劉永波， 任江龍

(中水北方勘測(cè)設(shè)計(jì)研究有限責(zé)任公司，天津 300222)

0 引 言

近幾年來(lái)我國(guó)超長(zhǎng)輸水隧洞工程越來(lái)越多，這些工程一般位于高海拔地區(qū)、空間跨度大，為工程選擇合適的坐標(biāo)系統(tǒng)、投影方法和投影高程面，成為影響隧洞投影變形的主要因素。減小高海波地區(qū)投影變形的常用方法有高斯二級(jí)逆向法和橢球膨脹法。本文對(duì)這兩種投影方式進(jìn)行對(duì)比并進(jìn)行優(yōu)化，根據(jù)不同工程特征，選用合適的高程面變換方法。

1 高斯二級(jí)逆向方法

高斯二級(jí)逆向法計(jì)算原理為，先計(jì)算投影起算點(diǎn)到各個(gè)控制點(diǎn)的方向和距離，該方向和距離計(jì)算都是在高斯平面上進(jìn)行，而后經(jīng)過(guò)方向改化和距離改化，化算到橢球面上，方向和距離改化方法按下面公式進(jìn)行，再將距離按大地高比例放大到歸算高程面上。

2 橢球膨脹法

橢球膨脹法是指沿地面上一點(diǎn)的法線方向?qū)E球面抬高到所需要的高度dh，膨脹后橢球的中心保持不變, 方向保持不變, 橢球扁率保持不變。由于橢球面具有各向異性, 所以膨脹后原法線不一定再與新的橢球面垂直, 這時(shí)可以求得新橢球的長(zhǎng)半軸的變化。

由于高程投影面變換后的兩個(gè)橢球面不是嚴(yán)格平行的，所以高程投影面高差H和橢球長(zhǎng)半徑的變換量da也不是嚴(yán)格相等，并且橢球變換后的同一點(diǎn)緯度值也會(huì)發(fā)生變化。如圖1所示，橢球面的不平行性導(dǎo)致E2橢球面上P2點(diǎn)處的法線方向不再沿直線P1P2的方向。

圖1 橢球膨脹法投影原理

經(jīng)過(guò)公式推導(dǎo)，假設(shè)P2點(diǎn)在E2橢球上的大地緯度B2已知，則可橢球E2橢球的卯酉圈曲率半徑N2及E2橢球的長(zhǎng)半徑a2：

借助地心緯度D2，可得

推得橢球膨脹后的緯度B2

根據(jù)a2、B2可計(jì)算出橢球膨脹后的高斯平面坐標(biāo)。

3 橢球膨脹法和高斯二級(jí)逆向邊長(zhǎng)比較

本文針對(duì)兩個(gè)隧洞工程，分別采用高斯二級(jí)逆向法和橢球膨脹法進(jìn)行邊長(zhǎng)投影計(jì)算，對(duì)投影產(chǎn)生的邊長(zhǎng)變形進(jìn)行比較分析，見(jiàn)表1。

表1 東北地區(qū)某隧洞工程橢球膨脹法與高斯二級(jí)逆向方法邊長(zhǎng)比較

在高斯分帶寬度較小的情況下，橢球膨脹法和高斯二級(jí)逆向方法投影所得邊長(zhǎng)相差較小，見(jiàn)表2。

表2 某穿秦嶺隧洞工程橢球膨脹法與高斯二級(jí)逆向方法邊長(zhǎng)比較

從表2分析得出，在東西跨度較大的隧洞工程中，橢球膨脹法比輻射投影變形邊長(zhǎng)要長(zhǎng)，距離投影中央子午線越遠(yuǎn)，兩種投影方式的邊長(zhǎng)差值越大。究其原因，是由于輻射投影法完全不僅消除了測(cè)區(qū)高出橢球面的邊長(zhǎng)投影變形，亦消除了高斯投影長(zhǎng)度變形，因而理論上高斯二級(jí)逆向方法完全消除了兩種長(zhǎng)度變形。橢球膨脹法僅僅消除了投影面高出參考橢球面的長(zhǎng)度變形，沒(méi)有消除掉偏離中央子午線的投影變形。

4 某穿秦嶺隧洞工程投影方案

通過(guò)對(duì)高斯二級(jí)逆向和橢球膨脹法兩種投影方法進(jìn)行比較，綜合角度變形和邊長(zhǎng)變形兩種因素，最終選擇橢球膨脹法作為該工程的投影變形控制方法。

以某穿秦嶺地區(qū)隧洞為例，該隧洞位于北緯34度至36度區(qū)間內(nèi)，在偏離中央子午線40分情況下，偏離中央子午線距離為61.6 km。在按國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)分帶情況下，高斯投影兩端變形為：+ 4.68 cm/km，中央子午線處變形為0，此時(shí)變形時(shí)超出規(guī)范要求的±2.5 cm/km。為使投影變化滿足規(guī)范要求，在橢球膨脹提升時(shí)少比測(cè)區(qū)平均高程面少提升一定高度h，使得中央子午線處投影變形為一負(fù)值，分區(qū)兩端變形為一正值。經(jīng)過(guò)測(cè)算該h=150 m，該h值產(chǎn)生的變形值為-2.34 cm/km。最終每個(gè)分帶中央子午線投影變形為-2.34 cm/km，分帶兩端變形為2.34 cm/km。達(dá)到了東西方向隧洞工程投影分帶最少，又能滿足工程測(cè)量規(guī)范中投影長(zhǎng)度變形小于每公里2.5 cm/km的要求。

5 結(jié) 論

對(duì)于前期勘測(cè)設(shè)計(jì)階段使用國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)3度分帶高斯投影，后期施工階段把設(shè)計(jì)圖紙轉(zhuǎn)換高程面的情況，高斯二級(jí)逆向方法較為適合，這種方法不僅能夠消除投影高程面高出參考橢球面的變形，同時(shí)能消除高斯投影變形，理論上完全能夠消除邊長(zhǎng)投影變形。

如果前期勘測(cè)設(shè)計(jì)階段和施工階段為同一坐標(biāo)系統(tǒng)，將前期地形圖直接投影到施工高程面，這種情況宜采用橢球膨脹法進(jìn)行高程面投影變換，因橢球膨脹法理論上仍是傳統(tǒng)高斯投影，在地形圖測(cè)量的各個(gè)工序，如RTK、機(jī)載Lidar激光點(diǎn)云處理等各種軟件對(duì)橢球膨脹法數(shù)學(xué)模型支持較好。