周 陽，胡俊雄，陳曉昊，馬衛(wèi)華，羅世輝

(西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031)

自20世紀60年代開始，德國、日本等國相繼開展了磁懸浮列車的技術(shù)研究。當前國際上已形成較成熟的常導電磁型和低溫超導磁懸浮交通技術(shù)體系。德國TR(Transrapid)是最具代表性的高速常導磁浮車輛系統(tǒng)，至今共研發(fā)了9代車型。目前，已有日本東部丘陵線(TKL線)、韓國仁川機場線、中國長沙磁浮機場線及北京磁浮S1線實現(xiàn)商業(yè)運營[1-2]。

EMS型磁浮車輛采用電磁主動懸浮，本質(zhì)上是不穩(wěn)定的，并且由于EMS型磁浮列車多采用高架線路運行，軌道梁發(fā)生彈性變形時易誘發(fā)特殊的車-軌耦合振動現(xiàn)象。國內(nèi)外學者針對車軌耦合振動問題進行了大量的研究。20世紀70至90年代，Wilson、Cai等[3-4]建立了只考慮沉浮運動的車輛模型，并將電磁力等效為彈簧阻尼器，研究分析了不同車速以及不同梁型的耦合響應；Yau等[5]建立了由車載PI控制器控制的雙自由度磁浮車輛與柔性軌道耦合的動力學模型，并提出了新的迭代計算方法，研究分析了車速、磁浮列車垂向加速度對耦合振動的影響；Lee等[6]建立了5自由度的主動控制磁浮車輛-柔性軌道的垂向動力學模型，采用數(shù)值分析的方法分析了軌道不平順、車速、軌道梁跨距等參數(shù)對懸浮穩(wěn)定性的影響；高精隆等[7]分析了吸振器的質(zhì)量以及阻尼對系統(tǒng)振動的影響，建立了多種數(shù)學模型的運動方程，研究了在有無動靜質(zhì)量時系統(tǒng)的減振效果；殷永康等[8]按照目前的技術(shù)原理、剛度調(diào)整范圍以及對應的速度等性能進行了分析和比較，最后提出一種采用錐螺旋彈簧的變剛度的半主動吸振結(jié)構(gòu)；李曉龍等[9]提出了通過設(shè)置非線性飽和環(huán)節(jié)、動態(tài)調(diào)整飽和閾值來抑制車軌耦合振動的新方法，系統(tǒng)在平衡點附近時通過調(diào)整飽和閾值來改變控制輸出的幅值特性，逐步消除引起共振的能量，從而達到抑制振動的目的；汪科任等[10]采用AHP(層次分析法)求取系統(tǒng)二次型性能指標中狀態(tài)加權(quán)矩陣的權(quán)重系數(shù)，建立了2種狀態(tài)反饋控制器，為懸浮控制器的優(yōu)化設(shè)計提供一定的參考。

本文主要采用動力吸振器作為車-軌耦合振動的制振措施。動力吸振器(Dynamic Vibration Absorber)由輔助質(zhì)量、彈簧以及阻尼組成，屬于抑制共振的被動式制振器，又稱調(diào)諧質(zhì)量阻尼器TMD(Tuned Mass Damper)。其基本原理是在振動對象以外建立一個附加的動力學系統(tǒng)，將制振對象的振動響應吸收并消耗在阻尼元素中。動力吸振器在各個工程領(lǐng)域中運用廣泛，國內(nèi)外學者也做了很多研究。劉海平等[11]利用歐拉屈曲梁作為彈簧元件，采用復變量平均法，求解了不同類型非線性吸振器模型的解析解。趙艷影和徐鑒[12]對兩自由度系統(tǒng)采用多尺度法研究了時滯非線性動力吸振器對主系統(tǒng)的減振性能，得到了主系統(tǒng)的振幅-時滯響應曲線。研究結(jié)果表明，對時滯非線性動力吸振器，可以通過調(diào)節(jié)反饋增益系數(shù)和時滯控制主系統(tǒng)的振動。李俊等[13]將簡諧激振下無阻尼單自由度主系統(tǒng)的動力消振原理推廣到多頻諧波激勵下無阻尼多自由度主系統(tǒng)的情況。

本文以某中低速空簧中置式磁浮列車為研究對象，建立了8自由度的車-軌耦合垂向動力學模型，采用基于位移-速度-加速度反饋的PID主動控制，基于擴展定點理論與頻率傳遞函數(shù)分析單動力吸振器和多重動力吸振器方案的最佳參數(shù)，進而對不同質(zhì)量比的動力吸振器進行動力學仿真對比。在研究單自由度系統(tǒng)和多模態(tài)系統(tǒng)動力吸振器的最佳參數(shù)的基礎(chǔ)上，分析不同速度下2種減振措施的制振效果。

