陳昊昱，GUO Edward，李琛琛，馬魯寬，趙鴻鐸

（1. 同濟大學道路與交通工程教育部重點實驗室，上海 201804；2. 銀河科學公司，納舒 厄NJ 08234）

剛性鋪面具有強度高、日常養(yǎng)護量小、使用年限長、取材方便等優(yōu)點，廣泛應用于我國的機場鋪面及公路路面建設。目前，我國機場剛性鋪面與水泥混凝土路面均以鋪面板在板邊中部自下而上的疲勞開裂（Bottom-up裂縫）作為設計控制的損壞模式，并且設計年限均為20 年以上［1］。然而，在實際使用過程中，鋪面板早期開裂損壞普遍，并且大多為自上而下的板邊、角開裂（Top-down 裂縫）［2］。除了水泥混凝土等材料因素外，此類開裂損壞通常是由2 個原因造成：一是板邊、角下出現(xiàn)板底沖刷型脫空，在荷載作用下，板頂彎拉應力激增，加劇了Top-down 裂縫的出現(xiàn)［3］；二是溫度荷載作用導致剛性鋪面板出現(xiàn)翹曲變形，特別是負溫度梯度作用使得板邊、角出現(xiàn)板底溫度翹曲型脫空，在荷載與溫度耦合作用下，最大彎拉應力出現(xiàn)于板頂［4］，使得板角與板邊過早出現(xiàn)Top-down裂縫。而剛性鋪面板一旦出現(xiàn)開裂，其結構完整性受到破壞，結構壽命急劇減小，因此延緩剛性鋪面開裂，對提高鋪面結構的服役壽命、保障鋪面使用性能具有重要意義。

目前，國內(nèi)外除了改善水泥混凝土材料本身及鋪面施工技術防止開裂之外，主要通過2 種方法解決鋪面開裂問題。第一種為及時檢測并處治鋪面板底沖刷型脫空，以防止荷載作用下板頂面產(chǎn)生過大的彎拉應力，如利用落錘式彎沉儀、探地雷達、分布式光纖［5］等技術檢測板底脫空，并通過注漿、壓漿［6］的方式對脫空進行及時處治。這種方式可以在一定時間范圍內(nèi)改善脫空對鋪面板使用壽命造成的影響，但是注漿、壓漿等處治工藝會對鋪面結構連續(xù)性產(chǎn)生一定損壞，并且其會對交通產(chǎn)生影響。另一種措施為在鋪面結構中增設鋼筋形成新結構，包括鋼筋鋪面結構、連續(xù)配筋鋪面結構［7］與斜向預應力鋪面結構，可以在提高鋪面結構承載力的同時減少鋪面結構的橫縫數(shù)量，從而減緩裂縫的生成。然而，這種方式也會對鋪面結構的施工以及材料性能提出更高的要求。

基于上述分析，本文從剛性鋪面結構特性出發(fā)，基于試驗和理論推導，分析了剛性鋪面結構開裂與剛度的關系，提出了結構剛度的概念與平衡剛度設計理念；隨后，通過足尺實驗，以驗證平衡剛度設計理念對開裂的改善效果；在此基礎上，給出了平衡剛度剛性鋪面結構的一般形式，并考慮工程應用設計了一種原型結構。

1 剛性鋪面結構平衡剛度設計理念

1.1 傳統(tǒng)剛性鋪面結構的開裂方式

工程實踐表明，剛性鋪面結構在使用過程中較早在邊角處出現(xiàn)Top-down裂縫。為探究Top-down裂縫的形成機理，2000 年美國聯(lián)邦航空管理局（Federal Aviation Administration，F(xiàn)AA）設立國家機場鋪面測試中心（National Airport Pavement Test Facility，NAPTF），并進行了第一輪足尺加速加載測試CC1（construction circle one）。試驗對象為45塊6m×6m×0.3m的水泥混凝土鋪面板，經(jīng)過28個加載周期，在其中30塊板中出現(xiàn)開裂現(xiàn)象，如圖1所示。通過對試驗結果的分析可以看出［8］，盡管在試驗過程中并未出現(xiàn)因為基層損壞而導致的脫空現(xiàn)象，但是在溫度翹曲與溫度應力的雙重作用下，仍然會出現(xiàn)大量的板角Top-down開裂。

