張鵬杰，趙寶成

（蘇州科技大學(xué) 江蘇省結(jié)構(gòu)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 蘇州 215011）

支撐斜桿在地震作用下容易發(fā)生受壓失穩(wěn)，在失穩(wěn)后，支撐的承載力會明顯下降。國內(nèi)外學(xué)者提出了各種耗能支撐形式，比如防屈曲支撐[1]、在結(jié)構(gòu)上安裝阻尼器[2]、設(shè)置耗能連梁[3]等方式。文獻(xiàn)[4]采用在傳統(tǒng)支撐的基礎(chǔ)上加入金屬阻尼器的設(shè)計(jì)思路，提出了一種新型腹板開孔屈服耗能支撐，構(gòu)造如圖1所示，開孔腹板為薄弱部位，在水平荷載作用下，開孔腹板首先進(jìn)入塑性變形耗能，整個開孔腹板發(fā)生剪切破壞時，腹板開孔耗能支撐的承載力低于支撐的屈曲荷載，有效避免了支撐發(fā)生整體失穩(wěn)破壞。在此基礎(chǔ)上，發(fā)展了一系列不同形式的板件屈服耗能支撐[5-7]。然而現(xiàn)有的研究成果中，主要對板件屈服耗能支撐的滯回性能研究較多，對恢復(fù)力模型的研究較少。

圖1 腹板開孔耗能支撐

恢復(fù)力模型是根據(jù)大量從試驗(yàn)中獲得的恢復(fù)力與變形的關(guān)系曲線經(jīng)適當(dāng)抽象和簡化而得到的實(shí)用數(shù)學(xué)模型，是結(jié)構(gòu)試件的抗震性能在結(jié)構(gòu)彈塑性地震反應(yīng)分析中的具體體現(xiàn)，恢復(fù)力模型的確定是結(jié)構(gòu)進(jìn)行彈塑性分析中最基礎(chǔ)的一環(huán)[8-10]。根據(jù)模型曲線形狀，恢復(fù)力模型分為折線形恢復(fù)力模型和曲線型恢復(fù)力模型兩—————————大類，折線形恢復(fù)力模型物理意義清晰，使用方便，但在屈服點(diǎn)前后的滯回曲線存在剛度不連續(xù)點(diǎn)，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)非彈性地震動力反應(yīng)分析過程不易收斂且存在誤差累計(jì)的情況，使得分析結(jié)果與實(shí)際情況不符。曲線型恢復(fù)力模型對各種滯回曲線都能較好的近似描述，且剛度變化連續(xù)，模擬精度較高，與工程實(shí)際比較符合。Bouc-Wen模型具有曲線光滑、易于計(jì)算收斂、曲線具有極強(qiáng)的適應(yīng)性，僅用一個微分方程就可以表現(xiàn)出復(fù)雜曲線的滯回特性的優(yōu)勢。綜合上述原因，本文將采用Bouc-Wen模型，對新型耗能支撐基于Bouc-Wen模型的參數(shù)進(jìn)行識別，得到該新型耗能支撐的參數(shù)取值。

1 Bouc-Wen模型

經(jīng)Bouc和Wen的研究[11-12]，提出了光滑的恢復(fù)力曲線的微分形式

式中：R為支撐的軸向恢復(fù)力，u為結(jié)構(gòu)相對位移；k為支撐的軸向彈性剛度，α為屈服后剛度與彈性剛度的比值，z為結(jié)構(gòu)滯回位移，A、β、γ為控制滯回環(huán)形狀的參數(shù)；n為屈服的尖銳程度參數(shù)。

Baber和Wen引入強(qiáng)度和剛度退化特征改進(jìn)Bouc-Wen模型[13]，Baber和Noori考慮了捏縮滑移效應(yīng)進(jìn)一步改進(jìn)Bouc-Wen模型[14]，經(jīng)過多位學(xué)者對Bouc-Wen模型的不斷改進(jìn)，Bouc-Wen模型由最初的5個參數(shù)發(fā)展到13個參數(shù)，改進(jìn)型Bouc-Wen模型的恢復(fù)力曲線微分關(guān)系式

