涂 立，汪 彥

(1. 電子科技大學(xué)中山學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，廣東 中山 528402；2. 湖南城市學(xué)院 信息與電子工程學(xué)院，湖南 益陽 413000)

隨著網(wǎng)絡(luò)和多媒體通信的高速發(fā)展，視頻技術(shù)在生活中得到了廣泛應(yīng)用.由于網(wǎng)絡(luò)具備開放性的特點(diǎn)，圖像視頻信息的安全性受到了公眾的廣泛關(guān)注與重視，其相關(guān)研究顯得非常重要.在視頻圖像安全研究領(lǐng)域，加密是最為有效的方法，但是視頻的數(shù)據(jù)量比常規(guī)的靜態(tài)圖像要大，而且要求有一定的實(shí)時(shí)性，因此，對(duì)視頻的加密技術(shù)提出了更高的要求.

混沌系統(tǒng)具有良好的偽隨機(jī)性和對(duì)初值的高度敏感性，因此其被作為一種創(chuàng)新型研究應(yīng)用于加密系統(tǒng)中.1989 年，著名數(shù)學(xué)家Robert A J Matthews 首次將混沌理論應(yīng)用于保密通信，并提出了一種基于改進(jìn)的Logistics 映射的數(shù)據(jù)加密方法.此后，大批學(xué)者在混沌加密研究方面取得了豐碩的研究成果.如Chen 等[1]提出先利用三維貓映射置亂加密，再利用混沌序列進(jìn)行混合加密的算法；張錯(cuò)玲等[2]提出了基于Lorenz 超混沌理論的圖像加密算法；朱艷平[3]提出了基于CNN 超混沌的視頻加密新算法；Elamir 等[4]提出了由混沌映射和DNA 計(jì)算編碼規(guī)則組合而成的密鑰加密新算法；?，摰萚5]改進(jìn)了約瑟夫遍歷問題，將其與DNA 編碼技術(shù)相結(jié)合并應(yīng)用到圖像加密中.以上加密算法均屬于低維混沌映射，動(dòng)力方程簡(jiǎn)單，密鑰的敏感性不夠高，所設(shè)計(jì)的密鑰系統(tǒng)的密鑰空間較小，使得加密算法不夠安全.為了在安全性和穩(wěn)定性等方面均達(dá)到較好的效果，還需要進(jìn)一步研究新的視頻加密算法.

因此，本文基于Lorenz 和Duffing 復(fù)合超混沌系統(tǒng)，提出了一種新的視頻圖像加密算法，并對(duì)其加密效果等相關(guān)性能進(jìn)行了仿真測(cè)試.

1 混沌系統(tǒng)理論

1.1 Lorenz 混沌系統(tǒng)

1963 年，美國(guó)氣象學(xué)家Lorenz 提出了混沌理論(Chaos)，指出在三階非線性自治系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)非周期的無規(guī)律行為[6-9].Lorenz 系統(tǒng)方程式可表示為

將步長(zhǎng)固定為0.01，并分別取a=10、b=28、c=8/3(組合參數(shù)1)和a=20、b=30、c=5/3(組合參數(shù)2)，經(jīng)過迭代計(jì)算，可以得到圖1 所示的Lorenz系統(tǒng)吸引子圖.由圖1 可知，選取一定的參數(shù)組合，Lorenz 系統(tǒng)可表現(xiàn)為混沌狀態(tài).

圖1 Lorenz 系統(tǒng)吸引子圖

1.2 Duffing 混沌系統(tǒng)

Duffing 混沌系統(tǒng)方程式可表示為

其中，k為Duffing 系統(tǒng)的阻尼系數(shù)[10-12]；x(t)+x3(t)為系統(tǒng)恢復(fù)力；Acosωt為外加周期激勵(lì).

當(dāng)參數(shù)ω取值為1 時(shí)，Duffing 系統(tǒng)方程可以簡(jiǎn)化為

當(dāng)選取參數(shù)k=0.1、a=48 時(shí)，該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，其X-Y平面的相圖以及變量x的時(shí)域響應(yīng)如圖2 所示.