1 動力學建模

1.1 磁浮車輛模型

某中低速磁浮列車每節(jié)車體通過6個空氣彈簧支撐在3個懸浮架上，空氣彈簧安裝于縱梁中間位置。懸浮電磁鐵由內(nèi)外極板以及線圈、鐵芯組成，2個線圈為一組，再通過間隙傳感器和懸浮控制器構(gòu)成一套閉環(huán)控制系統(tǒng)，一般稱之為一個控制單元或控制點，建模過程將單個懸浮架的懸浮力集中在懸浮架前后端點處。本文主要分析磁浮車輛-懸浮控制-軌道梁-動力吸振器系統(tǒng)的垂向動力學響應，因此將車輛簡化為由車體、懸浮架組成的剛體系統(tǒng)，僅考慮車體和懸浮架的垂向和點頭運動自由度，建立的8自由度的磁浮車輛垂向動力學模型如圖1所示。

圖1 磁浮車輛垂向動力學模型

磁浮車輛垂向動力學方程如式(1)～式(8)所示。

車體沉浮運動：

(1)

式中：M——車體質(zhì)量；

z0——車體垂向位移；

k——二系懸掛剛度；

c——二系懸掛阻尼；

z1，z2，z3——懸浮架1，2，3的垂向位移。

車體點頭運動：

(2)

式中：J——車體轉(zhuǎn)動慣量；

θ0——車體角位移；

s0——車體半長；

s1——懸浮架半長。

懸浮架1沉浮運動：

(3)

懸浮架1點頭運動：

(4)

懸浮架2沉浮運動：

(5)

懸浮架2點頭運動：

(6)

懸浮架3沉浮運動：

(7)

懸浮架3點頭運動：

(8)

式中：J1，J2，J3——懸浮架1，2，3的轉(zhuǎn)動慣量；

F11～F16——懸浮架對應的懸浮力。

1.2 無動力吸振器(TMD)時軌道梁模型

中低速磁浮交通軌道梁大多為簡支梁，本文采用只考慮梁彎曲變形、不考慮剪切變形及轉(zhuǎn)動慣量影響的歐拉-伯努利梁(Euler-Bernoulli beam)模擬軌道梁。動力學模型建立在以下假設(shè)條件的基礎(chǔ)上：(1)忽略梁的結(jié)構(gòu)阻尼；(2)僅考慮軌道梁在垂向上的受力及動力作用情況；(3)軌道梁為等截面梁，且材質(zhì)均勻；(4)軌道梁的運動滿足小變形理論并在彈性范圍內(nèi)。軌道梁的振動微分方程為：

(9)

式中：E——軌道梁彈性模量；

I——橫截面的截面慣性矩；

EI——軌道梁抗彎剛度；

ρ——軌道梁線密度；

Q——軌道梁的外作用力；

x——外力作用位置。

利用模態(tài)疊加法，將軌道梁的位移分解為i階模態(tài)下的廣義坐標與形函數(shù)的乘積：

(10)

式中：φi(x)——軌道梁的i階振型函數(shù)；

qi(t)——軌道梁的i階模態(tài)坐標。

將式(10)代入式(9)中得：

(11)

將式(11)兩邊同時乘以φn(x)，并沿軌道梁全長進行積分：

(12)

由于主振型的正交性，當i≠n時，方程(12)左側(cè)兩項均為0，因此方程(12)可簡化為：

(13)

由簡支梁的邊界條件可求得振型函數(shù)：

(14)

由于本文主要研究單跨簡支梁的1階振動影響，代入式(14)整理可得簡支梁受迫振動的響應結(jié)果：

(15)

式中：Pj(t)——第j個電磁力的大??；

xj是——第j個電磁力的位置；

L——軌道梁跨距；

1.3 有動力吸振器(TMD)時軌道梁模型

圖2為帶TMD的軌道梁模型。

圖2 帶TMD的軌道梁模型

由式(14)可知，只考慮軌道梁的1階振動時最大變形位置為跨中處，所以選擇在跨中設(shè)置TMD，則TMD的運動方程為：

(16)

將式(10)、式(14)代入可得：

(17)

式中：mt——TMD質(zhì)量；

kt——彈簧剛度；

ct——阻尼系數(shù)；

zt——垂向位移。

此時軌道梁的運動方程為：

(18)

1.4 軌道不平順

國內(nèi)外對線路不平順研究較多，但并不統(tǒng)一，本文采用文獻[14]中擬合的磁浮高低線路不平順功率譜，其數(shù)學表達式為：

(19)

式中：Ω——空間頻率，m-1；

A，B，C，D，E，F(xiàn)，G——特征參數(shù)。

特征參數(shù)具體值如下：

A=0.003 782，B=-0.087 513，C=0.001 952，D=-0.213 341，E=0.017 071，F(xiàn)=-0.000 607，G=8.074 24×10-6。

