王楠 肖敏? 蔣海軍 黃霞

1) (南京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院&人工智能學(xué)院,南京 210023)

2) (新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,烏魯木齊 830047)

3) (山東科技大學(xué)電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院,青島 266590)

提出了一個(gè)考慮空間擴(kuò)散與發(fā)酵期時(shí)滯的社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型,重點(diǎn)研究了擴(kuò)散與時(shí)滯對(duì)在線社交網(wǎng)絡(luò)中謠言時(shí)空傳播的影響.首先,分析了謠言傳播平衡點(diǎn)的存在性,并得到了基本再生數(shù) R0 ;其次,運(yùn)用Roth-Hurwitz 穩(wěn)定判據(jù)分析了謠言傳播平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性,并討論了擴(kuò)散誘導(dǎo)的Turing 不穩(wěn)定;最后,選取時(shí)滯為分岔參數(shù),建立了謠言傳播模型的Hopf 分岔?xiàng)l件.數(shù)值仿真結(jié)果表明,擴(kuò)散和時(shí)滯的出現(xiàn)都能使得謠言傳播模型的穩(wěn)定性發(fā)生根本性改變.本文從時(shí)間和空間兩個(gè)維度擴(kuò)展了傳統(tǒng)謠言傳播動(dòng)力學(xué)僅考慮時(shí)間演化的局限,更加真實(shí)地模擬了謠言在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中的時(shí)空傳播規(guī)律,為謠言傳播的治理提供了全新的角度和思路.

1 引言

2022 年2 月,中國網(wǎng)民規(guī)模達(dá)10.32 億,互聯(lián)網(wǎng)普及率達(dá)73.0%,形成了全球最為龐大的數(shù)字社區(qū).在線社交網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展一方面使得網(wǎng)民之間的交流變得更加便捷,另一方面也為謠言傳播提供了新的途徑[1-3].網(wǎng)絡(luò)謠言傳播比傳統(tǒng)途徑傳播速度更快,范圍更廣,不加以阻斷可能會(huì)在短時(shí)間內(nèi)占用大量社會(huì)資源,引發(fā)民眾恐慌甚至造成巨大的經(jīng)濟(jì)損失[4,5].特別是在突發(fā)性公共衛(wèi)生事件中,由于民眾對(duì)事件本身不了解,往往會(huì)被謠言和不實(shí)信息所吸引,甚至成為謠言傳播者,極大地破壞了社會(huì)的穩(wěn)定[6,7].因此,定性和定量地研究社交網(wǎng)絡(luò)中虛假信息的傳播規(guī)律,成為謠言治理工作的重中之重.