圖2 Duffing 系統(tǒng)相圖和變量x 時(shí)域響應(yīng)圖

1.3 Lorenz-Duffing 復(fù)合混沌系統(tǒng)

將Duffing 混沌系統(tǒng)的方程轉(zhuǎn)換成等價(jià)方程，并且引入Duffing 方程的外部激勵(lì)w˙=gx，使得Duffing 系統(tǒng)成為自治系統(tǒng)；同時(shí)在Lorenz 系統(tǒng)中的第1 項(xiàng)加入dzu-w作為反饋控制器，以此連接2 個(gè)混沌系統(tǒng)，構(gòu)建一個(gè)六維Lorenz-Duffing復(fù)合混沌系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程式為

取圖3 所用參數(shù)進(jìn)一步分析，得到該系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)如圖4 所示.

圖3 六維混沌系統(tǒng)相圖

圖4 六維混沌系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)圖

由圖3～圖4 可知，新構(gòu)建的Lorenz-Duffing六維混沌系統(tǒng)有良好的混沌特性，可以應(yīng)用于視頻和圖像的加密.

2 算法步驟

視頻圖像加密算法的步驟如下：

1)用高清攝像頭實(shí)時(shí)采集視頻，采用H.264視頻編碼標(biāo)準(zhǔn)對(duì)原始視頻進(jìn)行壓縮并轉(zhuǎn)存為video 文件.

2)導(dǎo)入壓縮視頻，利用VideoReader 工具包讀取視頻信息(在4-Duint8 格式文件Frame 中).

3)將Frame 文件轉(zhuǎn)換成mov(k).cdata，其中k為視頻幀數(shù)，所得RGB 數(shù)據(jù)全部轉(zhuǎn)換成bmp 格式的圖片.

4)劃分k個(gè)數(shù)據(jù)存儲(chǔ)單元，讀取視頻轉(zhuǎn)換后圖片中的第i幅圖片，將該圖片的像素矩陣分解成紅(R(m,n))、綠(G(m,n))、藍(lán)(B(m,n)) 3 個(gè)分量，存儲(chǔ)在對(duì)應(yīng)的第i個(gè)數(shù)據(jù)存儲(chǔ)單元中.

5)利用Lorenz-Duffing 方程生成3 個(gè)一維混沌序列U、V、W，這3 個(gè)混沌序列的長(zhǎng)度均為待加密圖像的像素?cái)?shù)量m*n.

6)對(duì)3 個(gè)混沌序列進(jìn)行優(yōu)化.先取出序列值小數(shù)點(diǎn)后的第2、4、6 位小數(shù)，把這3 個(gè)數(shù)組成1 個(gè)3 位十進(jìn)制數(shù)，再把該十進(jìn)制數(shù)對(duì)256 求余數(shù)，生成優(yōu)化后的U1、V1、W1混沌序列.

7)對(duì)圖像進(jìn)行約瑟夫環(huán)位置加密.先在2～20取E和F2 個(gè)整數(shù)(F＜E)；再讀取視頻轉(zhuǎn)換后圖片中的第i幅圖片，并把該圖片的紅色分量部分(R(m,n))轉(zhuǎn)換成一維數(shù)組K（m*n）.

8)對(duì)紅色分量圖像R(m,n)進(jìn)行加密.即把數(shù)組K（m*n）中的m*n個(gè)元素依次排列成環(huán)，從K(1)開始報(bào)數(shù)至K(E)，把第F個(gè)數(shù)即K(F)取出來，放入J數(shù)組中；從K(E+1)開始，繼續(xù)從1 開始報(bào)數(shù)至E，取出第2 輪報(bào)數(shù)的第F個(gè)數(shù)，再放入數(shù)組J中；如此循環(huán)報(bào)數(shù)取值，直到K數(shù)組中的數(shù)值全部放入數(shù)組J中為止，得加密數(shù)組J（m*n）.

9)將步驟6)中所得U1、V1、W1轉(zhuǎn)換成m*n形式，即U1（m*n） 、V1（m*n） 、W1（m*n），并與J（m*n）依次進(jìn)行異或運(yùn)算，所得結(jié)果Ri(m,n)即為加密后的紅色分量圖像.

10)對(duì)第i幅圖片的綠色分量和藍(lán)色分量部分均采用相同方法進(jìn)行加密，可得加密后的Gi(m,n)和Bi(m,n).

11)將Ri(m,n)、Gi(m,n)和Bi(m,n)矩陣還原成加密視頻的像素矩陣F，即為第i幀加密后的視頻圖像.

12)循環(huán)執(zhí)行上述加密步驟，完成所有原始圖片加密工作，并把所有加密幀進(jìn)行重新整合，得到最終的密文視頻流.