圖1 CC1試驗鋪面結構開裂分布Fig.1 Cracking map of CC1

2006 年FAA 進行了第二輪足尺加速加載測試CC2［9］，試驗中出現(xiàn)的裂縫按照產(chǎn)生時間的先后進行編號，記錄如圖2所示。在該試驗段中，水泥混凝土鋪面板厚為0.3m，下方均鋪設粒料基層，荷載加載區(qū)域為圖中灰色區(qū)域，同時在實驗過程中利用在鋪面板表面周期性灑水的方式嚴格控制鋪面溫度，有效防止了翹曲現(xiàn)象和溫度應力的產(chǎn)生。試驗結果表明，最早出現(xiàn)的裂縫為位于S19、S18、S17 這3 塊板上的1～5 號裂縫，起始開裂位置處于荷載作用位置外的橫縫處，屬于Top-down 裂縫；出現(xiàn)于荷載作用范圍內(nèi)，貫穿整塊板的裂縫（20號、28號、96號等）屬于Bottom-up裂縫，出現(xiàn)的時間較晚，但是數(shù)量較多。從試驗結果可以看出，盡管消除了溫度應力、脫空等影響因素，使板角產(chǎn)生的Top-down裂縫數(shù)量有所減少，但是總體裂縫數(shù)量仍然較多，并未有效改善剛性鋪面板的開裂。

圖2 CC2試驗鋪面結構開裂分布Fig.2 Cracking map of CC2

上述試驗表明，溫度應力、脫空會影響板角Top-down 裂縫的數(shù)量，但是并非導致Top-down 開裂的根本原因，并且通過控制溫度與保證基層的完整度也無法有效改善剛性鋪面板的整體開裂情況。

1.2 傳統(tǒng)剛性鋪面結構的開裂機理

為探究傳統(tǒng)剛性鋪面結構的開裂機理，首先基于Westergaard 的理論解對鋪面板在荷載作用于板中、板邊、板角3 個荷位時產(chǎn)生的撓度與應力進行分析。

荷載作用于板中部位，有

式中：ωi、ωe、ωc以及σi、σe、σc分別為荷載作用于板中、板邊與板角時鋪面板產(chǎn)生的撓度與應力；P為荷載；k為Winkler 地基模量；h為鋪面板的厚度；l為鋪面板與地基的相對剛度半徑；δ為荷載圓半徑；E、μ分別為混凝土材料的彈性模量與泊松比。

由式（1）-（6）可得，σe＞σc＞σi，ωe＞ωc＞ωi，即在同一輪載與鋪面結構條件下，板邊中部受荷時產(chǎn)生的最大撓度值與應力值最大，板角次之，板中最小。而在荷載和溫度耦合作用下，板角受荷產(chǎn)生的最大撓度值與應力值在其翹起時則會超過板邊中部［1］。這是剛性鋪面結構出現(xiàn)Bottom-up 和Topdown開裂的理論基礎。

剛度是描述材料或物體在受力時抵抗變形的能力，根據(jù)受力模式，可分為彎曲剛度、剪切剛度、扭轉剛度等，此類剛度僅與材料性質、截面特性有關。根據(jù)剛度的定義，本文提出結構剛度的概念，即當荷載作用于具有一定邊界條件的結構上某處時，結構在該處產(chǎn)生的形變與荷載的比值稱為結構在該處的結構剛度，如式（7）所示。因此，結構剛度不僅與材料性質、截面特性有關，也受到邊界條件的影響。對于鋪面板而言，在相同荷載作用下，某處的撓度越大說明鋪面板在該處的結構剛度越低。

式中：ω為該處在荷載作用下產(chǎn)生的撓度；K為鋪面板在該處的結構剛度。

對于傳統(tǒng)等厚度剛性鋪面結構，利用式（7）與式（1）、（3）、（5）對鋪面板在板中、板邊、板角處的結構剛度Ki、Ke、Kc進行計算，可得

圖3 為不同板厚下傳統(tǒng)鋪面板在板中、板邊中部、板腳荷位處的結構剛度的對比。可以看出，傳統(tǒng)鋪面板在板角與板邊中部的結構剛度遠低于板中，故在同一荷載下生成的最大撓度與應力大于板中，更容易達到鋪面板的臨界應力而形成開裂。同時，當鋪面板翹曲或基層受損產(chǎn)生脫空時，由于邊界條件的改變，板角處由于缺乏支撐導致結構剛度進一步降低，最大彎拉應力出現(xiàn)于板頂橫縫處，從而形成板角Top-down開裂。

