周佳豪， 潘洪斌， 蔡昌琦， 王凱， 周加喜

(湖南大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，湖南 長沙 410082)

空天資源的爭奪日益激烈，如何減小低頻微振動對航天器的指向精度和穩(wěn)定度的影響一直是該領(lǐng)域不可避免的挑戰(zhàn)。例如，NASA的SIM-PlanetQuest計(jì)劃所開發(fā)的光學(xué)干涉測量儀，其10 m柔性結(jié)構(gòu)受到來自旋轉(zhuǎn)反作用輪組件的機(jī)械振動必須控制在10 nm級；且各類航天器在低頻段1～10 Hz抖動量較大，對航天器影響相對高頻段更加明顯[1-2]。因此，隔離航天精密儀器的低頻微振動是提升其工作性能的關(guān)鍵[2-6]。

根據(jù)傳統(tǒng)的線性隔振理論，若要隔離低頻振動，則需降低隔振系統(tǒng)的固有頻率。然而，不管是單方面地減小剛度或者增大質(zhì)量，都會影響隔振系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及承載能力。因此，線性隔振理論無法解決低頻隔振問題。隨著非線性隔振理論的發(fā)展，準(zhǔn)零剛度隔振方法得到越來越多的關(guān)注。該方法可實(shí)現(xiàn)理想的高靜低動剛度特性，不僅能隔離低頻振動，還能承受較大的負(fù)載，可有效地解決低頻隔振問題[7-8]。

準(zhǔn)零剛度是指系統(tǒng)在平衡狀態(tài)時(shí)的動剛度很小甚至為零，其實(shí)現(xiàn)方法主要有2種：1)利用傳統(tǒng)的正負(fù)剛度構(gòu)件并聯(lián)，通過正負(fù)剛度相互抵消達(dá)到準(zhǔn)零剛度；2)通過柔性常力機(jī)構(gòu)在彈性變形時(shí)產(chǎn)生準(zhǔn)零剛度特性[9-10]。相對于利用多個元件組合實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度，第2種方式所需零部件極少，且利用一體化設(shè)計(jì)和增材制造技術(shù)加工能有效減小裝配誤差。

近年來，研究人員提出了多種多樣的準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)，以下列出幾種具有代表性的準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)。Carrella 等[11]提出了經(jīng)典的三彈簧模型，由作為承載的正剛度線性彈簧以及2根提供負(fù)剛度的斜彈簧構(gòu)成。Liu等[12]和Sun等[13]利用磁力彈簧替代負(fù)剛度元件來實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性，減小了構(gòu)件之間的摩擦所帶來的誤差。Shaw等[9]通過線性彈簧與復(fù)合雙穩(wěn)態(tài)板并聯(lián)構(gòu)造了一種準(zhǔn)零剛度隔振器，結(jié)果表明，相比等效的線性系統(tǒng)有著更低的起始隔振頻率和更低的響應(yīng)峰值。Xu等[14]提出了一種由傾斜連桿與水平磁彈簧并聯(lián)組成的準(zhǔn)零剛度隔振器，研究結(jié)果表明，準(zhǔn)零剛度隔振器在低頻區(qū)域隔震效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于線性隔振器。Zhou等[15]將2個凸輪-滾子-彈簧機(jī)構(gòu)和一個線性彈簧并聯(lián)構(gòu)成準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，此研究使準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)緊湊化。此外Sun等[16-17]提出了X形結(jié)構(gòu)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)。

單層準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)雖然能夠有效地隔離低頻甚至超低頻振動，但是效果還無法滿足精密儀器的隔振要求。若能對振動進(jìn)行多次衰減，隔振效果必定能夠得到提升，由此多層準(zhǔn)零剛度隔振應(yīng)運(yùn)而生。Wang等[18]提出了一種利用凸輪-滾子-彈簧機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)的2層準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，結(jié)果表明其在單層的基礎(chǔ)上顯著提升了隔振效果。Chai等[19]設(shè)計(jì)了一種新型的2層準(zhǔn)零剛度隔振器，結(jié)果表明相對于相應(yīng)的2層線性系統(tǒng)，2層準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)有著更低的起始隔振頻率以及更加優(yōu)異的隔振性能。Deng等[20]提出了多層準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，不僅有效地提高了隔振性能，并且明顯拓寬了準(zhǔn)零動剛度位移區(qū)間的有效范圍。

然而，利用多個正負(fù)剛度元件所構(gòu)成的準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)難以避免裝配誤差，若利用傳統(tǒng)準(zhǔn)零結(jié)構(gòu)進(jìn)行多層疊加，安裝精度將嚴(yán)重惡化隔振性能。對多段梁進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)可獲得柔性常力機(jī)構(gòu)，并實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性[10]，一體化加工不僅極大地減少了剛度元件的數(shù)量，而且避免了正負(fù)剛度元件并聯(lián)導(dǎo)致的安裝誤差。因此，可利用柔性恒力結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)多層準(zhǔn)零剛度低頻隔振超結(jié)構(gòu)。

