陳巖松，朱才朝，譚建軍，宋朝省，宋海藍(lán)

(重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044)

為了應(yīng)對(duì)日益嚴(yán)重的世界能源危機(jī)，風(fēng)能作為一種最具發(fā)展?jié)摿Φ木G色可再生能源，引起了世界各國(guó)廣泛關(guān)注。風(fēng)電齒輪箱是支撐風(fēng)電機(jī)組高效開(kāi)發(fā)風(fēng)能資源的關(guān)鍵傳動(dòng)部件，但在時(shí)變風(fēng)速作用下，百米級(jí)大尺寸、大柔性葉片與塔筒的耦合變形會(huì)使風(fēng)電齒輪箱的輸入載荷產(chǎn)生明顯的隨機(jī)特性，容易惡化齒輪箱行星級(jí)均載性能[1-2]，增大故障失效率[3]，因此開(kāi)展多工況下風(fēng)電齒輪箱行星級(jí)均載性能優(yōu)化研究對(duì)提高風(fēng)電機(jī)組運(yùn)行安全具有重要的意義。

1 風(fēng)電齒輪箱系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

1.1 風(fēng)電齒輪箱結(jié)構(gòu)及傳動(dòng)原理

圖1 風(fēng)電機(jī)組結(jié)構(gòu)圖Fig. 1 Structure of wind turbine

表1 風(fēng)電齒輪箱傳動(dòng)結(jié)構(gòu)參數(shù)

1.2 風(fēng)電齒輪箱系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1.2.1 外部激勵(lì)

風(fēng)速頻率表示在風(fēng)電機(jī)組20年運(yùn)行期間內(nèi)，相同平均風(fēng)速總時(shí)長(zhǎng)與測(cè)量時(shí)長(zhǎng)的百分比值，是反映風(fēng)場(chǎng)平均風(fēng)速統(tǒng)計(jì)特性的重要參數(shù)。根據(jù)某風(fēng)場(chǎng)風(fēng)速統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)[15]，采用雙參數(shù)威布爾分布對(duì)風(fēng)速頻率進(jìn)行擬合，其概率密度函數(shù)為

(1)

式中，k=8.426，c=1.708。

對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)為

(2)

式中：u為風(fēng)速；k為形狀參數(shù)；c為尺度參數(shù)。

考慮風(fēng)切變效應(yīng)，輪轂高度處的風(fēng)速

(3)

式中：zhub為輪轂處高度；uhub為輪轂處風(fēng)速；z為欲求的風(fēng)速離地面高度。

采用Kaimal模型計(jì)算湍流風(fēng)，湍流風(fēng)在空間3個(gè)分量的譜為

(4)

(5)

式中，Λu為湍流尺度系數(shù)。

空間中k,h2點(diǎn)處風(fēng)速相關(guān)模型表示為

(6)

式中：PCoh(f)為空間相干度；Sk,k(f)和Sh,h(f)分別為k和h處的功率譜；Sk,h(f)為空間k和h處的互功率譜；f為頻率。

1.2.2 內(nèi)部激勵(lì)

齒輪嚙合是齒輪箱內(nèi)部激勵(lì)的主要來(lái)源之一。如圖2所示，筆者采用齒輪分片法，將齒輪沿齒寬方向劃分為若干薄片，用彈簧單元表示一對(duì)薄片齒的嚙合，其嚙合剛度通過(guò)ISO 6336標(biāo)準(zhǔn)[17]計(jì)算。齒輪副法向嚙合剛度函數(shù)為拋物線模型，最大值在節(jié)點(diǎn)處，計(jì)算公式為

圖2 輪齒分片示意圖Fig. 2 Schematic diagram of gear slicing

cmax=c′CR，

(7)

式中：c′為單齒嚙合剛度；CR為輪齒結(jié)構(gòu)系數(shù)。

單齒嚙合剛度的計(jì)算公式為

c′=cthCMCBcosβ，

(8)

式中：cth為理論單齒嚙合剛度；CM為理論修正系數(shù)；CB為基本齒條系數(shù)；β為螺旋角。

理論單齒嚙合剛度cth定義為

(9)

(10)

