高興宇，付樹兵，李 煜，陸佳琪

（桂林電子科技大學機電工程學院，廣西 桂林 541004）

1 引言

六軸工業(yè)機器人因其通用性強、靈活性高、容錯能力強、工作空間大等優(yōu)勢，在汽車、航空，軍工以及電力等領域得到廣泛使用。目前工業(yè)機器人普遍存在的問題是重復定位精度高，絕對定位精度低，限制了工業(yè)機器人在高端和高精密場合的推廣和使用。

而提高機器人定位精度主要有兩種方式：（一）提高機器人生產(chǎn)工藝、零件加工精度、整體裝配精度。該方法對提高絕對定位精度作用不明顯，同時成本驟增；（二）機器人精度標定，主要包含：運動學建模、誤差測量、參數(shù)辨識、誤差補償。該方法可以顯著提升機器人定位精度，是目前研究學者為提高機器人定位精度普遍使用的一種研究方法。其中，參數(shù)辨識是機器人精度標定的重點，由于冗余參數(shù)，部分相關參數(shù)的干擾，參數(shù)辨識精度低，誤差補償效果不理想。最終導致機器人絕對定位精度低的瓶頸一直沒有得到很好的突破。

文獻[1]以IRB120機器人為標定對象，利用奇異值分解與最小二乘法迭代法相結合的參數(shù)辨識方法，實現(xiàn)機器人的定位精度由標定前的0.5mm提高到標定后的0.3mm。文獻[2]提出了一種基于幾何約束的工業(yè)機器人運動學參數(shù)閉環(huán)標定法，長度偏差的標準差從標定前的2.2586mm減少到0.4998mm。文獻[3]提出二級誤差補償，先后使用不同辨識方法對幾何參數(shù)誤差和非幾何參數(shù)誤差進行補償，機器人的平均定位誤差由4.1113mm 下降至1.0608mm。文獻[4]研究直角坐標機器人的標定，機器人運動精度得到很大提升，但是不具有通用性。

目前大多數(shù)機器人誤差補償后末端定位最大誤差仍停留在毫米級，為解決機器人辨識精度低，誤差補償效果差等問題，提出一種分步式自適應學習參數(shù)辨識方法，并用二分法區(qū)域搜索法改進算法，在X、Y、Z軸上，最大誤差降低至0.1862mm。最終用MATLAB仿真驗證，該算法辨識精度高，辨識結果穩(wěn)定可靠，為機器人精度標定提供理論支撐。

2 運動學建模

目前的工業(yè)機器人主要采用D-H模型，當機器人相鄰關節(jié)旋轉軸線平行或者近乎平行時，存在奇異點，末端位置跳動較大。為解決以上問題并基于參數(shù)最少原則，采用D-H模型與MDH模型相結合，在關節(jié)旋轉軸平行或者近乎平行時，引入繞Y軸的旋轉參數(shù)β[5]，其余保留經(jīng)典的D-H模型。

仍以viper650機器人為實驗對象，坐標關系圖，如圖1所示。結構參數(shù)名義值，如表1所示。如未說明，MATLAB仿真各參數(shù)誤差預設值，如表2所示。

圖1 Viper650機器人坐標系關系圖Fig.1 Viper650 Robot Coordinate System Diagram

表1 運動學參數(shù)名義值Tab.1 Nominal Value of Kinematic Parameters

表2 運動學參數(shù)誤差預設值Tab.2 Kinematic Parameter Error Preset

依據(jù)圖1所示，相鄰關節(jié)坐標系間的D-H變換矩陣為：

其中，2、3關節(jié)間的MDH變換矩陣為：

式中：C—cos；S—sin，i=1、3、4、5、6。最終機器人末端位姿矩陣：

式中：n(nx，ny，nz)、o(ox，oy，oz)、a(ax，ay，az)—機器人末端法蘭相對于基坐標系的姿態(tài)向量；p(px，py，pz)—機器人末端執(zhí)行器的位置向量。則末端位置誤差：

