程劍銳,施崇廣,瞿麗霞,徐悅,尤延鋮,朱呈祥,*

1. 廈門大學(xué) 航空航天學(xué)院,廈門 361102 2. 中國(guó)航空研究院,北京 100012

激波/邊界層干擾(Shock Wave/Boundary Layer Interaction, SWBLI)機(jī)理及其流動(dòng)控制始終困擾著航空航天工程界和學(xué)術(shù)界。自1940年Ferri首次通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到機(jī)翼后緣的SWBLI造成邊界層分離現(xiàn)象以來(lái),有關(guān)其流動(dòng)特性與影響因素就一直被廣泛地研究與討論。盡管SWBLI流動(dòng)呈現(xiàn)出較強(qiáng)的非定常性,然而構(gòu)建一種時(shí)均的無(wú)黏簡(jiǎn)化模型用于理論描述或分析干擾流場(chǎng)基本特征具有重要意義,譬如Delery等提出經(jīng)典的入射斜激波/平板湍流邊界層干擾無(wú)黏簡(jiǎn)化模型分析方法。但可以發(fā)現(xiàn),以往大多數(shù)的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)研究更多集中于直線型或以直線為母線的圓錐型激波,然而此類流動(dòng)模型在曲面構(gòu)型導(dǎo)致彎曲激波波后流動(dòng)呈現(xiàn)明顯非均勻的情況下似乎難以有效反映出流場(chǎng)特性,即不具備描述一般干擾流場(chǎng)的普適性。以曲面壓縮進(jìn)氣道及其反設(shè)計(jì)為例,彎曲激波/邊界層干擾(Curved Shock Wave/Boundary Layer Interaction, CSWBLI)已經(jīng)逐漸成為不可忽視的流動(dòng)特征。即便在直線激波的邊界層干擾問(wèn)題中,受流動(dòng)非均勻性影響,分離激波及反射激波事實(shí)上也會(huì)呈現(xiàn)出變曲率彎曲的流動(dòng)特性。

本質(zhì)而言,CSWBLI屬于SWBLI,因此除激波本身外,傳統(tǒng)SWBLI的大量研究對(duì)CSWBLI仍具有指導(dǎo)性意義。如Chapman等根據(jù)大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果提出經(jīng)典的自由干擾理論(Free Interaction Theory, FIT),將分離原因歸結(jié)為來(lái)流馬赫數(shù)與雷諾數(shù)的影響,這也成為人們研究流動(dòng)分離的基本定理之一。在后續(xù)研究中,學(xué)者們通過(guò)實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了干擾流場(chǎng)受多種因素共同影響,如邊界層狀態(tài)、入射激波強(qiáng)度、下游擾動(dòng)等。但另一方面,彎曲激波又表現(xiàn)出相較直線激波的特殊性,尤其是沿彎曲激波的不規(guī)則參數(shù)變化以及波后流場(chǎng)的非均勻性,由此也帶來(lái)構(gòu)建CSWBLI流動(dòng)模型的困難。對(duì)于CSWBLI問(wèn)題的準(zhǔn)確描述必須依賴于彎曲激波理論(Curved Shock Theory, CST)的發(fā)展與應(yīng)用。M?lder首次推導(dǎo)出包含渦量變化的非均勻一階彎曲激波方程組,將波后非均勻參數(shù)梯度與激波曲率通過(guò)代數(shù)方程組聯(lián)系起來(lái)。Shi等在上述工作基礎(chǔ)上對(duì)方程沿激波求偏導(dǎo)得到二階彎曲激波方程組以及高階彎曲激波求解方法,而高階參數(shù)意味著更豐富的流場(chǎng)信息與更高的建模精度。因此,CST的建立為CSWBLI流動(dòng)模型的構(gòu)建提供了新的理論方法。

本文以CST為基礎(chǔ),結(jié)合FIT構(gòu)建了二維入射彎曲激波/平板湍流邊界層干擾的流動(dòng)特征模型,通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了模型的可靠性,并在此基礎(chǔ)上應(yīng)用理論模型分析了彎曲入射激波強(qiáng)度、邊界層厚度、下游擾動(dòng)對(duì)二維CSWBLI的影響規(guī)律,總結(jié)了分離區(qū)的增長(zhǎng)特性。

1 彎曲激波/邊界層干擾理論基礎(chǔ)

