王天鴻, 崔皆凡

(沈陽工業(yè)大學 電氣工程學院，遼寧 沈陽 110000)

0 引 言

永磁直線電機(PMLM)的進給系統(tǒng)定位精度高、響應快、效率高且無行程限制，因此在高速進給系統(tǒng)的領域占據了主導地位。直線電機存在初級鐵心斷開、開齒槽等特殊結構，會導致齒槽效應和端部效應[1-2]。在PMLM運行過程中，動子與定子之間會產生法向力波動，其數值很大，工作臺會因此振動，同時法向力波動過大還會引起摩擦攝動、推力波動，影響加工精度，國內外學者對此進行了廣泛的研究。針對齒槽法向力，文獻[3]通過計算動子最佳齒頂寬度削弱齒槽法向力波動。文獻[4]采用在永磁體表面粘貼薄銅片削弱氣隙磁場高次諧波，從而抑制齒槽法向力波動。文獻[5]通過磁極偏移使永磁體產生的磁場相互抵消，消除諧波，削弱齒槽法向力波動，但其計算過程相對復雜，每一個磁極的偏移距離均需要單獨計算，并且在一定程度上受到空間限制。文獻[6]通過在動子上開輔助槽抑制齒槽法向力波動，但其應用范圍窄，只適用于整數槽電機，分數槽電機開輔助槽反而會使法向力波動增大。針對端部法向力，文獻[7]通過端齒倒角的方法抑制端部效應。文獻[8]分析了階梯狀分布的端部輔助齒結構對端部效應的影響。文獻[9]通過增加輔助極來減小法向力波動，取得了較好的效果。文獻[10]將端部設計成V型結構。但這些方法均增加了電機結構的復雜性。除結構優(yōu)化外，文獻[11]通過使用電流補償，有效抑制了端部法向力波動。

本文采用最優(yōu)極弧系數和磁極倒角法削弱齒槽法向力波動，優(yōu)化鐵心長度及端齒形狀削弱端部法向力波動，并通過有限元仿真分析電機整體的法向力波動，驗證所提方法的有效性。

1 最優(yōu)極弧系數削弱法向力

1.1 PMLM法向力分析

為了簡化分析，作出以下假設[12]：

(1) 電樞鐵心磁導率μFe為無窮大；

(2) 永磁體的磁導率與空氣相同；

(3) 永磁體的磁力線是垂直進入動子鐵心的，即只有法向磁場，而無切向磁場；

(4) 動子為無限長，即不考慮端部效應。

根據磁路基爾霍夫第二定律，永磁體產生的氣隙磁場為

(1)

式中：Br(x)為永磁體的剩余磁感應強度；hPM為永磁體的磁化長度；μ0為真空磁導率；x為動子和定子之間的相對位置；y為電機某一點到原點的位置。

氣隙比磁導為

(2)

式中：λ0為氣隙比磁導的不變部分；λk為氣隙比磁導周期分量的幅值；z為電機槽數;l為鐵心長度;k為諧波次數，k=1,2,3,…。

且有λ0、λk分別為

(3)

式中:δ為氣隙長度;bt為齒寬。

永磁體剩余磁感應強度波Br(x)的傅里葉級數展開式為

(4)

(5)

式中：p為極對數；αp為極弧系數；Brm為永磁體剩余磁感應強度最大值。

由麥克斯韋張力張量定理得，動子鐵心單位面積法向力：

(6)

則PMLM動子法向力為

(7)

式中:lFe為鐵心有效長度；τ為極距。

將式(1)、式(2)、式(4)、式(6)代入式(7)得PMLM動子法向力為

(8)

對Br(x)進行傅里葉分解之后，結合式(8)可以看出，對法向力波動產生作用的只有kz=np和kz=2np次傅里葉分解系數。

12槽11極PMLM，其極弧系數理論上選擇3/4、5/6或2/3時，齒槽法向力波動最小。

1.2 PMLM推力分析

直線電機齒槽力的產生與旋轉電機齒槽轉矩原理相同，因此可通過旋轉電機求出直線電機的齒槽推力。旋轉電機齒槽轉矩為

(9)

式中:W為電機磁場能量；a為位置角，即永磁體中心線與齒槽中心線的夾角。

電機磁場能量W為

(10)

式中：B為氣隙磁場強度；V為氣隙體積。

忽略永磁體磁場儲能變化，則：

(11)

