廣西欽州市第二中學(xué)（535000）利劍春

把所有研究的問題根據(jù)題目的特點和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，我們稱為分類討論思想。分類討論思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將數(shù)學(xué)研究對象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。比較是分類的基礎(chǔ)，也是分類的前提，分類是比較的結(jié)果。分類要制訂一定的標(biāo)準(zhǔn)，分類的結(jié)果會因為標(biāo)準(zhǔn)的不同而不同，分類還要做到不遺漏、不重復(fù)。在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用分類討論思想研究和解決問題，有助于學(xué)生掌握正確的解題方法。常見的數(shù)學(xué)分類討論有由概念引起的分類討論、由參數(shù)的變化引起的分類討論等。分類討論應(yīng)科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)，要遵循同一性原則、互斥性原則與層次性原則。分類討論的步驟為：明確討論的對象及其取值范圍；合理選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，確保分類的合理性；正確進行分類，逐類、逐段進行討論，綜合得出結(jié)果。本文重點對涉及分類討論的幾種類型題進行分析，以提高學(xué)生的解題能力。

一、函數(shù)相關(guān)問題的分類討論

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，其考查的重點為二次函數(shù)。在解決函數(shù)問題的過程中，學(xué)生如果沒有掌握一定的解題方法與技巧，就難以提高解題效率與準(zhǔn)確度，也無法取得好成績。二次函數(shù)相關(guān)題型多涉及參數(shù)，所以要求學(xué)生能善于應(yīng)用分類討論思想進行解題。

［例1］函數(shù)y=kx2-8x+8 的圖像與x軸有兩個交點，則k的取值范圍是________。

這是一類涉及參數(shù)的函數(shù)問題。學(xué)生乍一看發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像與x軸有兩個交點，于是就想到用Δ ＞0 來求解，列出Δ=(-8)2 -32k＞0，解得k＜2。對此，筆者給予提示：“這個函數(shù)一定是二次函數(shù)嗎？”學(xué)生這才注意到，函數(shù)解析式的二次項系數(shù)是字母k，而k的取值不同時，對應(yīng)的將是不同的函數(shù)。由此，學(xué)生進行k=0 和k≠0 的分類討論：（1）當(dāng)k=0時，原函數(shù)是一次函數(shù)，其解析式為y=-8x+8，其圖像與x軸只有一個交點，與題意不符；（2）當(dāng)k≠0時，原函數(shù)是二次函數(shù)，其解析式為y=kx2-8x+8，由Δ ＞0解得k＜2且k≠0。故本題k的取值范圍是k＜2且k≠0。

這是一道易錯題，學(xué)生經(jīng)常會忘記討論函數(shù)解析式二次項系數(shù)是否為0 的情況，由此教師需要歸納總結(jié)：二次項系數(shù)是否為0，是一個函數(shù)是否為二次函數(shù)的前提條件。如果二次項系數(shù)是參數(shù)或者是含有參數(shù)的式子，同樣也需要討論是否為0。

二、絕對值問題的分類討論

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，為了讓學(xué)生形成分類討論思想，教師應(yīng)做好引導(dǎo)。分類討論要有其原則，避免胡亂分類或者分類缺乏條理。在分類時，要求每一部分都是相互獨立的，且按照一個標(biāo)準(zhǔn)進行分類，分類需逐級進行。為了讓學(xué)生能順利完成分類討論，教師可結(jié)合一些有代表性與典型性的題目來進行引導(dǎo)。絕對值問題是代數(shù)的重要內(nèi)容之一，要求學(xué)生能應(yīng)用分類討論思想來求解。教師可結(jié)合這類問題進行引導(dǎo)。

［例2］已知0 ≤a≤4，化簡|a-2|+|3 -a|。

本題要求化簡的式子含有兩個絕對值，在0 ≤a≤4 范圍內(nèi)，分別有不一樣的化簡結(jié)果，因此不能直接化簡，需要分類討論。對此，筆者設(shè)計了以下提問：