如何建立符合現(xiàn)實(shí)的社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型受到廣大學(xué)者的高度關(guān)注.謠言在網(wǎng)絡(luò)中傳播具有隱蔽性強(qiáng)、傳播范圍廣、傳播途徑復(fù)雜以及傳播過程難以控制等特征,這與傳染病在人群中擴(kuò)散有著極大的相似.因此,謠言經(jīng)常被稱作互聯(lián)網(wǎng)中的傳染病.現(xiàn)有的網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型大多借鑒了傳染病模型[8-10].例如,利用傳染病動(dòng)力學(xué)中倉室模型[11,12]的概念將社交網(wǎng)絡(luò)中的人群區(qū)分為謠言易感者、謠言已知者和謠言恢復(fù)者等基本類型,并在SIR (susceptible-infected-recovered)模型的基礎(chǔ)上建立起各類網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型.這些數(shù)學(xué)模型能夠精準(zhǔn)而直觀地描述網(wǎng)絡(luò)謠言的傳播規(guī)律,充分而深刻地揭示網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的危害.因此,基于傳染病模型的謠言傳播動(dòng)力學(xué)已引起廣泛關(guān)注.例如,Moreno 等[13]在2004 年首次研究虛假信息在隨機(jī)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的擴(kuò)散過程,通過對(duì)參數(shù)時(shí)間分布的數(shù)值計(jì)算區(qū)分不同的謠言傳播算法;Zhou 等[14]考慮網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及感染節(jié)點(diǎn)的鄰近節(jié)點(diǎn)之間的差異對(duì)謠言傳播的影響,發(fā)現(xiàn)感染節(jié)點(diǎn)的總數(shù)取決于網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu);張芳等[15]指出,謠言是一種典型的社會(huì)群體心理現(xiàn)象,在建立傳播模型時(shí)應(yīng)引入心理學(xué)因素,如感知、情緒、記憶、決策等;趙來軍等[16]考慮了記憶因素對(duì)謠言傳播過程的影響,提出了具有遺忘機(jī)制的謠言傳播模型,并且發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的平均度存在閾值,超過這個(gè)閾值,謠言的影響就會(huì)達(dá)到飽和;顧亦然和夏玲玲[17]注意到重要熟人免疫策略能有效地抑制謠言傳播,建立了新的SEIR (spreader-exposed-ignorant-recovered)謠言模型并根據(jù)真實(shí)在線社交平臺(tái)Facebook 的用戶數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值模擬;萬佑紅和王小初[18]基于現(xiàn)實(shí)社交網(wǎng)絡(luò)中存在的從眾效應(yīng)進(jìn)行模擬仿真,研究個(gè)體影響力對(duì)謠言擴(kuò)散的作用;朱霖河和李玲[19]在傳統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型中引入飽和辟謠函數(shù)用以刻畫政府辟謠行為對(duì)謠言傳播的約束能力;Ruan 等[20]研究在簡單傳播模型里引入智能節(jié)點(diǎn)研究惡意節(jié)點(diǎn)對(duì)謠言傳播的影響,結(jié)果表明惡意節(jié)點(diǎn)緊密度的增加會(huì)助長虛假信息的傳播;Chen 和Wang[21]將謠言未知者按性格分為穩(wěn)重型未知者和激進(jìn)型未知者,提出了新的SEIsIrR (spreader-exposed-steady ignorantradical ignorant-recovered)謠言傳播模型,通過對(duì)Twitter 上真實(shí)傳播的謠言數(shù)據(jù)集進(jìn)行仿真,證明人的性格、謠言的可信度及謠言與生活的相關(guān)性影響著謠言傳播的范圍與速度.

隨著近些年移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的迅猛發(fā)展,人們?cè)缫淹黄茣r(shí)空限制,可以隨時(shí)隨地通過社交網(wǎng)絡(luò)參與到公共事件的討論中.因此建立反應(yīng)擴(kuò)散方程[22,23]來描述網(wǎng)絡(luò)信息的時(shí)空擴(kuò)散變得具有現(xiàn)實(shí)意義.反應(yīng)擴(kuò)散網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型不僅能夠反映謠言的網(wǎng)絡(luò)分布特征,還可以描述其發(fā)展趨勢(shì): 擴(kuò)散項(xiàng)刻畫了網(wǎng)絡(luò)謠言在一維空間中沿著某一固定傳播方向進(jìn)行擴(kuò)散的過程;在傳播方向上的某一固定空間位置內(nèi),網(wǎng)民自行傳播謠言,由于位置不變,該過程與謠言傳播的時(shí)間緊密關(guān)聯(lián).一些學(xué)者也建立了相應(yīng)的反應(yīng)擴(kuò)散謠言傳播模型,研究其豐富的時(shí)空動(dòng)力學(xué)特征.例如,趙洪涌和朱霖河[24]針對(duì)媒體報(bào)道與空間擴(kuò)散等因素,建立了反應(yīng)擴(kuò)散SIM (spreader-ignorant-medium)謠言傳播模型,并給出系統(tǒng)穩(wěn)定與Hopf 分岔產(chǎn)生的條件;Zhu 等[25]為了使得模型更加貼合真實(shí)的傳播機(jī)制,在反應(yīng)擴(kuò)散SI(spreader-ignorant)謠言傳播模型中加入非線性發(fā)生率βSI/(1+αI),并分析了擴(kuò)散系數(shù)對(duì)謠言傳播穩(wěn)態(tài)的影響.