采用三角級數(shù)法進行軌道譜反演，得到的磁浮軌道垂向不平順時域圖如圖3所示。

圖3 磁浮軌道高低不平順時域圖

1.5 懸浮控制模型

本文采用基于位移-速度-加速度反饋的PID主動控制，狀態(tài)觀測器如圖4所示。

ω0.觀測器的特征頻率；ξ0.觀測器的阻尼。圖4 狀態(tài)觀測器

控制器中位移和加速度直接反饋，速度則通過觀測器中加速度與位移信號構(gòu)造而成。控制器電流方程：

(20)

式中：KP、Kv、Ka——分別為PID中位移、速度、加速度反饋系數(shù)；

Δz——懸浮間隙位移變化值；

當懸浮間隙在額定間隙處小范圍波動時，懸浮力公式為：

(21)

式中：μ0——真空磁導率；

A——磁極面積；

N——線圈匝數(shù)；

i0，c0——額定懸浮電流和額定懸浮間隙。

將式(20)代入式(21)即可得實際作用懸浮力：

(22)

2 動力吸振器設(shè)計

2.1 單動力吸振器設(shè)計

由于動力吸振器的阻尼系數(shù)要比軌道梁結(jié)構(gòu)阻尼對軌道梁動力響應的影響大，所以忽略軌道梁的結(jié)構(gòu)阻尼，針對軌道梁1階模態(tài)進行制振，此時軌道梁系統(tǒng)近似為無阻尼單自由度系統(tǒng)。動力吸振器與軌道梁等效系統(tǒng)如圖5所示。

圖5 動力吸振器與軌道梁等效系統(tǒng)φ1(ω)=arctan

將軌道梁上外力改寫為Fejωt，求解方程可得軌道梁和動力吸振器的振幅比與相位：

(23)

(24)

式中：μ——質(zhì)量比，μ=mt/ρL；

ξ——阻尼比，ξ=c/(2mω1)；

Xst——軌道梁靜變形，Xst=F/Kd；

λ——強迫振動頻率比；

γ——固有角頻率比。

對式(23)兩邊取平方，并將ξ前系數(shù)化為1，則：

(25)

當ξ=0時，振幅比為：

(26)

當ξ=∞時，振幅比為：

(27)

當式(26)等于式(27)時，式(25)與ξ無關(guān)，此時式(25)化簡為：

(28)

此時式(27)與式(28)相同，振幅比與ξ無關(guān)的點就是ξ=0與ξ=∞ 2條曲線的交點，如圖6所示。因此可以利用定點現(xiàn)象進行動力吸振器參數(shù)設(shè)計。

圖6 不同阻尼比下振幅比曲線

利用擴展定點理論可以得到動力吸振器最優(yōu)參數(shù)的2個條件：

最優(yōu)同調(diào)條件(2個定點等高)：

(29)

最優(yōu)阻尼條件(定點處最大阻尼)：

(30)

滿足這2個條件后，主振動系統(tǒng)的最大振幅比：

(31)

將式(29)、式(30)代入式(23)中得：

(32)

由式(32)可知，動力吸振器的設(shè)計目標簡化為對質(zhì)量比單參數(shù)的選擇,具體關(guān)系如圖7所示。

圖7 振幅比與質(zhì)量比的關(guān)系

阻尼與頻率按照上述公式選取，當外部激勵頻率與主振動系統(tǒng)的固有頻率接近時，振幅比增大；振幅比最大值隨著質(zhì)量比的增大而衰減，可見增大質(zhì)量比可以提高抑振效果，但是過大的質(zhì)量比會使得整體系統(tǒng)過重，從而使得軌道梁靜撓度增大，所以本文將質(zhì)量比限制在0.2以下。

根據(jù)上述條件，針對軌道梁1階振動，可以得到動力吸振器3個參數(shù)的設(shè)計公式：

(33)

2.2 多重動力吸振器設(shè)計

考慮軌道梁第i階模態(tài)，針對第i階模態(tài)的軌道梁-動力吸振器系統(tǒng)的力學模型如圖8所示，圖中kdi、cdi、mdi分別為針對第i階模態(tài)動力吸振器的剛度、阻尼系數(shù)和質(zhì)量。

圖8 力學模型圖

由動力吸振器產(chǎn)生的反饋力Fdi可以表示為：

(34)

包含動力吸振器的第i階模態(tài)傳遞函數(shù)表達式為：

(35)

其中，

(36)

(37)

(38)

(39)

對于控制多模態(tài)的動力吸振器的設(shè)計問題可以以各個模態(tài)為單位獨立考慮。將單自由度系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計法與模態(tài)控制理論相結(jié)合，可以將單自由度系統(tǒng)動力吸振器的最優(yōu)設(shè)計推廣至i階模態(tài)制振中，由此可得針對i階模態(tài)的最優(yōu)設(shè)計。

