv∈(0，1)。

將式（16）代入式（15），可得

2.2 高度控制律設計

注釋3：與?v(t)具有類似功能，?i(t)，i=h，γ，θ，Q能夠根據(jù)誤差波動情況自主調(diào)整約束包絡（20），以確保跟蹤誤差始終位于約束包絡內(nèi)，并克服傳統(tǒng)PPC 的脆弱性缺陷。

鑒于不等式（20）不便于控制器設計，對其進行如下等價變換

式中：Ti(φi)=exp(φi)/(1+exp(φi))為轉換函數(shù)，φi∈?為轉換誤差，i=h，γ，θ，Q。由 于Ti(φi) ∈(0，1)，i=h，γ，θ，Q，則易知式（20）與式（27）等價。

對式（27）求逆，得到

將虛擬控制律γr，θr，Qr以及高度控制律δe分別設計為

下面，對高度子系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行證明。

對式（28）求導并代入式（3）～（5），（27），可得

對式（36）求導并代入式（28）與式（35），可得

注釋3：傳統(tǒng)反演控制方法［15］需要精確獲知虛擬控制律的一階導數(shù)，存在所謂的“微分項膨脹”問題。本文所設計的控制律（14），（29）不僅構型簡單，而且不需要虛擬控制律的導數(shù)，避免了傳統(tǒng)反演的“微分項膨脹”難題。

注釋4：傳統(tǒng)PPC 方法［9-13］在遭受強突變干擾時極易造成控制奇異，表現(xiàn)出明顯的脆弱性缺陷。本文所設計的新型約束包絡（8），（20）飽和修正項?i(t)，i=v，h，γ，θ，Q，能夠自主“感知”誤差波動并自動調(diào)整約束包絡，從而彌補了現(xiàn)有PPC 方法［9-13］的脆弱性缺陷。

3 數(shù)值仿真驗證

為了驗證本文所設計控制律（14），（29）的有效性以及相對于現(xiàn)有方法［9］的優(yōu)越性，以式（1）～（7）作為被控對象，采用Matlab/Simulink 軟件進行數(shù)值對比仿真。仿真采用四階龍格-庫塔法進行解算，仿真步長為0.01 s?？刂圃鲆鎱?shù)取為：ιv=0.3，ιh=0.04，ιγ=0.05，ιθ=0.1，ιQ=0.5。速度跟蹤 誤差約束包絡的設計參數(shù)取為：μv0=5，μvf=0.9，av=2，bv，2=15，bv，1=0.5，Tf，v=3。高度跟蹤誤差約束包絡的設計參數(shù)取為：μh0=1.5，μhf=0.5，ah=2，bh，2=5，bh，1=2，Tf，h=3。航跡角跟蹤誤差約束包絡的設計參數(shù)取為：μγ0=0.1，μγf=0.02，aγ=2，bγ，2=5，bγ，1=5π/180，Tf，γ=3。俯仰角跟蹤誤差約束包絡的設計參數(shù)取為：μθ0=0.1，μθf=0.01，aθ=2，bθ，2=4，bθ，1=π/180，Tθ，h=3。航跡角速率跟蹤誤差約束包絡的設計參數(shù)取為：μQ0=0.2，μQf=0.03，aQ=2，bQ，2=5，bQ，1=π/180，TQ，h=3。

仿真過程中，考慮系統(tǒng)同時存在參數(shù)攝動和外部擾動。假定系統(tǒng)參數(shù)隨時間攝動±35%（變化規(guī)律為sin(0.1πt)）。并考慮如下外部擾動：

仿真1：采用本文所提出的非脆弱PPC 方法進行仿真。仿真結果如圖2～10 所示。

由圖2，4 可見，當系統(tǒng)存在參數(shù)攝動與外部擾動時，本文所提方法仍能實現(xiàn)速度與高度對各自參考指令的穩(wěn)定跟蹤。由圖3，5～8 可見，所有跟蹤誤差均被限定在預設的約束包絡內(nèi)，從而滿足期望的動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度。尤其是圖3 表明，當速度跟蹤誤差因為外部擾動而增加并逐漸靠近約束包絡時，本文所提方法的約束包絡能夠自動“感知”誤差的這種變換趨勢，并自主調(diào)整約束包絡（增大上包絡，減小下包絡），從而避免了傳統(tǒng)PPC 可能存在的控制奇異問題。圖9，10 表明，速度控制輸入與高度控制輸入能夠動態(tài)地響應系統(tǒng)參數(shù)攝動和外部擾動，保證了控制魯棒性。

圖2 所提方法的速度跟蹤效果Fig.2 Velocity tracking performance of the proposed method

圖3 所提方法的速度跟蹤誤差Fig.3 Velocity tracking error of the proposed method

圖4 所提方法的高度跟蹤效果Fig.4 Altitude tracking performance of the proposed method

圖5 所提方法的高度跟蹤誤差Fig.5 Altitude tracking error of the proposed method

圖6 所提方法的航跡角跟蹤誤差Fig.6 Flight-path angle tracking error of the proposed method

圖7 所提方法的俯仰角跟蹤誤差Fig.7 Pitch angle tracking error of the proposed method

圖8 所提方法的俯仰角速率跟蹤誤差Fig.8 Pitch rate tracking error of the proposed method

圖9 所提方法的速度控制輸入Fig.9 Velocity control input of the proposed method

仿真2：在與仿真1 同等條件下，采用文獻［9］的傳統(tǒng)PPC 方法。仿真結果如圖11～15 所示。

圖12～15 表明，當采用文獻［9］的傳統(tǒng)PPC 方法時，雖然也能將高度跟蹤誤差、航跡角跟蹤誤差、俯仰角跟蹤誤差以及俯仰角速率跟蹤誤差限定在約束包絡內(nèi)，但是由圖11 可見，當外部擾動導致速度跟蹤誤差增加時，文獻［9］的傳統(tǒng)PPC 方法不具備約束包絡的再調(diào)整能力，導致速度跟蹤誤差越過了約束包絡，將直接造成控制奇異。綜上所述，數(shù)值仿真結果充分驗證了所提方法的有效性以及相對于現(xiàn)有方法的優(yōu)勢。

圖10 所提方法的高度控制輸入Fig.10 Altitude control input of the proposed method

圖11 文獻［9］方法的速度跟蹤誤差Fig.11 Velocity tracking error of the method in［9］

圖12 文獻［9］方法的高度跟蹤誤差Fig.12 Altitude tracking error of the method in［9］

圖13 文獻［9］方法的航跡角跟蹤誤差Fig.13 Flight-path angle tracking error of the method in［9］

圖14 文獻［9］方法的俯仰角跟蹤誤差Fig.14 Pitch angle tracking error of the method in［9］

圖15 文獻［9］方法的俯仰角速率跟蹤誤差Fig.15 Pitch rate tracking error of the method in［9］

4 結束語

本文針對WV 受擾條件下的跟蹤控制問題，提出了非脆弱PPC 新方法。為了克服傳統(tǒng)PPC 的脆弱性缺陷，設計了1 種新型性能函數(shù)。所構造的約束包絡能夠根據(jù)由誤差引起的誤差波動情況，自適應地調(diào)整包絡形狀，從而避免了控制奇異問題。穩(wěn)定性分析表明，當存在外部擾動時，仍能保證所有跟蹤誤差期望的預設性能。不同于傳統(tǒng)基于神經(jīng)/模糊逼近的PPC 方法，本文所提方法無需任何在線學習參數(shù)，且能避免傳統(tǒng)PPC 的脆弱性缺點。對比仿真結果證明了所提方法相對于現(xiàn)有方法的優(yōu)越性。