在實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)謠言傳播過程中,時(shí)間滯后同樣不可忽視.在網(wǎng)絡(luò)謠言從產(chǎn)生、傳播、治理到消失的各個(gè)階段中都可能存在著時(shí)滯[26,27].謠言剛出現(xiàn)時(shí)一般只在小范圍內(nèi)傳播,但借助開放的社交網(wǎng)絡(luò),其在人群的討論中醞釀發(fā)酵,甚至?xí)诟蠓秶鷥?nèi)傳播.發(fā)酵期時(shí)滯指的是網(wǎng)絡(luò)謠言從產(chǎn)生到傳播的過程中會(huì)在謠言易感者群體中存在時(shí)間滯后的現(xiàn)象,忽視謠言傳播的發(fā)酵期可能會(huì)導(dǎo)致謠言治理的不及時(shí).

但是目前同時(shí)考慮空間擴(kuò)散效應(yīng)與發(fā)酵期時(shí)滯的謠言傳播模型并不多見.為了更好地刻畫不同人群在謠言傳播模型中相互轉(zhuǎn)化的過程,本文考慮在謠言傳播過程中謠言未知者會(huì)以不同類型的發(fā)生率分別轉(zhuǎn)化為謠言感染者及恢復(fù)者,并且謠言感染者會(huì)在社交網(wǎng)絡(luò)中接收到辟謠信息從而轉(zhuǎn)化為恢復(fù)者.基于上述分析,從時(shí)空維度建立一個(gè)具有飽和發(fā)生函數(shù)、發(fā)酵期時(shí)滯以及擴(kuò)散項(xiàng)的謠言傳播模型,研究時(shí)滯與擴(kuò)散項(xiàng)對(duì)謠言傳播模型穩(wěn)定性的影響.

本文結(jié)構(gòu)組織如下.在第2 節(jié)中,提出一個(gè)具有擴(kuò)散效應(yīng)和時(shí)滯的謠言傳播模型.在第3 節(jié)中,對(duì)模型進(jìn)行穩(wěn)定性分析,并研究無時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散謠言傳播模型的Turing 不穩(wěn)定性.選取時(shí)滯為分岔參數(shù),給出了模型在平衡點(diǎn)處發(fā)生Hopf 分岔的條件.在第4 節(jié)中,通過數(shù)值仿真來驗(yàn)證前文的理論結(jié)果.在第5 節(jié)中,對(duì)本文工作進(jìn)行總結(jié)并展望未來的工作.

2 模型建立

文獻(xiàn)[10]將網(wǎng)民分為謠言未知者S、謠言已知者I和謠言恢復(fù)者R這三種狀態(tài),其描述的SIR謠言傳播模型如下:

其中,未知者S未收到謠言,已知者I收到謠言并傳播,恢復(fù)者R收到謠言但不傳播.由于社交網(wǎng)絡(luò)具有開放性,未知者S以Λ的人口輸入率自然增長,γ表示謠言在社交網(wǎng)絡(luò)上傳播的速率,接觸到謠言的未知者S以θ和 1-θ的概率分別轉(zhuǎn)為已知者I和恢復(fù)者R,辟謠信息以β的速度在社交網(wǎng)絡(luò)中傳播.同時(shí)三種狀態(tài)的網(wǎng)民均以μ的概率離開.考慮現(xiàn)實(shí)意義,以上參數(shù)均為正.文獻(xiàn)[10]通過計(jì)算給出了模型(1)的平衡點(diǎn)和基本再生數(shù)R0的表達(dá)式,討論該模型的穩(wěn)定性和分岔點(diǎn),并通過幾何方法分析了局部平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.仿真結(jié)果表明,模型(1)在R0=1 處存在分岔,并且當(dāng)R0＞1時(shí),已知者I密度隨著R0的增加而逐漸增加;θ的變化對(duì)穩(wěn)定狀態(tài)下I密度的峰值有較大影響,但對(duì)I密度的收斂時(shí)間影響較弱.這為謠言治理工作提供了新的思路.

