鐘文坤，吳玖榮，傅繼陽(yáng)，孫連楊，黃 鵬

(廣州大學(xué)風(fēng)工程與工程振動(dòng)研究中心，廣州 510006)

部分充液儲(chǔ)液器內(nèi)液體的晃動(dòng)常見于航空航天、海洋船舶及液罐車等領(lǐng)域，在較大外激勵(lì)作用下，儲(chǔ)液器內(nèi)液體會(huì)出現(xiàn)明顯的非線性晃動(dòng)現(xiàn)象。液體的非線性晃動(dòng)包含非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)機(jī)理[1-4]，不同模態(tài)之間相互耦合，高階模態(tài)被激發(fā)，使得高階模態(tài)對(duì)液面波高的貢獻(xiàn)成分變大甚至超過最低價(jià)模態(tài)，進(jìn)而也導(dǎo)致了線性模態(tài)理論的失效。儲(chǔ)液器內(nèi)液體發(fā)生非線性晃動(dòng)后，會(huì)對(duì)儲(chǔ)液器內(nèi)壁產(chǎn)生較大的壓力及作用力矩，嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和安全性，因此，進(jìn)一步了解儲(chǔ)液器內(nèi)液體的非線性晃動(dòng)特性有著重要的意義。

對(duì)于儲(chǔ)液器內(nèi)液體的非線性晃動(dòng)問題，已有大量學(xué)者進(jìn)行了研究。FALTISEN 等[5-6]利用Bateman-Luke 變分原理和模態(tài)方法推導(dǎo)了液體非線性晃動(dòng)的模態(tài)方程，并利用該模態(tài)方程研究了二維矩形儲(chǔ)液器內(nèi)液體晃動(dòng)的非線性問題。LOVE 等[7]利用FALTISEN 等的理論研究了內(nèi)置有格柵的二維矩形儲(chǔ)液器內(nèi)液體的非線性晃動(dòng)，結(jié)果表明：考慮三階與五階模態(tài)方程組合得到的液面波高、晃動(dòng)力基本一致，且與試驗(yàn)值較接近，而線性解卻明顯低估了液面波高；同時(shí)他還研究了內(nèi)置有十字柱的二維矩形儲(chǔ)液器內(nèi)液體的非線性晃動(dòng)，并利用振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明：利用多維模態(tài)方程求解的值與試驗(yàn)值較接近[8]。李遇春等[9]利用FALTISEN 等的理論進(jìn)一步研究了二維矩形儲(chǔ)液器分別在地震激勵(lì)、水平簡(jiǎn)諧激勵(lì)、豎向簡(jiǎn)諧激勵(lì)下液體的非線性晃動(dòng)響應(yīng)，結(jié)果表明：多模態(tài)方法在求解長(zhǎng)時(shí)間非線性響應(yīng)分析上具有較好的優(yōu)勢(shì)。GURUSAMY 等[10]利用試驗(yàn)研究了淺水水箱在不同水深比、長(zhǎng)寬比、激勵(lì)幅值及激頻比下液體的非線性晃動(dòng)問題；YAN 等[11]采用基于速度勢(shì)的Boussinesq方程求解了淺水矩形水池中的三維非線性晃動(dòng)運(yùn)動(dòng)問題，并利用數(shù)值模擬進(jìn)行了驗(yàn)證；XIN 等[12]基于笛卡爾網(wǎng)格的三維多相流模型，利用數(shù)值方法研究了帶或不帶擋板的棱柱形儲(chǔ)罐中的大振幅晃動(dòng)問題。余延生等[13-14]把FALTISEN 等的理論進(jìn)一步應(yīng)用到求解二維圓柱形儲(chǔ)液器液體的非線性晃動(dòng)問題，并利用漸進(jìn)關(guān)系把無窮維的模態(tài)系統(tǒng)降價(jià)為五維的模態(tài)系統(tǒng)，結(jié)果表明：利用五維模態(tài)方程求解后得到的液面波高與實(shí)驗(yàn)結(jié)果較吻合。張海濤等[15]針對(duì)矩形儲(chǔ)液器的非線性晃動(dòng)問題，提出了一種基于有限差分算法的數(shù)值模擬方法，結(jié)果表明：該方法具有較好的收斂性和準(zhǔn)確性；同時(shí)，他還利用振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)研究了矩形儲(chǔ)液器內(nèi)液體非線性晃動(dòng)的拍振和共振問題[16]。王佳棟等[17]基于流體子域法建立了流體非線性晃動(dòng)的無窮模態(tài)系統(tǒng)，并通過模態(tài)漸進(jìn)關(guān)系得到有限維的模態(tài)系統(tǒng)，最后利用有限維模態(tài)系統(tǒng)研究了地震激勵(lì)下帶有多層剛性隔板圓柱形儲(chǔ)液器內(nèi)液體晃動(dòng)的非線性響應(yīng)，結(jié)果表明：防晃板的設(shè)計(jì)不能忽略液體晃動(dòng)非線性效應(yīng)。