圖3 板中、板邊中部、板角處在荷載作用下的結構剛度Fig.3 Structural stiffness of center, edge and corner of the slab with load condition

1.3 平衡剛度設計理念

由上述分析可知，傳統(tǒng)剛性鋪面結構采用等厚度設計，鋪面板邊中部荷位與板角荷位結構剛度低于板中荷位，是一種非平衡剛度的結構，導致開裂在板邊形成的概率高于板中，同時在溫度應力、翹曲與脫空狀態(tài)下，板邊、角的結構剛度進一步降低，更易形成板邊、角的Top-down 開裂。相對而言，傳統(tǒng)剛性鋪面結構板中開裂的概率極低，說明板中荷位的結構剛度足夠抵抗開裂的產(chǎn)生。因此，本文考慮將傳統(tǒng)剛性鋪面結構等厚度設計原則轉變?yōu)槠胶鈩偠仍O計原則，即增加剛性鋪面板邊緣與板角部位的結構剛度，使其與板中結構剛度達到平衡，形成平衡剛度結構，從而降低板邊開裂的概率，延緩剛性鋪面板的開裂。

2 基于平衡剛度設計理念的剛性鋪面結構足尺加速加載試驗

為驗證平衡剛度設計理念對剛性鋪面結構開裂的緩解效果，依托FAA的NAPTF開展的CC6足尺加速加載試驗，驗證平衡剛度設計理念的合理性。

2.1 CC6試驗概述

CC6測試開始于2012 年，其主要目的是探究鋪面結構抗彎剛度對使用壽命的影響。試驗段總共由6 個剛性鋪面試驗區(qū)域組成，如圖4 所示，共包含76塊水泥混凝土鋪面板，尺寸為4.6m×4.6m，材料標號為P-501［10］。整個實驗段根據(jù)方向以中線劃分為南區(qū)（S）、北區(qū)（N）2個部分，其區(qū)別主要在于底基層材料，其中N區(qū)采用標號為P-403的HMA底基層，S區(qū)采用標號為P-306 的貧混凝土底基層。同時，試驗段依據(jù)鋪面板強度劃分為MRS-1、MRS-2、MRS-3這3個部分，各部分的強度如表1所示。

圖4 CC6試驗測試區(qū)域示意Fig.4 Test area of CC6

表1 CC6不同測試區(qū)域的剛性鋪面板強度Tab.1 Strength of rigid pavement slab in each area for CC6

選取的試驗區(qū)域為圖4 中灰色區(qū)域，其中標號為6N、7N、25N、26N、6S、7S、25S、26S 的板塊為傳統(tǒng)等厚度鋪面板，標號為13N、14N、32N、33N、13S、14S、32S、33S的板塊在傳統(tǒng)鋪面板的基礎上通過增加板邊厚度以提升邊緣抗彎剛度，從而提高結構剛度，屬于平衡剛度鋪面結構。2個試驗區(qū)域中鋪面結構均為四邊自由板塊（free-edges slab），基層采用粒料基層，標號P-154，地基為黏土地基，CBR 值為8。所選取試驗區(qū)的鋪面結構橫截面特性如圖5所示。

圖5 所選CC6測試試驗區(qū)鋪面結構的橫截面特性Fig.5 Cross section character of pavement structure in the selected CC6 test area

試驗區(qū)域的加載方式為模擬B-747 的雙軸雙輪荷載，如圖6、圖7 所示。加載過程中模擬了飛機輪跡的正態(tài)分布，加載區(qū)域為圖8 中陰影部分。加載過程按照荷載大小分為3 個等級，分別為Ⅰ級輪載200kN（45 000 磅）、Ⅱ級輪載231kN（52 000 磅）、Ⅲ級輪載311kN（70 000 磅），荷載大小與每一級荷載加載次數(shù)情況如表2所示。