然而模型(1)沒有考慮擴(kuò)散和時(shí)滯對(duì)于網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的影響.為了使模型更加貼合現(xiàn)實(shí),我們?cè)谀Ｐ?1)的基礎(chǔ)上引入擴(kuò)散項(xiàng)、時(shí)滯與飽和發(fā)生率.文獻(xiàn)[19]提出用飽和函數(shù)h(I)=βI/(1+αI)來描述辟謠信息在社交網(wǎng)絡(luò)中的傳播,其中β表示辟謠信息在社交網(wǎng)絡(luò)上的傳播速度,α是衡量已知者種群數(shù)量對(duì)于辟謠信息傳播效果的飽和因子,這與現(xiàn)實(shí)中網(wǎng)絡(luò)謠言的傳播規(guī)律十分貼合.于是得到了以下具有飽和函數(shù)的時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散謠言傳播模型:

其中t＞0,x∈Ω=(0,π) .初始條件為

Neumann 邊界條件為

S(x,t),I(x,t)和R(x,t) 分別表示謠言未知者、謠言已知者和謠言恢復(fù)者在t時(shí)刻x位置處的密度.γS(x,t-τ)I(x,t)表示謠言已知者I在謠言未知者S種群中傳播謠言的能力,τ是謠言未知者S種群在接收到謠言后經(jīng)過討論和思考而決定是否傳播謠言的反應(yīng)時(shí)間.βI(x,t)/(1+αI(x,t)) 是辟謠信息在謠言已知者I數(shù)量的飽和作用下將謠言已知者I轉(zhuǎn)化為謠言恢復(fù)者R的辟謠能力.初始條件S0(x,t),I0(x,t)和R0(x,t)為非負(fù)連續(xù)函數(shù).Δ=?2/?x2是拉普拉斯算子.d1＞0,d2＞0 和d3＞0分別是S(x,t),I(x,t)和R(x,t) 的空間擴(kuò)散系數(shù).Ω是一個(gè)有界域,?Ω是Ω的光滑邊界,η是?Ω的單位外法向量.Neumann 邊界條件表示謠言傳播系統(tǒng)是封閉的,謠言在網(wǎng)絡(luò)邊界沒有流進(jìn)與流出.

3 時(shí)空動(dòng)力學(xué)分析

根據(jù)現(xiàn)實(shí)意義,本文研究模型(2)的兩個(gè)非負(fù)平衡點(diǎn):

(i)無謠言平衡點(diǎn)E0=(Λ/μ,0,0),此時(shí)模型(2)中僅存在謠言易感者,謠言未能在人群中傳播;

(ii)謠言傳播平衡點(diǎn)E*=(S*,I*,R*),此時(shí)存在謠言傳播者,謠言已在人群中持續(xù)傳播,其中

并且I*滿足方程

其中

假設(shè):

當(dāng) (H1) 成立時(shí),則有

此時(shí)E*=(S*,I*,R*) 為模型(2)的唯一正平衡點(diǎn).

基本再生數(shù)R0是謠言傳播模型中一個(gè)重要參量,用于衡量網(wǎng)絡(luò)謠言在人群中傳播擴(kuò)散的能力.當(dāng)R0＜1 時(shí),謠言在人群中會(huì)自行消亡;當(dāng)R0＞1時(shí),謠言則會(huì)持續(xù)存在下去.本文根據(jù)文獻(xiàn)[28]的再生矩陣的方法計(jì)算R0.令X=(i,r)T,不考慮擴(kuò)散項(xiàng),由模型(2)可得

其中,

在無謠言平衡點(diǎn)E0處的雅克比矩陣分別為

于是有

令

則模型(2)的線性化系統(tǒng)為

其中

并且

對(duì)于所滿足的紐曼邊界條件,易知Δ 有特征值-k2(k∈{0,1,2,···}),模型(2)的特征方程為

其中I是 3×3 的單位矩陣,且

將特征方程(4)展開,得到如下表達(dá)式:

其中

3.1 Turing 不穩(wěn)定

本小節(jié)重點(diǎn)研究在無時(shí)滯的情形下,即τ=0時(shí),擴(kuò)散項(xiàng)對(duì)模型(2)穩(wěn)定性的影響.

當(dāng)無擴(kuò)散,即d1=d2=d3=0 時(shí),模型(2)在E*處的特征方程為

其中

由Roth-Hurwitz 穩(wěn)定判據(jù)可知,當(dāng)假設(shè)

成立時(shí),方程(6)所有的根都具有負(fù)實(shí)部.因此,模型(2)在平衡點(diǎn)E*處是局部漸近穩(wěn)定的.

