沈海濤, 汪 奇, 吉曉凱, 張 凱, 周 原

(蘇州維嘉科技股份有限公司，江蘇 蘇州 215000)

0 引 言

永磁同步直線電機(jī)因其推力密度高、功耗低、響應(yīng)速度快等特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于印刷電路板(PCB)鉆孔機(jī)、鑼機(jī)、分板機(jī)、鉆孔檢測(cè)等高速、高精度數(shù)控系統(tǒng)，并得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注與研究[1-4]。

因初級(jí)鐵心開斷引起的邊端力和因齒槽效應(yīng)引起的齒槽力(合稱磁阻力)[5-7]是引起直線電機(jī)推力波動(dòng)的主要因素。而推力波動(dòng)是直線電機(jī)產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲的主要原因，特別是在低速運(yùn)行時(shí)，推力波動(dòng)會(huì)導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)控制跟隨誤差變大[8]。因此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)直線電機(jī)的推力波動(dòng)進(jìn)行了大量的研究。

文獻(xiàn)[9]通過分析永磁同步直線電機(jī)推力波動(dòng)的機(jī)理，指出推力紋波、齒槽效應(yīng)和端部效應(yīng)是引起永磁同步直線電機(jī)推力波動(dòng)的最主要原因，探討了減小永磁同步直線電機(jī)推力波動(dòng)的技術(shù)措施。文獻(xiàn)[10]采用半無(wú)限單端結(jié)構(gòu)建立了由邊端效應(yīng)引起的磁阻力分析模型，并提出了優(yōu)化初級(jí)長(zhǎng)度從而降低磁阻力的原理與方法。文獻(xiàn)[11]提出一種將磁極錯(cuò)位與V型磁極相結(jié)合的優(yōu)化方法來(lái)改善其性能。同樣地，也有學(xué)者在控制算法上對(duì)直線電機(jī)推力波動(dòng)進(jìn)行分析、抑制[12-13]與補(bǔ)償[8,14-15]。

綜上，本文提出一種直線電機(jī)推力波動(dòng)補(bǔ)償?shù)姆椒?，以一臺(tái)6槽8極電機(jī)為研究對(duì)象，結(jié)合解析計(jì)算理論基礎(chǔ)與有限元建模，分析并歸納永磁直線電機(jī)邊端力與齒槽力的影響因素與一般規(guī)律。合理設(shè)置補(bǔ)償器關(guān)鍵參數(shù)，有效補(bǔ)償傳統(tǒng)永磁直線電機(jī)磁阻力。通過試驗(yàn)，驗(yàn)證該補(bǔ)償方法對(duì)直線電機(jī)推力波動(dòng)抑制的正確性與精確性。

1 邊端力分析與計(jì)算

考慮直線電機(jī)鐵心開斷的緣故，直線電機(jī)左右兩端分別受到了兩個(gè)邊端力，其效果滿足磁阻最小原理，即磁通總是沿著磁阻最小的路徑閉合[15]。

1.1 直線電機(jī)邊端力分析

對(duì)于直線電機(jī)邊端力分析，其模型等效于無(wú)槽直線電機(jī)[10]，如圖1(a)所示，其中初級(jí)鐵心截面等效為一個(gè)矩形，因不存在齒槽結(jié)構(gòu)，所以實(shí)現(xiàn)了分離齒槽力，僅分析直線電機(jī)邊端力。初級(jí)鐵心在不同位置受到的邊端力不同，且分別受到兩側(cè)端部的力Fend_L和Fend_R，由于次級(jí)永磁體周期排列，相應(yīng)的邊端力就是次級(jí)極距的周期函數(shù)。同理補(bǔ)償器模型亦可看作無(wú)槽直線電機(jī)，如圖1(b)所示，其邊端力特性與直線電機(jī)相同，唯一區(qū)別在于兩者之間位置不同導(dǎo)致存在相位差，且補(bǔ)償器尺寸更小。

圖1 邊端力分析等效模型

為簡(jiǎn)化解析計(jì)算過程，作如下假設(shè)：

(1) 假設(shè)鐵心磁導(dǎo)率無(wú)窮大，且不考慮飽和問題；

(2) 忽略漏磁，即漏磁系數(shù)σ=1；

(3) 永磁體的相對(duì)磁導(dǎo)率為1，也就是和真空狀態(tài)保持一致；

(4) 只考慮法相磁場(chǎng)，不考慮運(yùn)動(dòng)方向和鐵心疊壓方向磁場(chǎng)變化。

根據(jù)電磁場(chǎng)相關(guān)理論可知，單位體積的氣隙磁場(chǎng)儲(chǔ)能為

(1)

