翟薈

(清華大學(xué)高等研究院,北京 100084)

早在20 世紀(jì)50 年代,楊振寧先生和他的合作者們就意識(shí)到,稀薄中性量子氣體中最主要的相互作用效應(yīng)可以被s-波散射長度來描述,從而可以得到不依賴于粒子間相互作用的細(xì)節(jié)的普適描述.這一洞見奠定了量子氣體的理論基礎(chǔ).他們還由此給出了玻色氣體基態(tài)能量的表達(dá)式,后來被稱為“Lee-Huang-Yang 修正”.實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家克服種種困難,在近40 年后的1995 年,才將冷原子氣體冷卻到量子簡并.此后,冷原子物理展示出來種種優(yōu)勢,包括相互作用和維度的可調(diào)控性以及測量的精密性,這使之成為研究量子多體物理的理想平臺(tái)之一.多個(gè)冷原子實(shí)驗(yàn)觀測到“Lee-Huang-Yang 修正”的效應(yīng).通過有效地降低系統(tǒng)維度,冷原子實(shí)驗(yàn)對(duì)一維體系的研究,還證實(shí)了楊先生在20 世紀(jì)60 年代提出的Yang-Yang thermodynamics.2010 年左右,年逾八旬的楊先生再次研究一維可解模型,他發(fā)現(xiàn)的一維多分量費(fèi)米子系統(tǒng)的極限行為,又很快被冷原子實(shí)驗(yàn)證實(shí).通過內(nèi)態(tài)調(diào)控產(chǎn)生等效的人工維度,冷原子體系還可以模擬高維體系的物理,其中包括實(shí)驗(yàn)?zāi)M了楊先生于20 世紀(jì)70 年代提出的SU(2)非阿貝爾規(guī)范場中的Yang monopole 這一拓?fù)浣?這些冷原子物理的進(jìn)展,展示了楊先生的這些工作不僅具有理論的深度,還對(duì)實(shí)際實(shí)驗(yàn)的發(fā)展具有長遠(yuǎn)的影響力.

1956 年,楊振寧先生和李政道先生[1]寫下了著名的“弱作用宇稱不守恒”的論文,隨后于1957 年他們因此獲得了諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng).可能大家并不太知道,就在同一時(shí)期,他們還在研究一個(gè)量子統(tǒng)計(jì)物理的問題—具有硬球相互作用的稀薄氣體的量子多體物理.差不多在宇稱不守恒論文發(fā)表的同時(shí),他們還將另一篇文章投稿到了Physical Review[2].這篇文章總結(jié)了他們已經(jīng)得到的關(guān)于稀薄硬核玻色或費(fèi)米氣體的結(jié)果.這其中就包括該玻色子多體系統(tǒng)基態(tài)能量的表達(dá)式[2]:

式中,ρ是玻色子的密度,as是粒子間的s-波散射長度.次年,楊振寧先生和李政道先生、黃克孫先生[3]又發(fā)表了另一篇文章,他們利用贗勢方法系統(tǒng)地給出了研究硬球玻色模型的計(jì)算細(xì)節(jié),計(jì)算得到了和(1)式同樣的關(guān)于基態(tài)能量的表達(dá)式.這一結(jié)果后來被稱為“Lee-Huang-Yang 修正”.2012 年,在慶祝楊先生90 華誕的活動(dòng)上,清華大學(xué)贈(zèng)給了楊先生一個(gè)禮物: 精致的黑色立方體的四面鐫刻著楊先生在粒子物理、場論、統(tǒng)計(jì)物理和凝聚態(tài)物理四個(gè)方面的13 項(xiàng)杰出的貢獻(xiàn).其中統(tǒng)計(jì)物理的那一面,“1957 Bosons”指的就是這個(gè)工作[3].

楊先生和他的合作者在1956—1958 年期間的一系列工作,其實(shí)已經(jīng)開拓了一個(gè)全新的領(lǐng)域.但他們還需要等待40 年,才能看到這個(gè)領(lǐng)域真正的誕生.這個(gè)領(lǐng)域現(xiàn)在被稱為“量子氣體”或“超冷原子氣體”.近四十年后的1995 年,在堿金屬原子氣體中實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了玻色-愛因斯坦凝聚,標(biāo)志著這一領(lǐng)域的誕生[4,5].