式中:B(θ,a)旋轉永磁電機氣隙磁密沿電樞表面的分布；Br(θ)為永磁體剩磁；δ(θ,a)為有效氣隙長度；hm(θ)為充磁方向沿圓周的分布。

對Br(θ)進行傅里葉展開：

(12)

式中:Bm為永磁體剩磁密度。

(13)

式中:c=bt/(bt+b0)；b0為槽寬。

將式(12)和式(13)代入式(10)，并進行簡化得：

(14)

式中:n為使kz/np為整數的整數。

將PMLM動、定子間相對位移用x表示，則：

(15)

則PMLM齒槽力為

(16)

將式(14)和式(15)代入式(16)得：

(17)

(18)

(19)

本文采用的是12槽11極直線電機，n=11的倍數。當n=55，k=48時，極弧系數為0.8；當n=11，k=5時，極弧系數為5/6。

1.3 有限元仿真分析

原始電機參數如表1所示。

表1 電機參數

取不同極弧系數，法向力波動值、推力波動值及推力均值隨極弧系數的變化如圖1和圖2所示。電機的法向力、推力波形如圖3和圖4所示。

圖1 波動值隨極弧系數的變化曲線

圖2 推力均值隨極弧系數的變化曲線

圖3 電機法向力波形

圖4 電機推力波形

原電機最大法向力波動為130 N、最大推力波動為116 N，推力均值為500 N。由仿真結果可知，當極弧系數為5/6時，法向力波動最小，其最大法向力波動為102 N，比原電機降低了21.53%。

當極弧系數為0.8或5/6時，推力波動小，符合理論推導的結果?？紤]推力均值及法向力波動的大小，選擇極弧系數為5/6，最大推力波動降低為105 N，比原電機降低了9.48%；推力均值未改變。

2 磁極倒角削弱法向力

忽略鐵心的磁阻及其飽和，PMLM的氣隙磁密為

b(x,t)=f(x,t)λ(x,t)

(20)

式中：f(x,t)為永磁體磁動勢；λ(x,t)為氣隙比磁導。

永磁體磁動勢中μ次諧波表達式為

(21)

式中:ω0為基波角頻率；Fμ為永磁體磁動勢μ次諧波幅值。

氣隙比磁導表示為

(22)

式中:τs為槽距。

則氣隙磁密為

(23)

由麥克斯韋張力張量定理得，動子鐵心單位面積法向力：

(24)

則法向力密度表達式為

(25)

式中：μ1為氣隙磁密諧波次數；Fμ1為氣隙磁密μ1次諧波幅值；μ2為齒諧波次數；Fμ2為μ2次齒諧波幅值。

式(25)中第3項由氣隙磁密與齒諧波相互作用產生，對法向力波動的影響最大，永磁體產生趨于正弦的氣隙磁密時，產生的法向力波動最小，因此采用永磁體倒角改善永磁體磁密。同時，氣隙磁密趨于正弦時，還會減小齒槽推力的波動。

一般磁極倒角有兩種方法，即倒圓角和倒尖角兩種，如圖5所示。

圖5 磁極倒角方式

考慮加工難度等因素，本文選用倒尖角的方式，電機模型如圖6所示。通過有限元仿真，原電機氣隙磁密如圖7所示；磁極倒角氣隙磁密如圖8所示；法向力、推力波動值和推力均值隨倒角高度L的變化如圖9和圖10所示；電機的法向力和推力波形如圖11和圖12所示。

圖6 磁極倒角電機模型

圖7 原電機氣隙磁密

圖8 磁極倒角氣隙磁密

圖9 波動值隨倒角高度的變化曲線

圖10 推力均值隨倒角高度的變化曲線

圖11 電機法向力波形

圖12 電機推力波形

由圖7和圖8可知，經過磁極倒角后氣隙磁密更加趨近于正弦。由圖8～圖12可知，當倒角高度L為0.2 mm時，削弱法向力波動的效果最佳，其最大法向力波動為90 N，比原電機降低了30.76%；最大推力波動降低為102 N，比原電機降低了12.07%；推力均值未改變，驗證了理論的正確性。

3 優(yōu)化鐵心長度削弱法向力

3.1 直線電機法向力分析

動子鐵心移動時，穿過法向端面的磁通傅里葉展開為

(26)

式中：Φm為經過動子鐵心邊緣磁通量最大值。

空間中單位體積的磁場能量為

(27)