式中：pr—實際位置；pn—名義位置［6］。

對末端位置進行微分處理，其誤差模型如下［7］：

式中：J—（3×25）的機器人誤差系數(shù)矩陣，又稱雅克比矩陣；Δδ—（25×1）的幾何誤差參數(shù)矢量，以下參數(shù)辨識序列皆以此為準。整體需要辨識的參數(shù)為25 個，則要求測量點數(shù)N＞25/3。實際為了提高辨識精度，一般取N≥9構建超定方程組。當雅克比矩陣滿足列滿秩時，可直接進行參數(shù)辨識。

但在實際的機器人標定環(huán)節(jié)，由于機器人存在冗余參數(shù)，其秩rank(J)＜25，運算結果不唯一[8]。往往借助QR分解，對參數(shù)的冗余性進行分析，即：

式中：Q—N×N的正交矩陣；R—（25×25）的上三角矩陣，R矩陣對角線上的元素為J矩陣的列特征值。特征值為0的列代表不起作用參數(shù)所對應的參數(shù)列，特征值很小近乎為0的列代表相關參數(shù)列，不起作用參數(shù)以及部分相關參數(shù)屬于冗余參數(shù)，在最小二乘算法中無法辨識。

QR分解特征值分布的整體和局部放大折線圖，如圖2、圖3所示。傳統(tǒng)最小二乘算法誤差參數(shù)辨識結果，如圖4所示。

圖2 QR分解特征值分布折線圖（a）Fig.2 QR Decomposition Feature Value Distribution Line Chart（a）

圖3 QR分解特征值分布折線圖（b）Fig.3 QR Decomposition Feature Value Distribution Line Chart（b）

圖4 最小二乘算法參數(shù)辨識折線圖Fig.4 Least Squares Algorithm Parameter Identification Line Graph

根據(jù)圖2～圖4可以發(fā)現(xiàn)：

（1）桿長誤差Δai和連桿偏移Δdi的特征值都基本趨向0，其辨識結果存在三種問題：

（a）辨識精度不高；

（b）X、Y、Z軸參數(shù)辨識結果不一致，波動性較大；

（c）部分相關參數(shù)無法辨識。

（2）Δθ6、Δα5、Δα6特征值為0，屬于冗余參數(shù)；

（3）Δd5、Δa5特征值近乎為0，參數(shù)相關性較強，其對應的參數(shù)辨識結果幾乎為零。

根據(jù)運動參數(shù)對末端位置精度影響特性[10]，Δθ6和Δα6的誤差可以忽略，最終需要辨識的參數(shù)有23個。其中Δθi和Δαi的辨識采用傳統(tǒng)的最小二乘法，基本滿足辨識精度要求。

基于以上參數(shù)辨識問題，首次提出等步長區(qū)域搜索辨識Δdi和Δai，并最終采用二分法區(qū)域搜索完善辨識的精度和辨識結果的穩(wěn)定性。

3 工業(yè)機器人誤差模型參數(shù)辨識方法

根據(jù)研究，相同參數(shù)誤差條件下，不同位姿對末端位置精度影響不同，理想的測量位姿對參數(shù)辨識起到事半功倍的效果。

因此在進行誤差參數(shù)辨識之前，需要獲取n組較為合適的位姿進行誤差測量。并首次提出使用方差作為參數(shù)辨識穩(wěn)定性指標。算法流程圖，如圖5、圖6 所示。q11、q12、q13、q14、q15、q16代表Δdi i=1～6辨識結果。同理，p11、p12、p13、p14、p15、p16代表Δai i=1～6辨識結果。兩者初始值為0。