表2 CC6實驗測試的荷載等級與作用次數(shù)Tab.2 Load class and load number for CC6

圖6 門架式加載設備Fig.6 Frame loading device

圖7 CC6試驗測試的荷載尺寸（單位：m）Fig.7 Load size in CC6（unit：m）

圖8 CC6測試的荷載加載區(qū)域Fig.8 Load area of CC6

2.2 試驗結果分析

試驗過程中針對試驗區(qū)域鋪面開裂情況進行了記錄，包括開裂的位置、裂縫的形狀、裂縫出現(xiàn)的時間、裂縫發(fā)展至1/2 板厚的時間以及對應的荷載等級與加載次數(shù)。本文所屬試驗區(qū)域內(nèi)的鋪面板中產(chǎn)生的裂縫情況記錄如圖9所示。所有發(fā)現(xiàn)的裂縫按出現(xiàn)次序編號，其中主要裂縫編號、出現(xiàn)的時間與對應的加載次數(shù)如表3所示。

表3 CC6測試的主要裂縫開裂情況Tab.3 Main cracking record for CC6

圖9 CC6測試試驗區(qū)域開裂情況Fig.9 Cracking in test area of CC6

2.2.1 結構剛度對結構開裂的影響

從裂縫記錄情況可以看出，位于6S、25S的傳統(tǒng)鋪面板最先出現(xiàn)開裂，出現(xiàn)的裂縫編號為128 號與136 號，分別在第6 402 與第8 382 次加載時出現(xiàn)，此時的荷載是200kN 的Ⅰ級荷載。位于7S、26S 的傳統(tǒng)鋪面板上出現(xiàn)的209號、227號裂縫分別于33 924次與34 650 次加載時出現(xiàn)，此時荷載級別為311kN的Ⅲ級荷載。然而，同樣位于S區(qū)的13S、14S、32S、33S這4塊平衡剛度鋪面板上，在3個等級的荷載全部加載結束后仍然未出現(xiàn)裂縫。

對于N 區(qū)鋪面結構，較早出現(xiàn)的開裂為位于傳統(tǒng)鋪面板6N、7N、25N、26N 上的157 號、158 號、159號、161 號、163 號、184 號裂縫，分別于18 876 次、20 064 次、20 658 次、22 044 次、22 836 次、29 833 次加載時出現(xiàn)，此時荷載等級為231kN 的Ⅱ級荷載。當荷載等級變?yōu)?11kN 的Ⅲ級荷載時，213 號、265號裂縫出現(xiàn)，對應的加載次數(shù)為34 650 次與36 366次。在同樣位于N 區(qū)的平衡剛度鋪面板13N、32N、33N上，裂縫246號、261號以及306號分別在35 706次、35 970 次、39 370 次加載時才出現(xiàn)，出現(xiàn)時間晚于多數(shù)傳統(tǒng)鋪面板上的裂縫。同時，加厚板邊鋪面板14N同樣在3個等級的荷載全部加載結束時仍然未出現(xiàn)裂縫。

主要裂縫的開裂時間軸如圖10所示，其中黑色標記為出現(xiàn)在加厚板邊鋪面結構上的裂縫。總體來看，平衡剛度鋪面結構產(chǎn)生裂縫的時間以及產(chǎn)生裂縫的數(shù)量均優(yōu)于傳統(tǒng)鋪面結構。為排除強度的影響，可以比較同樣位于MRS-2區(qū)的7N、26N、7S、26S的傳統(tǒng)鋪面板與平衡剛度鋪面板13N、32N、13S、32S，可以發(fā)現(xiàn)上述結論仍然滿足。

圖10 CC6測試鋪面結構開裂時間軸Fig.10 Time bar of cracking for CC6

2.2.2 基層類型對開裂的影響

從試驗結果可以看出，除了鋪面板邊緣厚度，基層類型對鋪面開裂同樣具有一定影響。對比位于剛性基層（貧混凝土基層）上的6S、25S2塊板與位于柔性基層（HMA基層）上的6N、25N這2塊板的開裂情況可以看出，128 號與136 號開裂時間（6 402 次與8 382次加載時）早于157號、158號裂縫的開裂時間（36 564次于37 356次加載時），但是裂縫發(fā)展至1/2板厚的時間（128號的35 970次加載，136號的34 914次加載；157 號的36 564 次加載，158 號的37 356 次加載）相差不多。前者先開裂是因為在溫度的影響下發(fā)生了翹曲，位于剛性基層上的鋪面板在發(fā)生翹曲時，板底與基層的接觸面積相較于柔性基層上的鋪面板更小，支撐不足而導致了裂縫的更早出現(xiàn)。上述結果表明，剛性基層可以在鋪面板開裂后幫助其更好地抵抗繼續(xù)開裂。

