廣西南寧市第十四中學(xué)（530000）陳 杏

等邊三角形“手拉手”模型是指由兩個共頂點的等邊三角形構(gòu)成的基本圖形，其在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形。如果把小等邊三角形的一邊看作“小手”，大等邊三角形的一邊看作“大手”，這樣就類似“大手拉著小手”，所以稱這個模型為“手拉手”模型，此模型經(jīng)常在幾何綜合題中出現(xiàn)。構(gòu)造等邊三角形“手拉手”模型常與平行、旋轉(zhuǎn)、截長補短等輔助線作法相結(jié)合。

一、從教材母題抽象出模型，厘清模型問題本質(zhì)

很多考試題目的母題都來源于教材，從教材習(xí)題提取模型、類比模型和模型變式都是考試命題的方向。三角形全等證明是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點內(nèi)容之一，其難點在于要求學(xué)生從復(fù)雜的圖形中抽象出全等三角形。

［例1］（人教版八年級上冊第83頁第12題）如圖1，△ABD，△AEC都是等邊三角形，求證BE=DC。

圖1

學(xué)生大多能準確地判斷出本題是利用三角形全等證邊等的問題，但不一定能馬上給出解題思路。筆者提示學(xué)生將共頂點的等邊三角形（如圖2）抽取出來，學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)它們形成“手拉手”模型，并找到一對全等三角形，從而得出證明。在面對多個等邊三角形時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生尋找解決問題的模型——“手拉手”模型，使學(xué)生更好地理解和應(yīng)用幾何模型思想，提高解題效率和正確率。

圖2

二、作平行線構(gòu)造等邊三角形“手拉手”模型

有時兩個等邊三角形不共頂點，這時可以通過作輔助線，構(gòu)造共頂點的等邊三角形，從而得到“手拉手”模型。

［例2］在等邊三角形ABC中，E是邊AC上一定點，D是直線BC上一動點，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF。

（1）如圖3，若點D在邊BC上，求證：CE+CF=CD。

圖3

（2）如圖4，若點D在邊BC的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。

圖4

雖然有教材母題的經(jīng)驗，但學(xué)生發(fā)現(xiàn)本題沒有全等三角形，也找不到“手拉手”模型。對此，筆者引導(dǎo)學(xué)生添加輔助線。學(xué)生嘗試作平行線，有學(xué)生過點E作BC邊的平行線，雖然構(gòu)造出共頂點的兩個等邊三角形，但和題目要證明的結(jié)論聯(lián)系不大。筆者引導(dǎo)學(xué)生過點D作AB邊的平行線DM，發(fā)現(xiàn)不但可以得到第三個等邊三角形，而且其與其中一個等邊三角形共頂點，“手拉手”模型出現(xiàn)（如圖5），證明△DME≌△ECF，將CF轉(zhuǎn)換為EM，即可得出證明。學(xué)生有了經(jīng)驗，很快可以在圖4 中作平行線，構(gòu)造“手拉手”模型（如圖6），從而得出證明。在等邊三角形中，作一邊的平行線構(gòu)造新的等邊三角形是常用的輔助線作法，找準過哪個點作平行線，即找到了模型，可使問題迎刃而解。

圖5

圖6

三、旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等邊三角形“手拉手”模型

旋轉(zhuǎn)也是構(gòu)造等邊三角形“手拉手”模型的重要途徑。在旋轉(zhuǎn)變換中，要注意可以旋轉(zhuǎn)的前提條件，即有邊相等旋轉(zhuǎn)即重合，旋轉(zhuǎn)特殊度數(shù)后有特殊三角形產(chǎn)生。有時還要注意證明旋轉(zhuǎn)后點的共線。

［例3］如圖7，等邊△ABC中，P為△ABC外一點，連接AP、BP、CP，∠APB=∠BPC=60°，求證：AP+PC=BP。

圖7

對于線段和差的證明問題，通常把不在一條直線上的兩條線段放在一條直線上，因此，可以將△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°（如圖8），AC與AB重合，但點P是否在BP上需要證明。利用旋轉(zhuǎn)后∠AP′B=120°，AP=AP′，旋轉(zhuǎn)角∠PAP′=60°，因此△AP′P是等邊三角形，所以∠AP′P=60°，得到∠AP′B+∠AP′P=120°+60°=180°，從而得到B、P′、P三點共線，由此，就構(gòu)造了共頂點的等邊三角形△AP′P和等邊三角形△ABC形成的“手拉手”模型。

圖8

四、截長補短構(gòu)造等邊三角形“手拉手”模型

截長補短是證明三角形全等的重要輔助線作法，對構(gòu)造等邊三角形“手拉手”模型也同樣好用。

［例4］如圖9，在等腰△ABC中，120° ＜∠BAC＜180°，AB=AC，AD⊥BC，且交BC于點D，以AC為邊作等邊△ACE，直線BE交直線AD于點F，連接FC交AE于點M。（1）求∠AFC的度數(shù)；（2）探究FE，F(xiàn)A，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