（1）當(dāng)a=0，1，2，3，4 時，化簡結(jié)果是否一樣？如果不一樣，為什么？

（2）哪些數(shù)使得兩個絕對值分別等于0？

（3）如果只化簡|a-2|，a的取值范圍需要分為幾種情況？

（4）如果只化簡|3-a|，a的取值范圍需要分為幾種情況？

（5）如果同時化簡|a-2|和|3 -a|，a的取值范圍又需要分為幾種情況？

學(xué)生會逐一思考，從而發(fā)現(xiàn)影響化簡結(jié)果的臨界值是a=2 和a=3 這兩個數(shù)，因此，這兩個數(shù)把0 ≤a≤4 分為三個小范圍：0 ≤a≤2，2 ＜a＜3，3 ≤a≤4，即本題化簡需要分為這三種情況進行討論，并且還可以借助數(shù)軸形象地展示分類情況。

這樣循序漸進地設(shè)問，學(xué)生會意識到有關(guān)絕對值的分類討論，是從絕對值符號里面的式子與0 比較大小來入手的，這為以后解決更復(fù)雜的絕對值分類討論問題奠定了基礎(chǔ)。

三、三角形相關(guān)問題的分類討論

等腰三角形是特殊的三角形，學(xué)生很容易在解決三角形相關(guān)問題時出現(xiàn)錯誤，所以教師要善于應(yīng)用分類討論思想來引導(dǎo)學(xué)生解決問題，讓學(xué)生通過分類討論，掌握正確的解題方法。壓軸題是歷年數(shù)學(xué)考試的重點，分類討論是數(shù)學(xué)壓軸題最為常見的解題思路與方法，通過分類討論，學(xué)生可有效解題，掌握解題技巧，并能舉一反三。壓軸題中特殊三角形、特殊四邊形等問題都要進行分類討論。對于直角三角形的存在性問題也可以應(yīng)用分類討論思想，可按照直角頂點的不確定性來進行分類討論。在三角形相似的存在分類討論中，主要對已知三角形的特征進行確定。以等腰三角形的分類討論為例，可以分為以下四大類問題，學(xué)生可以利用分類討論思想分析解決這四類問題。

第一，遇邊問題需討論。

比如a，b是等腰三角形的兩條邊長，且a，b滿足|a-1|+|2a+3b-11|=0，則該等腰三角形的周長為___________。

對于本題，學(xué)生可以先根據(jù)絕對值的非負(fù)性，列式解出a=1，b=3；接著求三角形的周長，因為題目并沒有明確腰和底邊，所以就要進行分類討論。當(dāng)a是底邊時，三邊分別為3，3，1，周長為7；當(dāng)b是底邊時，三邊分別為1，1，3，周長為5。很多學(xué)生認(rèn)為本題的答案為7或5。對此，筆者進行提問：這兩種情況下的邊長，能否構(gòu)成三角形？學(xué)生恍然大悟：當(dāng)三邊分別為1，1，3時不能構(gòu)成三角形。

由此可以歸納出：等腰三角形對底邊和腰進行分類討論得出來的結(jié)果，也需要進行嚴(yán)密的檢驗；只有符合三角形兩邊之和大于第三邊的條件，才能構(gòu)成三角形。

第二，遇角問題需討論。

比如已知等腰三角形的一個內(nèi)角為70°，求三角形另兩個角。這類題目并沒有說明已知角是頂角還是底角，這時就需要進行分類討論了。可先將已知角分為頂角與底角兩類，然后再通過三角形內(nèi)角和定理進行計算。

第三，遇中線問題需討論。

比如一個等腰三角形一腰上的中線把三角形分為兩個部分，其中一個部分的周長為9 厘米，另一個部分的周長為12 厘米，求三角形的底和腰。對于這類問題，需要畫圖分析。畫圖時就會發(fā)現(xiàn)需要分類討論，明確9 厘米與12 厘米是上下哪部分。當(dāng)9 厘米是上面部分時，設(shè)底邊和腰為未知數(shù)，列出方程，求得底邊和腰分別是6 厘米和9 厘米；當(dāng)12厘米是上面部分時，求得底邊和腰分別是8厘米和5厘米。

第四，遇高問題需討論。

比如已知一個等腰三角形，一條腰上的高與另一條腰的夾角為20°，計算頂角的度數(shù)。由于銳角三角形的高在內(nèi)部，鈍角三角形的高在外部，對于這類問題也要進行分類討論。結(jié)合圖形，將三角形的頂角分為銳角與鈍角兩種情況進行分類討論。當(dāng)頂角是銳角時，由三角形內(nèi)角和求得頂角為70°，同理，當(dāng)頂角是鈍角時，求得頂角為110°。