式中：zn1和zn2分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的當(dāng)量齒數(shù)；x1和x2分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的變位系數(shù)。

齒輪時(shí)變嚙合剛度函數(shù)可以表示為

(11)

傳動(dòng)誤差計(jì)算公式為

(12)

式中：φ10和φ20分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪進(jìn)入嚙合時(shí)刻的初始轉(zhuǎn)角；φ1和φ2分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)的位移角；N1和N2分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的齒數(shù)。

1.2.3 齒輪箱系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

采用SIMPACK建立風(fēng)電齒輪箱系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型如圖3所示。采用模態(tài)縮減法計(jì)算部件柔性變形[18-19]，其中，柔性體節(jié)點(diǎn)平移速度為

圖3 SIMPACK齒輪箱系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig. 3 Gearbox dynamic model of SIMPACK

(13)

式中：r為柔性體節(jié)點(diǎn)位移；GAB為局部參考到慣性參考的轉(zhuǎn)換矩陣；s和u分別為柔性體變形前和變形后的節(jié)點(diǎn)位移；I為節(jié)點(diǎn)慣性張量；Φ為節(jié)點(diǎn)模態(tài)矩陣；ξ為節(jié)點(diǎn)廣義坐標(biāo)矩陣。

柔性體節(jié)點(diǎn)角速度為

GωJ=GωB+GωP，

(14)

式中：GωB為物體的角速度；GωP為由于物體變形引起的角速度。

基于公式(13)和式(14)，可得柔性體動(dòng)能表達(dá)式為

(15)

式中，ρ,V,m和m分別為部件的密度、體積、節(jié)點(diǎn)質(zhì)量和質(zhì)量矩陣。

柔性體勢(shì)能包括重力和彈性勢(shì)能，其表達(dá)式為

(16)

式中：x為部件參考系相對(duì)于慣性參考系的位移；A為轉(zhuǎn)換矩陣；g為重力加速度；q為模態(tài)坐標(biāo)系；K為廣義剛度矩陣。

基于式(15)和式(16)，可得風(fēng)電機(jī)組齒輪箱系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

(17)

式中：D為模態(tài)阻尼矩陣；fg為廣義重力；ψ為代數(shù)約束方程；λ為拉格朗日算子；Q為廣義力。

2 風(fēng)電齒輪箱均載優(yōu)化

2.1 設(shè)計(jì)變量

齒輪修形一般包括齒廓修形和齒向修形。如圖4(a)所示，針對(duì)齒廓修形，采用齒頂修緣，包括最大修形量e、修形長(zhǎng)度λ和修形曲線3個(gè)要素。其中，修形曲線采用拋物線。如圖4(b)所示，齒向修形則采用修鼓形方式。由于風(fēng)電齒輪箱第一級(jí)行星級(jí)容易受到非扭載荷的作用，造成其動(dòng)態(tài)性能較差[20]，因此重點(diǎn)優(yōu)化第一級(jí)行星級(jí)齒輪修形參數(shù)，共計(jì)9個(gè)優(yōu)化變量，如表2所示。

圖4 齒輪修形示意圖Fig. 4 Schematic diagram of gear modification

表2 優(yōu)化變量參數(shù)表

2.2 約束條件

基于式(18)～式(19)計(jì)算齒廓修形參數(shù)[21]

(18)

式中：最大修形量ek=fKT+fm；fKT為彈性變形，加工誤差fm=fpb+1/3ff，fpb為基節(jié)誤差，ff為齒形誤差。l為沿單對(duì)齒嚙合的上界點(diǎn)至嚙合始點(diǎn)長(zhǎng)度。x為嚙合位置坐標(biāo)(原點(diǎn)在界點(diǎn)處)。

λ=Pb(εα-1)，

(19)

式中：λ為修形長(zhǎng)度；Pb為齒輪基節(jié)；εα為齒輪端面重合度。

基于式(20)計(jì)算齒向修形參數(shù)[21]

(20)

式中：δ為鼓形量；Ft為嚙合圓周力；b為齒寬。

分別選取式(18)～式(20)計(jì)算值的70%和130%作為表2中修形參數(shù)的最小值和最大值。

2.3 優(yōu)化目標(biāo)