圖5 主流程圖Fig.5 Main Flow Char

圖6 二分法區(qū)域搜索流程圖Fig.6 Dichotomous Region Search Flow Chart

在主流程圖中，varmin首先預設值，當經(jīng)過二分法區(qū)域搜索后，余下參數(shù)誤差辨識完畢。然后根據(jù)當前整體辨識結果，對比參數(shù)誤差補償后方差是否變小。遍歷n2組位姿數(shù)據(jù)，從中挑選參數(shù)誤差辨識效果最好的一組位姿測量點。并輸出誤差補償后最大定位偏差max、方差varmin、均值ave，以及參數(shù)辨識結果rtEr和測量位姿點關節(jié)角度信息th。

其中，th=[th1th2th3th4th5th6]T，代表從隨機數(shù)中選取的40組較佳辨識位姿。在二分法區(qū)域搜索流程圖中，lti，i=(1～12)代表二分法區(qū)域搜索初始值，llt為各參數(shù)停止區(qū)域搜索判斷標準，var2為正向區(qū)域搜索補償后定位偏差方差值，var3為負向區(qū)域搜索補償后定位偏差方差值。通過對比補償前后方差值是否改善，若正負搜索效果不佳，則當前誤差參數(shù)步長二分化。其余參數(shù)辨識進行相同的搜索操作，直至各參數(shù)搜索步長都小于llt，則停止搜索，輸出參數(shù)誤差矩陣rtEr。

4 仿真分析

根據(jù)以上步驟選出測量位姿，并進行仿真實驗。未標定前X、Y、Z軸誤差分布，如圖7所示。

圖7 未標定前誤差折線圖Fig.7 Uncalibrated Front Error Line Chart

根據(jù)圖7顯示發(fā)現(xiàn)：

（1）當參數(shù)都存在微小誤差時，對末端位置定位精度存在明顯的誤差積累效應；

（2）參數(shù)誤差相同，測量點位姿不同，末端位置定位精度差異性較大，驗證前者測量位姿選取的重要性；

（3）同一誤差對X、Y、Z軸的定位精度存在差異性。

辨識誤差補償后在X、Y、Z軸上的誤差折線圖，如圖8～圖10所示。

圖8 X軸誤差分布折線圖（a）Fig.8 X-Axis Error Distribution Line Chart（a）

圖9 Y軸誤差分布折線圖（a）Fig.9 Y-Axis Error Distribution Line Chart（a）

圖10 Z軸誤差分布折線圖（a）Fig.10 Z-Axis Error Distribution Line Chart（a）

第一種辨識方法采用的是傳統(tǒng)的最小二乘算法，不進行迭代處理。其余四種是自身提出的區(qū)域搜索方法，單步長0.01是搜索步長為0.01，單步長0.03是以0.03步長進行區(qū)域搜索。多步長是在單步長0.03的基礎上，增加0.02和0.01步長搜索，增加部分只是放在單步長0.03的末尾，單次搜索，避免陷入局部最優(yōu)，同時對參數(shù)辨識精度起到微調作用。

前面三種區(qū)域搜索都是采取等步長的搜索辦法，辨識結果可能會陷入局部最優(yōu)。最終提出二分法區(qū)域搜索，當初始值小于參數(shù)誤差值時，搜索模式等同于等步長區(qū)域搜索。整個搜索過程是邊搜索邊補償，所以搜索后期初始值大于參數(shù)誤差值，進入二分法搜索模式。初始值大于或者小于參數(shù)誤差值時，對參數(shù)辨識精度影響不大，但初始值不宜小于單步長的初始值，否者失去二分法意義。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當參數(shù)誤差較小時，區(qū)域搜索的辨識方法明顯優(yōu)于傳統(tǒng)最小二乘算法，其誤差補償后曲線擬合度高，辨識精度高，結果差異性小。由前面的QR分解特征值分布圖可以知道，轉角Δθi和扭角Δαi辨識結果精度較高，桿長偏差Δai和連桿偏移Δdi特征值趨于0，參數(shù)相關性較強，辨識精度較低。

對桿長偏差Δai和連桿偏移Δdi重新設定預設值，如表3所示。其余參數(shù)誤差保持不變。新誤差預設值辨識補償后，在X、Y、Z軸上的誤差折線圖，如圖11～圖13所示。