為減小儲(chǔ)液器內(nèi)液體的非線性晃動(dòng)響應(yīng)，可在儲(chǔ)液器內(nèi)部安裝水平擋板、豎直擋板、格柵及立柱等耗能裝置[18-19]。該類裝置可有效提高儲(chǔ)液器的阻尼，進(jìn)而可有效抑制液體的晃動(dòng)。盡管已有大量的學(xué)者對(duì)儲(chǔ)液器內(nèi)液體的非線性晃動(dòng)進(jìn)行了研究，儲(chǔ)液器的減晃工作也得到進(jìn)一步完善，但仍存在以下兩方面不足：一方面，對(duì)于水平擋板類的耗能裝置，由于其制作簡(jiǎn)單且便于安裝，被廣泛應(yīng)用于儲(chǔ)液器的減晃，但在利用多模態(tài)方程研究?jī)?chǔ)液器的非線性晃動(dòng)響應(yīng)過程中，基本都忽略了擋板所提供的附加非線性阻尼項(xiàng)；另一方面，儲(chǔ)液器內(nèi)安裝了耗能裝置后，會(huì)給儲(chǔ)液器帶來附加質(zhì)量，附加質(zhì)量會(huì)降低儲(chǔ)液器的晃動(dòng)頻率，也會(huì)影響阻尼比估算公式的準(zhǔn)確性。附加質(zhì)量的定義為：與淹沒或者部分淹沒的結(jié)構(gòu)元件一起運(yùn)動(dòng)的水所夾帶的質(zhì)量，一般由勢(shì)流理論來確定[20]。

基于此，本文以內(nèi)置有水平擋板的矩形儲(chǔ)液器為研究對(duì)象，利用勢(shì)流理論、虛功原理推導(dǎo)了由水平擋板所提供的非線性阻尼比表達(dá)式，同時(shí)考慮水平擋板對(duì)儲(chǔ)液器晃動(dòng)頻率的影響對(duì)非線性阻尼比進(jìn)行了修正，再利用FALTISEN 等的非線性模態(tài)理論，研究了不同水平擋板位置、長(zhǎng)度下儲(chǔ)液器內(nèi)液體的非線性晃動(dòng)響應(yīng)特性，并利用Fluent軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，并與理論模型的分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

1 非線性阻尼比推導(dǎo)

1.1 流體勢(shì)流理論

以矩形儲(chǔ)液器為研究對(duì)象，假定儲(chǔ)液器安裝有多塊水平擋板，且只考慮x、z兩個(gè)方向，如圖1所示。圖1 中：h為儲(chǔ)液器靜止水深；L為長(zhǎng)度；lb為水平擋板長(zhǎng)度；zi為水平擋板位置；η(x,t)為液面晃動(dòng)波高。

1.2 虛功原理

ζn為非線性阻尼比，表示為：

2 非線性晃動(dòng)三階模態(tài)方程

本節(jié)采用FALTINSEN 等[5]推導(dǎo)的二維矩形儲(chǔ)液器非線性晃動(dòng)三階模態(tài)方程，該篇文獻(xiàn)中所推導(dǎo)的某些方程系數(shù)存在錯(cuò)誤，但在他的著作《Sloshing》[24]中已經(jīng)進(jìn)行了更正，所以以下所給的方程系數(shù)是已經(jīng)更正的系數(shù)[24]：式中，X¨為儲(chǔ)液器底部的加速度激勵(lì)，該方程并未考慮儲(chǔ)液器中阻尼項(xiàng)的影響，而對(duì)于安裝有水平擋板等耗能裝置的儲(chǔ)液器，其阻尼由液體的粘滯阻尼及耗能裝置所提供的阻尼兩部分組成。與耗能裝置所提供的阻尼相比，由水的粘性所提供的阻尼較小，可忽略不計(jì)，但對(duì)于小縮尺比的儲(chǔ)液器，水的粘滯阻尼影響卻比較大[23]，為提高理論的估算效果，把水的粘滯阻尼值一并計(jì)入儲(chǔ)液器的總阻尼值中?？紤]阻尼項(xiàng)的儲(chǔ)液器非線性晃動(dòng)三階模態(tài)方程為：