總體來看，位于剛性基層上的S 區(qū)鋪面結構裂縫產(chǎn)生的平均時間晚于位于柔性基層上的N區(qū)鋪面結構，同時產(chǎn)生的裂縫總數(shù)量也更少。

2.3 CC6試驗中結構的平衡剛度解析

（1）從2.2.1 節(jié)的結果可以看出加厚板邊的平衡剛度鋪面結構相較于傳統(tǒng)的等厚度鋪面結構具有更好的抗開裂效果。根據(jù)式（11）可知，加厚剛性鋪面板的邊緣部分顯著提升了板邊與板角的抗彎剛度，而根據(jù)式（7）可知，抗彎剛度的增加可以提升結構剛度，故荷載作用于邊角部位時產(chǎn)生的撓度與應力更小，提升了造成裂縫所需的應力上限，所以對開裂具有較為明顯的抑制作用。

（2）根據(jù)2.2.2 節(jié)的結果可以看出，剛性基層對剛性鋪面的開裂也具有良好的緩解作用。由于剛度較大的底基層可以為板邊提供良好支撐，增加了剛性鋪面板的板邊在垂直方向上的抗彎能力，降低了板邊在荷載作用下的垂直位移以及板頂產(chǎn)生的最大彎曲應力，減少了板邊裂縫產(chǎn)生的可能，提升了鋪面結構邊角處的結構剛度，與增加面層板邊緣的厚度具有同樣的效果。然而，在面層板下方全部布設剛性基層會導致面層板在溫度影響下產(chǎn)生翹曲時與基層的接觸面積減少，使鋪面結構的邊角處的結構剛度因缺少下方支撐而降至更低的水平，但是這種情況在柔性基層便有所改善，因為處于柔性基層上的鋪面板在溫度翹曲時（負溫度梯度作用下的向上翹曲）會使基層變形，鋪面板整體會產(chǎn)生向下的位移，邊角處下方仍然會受到基層的支撐，剛度的下降情況相較于前者有所緩和，如圖11 所示。同時，由于板中下方改為柔性基層，導致板中結構剛度有所下降，但是在實驗過程中仍然未發(fā)現(xiàn)板中開裂的現(xiàn)象，說明板中下方采用柔性基層的情況下，結構剛度仍然足以抵抗開裂。

圖11 剛性基層與柔性基層上面層翹曲變形示意Fig.11 Scheme of slab curling on rigid base and flexible base

總體來看，無論是增加面層板邊緣厚度，還是設置剛性基層，都可以提高剛性鋪面結構在板邊與板角處的結構剛度，具有良好的緩解開裂效果。上述分析表明，當荷載條件、邊界條件與材料性質不變的情況下，板邊、角處的結構剛度是影響剛性鋪面結構開裂的主要因素，同時也說明了平衡剛度設計的理念可以有效緩解鋪面結構的開裂。

3 平衡剛度剛性鋪面原型結構

3.1 平衡剛度剛性鋪面結構的一般形式

根據(jù)足尺加速加載試驗結果的分析可知，基于平衡剛度設計理念，通過增加鋪面板邊緣部位的厚度可以顯著提升邊緣區(qū)域的抗彎剛度，進而提升結構剛度，使其與板中的結構剛度形成平衡，從而有效延緩裂縫的生成時間、減少裂縫的產(chǎn)生數(shù)量。但是在實際建造的過程中，加厚板邊的面層板屬于異形板，對建造工藝的要求較高。

同樣從試驗結果可以看出，除了對板邊進行加厚，剛性基層也可以達到相同的效果。在試驗過程中由于鋪面板下方全部區(qū)域均為剛性基層，在提高結構邊緣結構剛度的同時，板中的結構剛度也被提高。但是面層板中部結構剛度本身就已足夠，在板中下方布設剛性基層的效果與意義遠小于在板邊與板角下方布設，同時這種布設方式會使鋪面板在溫度翹曲（負溫度梯度下的向上翹曲）的情況下產(chǎn)生較大的脫空區(qū)域，反而降低了邊角部位的結構剛度，增大了邊角開裂的概率。而在板中下方布設柔性基層雖然降低了板中的結構剛度，但是仍然足以抵御開裂的發(fā)生。