式中：B為氣隙磁密；μ0為真空磁導(dǎo)率。

因此對(duì)于直線電機(jī)，根據(jù)虛位移原理可得，直線電機(jī)左側(cè)邊端力為

(2)

且有：

(3)

式中：La為電機(jī)初級(jí)鐵心疊厚；δ為電機(jī)氣隙長(zhǎng)度；C為初級(jí)鐵心長(zhǎng)度;Br2P為2P次電機(jī)氣隙磁密；τ為極距(N-S);kc為電機(jī)氣隙系數(shù)。

同理，將x′=x+Δx代入式(2)(Δx=C-kτ，k為整數(shù))，同時(shí)考慮右端力方向?yàn)檎虼丝梢缘玫接叶瞬苛?/p>

Fend_R(x)=

(4)

因此直線電機(jī)邊端力為

(5)

根據(jù)直線電機(jī)邊端力解析式(5)可得如下結(jié)論：

(1) 邊端力的基波頻率為1/τ，即直線電機(jī)邊端力頻率為電機(jī)運(yùn)行頻率的兩倍頻；

(2) 當(dāng)Δx=ατ時(shí)，其中α為整數(shù)，電機(jī)合成邊端力幅值最大；

(3) 當(dāng)Δx=(2m-1)τ/2時(shí)，其中m為正整數(shù)，電機(jī)合成邊端力幅值最小，其基波幅值理論為0。

圖2所示為無(wú)槽電機(jī)邊端力幅值在Δx=(0～2)τ范圍內(nèi)的有限元和解析計(jì)算結(jié)果。由圖2可見，邊端力的基波頻率為1/τ，且仿真結(jié)果和解析計(jì)算結(jié)果基本一致。為了獲得最低的邊端力以及最短的直線電機(jī)長(zhǎng)度(直線電機(jī)長(zhǎng)度會(huì)影響行程)，因而Δx=τ/2，即電機(jī)長(zhǎng)度(初級(jí)鐵心長(zhǎng)度)C=kτ+τ/2。

圖2 無(wú)槽電機(jī)邊端力幅值

1.2 補(bǔ)償器邊端力分析

為了能抵消直線電機(jī)產(chǎn)生的邊端力，因而期望補(bǔ)償器能產(chǎn)生一個(gè)與直線電機(jī)邊端力頻率相同、幅值相同、相位相反的邊端力。

補(bǔ)償器模型如圖1(b)所示，同理補(bǔ)償器亦可看作是一個(gè)無(wú)槽直線電機(jī)，因此其邊端力為

(6)

式中：H為補(bǔ)償器氣隙長(zhǎng)度;W2為補(bǔ)償器長(zhǎng)度;B′r2P為2P次補(bǔ)償器氣隙磁密;k′c為補(bǔ)償器氣隙系數(shù)。

顯而易見補(bǔ)償器邊端力與直線電機(jī)具有相同的頻率和分布特性，邊端力分布與圖2類似?？紤]到更小尺寸的補(bǔ)償器產(chǎn)生更大的邊端力F′end用以抵消直線電機(jī)產(chǎn)生的邊端力Fend，因此參見圖2，補(bǔ)償器最佳長(zhǎng)度為W2=τ。

圖3所示為直線電機(jī)及其補(bǔ)償器等效模型，其中補(bǔ)償器無(wú)齒槽結(jié)構(gòu)。根據(jù)上述分析，此結(jié)構(gòu)補(bǔ)償器可以產(chǎn)生一個(gè)與電機(jī)邊端力波長(zhǎng)τ相同的邊端力諧波，因而只需補(bǔ)償器產(chǎn)生的邊端力諧波與電機(jī)的幅值相同，相序相反。

圖3 直線電機(jī)及其補(bǔ)償器等效模型

根據(jù)式(5)與式(6)，令∠Fend-∠F′end=180°得直線電機(jī)與補(bǔ)償器中心線之間的距離W1為

(7)

因W1≥W2/2，綜合考慮電機(jī)初級(jí)總長(zhǎng)度，最佳的距離在k=1時(shí)，W1=5τ/4。

同理，令|Fend|=|F′end|，可得補(bǔ)償器氣隙長(zhǎng)度H為

(8)

2 齒槽力分析與計(jì)算

由初級(jí)鐵心齒槽結(jié)構(gòu)和永磁體相互作用產(chǎn)生的齒槽力，是永磁直線電機(jī)的另一重要參數(shù)，其存在同樣能造成電機(jī)的推力波動(dòng)，進(jìn)而產(chǎn)生速度波動(dòng)、振動(dòng)和噪聲。