其中，式（4）與滯回環(huán)所消耗的總能量呈線性關(guān)系，用于衡量剛度和強(qiáng)度退化的參數(shù)。其中k、α、z、A，n，β，γ與Bouc-Wen模型參數(shù)含義相同，δν為強(qiáng)度退化因子，δη為剛度退化因子，ζ為總滑移的尺寸，q為縮聚初始量，p為縮聚的量級，ψ為縮聚的量級，δψ為縮聚率，λ為縮聚的嚴(yán)重程度與相互作用的比率。

圖2和圖3對比發(fā)現(xiàn)相關(guān)參數(shù)的引用使改進(jìn)型Bouc-Wen模型在反復(fù)荷載作用下能夠很好地模擬試件所具有的捏攏效應(yīng)等一系列曲線特性，同時增加了參數(shù)擬合的難度。為了更好的對比兩種模型的區(qū)別，本文對兩種模型均給出試件BDW-1的擬合對比情況，具體對比見下文。

圖2 Bouc-Wen模型對應(yīng)曲線

圖3 改進(jìn)型Bouc-Wen模型對應(yīng)曲線

2 板件屈服耗能支撐試驗(yàn)簡介

本文采用文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[6]、文獻(xiàn)[7]的耗能支撐試件進(jìn)行分析。其中文獻(xiàn)[5]的試件為腹板開孔耗能支撐，耗能支撐采用交叉雙工字鋼十字形截面，兩端與框架連接的工字鋼，腹板開長圓孔，通過腹板開槽與中間工字鋼拼接，在荷載作用下，通過開孔腹板的孔間板件剪切屈服耗散能量。試件BDW-1在端部設(shè)置一層開孔腹板，如圖4（a）所示。試件BDW-2在端部對稱設(shè)置兩層開孔腹板，試件BDW-3在端部設(shè)置三層開孔腹板。

圖4 耗能支撐試件[5]

在文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)思路的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[6]的構(gòu)件將耗能部件改為連接板，通過平行設(shè)置的連接板將中間工字鋼和翼緣連接，在荷載作用下通過連接板彎曲耗能可極大地提高試件的變形能力。試件BDP-1與BDP-2在構(gòu)造上一致，如圖4（b）所示，具體差距體現(xiàn)在連接板的尺寸區(qū)別。文獻(xiàn)[7]的試件為裝配式H型鋼腹板開孔耗能支撐，H型鋼與槽鋼采用螺栓連接，在荷載作用下，試件通過H型鋼開孔腹板的孔間短柱剪切屈服耗能。試件在構(gòu)造上一致，如圖4（c）所示，差異在開孔形式上，試件BDC-1開長圓孔，試件BDC-2開橢圓孔，試件BDC-3開菱形孔。加載的試驗(yàn)裝置及加載制度均參考文獻(xiàn)[7]，具體構(gòu)件的各項(xiàng)參數(shù)見表1。

表1 各試件參數(shù)

3 參數(shù)擬合方法

本文采用Excel的規(guī)劃求解工具進(jìn)行復(fù)雜非線性方程的最優(yōu)擬合，對Bouc-Wen模型中的參數(shù)進(jìn)行識別[15]，該方法原理簡單易操作，避免復(fù)雜的編程，且擬合效果較好。

3.1 擬合參數(shù)準(zhǔn)備工作

3.1.1 彈性剛度k

在對Bouc-Wen模型中的參數(shù)進(jìn)行識別之前，可先由試件中所含的各連接段的長度和面積計(jì)算試件的初始剛度，根據(jù)試件截面形式的不同給出各試件的擬合公式。

BDW（BDC）系列初始剛度Kz擬合公式

其中，G為剪切模量；k1為截面剪切不均勻系數(shù)（矩形截面為1.2）；截面影響系數(shù)γ1=l1/L、γ2=l2/Hc、γ3=l1/L0，具體尺寸參數(shù)見圖5；n為孔間短柱個數(shù)，α是考慮了邊界條件以及開孔對彎曲剛度的影響系數(shù)，α=l2h0/（30hc）；E為彈性模量。β取值為400時得到BDW系列初始剛度擬合公式的局部最優(yōu)解，β取值為485時得到BDC系列初始剛度擬合公式的局部最優(yōu)解。BDP系列初始剛度（Kz）擬合公式為