圖9

由（1）可解得∠AFC=60°，這是構(gòu)造等邊三角形的有利條件，筆者鼓勵學(xué)生在長線段FC上截取FG=FA，從而得到等邊三角形△AFG與等邊三角形△AEC構(gòu)成了共頂點的“手拉手”模型（如圖10）。

圖10

［例5］如圖11，在△ABC中，AB=AC，∠ADB=∠BAC=60°，求∠ADC的度數(shù)。

圖11

這道題不僅有等邊三角形，還有含60°角的三角形△ABD，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：能否嘗試補短？∠ADB的兩邊中，BD比較短，可將短邊BD延長至E，使DE=AD（如圖12），從而形成等邊三角形△AED，進而構(gòu)造了共頂點A的等邊三角形△ADE和等邊三角形△ABC的“手拉手”模型。

圖12

五、作等邊三角形構(gòu)造等邊三角形“手拉手”模型

當(dāng)圖形中只有一個等邊三角形時，也可以在它的一個頂點作另一個等邊三角形，從而構(gòu)造等邊三角形“手拉手”模型。

［例6］如圖13，E為等邊△ABC內(nèi)一點，∠BEA=90°，∠AEC=150°，求證：BE=2EC。

圖13

本題可以EC為其中一邊在其右側(cè)構(gòu)造等邊△EDC，這樣△EDC就與△ABC構(gòu)成共頂點C的“手拉手”模型（如圖14）。

圖14

六、“手拉手”模型的應(yīng)用

筆者在幾何綜合題的教學(xué)實踐中，提出了“四步驟幾何模型研究”的教學(xué)策略（如圖15），以幫助學(xué)生實現(xiàn)對模型的構(gòu)造和對綜合問題的解決。

圖15

下面以一道模擬題為例說明這個教學(xué)策略。

［例7］如圖16，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點A、C、E在一條直線上，可以證明△ACD≌△BCE，則AD=BE。

（1）將圖16 中的△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)到圖17，猜想此時線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

圖16

（2）如圖17，連接BD，若AC=2 cm，CE=1 cm，現(xiàn)將△CDE繞點C繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，△BDE的面積是否存在最大值？如果存在，直接寫出這個最大值；如果不存在，請說明理由。

圖17

（3）如圖18，在△ABC中，點D在AC上，點E在BC上，且DE∥AB，將△DCE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△CD′E′（使∠ACD′＜180°），連接BE′，AD′，設(shè)AD′分別交BC，BE′于O，F(xiàn)，若△ABC滿足∠ACB=60°，BC的值。

圖18

分析：

第一步，標圖——顯示圖形的特征。

引導(dǎo)學(xué)生標注圖形中相等的線段和角（如圖19），將圖形的特征顯性化，為進一步找到等邊三角形“手拉手”模型做好鋪墊。

圖19

第二步，析圖——抽象幾何模型。

通過圖形標注，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)△ACD≌△BCE的條件，即AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE（有共頂點的等邊三角形），從而發(fā)現(xiàn)AD=BE，這對解決第（1）問起到提示作用。如圖17 所示的圖形雖然A、C、E三點不共線，但學(xué)生仍能發(fā)現(xiàn)等邊三角形“手拉手”模型（如圖20），△ABC和△CDE都是等邊三角形，所以AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=EC，△ACD≌△BCE，AD=BE。

圖20

第三步，構(gòu)圖——構(gòu)造幾何模型。

在第（2）問中，將△CDE繞點C繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)△CDE旋轉(zhuǎn)到BC與C到DE的高在同一條直線上時，△BDE面積最大（如圖21），此時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用旋轉(zhuǎn)將面積問題轉(zhuǎn)化為“手拉手”模型，再由線段相等得到△BDE是等腰三角形，從而求出△BED面積的最大值。因為DE邊上的高為2 +cm，所以△BDE面積的最大值為

圖21

第四步，變圖——利用圖形變化進行模型變化。

圖22

圖23

在一道幾何綜合題中往往會涉及幾個不同的模型，在教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生熟悉模型，熟記相關(guān)結(jié)論，從題目中快速抽象出幾何模型，從而提高學(xué)生的解題速度和效率。

從本文的解法歸納中可以看出，即使是比較復(fù)雜的圖形問題，所用到的也是簡單的基礎(chǔ)知識，這就要求教師在平時的教學(xué)和備考中，從幾何圖形的形成、變化過程入手進行研究，教給學(xué)生幾何模型的構(gòu)建方法，提高學(xué)生解題的正確率，增強學(xué)生的解題能力。