綜上所述，基于平衡剛度設計理念，提出一種平衡剛度剛性鋪面結構的一般形式。平衡剛度剛性鋪面結構同時采用剛性材料與柔性材料相結合的復合基層結構，即在面層板邊緣下方采用剛性基層，為面層邊緣提供足夠的豎向支撐以提高結構剛度；在面層板中心區(qū)域下方采用柔性基層，降低板中結構剛度的同時，可以在面層板產(chǎn)生溫度翹曲時為其提供更多的接觸面積以減小脫空區(qū)域，如圖12所示。由于提高了邊緣的結構剛度，降低了板中結構剛度，整體結構可以認為是一種平衡剛度結構，符合平衡剛度設計的理念。

圖12 3種基層結構對比Fig.12 Comparison of three base structure

3.2 梁基礎鋪面結構

基于平衡剛度剛性鋪面結構的一般形式，考慮工程應用，提出一種梁基礎鋪面結構。該結構主要由三部分組成，分別為混凝土鋪面板、混凝土基礎梁以及粒料基層。其中混凝土鋪面板為等厚度設計，混凝土梁布設在相鄰混凝土面層板的接縫下方，在面層板中間區(qū)域下方即混凝土梁包圍的區(qū)域內(nèi)填充碎石粒料。同時依據(jù)Guo在2009 年的研究［11］可知，采用傳力桿作為接縫的剛性鋪面結構，在冬季由于板的遇冷收縮，以剪力為主要傳荷形式的傳力桿式接縫的傳荷效果會明顯降低。梁基礎鋪面結構在接縫下方布設剛性基層，主要以壓力的形式傳遞荷載，降低了在不同溫度下接縫大小變化對傳荷效果的影響，相較傳力桿式接縫更為穩(wěn)定，所以面層板可以設置為無傳力桿的四邊自由板塊（free-edges slab），整體結構如圖13 所示。梁基礎鋪面結構在保證了平衡剛度設計理念的基礎上，降低了溫度翹曲產(chǎn)生的脫空，可以有效延緩結構的開裂；同時面層板、混凝土梁均為常規(guī)形狀的結構，其建造也可以通過預制裝配的方式［12］實現(xiàn)。

圖13 梁基礎鋪面結構Fig.13 Beam-based rigid pavement structure

4 結論

（1）傳統(tǒng)剛性鋪面結構開裂通常是由沖刷型脫空與溫度翹曲造成的，基于CC1與CC2足尺加速加載試驗結果，并結合Westergaard 理論解，可知傳統(tǒng)等厚度設計的鋪面為非平衡剛度結構，即板邊、板角部位結構剛度低于板中，撓度與應力較大，更易發(fā)生開裂。

（2）提出了剛性鋪面結構的平衡剛度設計理念，即提升結構邊緣部位的結構剛度，使其與板中間部位的結構剛度達到平衡，從而緩解剛性鋪面結構的開裂問題。

（3）CC6試驗結果表明，增加剛性鋪面結構的面層板邊緣部分厚度，從而提升邊緣結構剛度，可以顯著延緩裂縫產(chǎn)生的時間，減少裂縫產(chǎn)生的數(shù)量，驗證了平衡剛度設計理念的有效性。同時，試驗結果還表明，調節(jié)基層剛度同樣可以改善鋪面的結構剛度，但基層設置需要綜合考慮溫度翹曲變形的影響。

（4）提出了平衡剛度剛性鋪面結構的一般形式，即面層采用等厚度設計，基層采用剛性基層與柔性基層相結合的復合基層結構，并在此基礎上考慮工程應用設計了由混凝土面層板、混凝土基礎梁、碎石粒料組成的梁基礎鋪面結構。

提出了平衡剛度設計理念與基于該理念的原型結構，但尚未對原型結構進行建造與實驗研究，后續(xù)建議考慮結構性能、功能性能，針對原型結構的力學性能展開進一步研究，以驗證設計理念的有效性。

作者貢獻聲明：

陳昊昱：論文整體撰寫，提出梁基礎路面結構的具體形式。

Guo Edward：CC6實驗主要研究人員，提供實驗數(shù)據(jù)。

李琛琛：實驗數(shù)據(jù)整理，理論公式推導與計算。

馬魯寬：論文審定，論文整體結構指導。

趙鴻鐸：研究選題，提供研究思路和技術指導。