當(dāng)擴(kuò)散效應(yīng)出現(xiàn)時(shí),即di＞0(i=1,2,3) 時(shí),模型(2)在E*處的特征方程為

其中

并且

定義

做如下假設(shè):

其中

引理1當(dāng)B1＞0 和 (H3)成立時(shí),方程g1(x)=0有兩個(gè)正根x-和x+(0＜x-＜x+),使得當(dāng)x∈(x-,x+)時(shí),有g(shù)1(x)＜0 .

定理1假設(shè)R0＞1,τ=0,并且(H1)—(H4)成立.對(duì)于模型(2),以下結(jié)論成立 :

1) 當(dāng)di=0(i=1,2,3) 時(shí),模型(2)的謠言傳播平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的;

2) 當(dāng)di＞0(i=1,2,3) 時(shí),模型(2)在謠言傳播平衡點(diǎn)E*處發(fā)生Turing 不穩(wěn)定.

3.2 Hopf 分岔

本小節(jié)主要研究反應(yīng)擴(kuò)散謠言傳播模型(2)的時(shí)滯誘導(dǎo)Hopf 分岔.

當(dāng)τ=0,di＞0(i=1,2,3) 時(shí),模型(2)的特征方程為(7)式.做出如下假設(shè):

由(8)式可知,若B3＞0 成立,則有C3(k2)＞0 ;若B2＞0 和 (H5)成立,則有C2(k2)＞0;若B1＞0 和(H5)成立,對(duì)于任意的x＞0 ,都有g(shù)1(x)＞0,于是得C1(k2)＞0.

計(jì)算可得

其中

做出如下假設(shè):

若B3B2-B1＞0 和 (H6)成立,則對(duì)任意k∈{0,1,2,3,···},有

根據(jù)Routh-Hurwitz 穩(wěn)定判據(jù),若 (H2),(H5) 和(H6)均成立,對(duì)于任意的k∈{0,1,2,3,···},方程(7)的根均具有負(fù)實(shí)部.此時(shí),無時(shí)滯模型(2)在謠言傳播平衡點(diǎn)E*處是局部漸近穩(wěn)定的.

當(dāng)τ＞0,di＞0(i=1,2,3) 時(shí),模型(2)的特征方程為(5)式.令λ=iω(ω＞0) 并代入(5)式,分離實(shí)虛部得到

其中

根據(jù) cos2(τω)+sin2(τω)=1 可得

其中

令z=ω2,則(10)式變?yōu)?/p>

令

當(dāng)k=0 時(shí),若以下條件成立:

則有g(shù)3(0)|k=0=D1(0)＜0,且=+∞,根據(jù)零點(diǎn)定理可知,此時(shí)方程g3(x)|k=0=0內(nèi)至少存在一個(gè)正根.不失一般性,假設(shè)方程g3(x)|k=0=0 存在三個(gè)正根xn(n=1,2,3),則特征方程(5)|k=0存在三個(gè)純虛根 iωn,其中ωn=(n=1,2,3).

由(9)式可得

其中

定義

當(dāng)k≥1 時(shí),令j=k2.定義

假設(shè):

若 (H8)成立,那么當(dāng)j≥1 時(shí),Ei(j)(i=1,2,3) 是單調(diào)遞增的,有

做如下假設(shè):

若 (H9)成立,則有Di(k2)=Ei(j)≥Ei(1)＞0(i=1,2,3),于是有方程(11)|k≥1無正根.

驗(yàn)證k=0 時(shí)的穿越條件,對(duì)(5)式兩邊同時(shí)關(guān)于τ求導(dǎo),于是有

其中

將τ=τ0和λ=iω0代入(14)式,得到

其中

于是,

則,

做如下假設(shè):

若滿足 (H10) ,則.基于上述討論,得到如下定理:

定理2假設(shè)R0＞1,di＞0(i=1,2,3),并且(H1),(H2),(H5)—(H10) 成立.對(duì)于反應(yīng)擴(kuò)散謠言傳播模型(2),以下結(jié)論成立:

1) 當(dāng)τ∈[0,τ0)時(shí),謠言傳播平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的;

2) 當(dāng)τ＞τ0時(shí),謠言傳播平衡點(diǎn)E*是不穩(wěn)定的;且當(dāng)τ穿越τ0時(shí),模型(2)在E*附近發(fā)生Hopf分岔.