式中：ν為水的粘度；b為儲(chǔ)液器的寬度；SC為水的表面光滑因子，通常取1。

把式(24)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的一階常微分方程組后，再用Runge-Kutta 法進(jìn)行求解，求解后的值代入式(6)可得到矩形儲(chǔ)液器的液面波高，儲(chǔ)液器晃動(dòng)力的計(jì)算公式為[7]：

3 液體晃動(dòng)的數(shù)值模擬

為驗(yàn)證上述理論模型的可靠性，本節(jié)利用Fluent 軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，對(duì)應(yīng)的矩形儲(chǔ)液器儲(chǔ)液器模型如圖2 所示。計(jì)算過程中，采用VOF 多相流模型來追蹤自由液面波高，模型受到的底部激勵(lì)為正弦加速度激勵(lì)y=ω2X0sin(ωt)，X0為激勵(lì)幅值，通過UDF(用戶自定義函數(shù))施加，方向?yàn)檠貎?chǔ)液器長(zhǎng)度方向。模型的尺寸為：0.6 m (長(zhǎng))×0.375 m (寬) ×0.8 m (高)，在左右側(cè)壁對(duì)稱安裝單塊水平擋板。采用的有限體積法模型的網(wǎng)格尺寸大小為2 mm，時(shí)間步長(zhǎng)為0.002 s，分別在儲(chǔ)液器中設(shè)置不同的水平擋板位置、長(zhǎng)度進(jìn)行仿真計(jì)算，具體見表1。

圖2 矩形儲(chǔ)液器模型Fig. 2 Rectangular storage tank model

表1 數(shù)值模擬工況Table 1 Parameters in numerical simulation

本文選擇用Fluent 軟件進(jìn)行數(shù)值模擬的目的，是進(jìn)一步以驗(yàn)證理論模型的準(zhǔn)確性，考慮到試驗(yàn)過程中，水平擋板的安裝及固定并非是一件易事，特別對(duì)于長(zhǎng)度較長(zhǎng)的水平擋板。為驗(yàn)證數(shù)值模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性，以安裝有單塊垂直擋板的矩形儲(chǔ)液器為例(垂直擋板在儲(chǔ)液器中部)，利用振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)裝置如圖3 所示。試驗(yàn)儲(chǔ)液器的尺寸大小為0.62 m(長(zhǎng))×0.395 m(寬)×0.81 m(高)，由有機(jī)玻璃制作而成，厚度為1 cm；試驗(yàn)中的垂直擋板也為有機(jī)玻璃制作而成，厚度為0.8 cm。水的晃動(dòng)波高利用電容式數(shù)字波高儀采集，采樣頻率為100 Hz，放置在距儲(chǔ)液器左側(cè)壁1 cm 處。儲(chǔ)液器的基底剪力采用由瑞士KISTLER公司生產(chǎn)的剪力傳感器測(cè)量，一共4 個(gè)，剪力傳感器測(cè)得的值包括兩部分：TLD 矩形儲(chǔ)液器中水的晃動(dòng)所產(chǎn)生的剪切力；臺(tái)面連接構(gòu)件及儲(chǔ)液器本身所產(chǎn)生的慣性力。因此，剪力傳感器測(cè)量值需減去慣性力才能得到TLD 矩形儲(chǔ)液器的晃動(dòng)力。振動(dòng)臺(tái)對(duì)儲(chǔ)液器施加的激勵(lì)為正弦激勵(lì)，試驗(yàn)工況見表2，lb為垂直擋板的高度。

圖3 振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)裝置Fig. 3 Shaking table test

表2 試驗(yàn)工況Table 2 Parameters in Experiment

限于篇幅，以下只給出如圖4 所示的工況對(duì)比圖，由圖4 可知，采用數(shù)值模擬得到的儲(chǔ)液器液面波高、晃動(dòng)力與振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果較接近，具有較好的模擬效果。因此，本文所采用的數(shù)值模擬方法具有較好的精度，可利用數(shù)值模擬來驗(yàn)證理論模型的準(zhǔn)確性。

圖4 試驗(yàn)與數(shù)值模擬對(duì)比Fig. 4 Comparison between experiment and numerical simulation