(40)

(41)

軌道梁前2階模態(tài)如圖9所示。

圖9 前2階模態(tài)圖

可見，模態(tài)變形最大位置分別在L/4、L/2以及3L/4處。因此選擇在3個模態(tài)變形最大位置各安裝一個動力吸振器，動力吸振器的參數(shù)按照式(9)、式(10)設(shè)計，但L/4和3L/4處的動力吸振器針對軌道梁第2階固有頻率設(shè)置參數(shù)，L/2處的動力吸振器針對軌道梁第1階固有頻率設(shè)置參數(shù)。

此時多重TMD(MTMD)動力學方程為：

(42)

(43)

(44)

3 仿真結(jié)果分析

聯(lián)立車輛-懸浮控制-軌道梁-吸振器動力學方程組，選取軌道梁五階模態(tài)，建立垂向車-軌-吸振器耦合動力學模型，部分參數(shù)見表1。

表1 垂向車-軌-吸振器耦合動力學模型參數(shù)表

根據(jù)最優(yōu)同調(diào)和最優(yōu)阻尼調(diào)整TMD的參數(shù)，取TMD與橋梁的質(zhì)量比為0.01、0.03、0.05、0.1和0.2進行對比分析。單個TMD跨中撓度、加速度以及抑振效果對比結(jié)果如圖10、圖11所示。多重TMD(MTMD)跨中撓度、加速度以及抑振效果對比結(jié)果如圖12、圖13所示。

圖10 TMD對跨中撓度影響及抑制效果

圖11 TMD對振動加速度影響及抑制效果

圖12 MTMD對跨中撓度影響及抑制效果

圖13 MTMD對振動加速度影響及抑制效果

由圖10、圖11分析可知：(1)模型中單個懸浮架前后懸浮控制點距離為1.7 m，當速度為40 km/h時，懸浮控制對軌道梁激擾力的頻率為(40/3.6)/1.7=6.536(Hz)，非常接近軌道梁1階固有頻率(6.443 Hz)，因此此時軌道梁動態(tài)響應較大，并且TMD的抑振效果隨著質(zhì)量比的增大而增大，當質(zhì)量比為0.1時，位移抑制效果最好，接近7%，當質(zhì)量比為0.2時，振動加速度抑制效果最好，接近60%；(2)當速度在60～160 km/h之間時，小質(zhì)量比的TMD抑振效果比大質(zhì)量比的TMD的抑振效果要好，這是由于列車運行頻率遠離軌道梁固有頻率，因此軌道梁動態(tài)響應比較平穩(wěn)且響應值較小，所以大質(zhì)量比的TMD產(chǎn)生了較大的靜撓度導致了位移抑制產(chǎn)生負控制；(3)當速度大于180 km/h時，軌道梁動態(tài)響應隨著速度增大而增大，位移抑制效果也隨著質(zhì)量比的增大而增大，但是較大的質(zhì)量比會導致軌道梁振動加速度變大。由圖12、圖13可知，采用多重TMD時，當懸浮控制對軌道梁激擾頻率與軌道梁1階固有頻率接近，跨中撓度和振動加速度的抑制效果均超過了單TMD，最大抑制效果均出現(xiàn)在質(zhì)量比為0.1的多重TMD控制下。此外，同等質(zhì)量比下由于多重TMD質(zhì)量分散在3個單TMD上，所以產(chǎn)生的負控制小于單TMD。

4 結(jié)論

本文將某中低速磁浮列車簡化為由車體、懸浮架組成的8自由度剛體系統(tǒng)，建立了基于位移-速度-加速度反饋的PID主動控制模型，基于擴展定點理論與頻率傳遞函數(shù)設(shè)計了單動力吸振器和多重動力吸振器，并分析了2種動力吸振器方案的最佳參數(shù)。通過對不同質(zhì)量比的動力吸振器開展動力學仿真對比可以得出以下結(jié)論：

(1) 動力吸振器對軌道梁振動加速度的抑制效果顯著，但對軌道梁最大位移的抑制效果較??；

(2) 當激擾力頻率接近軌道梁固有頻率時，軌道梁因共振而達到最大動態(tài)響應，此時0.1質(zhì)量比的多重動力吸振器的振動加速度抑制效果最好，接近60%，進一步增大質(zhì)量比后，制振效果下降；

(3) 當激擾頻率遠離軌道梁1階固有頻率時，大質(zhì)量比動力吸振器容易產(chǎn)生負控制，而過小的質(zhì)量比會使得動力吸振器的抑振效果不明顯；

(4) 多重動力吸振器質(zhì)量分布均勻，抑振效果優(yōu)于單動力吸振器，并且負控制小于單動力吸振器。