如式(21)所示，對(duì)n種風(fēng)速工況下行星級(jí)均載系數(shù)求和，并將其最小值作為優(yōu)化目標(biāo)。

minf∑=k1f1+k2f2+…+knfn，

(21)

式中，ki(i∈[1,n])為第i種工況對(duì)應(yīng)的權(quán)重值，基于式(22)計(jì)算得到。fi(i∈[1,n])為第i種工況下行星級(jí)均載系數(shù)。

(22)

式中，f(u)為風(fēng)速概率密度函數(shù)，可由公式(1)計(jì)算得到。ai和bi分別為該風(fēng)速工況下的風(fēng)速區(qū)間的下界和上界。

采用拉丁超立方抽樣方法，對(duì)表2中9個(gè)優(yōu)化變量進(jìn)行抽樣組合，然后將每一種抽樣組合作為齒輪箱系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型(式(17))中第一級(jí)行星級(jí)齒輪修形參數(shù)的輸入，并計(jì)算行星級(jí)均載系數(shù)[22-23]。最后，采用支持向量機(jī)回歸(SVR)[24]重構(gòu)第i種風(fēng)速工況下齒輪修形參數(shù)與均載系數(shù)之間的映射函數(shù)，即可得式(21)中fi，其中fi(i∈[1,n])。

假設(shè)x是第i種風(fēng)速工況下的9個(gè)齒輪修形參數(shù)，f(x)則是對(duì)應(yīng)的均載系數(shù)，利用SVR可以構(gòu)建x和f(x)之間的非線性關(guān)系為

f(x)=wTφ(x)+b，

(23)

式中：f(x)表示預(yù)測(cè)值；φ(x)表示非線性映射函數(shù)；w和b是系數(shù)[25]。

圖5所示為在多風(fēng)速工況下風(fēng)電齒輪箱行星級(jí)均載特性優(yōu)化流程。

圖5 風(fēng)電機(jī)組多工況優(yōu)化流程Fig. 5 Flow chart of multi-operating condition optimization of wind turbine

首先，根據(jù)風(fēng)速頻率曲線(式(1))生成具有n種風(fēng)速工況，并作為風(fēng)電機(jī)組整機(jī)模型的外部激勵(lì)，進(jìn)而計(jì)算主軸與輪轂連接處六自由度載荷(Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z，Mx，My，Mz)；然后，將每一種風(fēng)速工況下計(jì)算得到的主軸與輪轂連接處六自由度載荷作為齒輪箱系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的載荷輸入，計(jì)算不同齒輪修形參數(shù)組合(表2)下的行星級(jí)均載系數(shù)，并利用SVR構(gòu)建修形參數(shù)與均載系數(shù)之間的映射關(guān)系；最后，將n種風(fēng)速工況下行星級(jí)均載系數(shù)進(jìn)行加權(quán)求和，以其最小值作為優(yōu)化目標(biāo)，采用遺傳算法求解最優(yōu)的齒輪修形參數(shù)。

在一臺(tái)CPU主頻為2.9G Hz的計(jì)算機(jī)上使用SVR進(jìn)行齒輪修形參數(shù)尋優(yōu)所需要的計(jì)算時(shí)間約10 min。而采用SIMPACK動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行一次計(jì)算需耗時(shí)20 min。由此可見(jiàn)，文中提出的優(yōu)化方法可以大幅提高優(yōu)化效率。

3 結(jié)果與討論

3.1 外部激勵(lì)分析

如圖6(a)所示，從風(fēng)電機(jī)組切入至切出風(fēng)速區(qū)間5～23 m/s，間隔3 m/s，共計(jì)取n=7組風(fēng)速工況，并利用式(22)計(jì)算對(duì)應(yīng)的風(fēng)速頻率，作為式(21)中工況的權(quán)重值。參照IEC 61400-1標(biāo)準(zhǔn)，湍流強(qiáng)度設(shè)置為0.14[16]，可得額定風(fēng)速(11 m/s)下u、v和w3個(gè)方向的湍流風(fēng)速，如圖6(b)所示。