本文首先利用形狀優(yōu)化方法設(shè)計(jì)了單層準(zhǔn)零剛度柔性結(jié)構(gòu)，然后基于大變形理論結(jié)合打靶法，分析了柔性結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)特性，并利用有限元仿真進(jìn)行了驗(yàn)證。將單層準(zhǔn)零剛度柔性結(jié)構(gòu)按豎向堆疊構(gòu)造了多層準(zhǔn)零剛度柔性隔振超結(jié)構(gòu)，建立了其有限元模型和多自由度簡化模型，研究了其隔振特性，并討論了阻尼和層數(shù)對隔振性能的影響。

1 單層準(zhǔn)零剛度柔性結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

1.1 設(shè)計(jì)方法

單層準(zhǔn)零剛度柔性隔振結(jié)構(gòu)如圖1(b)所示，其主要由2部分組成：1)作為承載平臺的上下多邊形環(huán)片；2)位于上下相鄰環(huán)片中間的12片具有準(zhǔn)零剛度特性的柔性多段梁，如圖1(b)所示。隔振結(jié)構(gòu)在受到沿縱向(z軸的負(fù)方向)不同壓縮量時(shí)，表現(xiàn)出不同的剛度值，特別是當(dāng)壓縮量在某個區(qū)間內(nèi)時(shí)，其剛度值接近于零剛度，即準(zhǔn)零剛度。

圖1 準(zhǔn)零剛度柔性隔振結(jié)構(gòu)示意Figure.1 Schematic diagram of quasi-zero stiffness flexible vibration isolation metastructure

多段梁的力-位移關(guān)系如圖1(c)所示。為在準(zhǔn)零剛度設(shè)計(jì)區(qū)間[a,b]實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性，即力-位移曲線在(a,af)點(diǎn)到(b,bf)點(diǎn)的范圍內(nèi)應(yīng)盡可能平坦。在準(zhǔn)零剛度設(shè)計(jì)區(qū)間內(nèi)，將最小的力除以最大的力定義為平坦度(平坦度=Fmin/Fmax×100%)。在剛度為零的情況下，最小的力等于最大的力，即平坦度為1。因此多段梁的設(shè)計(jì)目標(biāo)是在準(zhǔn)零剛度設(shè)計(jì)區(qū)間內(nèi)使平坦度與1的偏差最小化。

1.2 多段梁的優(yōu)化設(shè)計(jì)

單層結(jié)構(gòu)如圖1(b)所示，其主體結(jié)構(gòu)為具有準(zhǔn)零剛度特性的多段梁。由于單層隔振器是由12片相同的多段梁周期排布所組成，因此僅需取其中一片多段梁進(jìn)行設(shè)計(jì)優(yōu)化即可。如圖2中的虛線框所示，多段梁被限定在一個尺寸為Lx×Ly的矩形設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)。多段梁被節(jié)點(diǎn)n2和節(jié)點(diǎn)n3分成3段，節(jié)點(diǎn)n1和n4是多段梁的首末兩端點(diǎn)，固定于設(shè)計(jì)區(qū)域的邊界，而節(jié)點(diǎn)n2和n3處于設(shè)計(jì)區(qū)域，其坐標(biāo)是設(shè)計(jì)變量。

圖2 優(yōu)化設(shè)計(jì)變量和設(shè)計(jì)邊界示意Figure.2 Schematic diagram of optimized design variables and design boundaries

(1)

式中：ci0、ci1和ci2是待定系數(shù)?；谛螤蠲枋龇匠蹋梢越o出每段梁上各個點(diǎn)的坐標(biāo)(Lxi,Lyi)：

(2)

多段梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的優(yōu)化目標(biāo)以及約束條件：

(3)

其中，約束條件g1與g2要求多段梁上的每個點(diǎn)的位置不超出設(shè)計(jì)區(qū)間，確保優(yōu)化后多段梁整體都處在設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)；約束條件g3要求每段梁不會出現(xiàn)自我交叉現(xiàn)象；約束條件g4與g5保證多段梁的連續(xù)性；約束條件g6要求多段梁在變形過程中最大應(yīng)力在材料許用應(yīng)力范圍內(nèi)。優(yōu)化輸出結(jié)果為節(jié)點(diǎn)n2與節(jié)點(diǎn)n3坐標(biāo)位置以及每段梁的形狀描述方程系數(shù)ci0、ci1和ci2(i=1,2,3)。