而在當(dāng)時(shí),他們的研究動(dòng)機(jī)主要是為了理解液氦超流.但是,液氦是一個(gè)液體,氦原子之間的相互作用非常強(qiáng),而且在液氦中,氦原子相對(duì)距離比較近,在這個(gè)距離上,原子間相互作用勢較為復(fù)雜.楊先生和他的合作者們在探索一個(gè)相對(duì)簡單些的情形: 一方面,原子間的相互作用在這個(gè)多體系統(tǒng)中仍然扮演著重要的作用;另一方面,處理相互作用的所需的近似方法的有效性是可控的.在文獻(xiàn)[6]中,他們寫道:

“ It is physically obvious that a complete knowledge of the detailed interaction potential is often not necessary for a satisfactory description of the system.For example,when a state of the many-body system is such that the particles are so far apart from one another that their fields of force do not appreciably overlap,their mutual influence is essentially determined by the asymptotic wave functions,which are directly related to the phase shifts.Furthermore,under certain conditions only a few phase shifts are important.For example,at low energies,all but the s-wave phase shift are negligible.The proposed formulation would provide a natural framework in which an approximation such as this could be systematically carried out.”

今天看來,這一段論述仍然非常精彩而重要.這一段論述所體現(xiàn)的洞見揭示出中性原子量子氣體這一系統(tǒng)獨(dú)特而重要的優(yōu)勢.和液體所不同的是,氣體是稀薄的、密度低.和電子所不同的是,中性原子間的相互作用勢是短程的.因此,在原子氣體中,原子間的間距遠(yuǎn)大于相互作用的力程.在這樣的情形下,相互作用效應(yīng)本質(zhì)上被波函數(shù)的漸近行為所決定,而對(duì)于短程勢而言,波函數(shù)的漸近行為又體現(xiàn)在散射相移上.在低能下,s-波散射相移起到?jīng)Q定性的作用,而s-波散射相移又主要被s-波散射長度決定.因此,對(duì)量子氣體來說,并不需要知道原子間相互作用復(fù)雜的細(xì)節(jié),最主要的相互作用的物理可以完全由s-波散射長度來刻畫.正因?yàn)槿绱?量子氣體中的相互作用效應(yīng)常常能得到簡潔而普適的刻畫.這正是量子氣體成為一個(gè)研究量子多體物理的理想平臺(tái)的重要原因.1995 年超冷原子氣體實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)以后,這一優(yōu)勢被廣為認(rèn)同.而楊先生和他的合作者們在此40 年前就已經(jīng)將其闡述得非常清楚了.

意識(shí)到as是描述原子間相互作用的最重要的參數(shù)之后,就不難發(fā)現(xiàn),是一個(gè)無量綱的參數(shù).當(dāng)這個(gè)參數(shù)是一個(gè)小量時(shí),就可以將基態(tài)能量等物理量按照這個(gè)參數(shù)展開,這就得到了(1)式.(1)式中第1 項(xiàng)來自于平均場效應(yīng),它描述的是一個(gè)原子感受到的其他原子平均的一個(gè)相互作用效果.因此,這一項(xiàng)正比于原子的平均密度.第2 項(xiàng)是完全的量子效應(yīng),它代表的是超越平均場之外的量子修正.這一修正就是“Lee-Huang-Yang 修正”.這一項(xiàng)也有明確的物理意義,那就是真空零點(diǎn)能.在無相互作用的情況下,該系統(tǒng)的基態(tài)是所有的玻色子都凝聚在零動(dòng)量上.有相互作用之后,一對(duì)玻色子可以從零動(dòng)量被散射到正負(fù)相反的有限動(dòng)量,這就產(chǎn)生了所謂的Bogoliubov 元激發(fā).在每一個(gè)動(dòng)量上,都有一個(gè)Bogoliubov 元激發(fā)的模式,而由于量子漲落,每一個(gè)元激發(fā)模式都有一個(gè)非零的零點(diǎn)能.也就是說,在零溫下,即便每個(gè)Bogoliubov 元激發(fā)的模式都沒有實(shí)際的占據(jù),這些零點(diǎn)能也會(huì)對(duì)系統(tǒng)的基態(tài)能量產(chǎn)生貢獻(xiàn).對(duì)所有動(dòng)量上這些零點(diǎn)能的求和,就構(gòu)成了“Lee-Huang-Yang 修正”.正因?yàn)槿绱?我們說“Lee-Huang-Yang 修正”代表了真空的零點(diǎn)能.而且,這個(gè)求和會(huì)表現(xiàn)出紫外發(fā)散,因而需要被重整化.為了消除發(fā)散,楊先生他們用文獻(xiàn)[6]中引入的贗勢方法來進(jìn)行重整化,最終得到了一個(gè)有限的結(jié)果.