圖6 風(fēng)速頻率及時(shí)域風(fēng)速Fig. 6 Wind speed frequency and time domain wind speed

圖7所示為7種風(fēng)速工況下主軸與輪轂連接處的六自由度載荷。從圖中可以看出，在額定風(fēng)速以下，隨著風(fēng)速的增加，氣動(dòng)轉(zhuǎn)矩也逐漸增大，但非扭載荷與氣動(dòng)轉(zhuǎn)矩的比值顯著下降；在額定風(fēng)速以上時(shí)，由于變槳系統(tǒng)開(kāi)始運(yùn)行，此時(shí)主軸處氣動(dòng)轉(zhuǎn)矩近似恒定，而非扭載荷與氣動(dòng)轉(zhuǎn)矩的比值逐漸增大。

圖7 不同風(fēng)速下主軸載荷Fig. 7 Mainshaft load under different wind speeds

3.2 內(nèi)部激勵(lì)分析

筆者僅針對(duì)第一級(jí)行星級(jí)齒輪開(kāi)展修形優(yōu)化設(shè)計(jì)，圖8所示為非扭載荷對(duì)齒輪箱行星級(jí)齒輪副傳動(dòng)誤差的影響。從圖中可以看出，隨著風(fēng)速的增加，傳動(dòng)誤差幅值也逐漸增大；當(dāng)考慮非扭載荷時(shí)，傳動(dòng)誤差幅值略有增大。

圖8 非扭載荷對(duì)傳動(dòng)誤差影響Fig. 8 Influence of non-torque load on transmission error

圖9 不同風(fēng)速下優(yōu)化前后行星級(jí)傳動(dòng)誤差Fig. 9 Planetary gear transmission error before and after optimization under different wind speeds

圖10所示為額定風(fēng)速工況下行星級(jí)齒輪副時(shí)變嚙合剛度優(yōu)化前后對(duì)比。從圖中可以看出，優(yōu)化后的齒輪副嚙合剛度激勵(lì)(波動(dòng))顯著減小。圖11所示為不同風(fēng)速工況下行星級(jí)齒輪副嚙合剛度激勵(lì)優(yōu)化前后對(duì)比。從圖中可以看出，齒輪副嚙合剛度激勵(lì)受風(fēng)速工況的影響不大，整體變化較為平緩。但優(yōu)化后的行星級(jí)嚙合剛度激勵(lì)顯著降低。

圖10 行星級(jí)優(yōu)化前后齒輪副時(shí)變嚙合剛度對(duì)比Fig. 10 Comparison of time-varying meshing stiffness of planetary gears before and after optimization

圖11 不同風(fēng)速下行星級(jí)齒輪副嚙合剛度激勵(lì)Fig. 11 Meshing stiffness of planetary gears under different wind speeds

3.3 齒面載荷分析

圖12 額定風(fēng)速下優(yōu)化前后齒面載荷分布Fig. 12 Load distribution of tooth surface before and after optimization under rated wind speed

3.4 均載性能分析

通過(guò)行星輪和內(nèi)齒圈動(dòng)態(tài)嚙合力計(jì)算均載系數(shù)k1，同時(shí)利用行星輪軸承力計(jì)算均載系數(shù)k2[24-25]，分別如式(24)和式(25)所示。

(24)

(25)

圖13 額定風(fēng)速下行星輪-內(nèi)齒圈動(dòng)態(tài)嚙合力及均載系數(shù)k1Fig. 13 Dynamic meshing force and load sharing coefficient of planet-ring gear under rated wind speed

圖14 額定風(fēng)速下行星輪軸承力及均載系數(shù)k2Fig. 14 Dynamic bearing force and load sharing coefficient of planet gear under rated wind speed

利用式(26)計(jì)算行星輪上、下風(fēng)向軸承力差值與軸承力額定值的百分比p。

(26)