2.1 直線電機(jī)齒槽力分析

與旋轉(zhuǎn)電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩類似，直線電機(jī)齒槽力是電機(jī)在不通電的情況下，永磁體和齒槽間的相互作用力，其齒槽力表達(dá)式為[16-20]

(9)

2.2 補(bǔ)償器齒槽力分析

將補(bǔ)償器同樣開出齒槽結(jié)構(gòu)，如圖4所示。其齒槽力表示如下：

圖4 電機(jī)及補(bǔ)償器(帶齒)模型

(10)

前面分析到，補(bǔ)償器最佳長(zhǎng)度為W2=τ，即對(duì)于補(bǔ)償器，其極對(duì)數(shù)2p=1，因此式(10)中的整數(shù)a最小值為1。也就是說(shuō)，補(bǔ)償器齒槽力基波次數(shù)與其齒數(shù)Nt一致。此時(shí)公式(10)可改寫為

(11)

表1為不同單元電機(jī)補(bǔ)償器齒數(shù)匯總，從表1中可發(fā)現(xiàn)補(bǔ)償器齒數(shù)與單元電機(jī)初級(jí)齒數(shù)相等。

表1 不同單元電機(jī)補(bǔ)償器的齒數(shù)

3 仿真結(jié)果與分析

為驗(yàn)證上述解析方法的正確性與準(zhǔn)確度，以6槽8極電機(jī)為例，如圖4所示，對(duì)電機(jī)進(jìn)行有限元仿真分析，電機(jī)與補(bǔ)償器基本參數(shù)見表2。其中6槽8極電機(jī)單元電機(jī)為3槽4極電機(jī)，參見表1，Nt=3。

表2 電機(jī)與補(bǔ)償器參數(shù)

3.1 邊端力仿真計(jì)算

前述提到，在分析邊端力時(shí)，可將電機(jī)和補(bǔ)償器均看作無(wú)槽直線電機(jī)，如圖1所示。

圖5(a)為單獨(dú)直線電機(jī)與補(bǔ)償器邊端力有限元仿真和解析計(jì)算結(jié)果，可以看出在一個(gè)電周期2τ內(nèi)，電機(jī)與補(bǔ)償器邊端力均波動(dòng)了2次，也就說(shuō)明邊端力波長(zhǎng)為τ，與前述分析結(jié)果一致。同時(shí)可以看出直線電機(jī)邊端力與補(bǔ)償器邊端力相位相反，因而能起到抑制電機(jī)邊端力的作用，且解析結(jié)果與有限元仿真結(jié)果基本保持一致。

圖5(b)為搭配所述補(bǔ)償器后，直線電機(jī)合成邊端力有限元仿真與解析計(jì)算結(jié)果。解析計(jì)算合成邊端力為0，而仿真數(shù)據(jù)仍含有幅值為1.3 N的4次諧波，主要原因是解析計(jì)算只計(jì)算了2次諧波，而有限元仿真還包含4次、6次、8次等諧波。但是從效果上看，邊端力23.6 N降低到1.2 N，降幅高達(dá)94.9%，效果顯著。

圖5 邊端力計(jì)算曲線圖

3.2 齒槽力仿真計(jì)算

對(duì)直線電機(jī)齒槽力進(jìn)行仿真分析，需對(duì)仿真模型作如下設(shè)置，如圖6所示，即設(shè)置周期邊界，此時(shí)可忽略動(dòng)子鐵心開斷引入的邊端力。同樣地對(duì)補(bǔ)償器亦作類似設(shè)置。

圖6 齒槽力仿真模型

圖7(a)為單獨(dú)直線電機(jī)與補(bǔ)償器齒槽力有限元仿真和解析計(jì)算結(jié)果，可以看出，6槽8極直線電機(jī)在一個(gè)電周期2τ內(nèi)，齒槽力周期數(shù)為6，即符合前述分析一個(gè)極距τ內(nèi)，齒槽力周期為nNs/2P=4×6/8=3。且補(bǔ)償器齒槽力周期同樣滿足上述分析。但補(bǔ)償器齒槽力幅值較直線電機(jī)齒槽力小得多，具體見圖7(a)和圖7(b)。圖7(c)為直線電機(jī)與補(bǔ)償器合成齒槽力，齒槽力仿真數(shù)據(jù)從5.5 N降低為4.4 N，僅降低20%，結(jié)合式(7)和式(8)，可以發(fā)現(xiàn)齒槽力幅值與直線電機(jī)初級(jí)長(zhǎng)度C(對(duì)于補(bǔ)償器為W2)正相關(guān)，而本文中C?W2。因此，補(bǔ)償器對(duì)齒槽力削弱效果不明顯，且解析結(jié)果與有限元仿真結(jié)果基本保持一致。