表3 桿長偏差和連桿偏移新預設值Tab.3 Rod Length Deviation and Link Offset New Preset

圖11 X軸誤差分布折線圖（b）Fig.11 X-Axis Error Distribution Line Chart（b）

圖12 Y軸誤差分布折線圖（b）Fig.12 Y-Axis Error Distribution Line Chart（b）

圖13 Z軸誤差分布折線圖（b）Fig.13 Z-Axis Error Distribution Line Chart（b）

對比圖8～圖10，可得到：

（1）當參數(shù)誤差值較大時，單步長0.01區(qū)域搜索陷入局部最優(yōu)。證明：等步長區(qū)域搜索，步長不能設置過小；（2）當參數(shù)誤差較大時，最小二乘算法辨識結果得到改善，參數(shù)相關性弱化；（3）多步長和單步長0.03的區(qū)域搜索補償效果基本保持一致，但多步長補償效果相對優(yōu)越，說明微調有效；（4）二分法搜索補償效果明顯高于其他算法，特別在Z軸方向上的補償。

最后進行算法穩(wěn)定性仿真驗證，參數(shù)誤差的辨識精度低主要是由于桿長偏差Δai和連桿偏移Δdi的誤差值辨識精度低或者陷入局部最優(yōu)導致。所以對以上12個參數(shù)誤差采用隨機數(shù)分配，在（0，1）內產(chǎn)生30 組預設誤差，每組參數(shù)辨識有40 個測量位姿點，整體實驗基數(shù)較大，實驗驗證結果可靠。

以下的等步長區(qū)域搜索步長初始值都為0.03。30組預設誤差補償后最大定位誤差分布折線圖，如圖14所示。30組預設誤差補償后均值誤差分布折線圖，如圖15所示。30組預設誤差補償后定位誤差方差分布折線圖，如圖16所示。

圖14 預設誤差補償后最大定位誤差Fig.14 Maximum Positioning Error After Preset Error Compensation

圖15 預設誤差補償后均值誤差Fig.15 Mean Error After Preset Error Compensation

圖16 預設誤差補償后方差Fig.16 Variance After Preset Error Compensation

通過圖14～圖16，可以知道：

（1）二分法辨識精度最高，參數(shù)誤差補償后，最大定位誤差在0.2mm以內；（2）二分法辨識精度最高，參數(shù)誤差補償后，定位誤差均值趨于0；（3）二分法辨識精度穩(wěn)定，參數(shù)誤差補償后，定位誤差方差穩(wěn)定趨于0。

不同算法補償后，最大定位誤差對比情況，如表4所示。

表4 最大誤差對照表Tab.4 Maximum Error Comparison Table

由表4可以知道，二分法區(qū)域搜索相對傳統(tǒng)最小二乘算法、單步長區(qū)域搜索法、多步長區(qū)域搜索法最大定位誤差分別下降了81.37%、70.73%、67.21%。最終驗證了二分法區(qū)域搜索誤差參數(shù)辨識的高精度、高可靠性。

5 結語

針對工業(yè)機器人標定環(huán)節(jié)參數(shù)辨識精度低，參數(shù)誤差補償不理想等問題，提出一種分步式自適應學習參數(shù)辨識方法。并對該算法進行改進，采用二分法區(qū)域搜索辨識參數(shù)誤差Δdi、Δai，i=(1～6)。算法改進后，克服了等步長區(qū)域搜索陷入局部最優(yōu)問題，同時參數(shù)誤差辨識精度更高。參數(shù)誤差補償后，末端定位在X、Y、Z軸上的最大偏差降低至0.2mm 以內，說明該辨識算法有效。并在測量位姿選定后，參數(shù)誤差Δdi、Δai，i=(1～6）在［0，1］內隨機產(chǎn)生30 組預設誤差。通過二分法區(qū)域搜索辨識參數(shù)誤差，誤差補償后末端定位最大偏差仍保持在0.2mm以內，說明該算法穩(wěn)定可靠。