利用Matlab中的fmincon函數(shù)求解式(3)的優(yōu)化問題，并在優(yōu)化求解過程中利用廣義打靶法求解多段梁的變形。如表1所示為優(yōu)化計(jì)算過程中的已知參數(shù)，在本文中多段梁優(yōu)化設(shè)計(jì)所用材料為聚乳酸(PLA)。優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

表1 已知參數(shù)Table1 Known parameters

表2 優(yōu)化結(jié)果Table2 Optimization results

獲得優(yōu)化結(jié)果后，進(jìn)一步計(jì)算優(yōu)化后多段梁的力與位移關(guān)系。由于多段梁的大變形過程屬于邊值問題，可以利用廣義打靶法進(jìn)行求解，結(jié)果如圖3所示。由圖3(a)可以看出在準(zhǔn)零剛度設(shè)計(jì)區(qū)間4～9 mm位移范圍內(nèi)力與位移曲線較為平坦，滿足設(shè)計(jì)要求。由圖3(b)可以看出在4～9 mm位移范圍內(nèi)剛度較小甚至等于零，進(jìn)一步驗(yàn)證了優(yōu)化結(jié)果滿足設(shè)計(jì)要求。

圖3 優(yōu)化結(jié)果顯示Fig.3 Optimization results showing

1.3 單層柔性隔振結(jié)構(gòu)的剛度特性

基于上節(jié)的優(yōu)化結(jié)果建立單層柔性隔振結(jié)構(gòu)的有限元模型，如圖4(a)所示，并對其進(jìn)行靜力學(xué)仿真。由于每個單層結(jié)構(gòu)都由12片相同的多段梁并聯(lián)組成，則疊加12片相同多段梁的回復(fù)力記可得到單層柔性隔振結(jié)構(gòu)的回復(fù)力。

由圖4(b)所示回復(fù)力與位移關(guān)系可以看出，考慮材料泊松比時(shí)仿真計(jì)算所得單層準(zhǔn)零剛度隔振器回復(fù)力大于打靶法計(jì)算所得回復(fù)力。若不考慮材料泊松比，有限元仿真與打靶法計(jì)算結(jié)果基本吻合。由此可看出材料泊松比是打靶法計(jì)算與有限元仿真計(jì)算誤差的主要影響因素，也為后續(xù)試驗(yàn)結(jié)果的誤差分析提供了理論依據(jù)。從圖4(b)看出回復(fù)力-位移曲線存在平坦區(qū)域，并且圖4(c)所示3條剛度曲線都存在剛度為零或接近于零的區(qū)間。綜上所述，此單層柔性隔振結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性。

圖4 靜力學(xué)結(jié)果對比 (v為泊松比)Fig.4 Comparison of statics results (v is Poisson′s ratio)

2 多層準(zhǔn)零剛度柔性隔振超結(jié)構(gòu)

2.1 建模與動力學(xué)分析

將單層準(zhǔn)零剛度柔性隔振結(jié)構(gòu)沿豎向周期性堆疊，構(gòu)造多層準(zhǔn)零剛度柔性隔振超結(jié)構(gòu)，如圖5所示。將圖5(a)中所示超結(jié)構(gòu)簡化為圖5(b)中所示的多自由度動力學(xué)模型，每一層包含相應(yīng)的等效剛度與等效阻尼。其中，xp為超結(jié)構(gòu)所受位移激勵；xi為每一層的絕對位移；mt為被隔振質(zhì)量m0與承載平臺質(zhì)量mu之和，md為單層柔性結(jié)構(gòu)的質(zhì)量。通過數(shù)值求解多自由度運(yùn)動方程，計(jì)算小振幅諧波激勵下的有限層數(shù)的動態(tài)響應(yīng)。

由N個單層準(zhǔn)零剛度柔性結(jié)構(gòu)組合構(gòu)成N層準(zhǔn)零剛度柔性隔振超結(jié)構(gòu)，并假設(shè)結(jié)構(gòu)僅沿縱向振動，如圖 5(b)所示。據(jù)圖5(b)中虛線框區(qū)域所示模型，可列出第i層準(zhǔn)零剛度柔性結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程，如式(4)中第2項(xiàng)所示；由于第1個和第N個單層準(zhǔn)零剛度柔性結(jié)構(gòu)受力情況不同于中間層單層準(zhǔn)零剛度柔性結(jié)構(gòu)，故在此單獨(dú)列出其動力學(xué)方程式(4)第1項(xiàng)與式(4)第3項(xiàng)。N層準(zhǔn)零剛度柔性隔振超結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程組為：

(i=2,3,…，N-1)

(4)