圖7 齒槽力計(jì)算曲線圖

3.3 磁阻力仿真計(jì)算

圖8為補(bǔ)償前后(模型如圖4)直線電機(jī)磁阻力有限元仿真與解析計(jì)算結(jié)果?？梢钥闯?，補(bǔ)償前后，直線電機(jī)磁阻力仿真數(shù)據(jù)從23.9 N降到了7.2 N，補(bǔ)償效果達(dá)到69.9%，十分顯著。解析結(jié)果與有限元仿真結(jié)果基本保持一致，其中補(bǔ)償前仿真數(shù)據(jù)較解析數(shù)據(jù)大的原因在于解析僅對(duì)邊端力的2次諧波、以及齒槽力的6次諧波進(jìn)行分析，而仿真數(shù)據(jù)包含其他高次諧波。

圖8 6槽8極直線電機(jī)合成磁阻力波形

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證解析計(jì)算與有限元分析的合理性與準(zhǔn)確性，利用直線電機(jī)測(cè)試臺(tái)并配合高精度力傳感器，分別對(duì)測(cè)試臺(tái)、電機(jī)、補(bǔ)償器以及搭配補(bǔ)償器的直線電機(jī)磁阻力進(jìn)行了測(cè)試。測(cè)試數(shù)據(jù)參數(shù)如表3所示。圖9(a)所示為對(duì)拖電機(jī)拉著被測(cè)電機(jī)安裝板情況下的測(cè)試臺(tái)自身的磁阻力波形，分為正、反兩個(gè)方向，因?yàn)閷?duì)拖電機(jī)本身同為有鐵心直線電機(jī)，同樣具有磁阻力，同時(shí)因?yàn)闇y(cè)試臺(tái)的抖動(dòng)、摩擦力不均勻等，所以此時(shí)磁阻力波形為非理想恒值波形，具有些許波動(dòng)，波動(dòng)力達(dá)到14.5 N。

表3 電機(jī)與補(bǔ)償器磁阻力測(cè)試數(shù)據(jù)

圖9(b)所示為本文所述6槽8極電機(jī)磁阻力測(cè)試波形，顯而易見磁阻力主要諧波含量為2倍頻(τ=15 mm)，且磁阻力諧波的幅值為28.7 N，為仿真數(shù)據(jù)的83.7%(前述仿真數(shù)據(jù)為23.9 N)。其中正、反方向波形相位、幅值、頻率均基本保持一致，存在的偏置主要是由摩擦力造成的。圖9(c)所示為補(bǔ)償器磁阻力測(cè)試波形，其磁阻力波形與直線電機(jī)波形諧波含量相同，但相位相反。因此，補(bǔ)償器能夠?qū)崿F(xiàn)直線電機(jī)磁阻力補(bǔ)償，且與理論分析結(jié)果一致。圖9(d)為本文所述補(bǔ)償器與直線電機(jī)相配合下的磁阻力測(cè)試波形，此時(shí)的磁阻力僅為11.8 N，補(bǔ)償器補(bǔ)償磁阻力效果達(dá)到60.8%(仿真為69.9%)，且合成磁阻力的2倍頻諧波已經(jīng)基本消除。仿真數(shù)據(jù)與測(cè)試數(shù)據(jù)的差別主要在于前述分析的測(cè)試臺(tái)本身誤差以及有限元仿真剖分等綜合因素造成的。

圖9 6槽8極直線電機(jī)磁阻力測(cè)試波形

5 結(jié) 語(yǔ)

本文提出一種直線電機(jī)推力波動(dòng)補(bǔ)償?shù)姆椒?。將引起直線電機(jī)推力波動(dòng)的力(本文稱之為磁阻力)分為兩種分量:(1) 由于直線電機(jī)初級(jí)鐵心的開斷而產(chǎn)生的力，稱之為邊端力；(2) 由于齒槽效應(yīng)而產(chǎn)生的力，稱之為齒槽力。其次通過解析法，精確計(jì)算并歸納邊端力與齒槽力的一般規(guī)律，并合理設(shè)置補(bǔ)償器參數(shù)。然后，以一臺(tái)6槽8極電機(jī)為例，將解析結(jié)果與仿真結(jié)果相比較，并進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。結(jié)果表明本文所述補(bǔ)償器能實(shí)現(xiàn)直線電機(jī)磁阻力補(bǔ)償，對(duì)直線電機(jī)推力波動(dòng)具有較好的抑制效果。