圖5 開口腹板剛度劃分

其中，具體尺寸參數(shù)見圖6，nf為彎曲板個數(shù)，ns為剪切板個數(shù)，t=ts=tf為彎曲板的厚度，E為彈性模量。η與ζ關(guān)系式為

圖6 彎曲板示意圖

還可由試驗(yàn)數(shù)據(jù)中未進(jìn)入塑性階段的平直段進(jìn)行線性擬合，擬合所得到的斜率即為初始剛度。由于鋼材的彈性模量離散型較小，兩種方法所得的結(jié)果誤差很小，所以本文采用擬合試驗(yàn)數(shù)據(jù)的斜率得到初始剛度，結(jié)果見表2。

表2 彈性剛度及α的數(shù)值

3.1.2 屈服后剛度

α為屈服后剛度與彈性剛度的比值，屈服后剛度的確定方法有3種：（1）根據(jù)試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)，在塑性變形后期，支撐屈服后的平直段比較明顯，可以對平直段的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合，所得斜率即為屈服后剛度。由式（1）反算出內(nèi)變量z，當(dāng)z保持最大值不變時即為平直段。（2）當(dāng)加載位移等于5倍的屈服位移時，內(nèi)部滯后變量微小，即此時恢復(fù)力與加載位移成線性關(guān)系。（3）通過加載位移相差一定值的兩個滯回環(huán)識別屈服后強(qiáng)度，一般試驗(yàn)中的位移加載制度不符合該條件。

根據(jù)本文的參數(shù)敏感度分析可知，屈服后剛度α對Bouc-Wen模型的影響較小，根據(jù)現(xiàn)有試驗(yàn)數(shù)據(jù)對屈服后剛度α進(jìn)行了直線擬合，可供參考，直線擬合結(jié)果為

式中Dy為屈服位移。

3.1.3 屈服位移Dy

在往返加載的曲線中，屈服平臺不明顯無法直接從曲線上判斷屈服位移。屈服位移的識別方法采用對彈性階段的數(shù)據(jù)以及非彈性階段的數(shù)據(jù)進(jìn)行直線方程擬合，兩條直線的交點(diǎn)近似認(rèn)為是屈服位移。

根據(jù)上述方法使用Origin軟件對試件所得試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，處理結(jié)果見表2。

3.2 擬合模型參數(shù)

給定u=0、內(nèi)變量z=0以及剩余未知參數(shù)一個初始值，通過公式（2）計(jì)算出所有的內(nèi)變量z，根據(jù)公式（1）和未知參數(shù)的初值得到擬合后的恢復(fù)力Fmi。參數(shù)擬合方法是構(gòu)造以試驗(yàn)所得的恢復(fù)力與擬合恢復(fù)力的均方根誤差作為目標(biāo)函數(shù)

式中，F(xiàn)ti為試驗(yàn)得到的恢復(fù)力數(shù)據(jù)點(diǎn)Fmi為擬合得到的恢復(fù)力數(shù)據(jù)點(diǎn)，m為試驗(yàn)所采集的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)。

通過Excel中的規(guī)劃求解工具不斷迭代求解目標(biāo)函數(shù)的最小值，以連續(xù)5次迭代目標(biāo)函數(shù)均不發(fā)生較大的數(shù)值變化為終止條件，從而確定Bouc-Wen模型中的未知參數(shù)的一組擬合值。通過上述方法擬合各試件的未知參數(shù)，以迭代結(jié)束為最終結(jié)果。其最終參數(shù)取值見表3，由于屈服位移離散性較小，可將所得未知參數(shù)的取值（y）與屈服位移（x）進(jìn)行函數(shù)擬合，為實(shí)際工程使用提供參考，具體擬合函數(shù)見表4。

表3 擬合Bouc-Wen模型中的未知參數(shù)

表4 擬合未知參數(shù)函數(shù)關(guān)系及建議取值范圍

圖7～圖14為試件采用Bouc-Wen模型擬合的滯回曲線和試驗(yàn)滯回曲線的對比，根據(jù)對比可知，前期擬合程度較高，其基本走勢和特征點(diǎn)均匹配較好，為了更好的對比擬合的程度，分別從滯回曲線、骨架曲線、剛度退化、耗能能力角度分析擬合程度，具體對比情況見圖7～圖14。