解密過程是加密過程的逆運(yùn)算，收、發(fā)均采用相同的混沌序列參數(shù)，原始視頻信號(hào)才能從加密視頻信號(hào)中解調(diào)出來.需要注意的是，整個(gè)解密過程需要先進(jìn)行像素值的灰度解密，再進(jìn)行約瑟夫環(huán)位置解密，否則無法得到正確的解密視頻.

3 仿真測(cè)試與結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境和視頻圖像加密

實(shí)驗(yàn)環(huán)境：硬件系統(tǒng)為 Intel Core(TM)i5-7400 CPU E5300@3.0 GHz，8.00 GB 內(nèi)存的計(jì)算機(jī)；軟件系統(tǒng)包括Microsoft Windows 10 專業(yè)版操作系統(tǒng)和Matlab 7.10.0.499 (R2010a)版本仿真軟件.

實(shí)驗(yàn)以所得第20 幀圖像作為原始圖像對(duì)視頻進(jìn)行轉(zhuǎn)換，如圖5(a)所示.經(jīng)紅色分量轉(zhuǎn)換后的灰度圖像如圖5(b)所示(以下實(shí)驗(yàn)均以圖5(b)作為仿真圖像).

圖5 第20 幀采樣圖像

選取參數(shù)a=10、b=8/3、c=28、d=-2.5、e=0.6、f=-8 和g=9.7，變量x、y、z、u、v、w初值均為1，時(shí)間步長(zhǎng)為 0.01，進(jìn)行迭代計(jì)算，得到U1、V1、W1 3 個(gè)長(zhǎng)度為65 536 的一維序列；將約瑟夫環(huán)位置加密參數(shù)設(shè)置為E=7 和F=4，對(duì)第20 幀原始彩色圖像(圖5(a))經(jīng)紅色分量轉(zhuǎn)換后的灰度圖像(圖5(b))進(jìn)行加密，得到其約瑟夫環(huán)加密圖如圖6(a)所示；進(jìn)一步對(duì)該加密圖進(jìn)行像素值加密，得到的最終加密效果圖如圖6(b)所示.

圖6 圖像加密

3.2 直方圖分析

直方圖(histogram)又被稱為柱狀圖，是一種統(tǒng)計(jì)報(bào)告圖.圖像的直方圖被用來統(tǒng)計(jì)圖像像素點(diǎn)出現(xiàn)的數(shù)量，其中橫坐標(biāo)表示圖像的像素值；縱坐標(biāo)表示該像素值出現(xiàn)的次數(shù).直方圖能夠很直觀地反映出圖像加密的效果，即對(duì)于加密圖像，若其加密安全性能高，那么它各像素點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)是比較均勻的.圖像加密前后的直方圖如圖7 所示.

圖7 直方圖分析

由圖7(a)可知，加密前各像素級(jí)的像素分布波動(dòng)非常大，其中一些像素值出現(xiàn)的頻率很大，而另一些像素值出現(xiàn)的頻率就非常小.圖7(b)是圖像加密后的直方圖(密文圖像).由圖7(b)可知，加密后各像素級(jí)的像素分布非常均勻，因此掩蓋了原始圖像各像素級(jí)像素的分布規(guī)律，能夠很好地抵御統(tǒng)計(jì)分析學(xué)的進(jìn)攻.

3.3 相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)性分析

圖片像素相關(guān)性[13]被用來表示圖像中2 個(gè)像素點(diǎn)間的關(guān)系，它可以準(zhǔn)確地反映加密算法的加密效果.相關(guān)性系數(shù)可用協(xié)方差表示，其計(jì)算公式為

相關(guān)性系數(shù)Cab范圍為0～1，其值越接近1，說明圖像相關(guān)性越強(qiáng)，加密效果越差；其值越接近0，說明圖像相關(guān)性越弱，加密效果越好.

從明文圖像和密文圖像中各取5 000 個(gè)位置相同的像素點(diǎn)，分別計(jì)算出這些相鄰像素點(diǎn)在水平、垂直和對(duì)角線方向的相關(guān)系數(shù)，結(jié)果如表1所示.