4 結(jié)果分析

本節(jié)分別給出儲(chǔ)液器側(cè)壁液面波高、晃動(dòng)力的理論值與數(shù)值模擬值對(duì)比圖。為避免縮尺效應(yīng)影響，波高與晃動(dòng)力分別采用如下方法進(jìn)行無量綱化處理：

4.1 水平擋板位置對(duì)儲(chǔ)液器晃動(dòng)特性影響

限于篇幅，圖5 只給出水平擋板位置zi/h分別在0.1、0.3、0.5、0.7、0.8 及0.9 下儲(chǔ)液器側(cè)壁液面波高與晃動(dòng)力的理論值與數(shù)值模擬值對(duì)比圖。由圖5 可知，水平擋板位置小于0.5h時(shí)(即靠近于儲(chǔ)液器底部)，液體非線性晃動(dòng)現(xiàn)象較明顯，利用非線性三階模態(tài)方程得到的波高、晃動(dòng)力與數(shù)值模擬結(jié)果較接近，而僅采用一階線性的貢獻(xiàn)時(shí)，卻明顯低估了儲(chǔ)液器液面波高，但求解的晃動(dòng)力卻與非線性值基本一致。這表明，即使儲(chǔ)液器液體在非線性晃動(dòng)下，采用線性理論模型計(jì)算晃動(dòng)力也能獲得較好的預(yù)測(cè)效果，可從式 (26)中解釋這一現(xiàn)象。在給定底部加速度激勵(lì)作用下的模態(tài)響應(yīng)βn(t)，較高階奇數(shù)模態(tài)對(duì)儲(chǔ)液器總晃動(dòng)力的貢獻(xiàn)較小[8]，而偶數(shù)階的模態(tài)對(duì)儲(chǔ)液器總晃動(dòng)力不起貢獻(xiàn)作用，所以采用線性模態(tài)理論也能較好地預(yù)測(cè)儲(chǔ)液器晃動(dòng)力。隨著水平擋板到自由液面的距離逐漸變小(即越來越靠近自由液面)，其提供的阻尼比也增大，液體晃動(dòng)呈線性變化。當(dāng)水平擋板位置大于0.9h時(shí)，即靠近于自由液面，采用非線性模型計(jì)算的液面波高與晃動(dòng)力明顯低于數(shù)值模擬結(jié)果，此時(shí)非線性模型失效。這是因?yàn)樗綋醢蹇拷杂梢好鏁r(shí)，對(duì)液體的晃動(dòng)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)影響較大，能明顯的改變液體流動(dòng)方向。

圖5 波高、晃動(dòng)力的理論值與數(shù)值模擬值對(duì)比(擋板位置變化)Fig. 5 Comparison in the wave heights and sloshing forces between analytical and numerical simulation results (with variation in baffle location)

圖6 給出了不同水平擋板位置下儲(chǔ)液器液面波高與晃動(dòng)力對(duì)比圖(數(shù)值模擬值)，由圖6 可知，隨著水平擋板逐漸靠近自由液面，液面波高與晃動(dòng)力幅值減小，這說明水平擋板越靠近于液面，對(duì)液體晃動(dòng)的抑制效果越明顯。表3 詳細(xì)地給出了不同水平擋板位置下儲(chǔ)液器的晃動(dòng)頻率值，從表中可以發(fā)現(xiàn)，隨著水平擋板到自由液面距離的減小，儲(chǔ)液器晃動(dòng)頻率也逐漸減小，減小幅度最大值可達(dá)5.7%。這說明，當(dāng)水平擋板較接近于液面時(shí)，對(duì)儲(chǔ)液器晃動(dòng)頻率影響較明顯，不能忽略，而利用式(20)進(jìn)行修正后的晃動(dòng)頻率與數(shù)值模擬測(cè)得的值較接近，能獲得較好的預(yù)測(cè)效果。

表3 水平擋板位置變化對(duì)儲(chǔ)液器晃動(dòng)頻率影響(lb/L=0.1)Table 3 Effect of the horizontal baffle location on water sloshing frequency in storage tank (lb/L=0.1)

圖6 不同水平擋板位置下液面波高與晃動(dòng)力對(duì)比圖(數(shù)值模擬值)Fig. 6 Variation in wave height and sloshing force with the location of horizontal baffles