通過圖7～圖14及表5可知，各試件的試驗(yàn)與擬合曲線吻合程度較高，各特征點(diǎn)吻合程度高，體現(xiàn)在擬合的骨架曲線以及剛度退化曲線與基本試驗(yàn)曲線吻合程度。針對BDW-2試件在后期試驗(yàn)與擬合曲線尖銳度不同、BDC-2試件在試驗(yàn)曲線波折處與擬合曲線吻合程度不高的等滯回曲線局部不吻合的問題，原因是對于為“目標(biāo)函數(shù)求最小值法”，是通過不斷改變未知參數(shù)的取值使公式中所求的擬合恢復(fù)力與真實(shí)恢復(fù)力無限接近，從而確定最優(yōu)參數(shù)取值，所得到的參數(shù)值是整體曲線的最優(yōu)解，無法通過調(diào)整參數(shù)取值達(dá)到服務(wù)于局部的效果，所以該法所得的參數(shù)取值下，試驗(yàn)滯回曲線與擬合滯回曲線無法完全重合，極值處的尖銳度以及前期后期的擬合精度誤差都是在符合整體取值前提下的最優(yōu)情況。由于試驗(yàn)滯回曲線與擬合滯回曲線不能完全重合，而累計(jì)滯回耗能是根據(jù)滯回曲線的數(shù)據(jù)計(jì)算所得，所以累計(jì)滯回耗能也是存在一定的誤差。對于各試件擬合過程中存在的誤差，表5給出精準(zhǔn)的擬合誤差，其中骨架曲線以正負(fù)向極值點(diǎn)處對應(yīng)值做為誤差分析點(diǎn)，剛度退化曲線以初始剛度作為誤差分析點(diǎn)，耗能能力以累計(jì)耗能最大值作為誤差分析點(diǎn)。

表5 Bouc-Wen模型的擬合誤差

圖7 BDW-1試件擬合和試驗(yàn)特征曲線的對比

圖8 BDW-2試件擬合和試驗(yàn)特征曲線的對比

圖9 BDW-3試件擬合和試驗(yàn)特征曲線的對比

圖10 BDC-1試件擬合和試驗(yàn)特征曲線的對比

圖11 BDC-2試件擬合和試驗(yàn)特征曲線的對比

圖12 BDC-3試件擬合和試驗(yàn)特征曲線的對比

圖13 BDP-1試件擬合和試驗(yàn)特征曲線的對比

圖14 BDP-2試件擬合和試驗(yàn)特征曲線的對比

采用上述方法擬合改進(jìn)型Bouc-Wen模型的參數(shù)，當(dāng)采用A=353.8，α=0.033 7，β=0.024，γ=0.003 25，n=0.62，δy=5.712，δn=0.0037，ζs=0.99，q=0，p=0.418，ψ=96.878，δψ=0，λ=1.5的參考取值時，可得到一組符合目標(biāo)函數(shù)最小值時的參數(shù)取值。下圖為BDW-1試件采用改進(jìn)型Bouc-Wen模型擬合和試驗(yàn)滯回曲線的對比，改進(jìn)后的Bouc-Wen模型很好地?cái)M合了滯回曲線的拉壓不對稱以及曲線存在小程度的捏縮，在骨架曲線與剛度退化曲線方面存在一定的誤差，但從累計(jì)滯回耗能角度，擬合曲線與試驗(yàn)曲線基本保持一致，具體對比情況見圖15。

圖15 BDW-1試件擬合和試驗(yàn)特征曲線的對比

通過圖16擬合BDW-1試件的試驗(yàn)與擬合結(jié)果對比圖可知，采用本文的擬合方法，無論是Bouc-Wen模型還是改進(jìn)型Bouc-Wen模型的擬合結(jié)果均存在部分誤差，無法達(dá)到與試驗(yàn)曲線完全一致，但改進(jìn)型Bouc-Wen模型在轉(zhuǎn)折點(diǎn)區(qū)域與試驗(yàn)曲線走勢相同，而Bouc-Wen模型在轉(zhuǎn)折點(diǎn)處較為尖銳。由于Bouc-Wen模型相較于改進(jìn)型Bouc-Wen模型的參數(shù)較少，較為基礎(chǔ)，使用方便，且將改進(jìn)型Bouc-Wen模型中相關(guān)參數(shù)設(shè)置為0，就是另一種形式的Bouc-Wen模型。所以本文僅針對Bouc-Wen模型做出參數(shù)靈敏度分析。