由此可見，對于與三角形有關(guān)的問題，大多數(shù)都是需要畫圖進行分析，而在畫圖的過程中，就會遇到各種情況需要進行分類討論。因此，分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想密不可分。

四、方程和不等式問題的分類討論

數(shù)與代數(shù)是初中數(shù)學(xué)的主要知識點之一。實數(shù)、代數(shù)式等是數(shù)與代數(shù)的重要內(nèi)容。數(shù)與代數(shù)的涉及范圍較廣，學(xué)習(xí)難度較大，如何才能讓學(xué)生更加高效、靈活地解題成為教師關(guān)注的重點。在近幾年的中考數(shù)學(xué)中，數(shù)與代數(shù)的考查相對較多，且屬于綜合性題目，對學(xué)生提出了更高的要求。數(shù)與代數(shù)綜合題中涉及的知識類別常呈現(xiàn)出“你中有我，我中有你”的關(guān)系。數(shù)與代數(shù)綜合題主要分為四大類。第一類，以方程（組）為主的“數(shù)與代數(shù)”綜合題。這類題型的考查重點放在分式方程、一元一次方程的應(yīng)用方面，所以教師在教學(xué)過程中可通過典型案例，引導(dǎo)學(xué)生解題，在解題過程中要求學(xué)生能對題目中的等量關(guān)系予以明確，并列出相應(yīng)的方程。第二類，以不等式（組）為主的“數(shù)與代數(shù)”綜合題。這類題型一般對學(xué)生的列方程能力、應(yīng)用不等式組解決實際問題的能力進行考查，問題一般來源于生活。第三類，以函數(shù)為主的“數(shù)與代數(shù)”綜合題。這類題目考查的重點是一次函數(shù)的應(yīng)用。第四類，函數(shù)與不等式（組）相結(jié)合的“數(shù)與代數(shù)”綜合題。這類題型考查的重點為一次函數(shù)的解析式的運用。對于這個知識點，分類討論也是?？嫉狞c。比如2021年北部灣中考數(shù)學(xué)第12題就考查了不等式的分類討論。

如果僅僅是考查解不等式，估計很多學(xué)生都可以得出正確答案。但這是一道定義新運算的題目，這個新運算是以分段函數(shù)的形式出現(xiàn)的，它的本質(zhì)其實就提示了要對a和b的大小進行分類討論。

先讓學(xué)生讀懂這個新運算的法則：

當(dāng)a≥b時，a*b=a；

當(dāng)a＜b時，a*b=b。

同理，在所求不等式中，

當(dāng)(2x+1)≥(2-x)時，(2x+1)*(2-x)=2x+1，

當(dāng)(2x+1)＜(2-x)時，(2x+1)*(2-x)=2-x。

這樣，就對原不等式進行了化簡，轉(zhuǎn)化為兩個一般的不等式來求解了。

五、圓相關(guān)問題的分類討論

初中數(shù)學(xué)中分類討論思想的應(yīng)用教學(xué)，能讓學(xué)生掌握解題方法與技巧，提升解題效率。與圓有關(guān)的問題中，分類討論思想的應(yīng)用，主要在于點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系等。教師可引導(dǎo)學(xué)生對題目中的變量或兩個圖形之間的距離等進行明確。

［例4］一個點P到圓的最小距離為6 cm，最大距離為9 cm，則該圓的半徑是（ ）。

A.1.5 cm

B.7.5 cm

C.1.5 cm或7.5 cm

D.3 cm或15 cm

本題并沒有配圖，也就是說，需要學(xué)生自己畫圖來進行分析。那么在畫圖的過程當(dāng)中，點的位置畫在哪里就顯得很關(guān)鍵了。而題目并沒有指出已知點是在圓內(nèi)還是圓外，因此，需要分類畫出兩個圖形。

當(dāng)點P在圓內(nèi)時，直徑=最小距離+最大距離。

當(dāng)點P在圓外時，直徑=最大距離-最小距離。

這樣，學(xué)生通過畫圖分析，找到了這類問題的突破口，也就是分類討論點的位置，通過圖形的作用快速找到解題技巧。

總之，分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，更是一種邏輯思維方法，學(xué)生在分類討論思想的指引下，能高效完成數(shù)學(xué)解題，提升解題能力與水平。