圖5 動力學(xué)計(jì)算模型Fig.5 Dynamic calculation model

將諧波響應(yīng)xi表達(dá)式以及位移激勵xp表達(dá)式帶入式(4)中求解可得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的位移幅值表達(dá)式：

(5)

式中：Ku為剛度矩陣；Cu為阻尼矩陣；Mu為質(zhì)量矩陣；Xu=[X1X2…XN]T為位移向量；F=[F00…0]T為激勵向量，且F0=k1p+c1ωp。

進(jìn)一步，利用傳遞率來評估隔振器性能，具體表達(dá)式為：

(6)

取m0=0.8 kg,mu=0.066 kg,md=0.159 kg，剛度取值如表3所示，激勵頻率取0～100 Hz利用式(6)計(jì)算不同阻尼比情況下1層、3層、5層、7層柔性隔振結(jié)構(gòu)的傳遞率曲線。

表3 不層數(shù)超結(jié)構(gòu)剛度取值Table3 Stiffness value of non-storey superstructure N/m

由圖6可知，對1、3、5、7層分別逐次取阻尼比為0、0.01、0.05、0.1依次進(jìn)行計(jì)算。結(jié)果表明隨著阻尼增加，在高頻區(qū)域共振峰值逐漸減小甚至變?yōu)楣饣那€；在低頻區(qū)域效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有在高頻區(qū)域明顯。因此，選擇適當(dāng)?shù)淖枘峥梢杂行Ц纳聘粽裥Ч?，甚至能夠有效的降低起始隔振頻率。

圖6 不同阻尼比下理論計(jì)算傳遞率Fig.6 Theoretical calculated transmissibility under different damping ratios

2.2 有限元仿真驗(yàn)證

如圖7所示，利用有限元方法建立多層準(zhǔn)零剛度柔性隔振超結(jié)構(gòu)的分析模型，并對結(jié)構(gòu)進(jìn)行動力學(xué)仿真分析。分別對1層、3層、5層、7層建模并給定相應(yīng)邊界條件進(jìn)行求解，計(jì)算位移傳遞率，驗(yàn)證理論分析結(jié)果。材料選用聚乳酸，其材料參數(shù)為：彈性模量E=3.15 GPa、泊松ν=0.34、密度ρ=1.24×103kg/m3。設(shè)置與數(shù)值計(jì)算相同的激勵幅值p與頻率范圍0～100 Hz，選擇直接穩(wěn)態(tài)動力學(xué)求解方法。拾取每種情況下頂部位移幅值Xt為隔振質(zhì)量位移計(jì)算模型振動傳遞率表達(dá)式為：

(7)

圖7 1、3、5、7層動力學(xué)仿真模型Figure.7 Dynamic simulation model of layers 1, 3, 5 and 7

利用數(shù)值方法與有限元仿真分別對1層、3層、5層、7層超結(jié)構(gòu)隔振效果進(jìn)行計(jì)算求解，取無阻尼情況計(jì)算，結(jié)果如圖8所示。由圖8 可以看出理論分析結(jié)果與有限元仿真分析結(jié)果高度重合，驗(yàn)證了理論模型的正確性。由圖8還可看出，在傳遞率有效隔振頻率區(qū)間內(nèi)，隨著層數(shù)的增加，隔振效果顯著提升；而且多層隔振超結(jié)構(gòu)隨著層數(shù)的增加共振峰的位置也隨之向低頻移動，起始隔振頻率也隨之向低頻移動，這與理論分析結(jié)果也完全一致。需要注意的是，隨著層數(shù)增加，共振峰越來越多，對于低頻區(qū)域內(nèi)的隔振效果有一定影響。根據(jù)上節(jié)理論分析結(jié)果，適當(dāng)增加系統(tǒng)阻尼可有效抑制低頻區(qū)域的共振峰，從而提升其隔振性能。

圖8 動力學(xué)理論計(jì)算與仿真結(jié)果對比Fig.8 Comparison of dynamic theoretical calculation and simulation results

3 結(jié)論

1) 利用打靶法分析了單層準(zhǔn)零剛度柔性隔振結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)特性，并利用有限元仿真進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明2種方法結(jié)果高度重合，且驗(yàn)證了其準(zhǔn)零剛度特性。

2) 在相同的隔振質(zhì)量與激勵條件下，在有效隔振頻率區(qū)間內(nèi)，多層隔振超結(jié)構(gòu)隨著層數(shù)的增加，隔振效果顯著提升；而且隨著層數(shù)的增加共振峰的位置也隨之向低頻移動，起始隔振頻率也隨之向低頻移動。

3) 理論分析結(jié)果表明，適當(dāng)增加系統(tǒng)阻尼可有效抑制低頻區(qū)域的共振峰，且起始隔振頻率向低頻移動。