圖16 BDW-1試件的擬合滯回曲線對比

3.3 參數(shù)靈敏度分析

在Bouc-Wen模型參數(shù)擬合方法上，常用的擬合方法有遺傳算法、最小二乘法，兩者是基于數(shù)值求解的擬合方法，取任意初值時難以保證全局收斂。而退火算法、粒子群算法是基于優(yōu)化技術(shù)的擬合方法，識別效率較低，耗時較久[16]。由于Bouc-Wen模型中的參數(shù)較多，在計(jì)算中需要固定一些低靈敏度的參數(shù)來簡化公式，且對于擬合結(jié)果受初值影響的擬合方法，可通過參考參數(shù)取值變化對滯回曲線的影響來調(diào)整參數(shù)初始值，同時為后面改進(jìn)公式提供參考。本文將對BDW-1試件采用單參數(shù)變化法對各參數(shù)進(jìn)行分析，即將分析參數(shù)變化為擬合參數(shù)的-50%、-25%、25%、50%，固定其他參數(shù)。通過對比滯回曲線的變化，得到單參數(shù)對滯回曲線形狀的影響。

3.3.1 初始剛度k初始剛度k的數(shù)值調(diào)整對滯回曲線的影響，本質(zhì)上是簡單的放大了擬合后的恢復(fù)力。由于其他參數(shù)此時為定值，公式（2）里中間變量z的求解由多元非線性的數(shù)值求根變?yōu)橐辉蔷€性函數(shù)求解，此時在（1）里變量u、中間變量z及α均為定值，所以參數(shù)k的數(shù)值調(diào)整為原有恢復(fù)力倍數(shù)調(diào)整。由于初始剛度通常數(shù)值較大，所以初始剛度k的數(shù)值調(diào)整對滯回曲線的影響也較大，通過觀察圖17，發(fā)現(xiàn)隨著初始剛度的增加，滯回環(huán)整體的走勢及所包圍的面積也明顯增加，隨之極限承載力也隨之增加，初始剛度k的變化對整個滯回曲線的飽滿程度有較大的影響。

圖17 參數(shù)k的敏感度分析

3.3.2 剛度比α

參數(shù)α的數(shù)值調(diào)整對滯回曲線的影響與初始剛度k相同，由于初始剛度往往遠(yuǎn)大于屈服后剛度，所以參數(shù)α的數(shù)值的較小，因此參數(shù)α的數(shù)值調(diào)整對滯回曲線的影響較小。通過觀察圖18，發(fā)現(xiàn)隨著剛度比的增加，滯回環(huán)的飽滿程度變化較小，極限承載力也沒有明顯的變化，僅對整個滯回曲線的總體滯回剛度變化影響較大。

圖18 參數(shù)α的敏感度分析

3.3.3 形狀控制參數(shù)A

參數(shù)A的數(shù)值調(diào)整對滯回曲線的影響，本質(zhì)上是一元非線性多項(xiàng)式函數(shù)求解的問題。根據(jù)公式（16）可知，當(dāng)參數(shù)A的數(shù)值調(diào)整時，由于剩余參數(shù)均為定值，公式轉(zhuǎn)化為中間就是變量z的求解問題，最終由變量z求解后通過公式（1）來影響滯回曲線。通過觀察圖19，發(fā)現(xiàn)隨著形狀控制參數(shù)A的增加，滯回環(huán)的形狀由凌亂扁長狀逐漸飽滿，其所包圍的面積也在增加。參數(shù)A的變化增強(qiáng)了滯回環(huán)的多樣性及適用性，關(guān)于參數(shù)A的是否冗余還是需要具體分析。當(dāng)參數(shù)A的數(shù)值在減少為原本的50%后，其擬合效果較差，形狀控制參數(shù)A對滯回曲線的總體變化趨勢影響較大。