雖然這些奠基性的理論在20 世紀(jì)50 年代就已經(jīng)提出來了,但是,離實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)量子氣體還需要40 年的時(shí)間.這里有很多實(shí)驗(yàn)上的困難需要被克服,為此還有很多實(shí)驗(yàn)技術(shù)需要被發(fā)明.首先,需要保持這個(gè)系統(tǒng)足夠稀薄.只有這樣,才能使得兩體碰撞相對(duì)三體碰撞更占主導(dǎo).這樣的話,系統(tǒng)才能在氣態(tài)達(dá)到熱平衡,而不會(huì)形成化學(xué)上更穩(wěn)定的分子態(tài),甚至成為固體.其次,需要防止氣態(tài)原子附著在腔壁上.這個(gè)問題被20 世紀(jì)80 年代發(fā)展的磁束縛和90 年代發(fā)展的激光束縛所解決.再則,因?yàn)闅怏w很稀薄,所以要達(dá)到量子簡并,就需要更低的溫度.從20 世紀(jì)70—80 年代先后發(fā)展出來的激光冷卻和蒸發(fā)冷卻,成為解決這一問題的重要手段.隨著這些技術(shù)手段的不斷成熟,終于在1995 年,堿金屬玻色原子氣體率先被冷卻到量子簡并,并在其中觀測到玻色-愛因斯坦凝聚的現(xiàn)象[4,5],這一成就在2001 年獲得了諾貝爾物理獎(jiǎng)[7].

從1995 年以來,超冷原子物理得到了飛速的發(fā)展[8].楊振寧先生從一開始就極力提倡和推動(dòng)這一領(lǐng)域,特別是建議中國學(xué)者積極投身到這一研究方向.在玻色-愛因斯坦凝聚實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)后不久,楊先生自己也立刻回到了這個(gè)領(lǐng)域開展研究,又發(fā)表了多篇研究論文[9,10].20 世紀(jì)50 年代早期的工作主要考慮的是熱力學(xué)極限下的均勻體系,而在實(shí)驗(yàn)中,由激光或磁場產(chǎn)生了一個(gè)諧振子勢阱,以此來束縛原子.楊先生等就將20 世紀(jì)50 年代的一些早期的結(jié)果推廣到了有諧振子外勢的情況[9,10].

隨著冷原子物理的發(fā)展,很快還展現(xiàn)出其他幾方面的優(yōu)勢[8].一是可調(diào)控性.例如,原子間的相互作用可以被一種稱為Feshbach 共振的機(jī)制來調(diào)節(jié);系統(tǒng)的維度也可以被光晶格等光和原子相互作用的手段來操控.二是測量的高精度.例如,為了發(fā)展原子鐘,需要將頻率測準(zhǔn)到很高的精度.這一技術(shù)就可以被遷移到研究量子多體物理,例如將系統(tǒng)的相互作用能測準(zhǔn)到一個(gè)很高的精度.

利用冷原子體系的這些優(yōu)勢,一系列的實(shí)驗(yàn)很快就觀測到“Lee-Huang-Yang 修正”的效應(yīng)[11-16].因?yàn)椤癓ee-Huang-Yang 修正”是按照展開的第二階項(xiàng),因此,如果太小的話,這一項(xiàng)的效應(yīng)就很難被觀測到.也就是說,要想觀察到“Lee-Huang-Yang 修正”的效應(yīng),需要適當(dāng)?shù)匕補(bǔ)s調(diào)大一些.而Feshbach 共振正是這樣一個(gè)調(diào)節(jié)散射長度的手段.另一方面,冷原子體系的能量可以通過集體激發(fā)的頻率、密度分布、壓強(qiáng)或譜學(xué)等方法來測量[11-16].所有這些實(shí)驗(yàn)測量都發(fā)現(xiàn),隨著的增大,實(shí)驗(yàn)測得的能量明顯地偏離平均場的結(jié)果,而和包含了“Lee-Huang-Yang 修正”的結(jié)果更為吻合.圖1 展示了一個(gè)有代表性的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