式中：Fupwind和Fdownwind分別為行星輪上、下風(fēng)向軸承力；Frated為額定的行星輪軸承力。

圖15所示為第1個(gè)行星輪上、下風(fēng)向軸承力差值。從圖中可以看出，當(dāng)不考慮非扭載荷時(shí)，行星輪1上、下風(fēng)向軸承力差值較小，而考慮非扭載荷后，行星輪1上、下風(fēng)向軸承力差值顯著增大，但隨著風(fēng)速的增加，其差值又逐漸減小。其主要原因是在低風(fēng)速工況時(shí)，氣動(dòng)轉(zhuǎn)矩較小，行星輪軸承力也較小，此時(shí)行星輪軸承力易受到非扭載荷的影響[2,19]，而在額定風(fēng)速及以上時(shí)，氣動(dòng)轉(zhuǎn)矩為額定值，此時(shí)行星輪軸承以承擔(dān)扭矩載荷為主。優(yōu)化后的行星輪上、下風(fēng)向軸承力差值明顯減小，偏載現(xiàn)象得到明顯改善，與圖12結(jié)果相符。

圖15 優(yōu)化前后行星輪1上下風(fēng)向軸承力Fig. 15 Upwind and downwind bearing force of planet gear 1 before and after optimization

圖16所示為優(yōu)化前后的行星級(jí)均載系數(shù)k1和k2對(duì)比。從圖中可以看出，不考慮非扭載荷時(shí)，行星級(jí)均載系數(shù)隨著風(fēng)速的增加而增大，在達(dá)到額定風(fēng)速后保持不變，但考慮非扭載荷后，隨著風(fēng)速的增大，行星級(jí)均載系數(shù)先減小再增大。結(jié)合圖7可知，在額定風(fēng)速工況以下時(shí)，隨著風(fēng)速的增加，氣動(dòng)轉(zhuǎn)矩也逐漸增大，但非扭載荷與氣動(dòng)轉(zhuǎn)矩的比值顯著下降，因此行星級(jí)均載系數(shù)逐漸減小，均載性能提高。當(dāng)達(dá)到額定風(fēng)速后，主軸處氣動(dòng)轉(zhuǎn)矩近似恒定，但非扭載荷與氣動(dòng)轉(zhuǎn)矩的比值逐漸增大，導(dǎo)致行星級(jí)均載系數(shù)增大，均載性能降低。優(yōu)化后的行星級(jí)均載性能在不同風(fēng)速工況下均有所提升，在額定風(fēng)速及以上時(shí)均載優(yōu)化效果較好。

圖16 優(yōu)化前后行星級(jí)均載系數(shù)對(duì)比Fig. 16 Comparison of load sharing coefficient of planetary stage before and after optimization

4 結(jié) 論

該文考慮不同風(fēng)速工況下風(fēng)電齒輪箱時(shí)變輸入載荷的影響，結(jié)合風(fēng)電齒輪箱系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，構(gòu)建了多風(fēng)速工況下風(fēng)電齒輪箱行星級(jí)均載性能優(yōu)化模型，以齒輪箱行星級(jí)均載系數(shù)綜合最小為優(yōu)化目標(biāo)對(duì)行星級(jí)齒輪副進(jìn)行修形優(yōu)化設(shè)計(jì)，對(duì)比了不同風(fēng)速工況下優(yōu)化前后風(fēng)電齒輪箱運(yùn)行性能，得出以下結(jié)論：

1) 在額定風(fēng)速以下時(shí)，隨著風(fēng)速的增加，非扭載荷與氣動(dòng)轉(zhuǎn)矩比值顯著減小，而在額定風(fēng)速及以上時(shí)，在變槳控制作用下其比值逐漸增大。較大的非扭載荷占比會(huì)造成行星級(jí)齒輪和軸承產(chǎn)生明顯的偏載。

2) 不同風(fēng)速工況下，優(yōu)化后的行星級(jí)齒輪副傳動(dòng)誤差和嚙合剛度波動(dòng)幅值均顯著降低，并且齒面載荷分布均勻，行星輪上、下風(fēng)向軸承的偏載現(xiàn)象得到有效改善。

3) 隨著風(fēng)速的增加，非扭載荷占比變化會(huì)使行星級(jí)均載系數(shù)先減小再增大，并且優(yōu)化后的行星級(jí)均載性能在不同風(fēng)速工況下均有所提升，在額定風(fēng)速及以上時(shí)均載優(yōu)化效果較好。