表1 相鄰像素的相關(guān)系數(shù)

由表1 可知，明文圖像中相鄰像素的相關(guān)系數(shù)比較大，表明相鄰的像素具有高度相關(guān)性；密文圖像中相鄰像素的相關(guān)性系數(shù)均值為0.003 17，接近0，表明相鄰的像素已基本不相關(guān).這說明所提算法的加密效果具有非常好的擴(kuò)散性和加密性，對(duì)統(tǒng)計(jì)分析攻擊具有良好的抵御性.

通常，還可以采用圖像3 個(gè)方向(水平、垂直和對(duì)角線)上相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)性分析來了解其加密效果.從明文圖像和密文圖像中各選取5 000 個(gè)像素點(diǎn)，分析其水平、垂直和對(duì)角線相鄰的相關(guān)性，結(jié)果分別如圖8～圖10 所示.

圖8 水平相鄰像素相關(guān)性分析

圖9 垂直相鄰像素相關(guān)性分析

圖10 對(duì)角相鄰像素相關(guān)性分析

由圖(8)～圖(10)可以看出，明文圖像選取出來的點(diǎn)與相鄰點(diǎn)的數(shù)值是非常接近的，而密文圖像選取出來的點(diǎn)與相鄰點(diǎn)沒有明確的線性相關(guān)，呈混沌分布狀態(tài).

3.4 MSE 和PSNR 分析

MSE(mean squared error)為均方誤差，是衡量“平均誤差”的一種較方便的方法.其值越小，說明原始圖像與加密圖像間的聯(lián)系越小.其計(jì)算表達(dá)式為

PSNR(peak signal to noise ratio)表示峰值信噪比，其單位為dB.PSNR越大，表示圖像失真程度越少；反之，圖像的失真程度越大.但對(duì)加密圖像來說，PSNR越小，加密效果越好.其計(jì)算表達(dá)式為

3.5 密鑰敏感性分析

由圖11 可知，即使密鑰參數(shù)發(fā)生極微小的變化，也不能成功解密，這說明本加密算法的密鑰具有很高的敏感性.

圖11 不同密鑰參數(shù)的解密效果

當(dāng)密鑰參數(shù)細(xì)微變化時(shí)，經(jīng)重新計(jì)算，得出解密圖像的MSE和PSNR，結(jié)果如表2 所示.

表2 密鑰敏感性分析

由表2 可知，所有情形下解密圖像的MSE均非常大，PSNR均很小.這說明解密圖像的失真程度很大，所提加密算法的密鑰敏感性很高，具有較高安全性.

3.6 信息熵分析

信息熵是指某種指定信息出現(xiàn)的概率，它可以體現(xiàn)出一個(gè)系統(tǒng)的有序化程度.信息熵的值越小，表示系統(tǒng)有序性越好；信息熵的值越大，表示系統(tǒng)越混亂.在圖像加密中，信息熵可被用來表示圖像中灰度值的分布情況及其出現(xiàn)概率，即其值越大，表示圖像中灰度分布越均勻，加密算法的保密性就越強(qiáng)；反之，加密效果就越差.

信息熵[14]計(jì)算公式為

3.7 密鑰空間分析

密鑰空間是一項(xiàng)用來衡量加密算法抵御暴力攻擊的重要指標(biāo).如果要抵御暴力破解，加密算法的密鑰空間的長(zhǎng)度至少要達(dá)到100 位[15].本加密方法中使用的加密參數(shù)x、y、z、u、v、w均可作為密鑰，假設(shè)密鑰敏感性為10-10，且僅考慮參數(shù)u、v、w(其中u=[-1.7，1.7]、v=[-2.6，2.6]、w=[-115，115])，則u、v、w的取值分別有3.4×1010、5.2×1010和2.3×1012種可能.整個(gè)算法的密鑰空間為4.066×1032，密鑰空間長(zhǎng)度為108 位，若用1臺(tái)2.6 GHz 主機(jī)進(jìn)行破解，所需時(shí)間為4.33×1015a，窮舉搜索破解幾乎不可能實(shí)現(xiàn).

4 結(jié)論

1)基于Lorenz 和Duffing 低維混沌系統(tǒng)，構(gòu)建了高維復(fù)合混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)包含多個(gè)參數(shù)和自變量，具有更好的混沌特性和更大的混沌區(qū)間.

2)針對(duì)Lorenz-Duffing 高維復(fù)合混沌系統(tǒng)所提出的視頻圖像加密算法擴(kuò)展了密鑰空間，使得暴力和已知明文攻擊等破解方法更難解密，其具有更高的安全性，也具有更好的加密效果.