式中：Φ為經過動子鐵心縱向邊緣的磁通；S為磁感線在鐵心縱向表面所圍面積。

當動子鐵心經過一個極距長度τ時，氣隙磁場儲能發(fā)生了變化，儲能變化量為Wm：

(28)

式中：le為動子鐵心疊壓厚度；δ′為氣隙長度；V為氣隙體積；l1為經過鐵心縱向邊緣又返回永磁體的這部分磁感線在永磁體橫向所占的長度，l1=K1τ；K1為磁通壓縮系數。

將式(26)代入式(28)得：

(29)

則沿著動子鐵心運動的方向，動子鐵心前端和后端所受端部法向力可表示為

(30)

(31)

由式(30)和式(31)可以看出，PMLM端部法向力波動前后兩端均以極距τ為周期，只有初相位不同。削弱端部法向力波動，只需使Δ=τ/2，則前后兩端的法向力大小相等、方向相反，可在最大程度上相互抵消。

3.2 PMLM推力分析

當動子鐵心長度超過3倍極距以上時，鐵心兩端所受的端部力相互獨立，因此，電機推力等于兩端端部力的合力。

F+為動子鐵心前端端部力，F-為動子鐵心后端端部力，則：

F+=-F-(-x-δ)

(32)

式中:δ=kτ-LFe,LFe為動子鐵心長度。

將前后兩端端部力傅里葉級數展開得：

(33)

(34)

則推力為

(35)

(36)

式中:fsn和fcn為傅里葉展開次的正弦、余弦系數;fN為振幅系數。

由式(35)可知，當LFe=kτ±π/2時，PMLM推力波動最小。

綜合分析可知，當LFe=kτ±π/2時，PMLM推力波動及法向力波動均最小。

3.3 有限元仿真分析

法向力、推力波動值和推力均值隨鐵心長度的變化如圖13和圖14所示。電機的法向力和推力波形如圖15和圖16所示。

圖13 波動值隨鐵心長度/極距的變化曲線

圖14 推力均值隨鐵心長度/極距的變化曲線

圖15 電機法向力波形

圖16 電機推力波形

由仿真結果可知，鐵心兩端相差0.5倍極距時，法向力波動最小，其最大法向力波動為74 N，比原電機降低了43.07%；最大推力波動降低為58 N，比原電機降低了50%；推力均值略有降低，降低了6%。

4 優(yōu)化端齒形狀削弱法向力

PMLM動子鐵心兩端開斷，端部氣隙磁阻突變，產生端部法向力波動。優(yōu)化端齒形狀可以有效抑制端部法向力波動[14]。端齒形狀有如圖17所示的4種拓撲結構。

圖17 4種常用的端齒拓撲結構

PMLM端部磁場十分復雜，建立精確的數學模型是十分困難的。圖17中改變端齒的拓撲結構，其原理均為改變端部的氣隙磁阻。

考慮實際加工難度，選擇拓撲結構1對端齒進行優(yōu)化，電機模型如圖18所示。通過有限元仿真可得，原電機的端部氣隙磁密和優(yōu)化端齒的端部氣隙磁密如圖19和圖20所示。波動值隨端齒氣隙的變化如圖21所示。電機的法向力和推力波形如圖22和圖23所示。

圖18 端齒優(yōu)化電機模型

圖19 原電機端部氣隙磁密

圖20 端齒優(yōu)化的端部氣隙磁密

圖21 波動值隨端齒氣隙的變化曲線

圖22 電機法向力波形

圖23 電機推力波形

由圖19和圖20可知，改變端齒氣隙可以優(yōu)化端部氣隙磁密，減小由端部效應造成的氣隙磁密畸變。由圖21～圖23可知，當端齒氣隙Δd=2 mm時，削弱法向力波動的效果最佳,其最大法向力波動為42 N，比原電機降低了67.69%；最推力波動降低為29 N，比原電機降低了75%；推力均值為470 N，略有降低，為6%。驗證了理論的正確性。

5 結 語

本文綜合考慮齒槽效應和端部效應的影響，采用最優(yōu)極弧系數和磁極倒角法削弱齒槽法向力波動，分別降低了21.53%和30.76%。然后，基于該結構優(yōu)化鐵心長度，削弱法向力波動43.07%，最大推力波動降低50%。最后，通過有限元方法優(yōu)化端齒形狀，3種措施下綜合最大法向力波動比原電機降低了67.69%，而最大推力波動降低了75%，與此同時，推力均值降低了6%。所得結論可為PMLM的理論分析和設計提供一定的指導。