圖1 “Lee-Huang-Yang 修正”的實(shí)驗(yàn)證實(shí).縱軸壓強(qiáng) h 反映了系統(tǒng)的狀態(tài)方程,橫軸是 μa3/g.這里,a 就是文中的散射長度 as;μ 是巨正則系統(tǒng)的化學(xué)勢;g=4π?2a/m,m是原子的質(zhì)量.黑色點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)結(jié)果,紅色實(shí)線是加入“Lee-Huang-Yang 修正”的理論結(jié)果,黑色實(shí)線是蒙特卡羅計(jì)算的結(jié)果,紅色虛線是沒有加入“Lee-Huang-Yang 修正”的平均場結(jié)果.插圖是弱相互作用區(qū)域的結(jié)果 [15]Fig.1.Experimental observation of the Lee-Huang-Yangcorrection.The equation-of-state,measured through the pressure h,is plotted as a function of μa3/g.Here a is the s-wave scattering length as in the text.μ is the chemical potential in the grand canonical ensemble.g=4π?2a/m .The solid red line is theoretical result with the Lee-Huang-Yang corrections,and the solid black line is the result obtained by quantum Monte Carlo simulation.The red dashed line is the mean-field result without including the Lee-Huang-Yang corrections.The inset is a zoom-in plot of the weakly interacting regime[15].

在冷原子體系中,除了相互作用的強(qiáng)度可以調(diào)節(jié)以外,系統(tǒng)的維度也可以調(diào)控.特別地,對(duì)維度的調(diào)控使實(shí)現(xiàn)一維多體系統(tǒng)成為可能.在20 世紀(jì)60 年代,楊先生利用Bethe 提出的Bethe Ansatz方法[17],對(duì)一維體系的多體問題做了大量的研究工作.其中最為著名的工作就是他求解了一維接觸相互作用的自旋-1/2 的費(fèi)米子多體問題[18].這導(dǎo)致了著名的Yang-Baxter 方程,后來在數(shù)學(xué)物理中產(chǎn)生了重大的影響.在20 世紀(jì)60 年代,這些問題被看成純粹的數(shù)學(xué)物理問題.而40 年后,冷原子物理的發(fā)展使得這些問題成為非常實(shí)際的問題.

1969 年,楊先生和他的弟弟楊振平教授[19]一起求解了一維接觸相互作用的玻色子體系有限溫度的統(tǒng)計(jì)問題.這一工作在楊先生的13 項(xiàng)杰出成就中也被提到,被標(biāo)注為“1969 Finite Temperature”.此前,Lieb 和Liniger[20]求解了這個(gè)系統(tǒng)的基態(tài)問題.楊先生的工作解決了整個(gè)有限溫度的問題.這種有相互作用的多體統(tǒng)計(jì)物理問題可以被嚴(yán)格求解,也是一個(gè)很少見的情況.這一結(jié)果被稱為Yang-Yang thermodynamics.Yang-Yang thermodynamics 的預(yù)言也在冷原子體系被實(shí)驗(yàn)所證實(shí).如圖2 所示,無論是測量的密度分布還是動(dòng)量分布,都和Yang-Yang thermodynamics 的預(yù)言非常吻合[21].

圖2 Yang-Yang Thermodynamics 的實(shí)驗(yàn)證實(shí) (a)—(d) 原位成像的密度分布;(e)—(h) 動(dòng)量分布.實(shí)線是Yang-Yang Thermodynamics 的理論預(yù)言,虛線是無相互作用玻色子的結(jié)果.黑色的點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)[21]Fig.2.Experimental observation of Yang-Yang thermodynamics: (a)—(d) The in-situ density distribution;(e)—(h) the momentum distribution.The solid lines are obtained from the Yang-Yang thermodynamics and the dashed lines are the results of non-interacting bosons[21].