4 數(shù)值仿真

本節(jié)在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上選取參數(shù),通過數(shù)值計(jì)算與分析來驗(yàn)證上述理論的正確性,并研究謠言已知者I種群數(shù)量對(duì)辟謠信息傳播的飽和作用.

選取模型(2)的參數(shù)為Λ=0.8,γ=0.6,μ=0.3,α=0.5,β=0.2,θ=0.7.此時(shí)假設(shè) (H1) 成立.通過計(jì)算得R0=2.24＞1 以及謠言傳播平衡點(diǎn)E*=(1.0595,0.7584,0.8487).

下面首先研究空間擴(kuò)散對(duì)無時(shí)滯謠言傳播模型穩(wěn)定性的影響,此時(shí)τ=0.研究選取的初始條件為S(x,0)=1.0595+0.1cosx,I(x,0)=0.7584+0.1cosx,R(x,0)=0.8487+0.1 cosx.當(dāng)d1=d2=d3=0 時(shí),通過驗(yàn)證可以得到假設(shè) (H2) 成立.由定理1 可知,模型(2)平衡點(diǎn)E*處是局部漸近穩(wěn)定的,數(shù)值仿真結(jié)果如圖1 所示;當(dāng)d1=6,d2=0.01,d3=0.01 時(shí),通過驗(yàn)證知假設(shè) (H3) 和 (H4) 均成立.根據(jù)定理1,模型(2)在E*處失去其穩(wěn)定性,發(fā)生Turing 不穩(wěn)定,數(shù)值仿真結(jié)果如圖2 所示.圖3 是模型(2)發(fā)生Turing 不穩(wěn)定時(shí)的Turing斑圖.

圖1 當(dāng) τ=0,d1=d2=d3=0 時(shí),模型(2)在 E* 處是局部漸近穩(wěn)定的Fig.1.Model (2) is locally asymptotically stable at E* when τ=0,d1=d2=d3=0.

圖2 當(dāng) τ=0,d1=6,d2=0.01,d3=0.01 時(shí),模型(2)在 E* 處是不穩(wěn)定的Fig.2.Model (2) is unstable at E* when τ=0,d1=6,d2=0.01,d3=0.01.

圖3 Turing 不穩(wěn)定發(fā)生時(shí)模型(2)的Turing 斑圖Fig.3.Turing patterns of model (2) when Turing instability occurs.

從圖1 可以看出,在無擴(kuò)散時(shí),隨著時(shí)間的推移,社交網(wǎng)絡(luò)中未知者S、已知者I和恢復(fù)者R這三類人群的密度分別快速收斂于1.0595,0.7584和0.8487,這說明謠言在人群中穩(wěn)定持續(xù)地存在著.從圖2 可以看出,引入擴(kuò)散項(xiàng)后,謠言傳播在空間上呈現(xiàn)周期振蕩的趨勢(shì),這意味著謠言于短時(shí)間內(nèi)大規(guī)模地在社交網(wǎng)絡(luò)中快速地傳播開來.

其次,驗(yàn)證由時(shí)滯誘發(fā)的Hopf 分岔.令d1=d2=d3=0.1,并選取初始條件為S(x,0)=1.25,I(x,0)=0.85,R(x,0)=0.74.計(jì)算可知此時(shí)ω0=0.5513,τ0=2.6332,通過驗(yàn)證可以得到假設(shè)(H5)—(H10)均成立.根據(jù)定理2,當(dāng)τ=2.6＜τ0=2.6332時(shí),模型(2)在E*處是局部漸近穩(wěn)定的,仿真結(jié)果如圖4 所示;當(dāng)τ=2.655＞τ0=2.6332 時(shí),模型(2)在E*處變得不穩(wěn)定,仿真結(jié)果如圖5 所示.