4.2 水平擋板長(zhǎng)度對(duì)儲(chǔ)液器晃動(dòng)特性影響

限于篇幅，圖7 只給出水平擋板長(zhǎng)度lb/L為0.05、0.15、0.25 及0.3 工況下儲(chǔ)液器液面波高與晃動(dòng)力的理論值與數(shù)值模擬值對(duì)比圖。由圖7 可知，水平擋板長(zhǎng)度小于0.15L，液體非線性晃動(dòng)現(xiàn)象比較明顯，利用本文的非線性理論模型得到的計(jì)算結(jié)果與數(shù)值結(jié)果較接近，能獲得較好的估算效果，而線性理論同樣會(huì)低估了液面波高，但晃動(dòng)力值卻仍與非線性值接近，原因同4.1 節(jié)所述一致。隨著水平擋板長(zhǎng)度增大，液體晃動(dòng)逐漸呈線性變化，非線性值與線性值都與數(shù)值結(jié)果較接近，能獲得較好的預(yù)測(cè)效果。

圖7 波高、晃動(dòng)力的理論值與數(shù)值模擬值對(duì)比(擋板長(zhǎng)度變化)Fig. 7 Comparison in the wave heights and sloshing forces between analytical and numerical simulation results(with variation in baffle length)

圖8 給出了不同水平擋板長(zhǎng)度下儲(chǔ)液器側(cè)壁液面波高與晃動(dòng)力對(duì)比圖(數(shù)值模擬值)，由圖可知，隨著水平擋板長(zhǎng)度增大，液面波高與晃動(dòng)力幅值減小，液體呈線性晃動(dòng)，說明水平擋板長(zhǎng)度的增大能夠提高儲(chǔ)液器的阻尼比，進(jìn)而也更能抑制液體的非線性晃動(dòng)。表4 給出了不同水平擋板長(zhǎng)度下儲(chǔ)液器的晃動(dòng)頻率值，從表中可以發(fā)現(xiàn)，隨擋板長(zhǎng)度增加，儲(chǔ)液器晃動(dòng)頻率逐漸減小，降低幅度最大值可達(dá)28%，這說明，水平擋板較大時(shí)，它對(duì)儲(chǔ)液器晃動(dòng)頻率影響較明顯，不能忽略，而利用式(20)進(jìn)行修正后的晃動(dòng)頻率與數(shù)值模擬得到的值較接近，能獲得較好的預(yù)測(cè)效果。

圖8 不同水平擋板長(zhǎng)度下液面波高與晃動(dòng)力對(duì)比圖(數(shù)值模擬值)Fig. 8 Variation in wave height and sloshing force with the horizontal baffle length

表4 水平擋板長(zhǎng)度變化對(duì)儲(chǔ)液器晃動(dòng)頻率影響(z/h=0.5)Table 4 Effect of horizontal baffle length on water sloshing frequency in storage tank (z/h=0.5)

5 結(jié)論

通過上述分析，基于本文所研究的工況，得到的結(jié)論如下：

(1)水平擋板靠近儲(chǔ)液器底部或長(zhǎng)度較小時(shí)，儲(chǔ)液器內(nèi)液體的非線性晃動(dòng)現(xiàn)象較明顯，利用理論推導(dǎo)的非線性三階模態(tài)方程得到的波高、晃動(dòng)力與數(shù)值模擬結(jié)果較接近，而一階理論線性值卻明顯低估了儲(chǔ)液器液面波高，但求解的晃動(dòng)力卻與非線性值基本一致。

(2)隨著水平擋板到自由液面距離的變小或長(zhǎng)度的增大時(shí)，液面波高、晃動(dòng)力幅值減小，液體晃動(dòng)呈線性變化，說明擋板位置或長(zhǎng)度的增大能夠提高儲(chǔ)液器的阻尼比，進(jìn)而也更能抑制液體的非線性晃動(dòng)。

(3)當(dāng)水平擋板位置大于0.9h時(shí)，即靠近自由液面，因擋板對(duì)液體運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)影響較明顯，使得線性、非線性理論模型計(jì)算的液面波高與晃動(dòng)均明顯低于數(shù)值模擬結(jié)果。

(4)隨著水平擋板到自由液面距離的變小或長(zhǎng)度的增大，儲(chǔ)液器晃動(dòng)頻率逐漸減小，減小的最大值分別可達(dá)到5.7%、28%，這說明，水平擋板靠近自由液面或長(zhǎng)度較大時(shí)，對(duì)儲(chǔ)液器晃動(dòng)頻率影響較明顯，不能忽略。