2010 年左右,楊先生已年逾八旬.他對(duì)冷原子物理在一維系統(tǒng)的這些進(jìn)展非常感興趣,重新回來研究這方面的課題.他和尤亦莊一起,求解了一維N個(gè)分量的費(fèi)米子系統(tǒng)的狀態(tài)方程.他們發(fā)現(xiàn),當(dāng)內(nèi)態(tài)數(shù)目N趨向于無窮大時(shí),這個(gè)多分量費(fèi)米體系的狀態(tài)方程趨于一個(gè)單分量玻色子體系的狀態(tài)方程[22].佛羅倫薩的一個(gè)冷原子實(shí)驗(yàn)組很快就實(shí)驗(yàn)證實(shí)了這個(gè)理論預(yù)言[23].實(shí)驗(yàn)上,他們通過測量集體激發(fā)模的頻率來反映系統(tǒng)的狀態(tài)方程.他們通過改變內(nèi)態(tài)的數(shù)目,測量這個(gè)激發(fā)模的頻率,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3 所示.他們發(fā)現(xiàn),當(dāng)內(nèi)態(tài)數(shù)目增加時(shí),這個(gè)激發(fā)模的頻率趨近于單分量玻色子系統(tǒng)中的同種激發(fā)模的頻率[23].這一實(shí)驗(yàn)結(jié)果和楊先生論文的預(yù)言非常吻合[22].佛羅倫薩的實(shí)驗(yàn)文章中引用了楊先生和尤亦莊的論文,并寫道:

圖3 N 分量一維費(fèi)米氣體的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.β=ωB/ωx,其中 ωB 是測得的沿方向系統(tǒng)呼吸模的頻率,ωx 是沿 方向諧振子勢阱的頻率.橫軸是費(fèi)米子內(nèi)態(tài)的數(shù)目N.其中正方形方塊是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),圓圈是理論預(yù)言.上面的橫線是無相互作用(N=1)費(fèi)米子的情況;下面的橫線是單分量玻色子的情況,即 N→∞ 的極限情況[23]Fig.3.Experiments on N-component one-dimensional Fermi gas.β=ωB/ωx,where ωB is the breathing mode frequency along and ωx is the harmonic trap frequency along .This frequency is plotted as a function of the number of fermion components N.The squares are experimental data and the circles are theoretical predictions.The upper horizontal line shows the theoretical value for non-interacting Fermi gas (N=1) and the lower line shows the result for spinless bosons,as N→∞ limit[23].

“ This bosonic limit forN→∞ is aremarkable property of multi-component 1Dfermions that has been pointed out theoretically only very recently and that our experimental system is capable to clearly evidence.”

冷原子體系的可調(diào)控性,不僅可以等效地降低系統(tǒng)的維度,而且還可以等效地提升系統(tǒng)的維度.降低系統(tǒng)的維度通常是通過光晶格等方法產(chǎn)生一個(gè)束縛勢,限制原子在其他方向的運(yùn)動(dòng).而另一方面,通過光和原子的相互作用還可以耦合原子不同的內(nèi)態(tài)[24].如果把這些耦合起來的內(nèi)態(tài)等效地看成一個(gè)“人工維度”的話,就可以等效地提升系統(tǒng)的維度,從而利用冷原子體系去實(shí)現(xiàn)一些高維空間的物理.

1954 年,楊先生和Mills[25]一起提出了非阿貝爾規(guī)范場理論,后來被稱為Yang-Mills 理論.他們將電磁理論這一U(1)規(guī)范理論推廣到非阿貝爾的情形.Yang-Mills 理論后來成為統(tǒng)一電磁相互作用、弱作用和強(qiáng)作用的標(biāo)準(zhǔn)模型的基礎(chǔ).在三維空間電磁理論這一U(1)阿貝爾規(guī)范理論中,存在著名的Dirac 磁單極子解.Dirac 磁單極子是電磁場的拓?fù)淙毕?數(shù)學(xué)上,刻畫這一拓?fù)淙毕莸墓ぞ呤堑谝活愱悢?shù):

第一類陳數(shù)是磁場B或者說阿貝爾規(guī)范場的場強(qiáng)Fμν定義在三維空間中一個(gè)二維閉曲面S2上的積分.1978 年,楊先生[26]將Dirac 磁單極子解推廣到SU(2)非阿貝爾規(guī)范場的情況.這個(gè)情況下的磁單極子解后來被稱為Yang monopole.Yang monopole 存在于五維空間中,它的拓?fù)涮匦允怯傻诙愱悢?shù)來刻畫的.第二類陳數(shù)是定義在五維空間中一個(gè)四維閉合曲面S4上的積分,它的表達(dá)式是

這里聯(lián)系非阿貝爾規(guī)范場的場強(qiáng)F和規(guī)范式A的公式,就是楊先生和Mills 文章中給出的著名的公式[25]:

SU(2)非阿貝爾規(guī)范場中的Yang monopole 具有非零的第二類陳數(shù),但是其第一類陳數(shù)總是為零.