從圖4 和圖5 可以看出,當(dāng)時(shí)滯τ小于分岔閾值τ0時(shí),三種狀態(tài)的網(wǎng)民密度趨于固定值,這表明此時(shí)人群中始終存在固定數(shù)量的謠言已知者;當(dāng)時(shí)滯τ大于分岔閾值τ0時(shí),三種狀態(tài)的網(wǎng)民密度呈現(xiàn)出周期振蕩,意味著謠言在社交網(wǎng)絡(luò)中持續(xù)存在且周期性地傳播,在增加謠言治理難度的同時(shí)也帶來了新的風(fēng)險(xiǎn).圖6(a)是τ=2.6 時(shí)模型(2)在位置x=4 處的相圖,圖6(b)則是τ=2.655 時(shí)模型(2)在位置x=4 處的相圖.

圖5 當(dāng) τ=2.655＞τ0=2.6332 時(shí)模型(2)的波形圖Fig.5.Waveform plots of model (2) with τ=2.655＞τ0=2.6332 .

圖6 模型(2)在位置x=4 處的相圖 (a) τ=2.6;(b)τ=2.655Fig.6.Phase diagram of model (2) at x=4: (a) τ=2.6;(b) τ=2.655.

最后,研究飽和因子α對(duì)模型(2)穩(wěn)定性的影響.為方便討論,取d1=d2=d3=0,其他參數(shù)不變,選取不同的α.從表1 可以看出,隨著I種群數(shù)量的飽和因子α增大,對(duì)辟謠效果的抑制作用也增大,人群中謠言已知者I的密度變大,謠言未知者S和恢復(fù)者R的密度則減小,并且謠言在社交網(wǎng)絡(luò)中發(fā)酵期時(shí)滯的分岔閾值τ0減小.

表1 不同α 對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn)與分岔閾值Table 1.Equilibrium point and bifurcation threshold for different α.

圖7 是τ=2.4 時(shí)謠言已知者I的密度在α不同取值情況下的波形圖.顯然,α的增大不僅會(huì)使得謠言在更大范圍內(nèi)傳播,還會(huì)延長謠言從產(chǎn)生到趨于穩(wěn)定的時(shí)間,并且?guī)砀蟮膫鞑シ逯?

圖7 不同α 取值時(shí)I 的波形圖Fig.7.Waveform of I with different values of α.

5 結(jié)論

本文將發(fā)酵期時(shí)滯、空間擴(kuò)散以及飽和辟謠函數(shù)引入到傳統(tǒng)SIR 謠言傳播模型中,研究了謠言在社交網(wǎng)絡(luò)中傳播的時(shí)空動(dòng)態(tài)演化特性.首先,在穩(wěn)定的無時(shí)滯謠言傳播模型中引入擴(kuò)散項(xiàng),給出模型發(fā)生Turing 不穩(wěn)定的條件,證明了Turing 不穩(wěn)定正是由擴(kuò)散誘導(dǎo)的.其次,選取發(fā)酵期時(shí)滯作為分岔參數(shù),給出模型產(chǎn)生Hopf 分岔的條件及分岔閾值τ0的表達(dá)式.當(dāng)τ＜τ0時(shí),含有擴(kuò)散項(xiàng)的謠言傳播模型是穩(wěn)定的;當(dāng)τ＞τ0時(shí),模型失去穩(wěn)定性并發(fā)生Hopf 分岔.最后,在數(shù)值仿真部分驗(yàn)證了前文的結(jié)論,并且模擬了I種群數(shù)量的飽和因子α對(duì)于謠言傳播的影響.α的增長表示I出現(xiàn)嚴(yán)重的擁擠現(xiàn)象,辟謠效果被削減,分岔閾值τ0減小,傳播峰值增大.這些結(jié)論為謠言預(yù)防和治理提供了新的理論依據(jù).因此,監(jiān)管仍處于發(fā)酵期的謠言,提高辟謠信息發(fā)布的時(shí)效性,加大對(duì)特定人群的辟謠力度,是構(gòu)建良好社交網(wǎng)絡(luò)環(huán)境的重要內(nèi)容.當(dāng)前,本文主要研究的是時(shí)間滯后與空間擴(kuò)散對(duì)社交網(wǎng)絡(luò)中謠言傳播的影響,在未來的工作中將進(jìn)一步考慮多渠道對(duì)謠言傳播的影響并繼續(xù)研究分岔方向與分岔周期解的穩(wěn)定性.