圖19 參數(shù)A的敏感度分析

3.3.4 形狀控制參數(shù)β

參數(shù)β的數(shù)值調(diào)整對滯回曲線的影響與參數(shù)A本質(zhì)是相同的，參數(shù)β的數(shù)值求解公式為（17）。

通過觀察圖20，發(fā)現(xiàn)隨著形狀控制參數(shù)β的增加，滯回環(huán)的形狀由狹長逐漸飽滿，但極限承載力呈逐漸降低的趨勢，參數(shù)β的變化使得滯回環(huán)的形狀變化較大，但形狀控制參數(shù)β對整個滯回曲線的總體變化趨勢影響較小。

圖20 參數(shù)β的敏感度分析

3.3.5 形狀控制參數(shù)γ

參數(shù)γ的數(shù)值調(diào)整對滯回曲線的影響與參數(shù)A本質(zhì)是相同的，參數(shù)γ的數(shù)值求解公式為（18）。通過觀察圖21，發(fā)現(xiàn)隨著形狀控制參數(shù)γ的增加，滯回環(huán)的形狀逐漸由飽滿變得平緩，極限承載力也逐漸減小，且當(dāng)參數(shù)γ在增加50%后，其擬合效果較差，形狀控制參數(shù)γ對整個滯回曲線的飽滿程度影響很大。

圖21 參數(shù)γ的敏感度分析

3.3.6 形狀控制參數(shù)n

參數(shù)n的數(shù)值調(diào)整對滯回曲線的影響，本質(zhì)上是一元非線性對數(shù)函數(shù)求解的問題。參數(shù)n的數(shù)值求解公式為（19），參數(shù)n的調(diào)整轉(zhuǎn)化為中間就是變量z的求解問題，最終由變量z影響滯回曲線的變化，因?yàn)楣剑?9）求解過程比較復(fù)雜，所以在擬合過程中需要慎重調(diào)節(jié)參數(shù)n的取值范圍。通過觀察圖22，發(fā)現(xiàn)隨著形狀控制參數(shù)n的增加，滯回環(huán)的形狀由尖銳的“S”形變得平緩，其對極限承載力的范圍影響較大，同時參數(shù)n在增加為原本數(shù)值的50%后，其擬合效果存在多處不規(guī)則的變化，參數(shù)n對滯回環(huán)的整體走勢及飽滿程度影響很大。

圖22 參數(shù)n的敏感度分析

4 結(jié)論

本文對八根的試件采用試驗(yàn)與擬合結(jié)果對比的方法來確定該系列試件Bouc-Wen模型中的參數(shù)，對比滯回曲線、骨架曲線、累計(jì)耗能曲線顯示該方法得到了較好的識別效果，并得到以下結(jié)論：

（1）對比發(fā)現(xiàn)兩種模型各有優(yōu)缺點(diǎn)，Bouc-Wen模型在骨架曲線和剛度退化曲線方面吻合度較高，改進(jìn)型Bouc-Wen模型則在滯回曲線和累計(jì)耗能方面擬合較好。

（2）擬合參數(shù)β的取值較為穩(wěn)定，可考慮取值在0.12至0.22之間，擬合參數(shù)α可考慮取值在0.01至0.03之間。對于Bouc-Wen模型擬合的參數(shù)數(shù)值，其中參數(shù)A、β、n與屈服位移之間均符合二次函數(shù)關(guān)系，參數(shù)β與參數(shù)γ之間呈一定的線性關(guān)系。

（3）當(dāng)單參數(shù)的數(shù)值變化為-50%或50%時，滯回環(huán)在后期容易出現(xiàn)不規(guī)則波動，適當(dāng)?shù)恼{(diào)整初始參數(shù)的變化范圍在-25%到25%之間，滯回曲線更容易呈飽滿的形狀。

（4）參數(shù)α幅值變化對滯回剛度影響較大，但相對其他參數(shù)幅值變化對滯回環(huán)的影響，參數(shù)α對滯回環(huán)的影響最小，而參數(shù)A、γ、n的變化對滯回環(huán)的形狀影響最大，其余參數(shù)的變化對滯回環(huán)形狀改變均有不同程度上的影響。