美國國家標(biāo)準(zhǔn)局的實(shí)驗(yàn)組用耦合原子內(nèi)態(tài)的方法來模擬空間維度,從而來模擬Yang monopole[27].特別地,他們將4 個(gè)不同的內(nèi)態(tài)用5 個(gè)獨(dú)立的參數(shù)耦合起來,并通過巧妙的設(shè)計(jì),使得這5 個(gè)參數(shù)恰巧位于一個(gè)4 維球上.他們測量了這個(gè)體系的第一類陳數(shù)和第二類陳數(shù).如圖4 所示,他們發(fā)現(xiàn)第一類陳數(shù)總是等于零,而第二類陳數(shù)會(huì)隨著Yang monopole 移出球面而從1 變到0.

圖4 實(shí)驗(yàn)觀測到Y(jié)ang monopole (a) 隨著Yang monopole移入或移出球面,系統(tǒng)拓?fù)涞淖兓?(b) 第一類陳數(shù)(下圖)和第二類陳數(shù)(上圖).第一類陳數(shù)總是零.第二類陳數(shù)隨著Yang monopole 移出球面,從1 變成0[27]Fig.4.Experimental observation of Yang monopole: (a) Illustration of the topological transition when the Yang monopole moves out of the sphere;(b) the first (lower) and the second (upper) Chern number.The first Chern number is constantly zero and the second Chern number changes from unity to zero as the Yang monopole moves out of the sphere[27].

楊先生的工作先于實(shí)驗(yàn)近40 年,奠定了冷原子物理的理論基礎(chǔ).楊先生在20 世紀(jì)50—70 年代的多個(gè)理論工作,時(shí)隔幾十年之后,被冷原子實(shí)驗(yàn)所證實(shí).楊先生年逾八旬,再重新研究相關(guān)理論問題,提出的新理論又很快被實(shí)驗(yàn)證實(shí).

自冷原子這一領(lǐng)域從1995 年誕生以來,楊先生一直關(guān)注重視這個(gè)領(lǐng)域,多次公開談到這是一個(gè)有發(fā)展前途的研究方向.二十多年來,冷原子物理的發(fā)展,憑借其高度的可調(diào)控性和測量的精確性等優(yōu)勢,不僅證實(shí)了楊先生的一系列理論預(yù)言,而且在量子多體物理,特別是量子多體非平衡動(dòng)力學(xué)方面,取得了很多令人矚目的成果.此前,針對(duì)量子多體系統(tǒng)的研究,主要是基于固體材料的凝聚態(tài)物理研究的內(nèi)容.近年來,冷原子量子氣體已成為研究量子多體物理的另一個(gè)重要平臺(tái).冷原子物理和凝聚態(tài)物理既有很大的交集,又高度互補(bǔ),兩者相得益彰.兩者的協(xié)同發(fā)展,會(huì)更加豐富我們對(duì)量子物質(zhì)的理解,有益于未來量子科技的發(fā)展.

楊先生的這些工作既具有理論的深度,又能和實(shí)驗(yàn)結(jié)合,并且對(duì)實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生長久的影響力.這不禁讓人稱奇.楊先生的研究工作,是如何能達(dá)到這個(gè)境界的,值得我們深思.我想,我們選擇一個(gè)研究課題,有兩方面的考量: 一是這個(gè)題目和當(dāng)前實(shí)際物理系統(tǒng)之間的關(guān)系;二是這個(gè)題目和基本物理問題或其中優(yōu)美的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的關(guān)系.最為重要的是,我們?nèi)绾文茉谶@兩種考量之間取得一個(gè)平衡.毫無疑問,楊先生在兩者之間取得的平衡,可謂極致.

注: 該文章英文版,收錄于World Scientific 出版社將出版的A Festschrift for the Yang Centenary: Scientific Papers.