1.1 彎曲激波理論

有別于直線激波的波后均勻參數(shù),彎曲激波理論建立面臨的最大挑戰(zhàn)在于如何給出波后各向異性的參數(shù)描述,尤其是與波前參數(shù)的關(guān)聯(lián)關(guān)系。事實(shí)上,M?lder和Shi等提出的彎曲激波理論是通過(guò)分析彎曲激波曲率和激波前后流動(dòng)參數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系來(lái)解析流場(chǎng)的,在三維彎曲激波上建立流動(dòng)平面與垂流平面,通過(guò)定義如圖1所示的流向與橫向激波曲率和,將復(fù)雜三維激波曲面映射于兩正交平面(二維流動(dòng)情況下橫向曲率為0)。圖中：激波角定義為曲線-相對(duì)于入射速度的傾角；為沿-方向的距離；和分別為波前波后的流向角；為流動(dòng)偏轉(zhuǎn)角。

通過(guò)引入3個(gè)參數(shù),即標(biāo)準(zhǔn)壓力梯度：=(?/?)·(),為壓力,為流線方向,為密度,為流向速度；流線曲率：=?/?；標(biāo)準(zhǔn)渦量：=,為渦量。將其代入流線-垂流線坐標(biāo)系下的歐拉方程,聯(lián)立R-H方程(式(1)和式(2)),整理可得一階CST方程組(式(3))。

(1)

+sin=+sin(-)

(2)

(3)

式中：為比熱比；為馬赫數(shù)；系數(shù)、、、、、、以及帶角標(biāo)“′”的系數(shù)均為來(lái)流馬赫數(shù)、激波角、流向角的顯式函數(shù)；下標(biāo)“1”和“2”分別代表波前波后參數(shù)。詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程較為復(fù)雜,具體可參考文獻(xiàn)[17, 20]。若沿激波曲線對(duì)一階參數(shù)進(jìn)一步求偏導(dǎo)可以得到二階乃至更高階的彎曲激波方程組。其物理意義在于：相較于直接離散彎曲激波求解R-H方程,該理論僅需求解代數(shù)方程組即可聯(lián)系激波曲率得到波后高階信息,而高階信息意味著跟蹤初始擾動(dòng)的傳播將更為精確。圖2中黑色實(shí)線為特征線法(MOC)計(jì)算結(jié)果；藍(lán)色虛線為一階CST計(jì)算結(jié)果；綠色虛線為二階CST計(jì)算結(jié)果；為來(lái)流壓力；/表示流場(chǎng)橫向無(wú)量綱長(zhǎng)度。

圖1 三維彎曲激波幾何示意圖以及流平面內(nèi)參數(shù)[20]Fig.1 Schematic diagram of geometry of 3D curved shock and variables in flow plane[20]

圖2 不同方法計(jì)算彎曲激波波后沿流線壓力分布 (Sa≠0, Sb=0)[20]Fig.2 Pressure distribution along streamlines after a curved shock calculated by different methods (Sa≠0, Sb=0) [20]

1.2 自由干擾理論

自由干擾理論認(rèn)為,超聲速分離是當(dāng)?shù)剡吔鐚优c無(wú)黏外流間的自由干擾過(guò)程,分離區(qū)增壓比以及干擾長(zhǎng)度只取決于干擾起始點(diǎn)流動(dòng)參數(shù),與下游條件以及激波條件無(wú)關(guān)。盡管越來(lái)越多的研究表明FIT存在一定局限性,但不可否認(rèn)該理論在對(duì)分離點(diǎn)附近的增壓預(yù)測(cè)以及對(duì)激波/邊界層強(qiáng)干擾大分離的定量描述方面仍然是較為準(zhǔn)確的。通過(guò)簡(jiǎn)化分析,在壁面處對(duì)邊界層動(dòng)量方程式(4)作積分,其中、分別為、方向的速度分量,為剪切應(yīng)力。聯(lián)立超聲速等熵流動(dòng)關(guān)系式(5),并對(duì)結(jié)果進(jìn)行無(wú)量綱化處理,得到干擾過(guò)程增壓關(guān)系式(6)。

(4)

(5)

(6)

綜上,本文將綜合應(yīng)用CST與FIT方法,對(duì)在二維條件下彎曲構(gòu)型的入射激波與湍流邊界層相互干擾的流場(chǎng)進(jìn)行理論流動(dòng)建模。

2 彎曲激波/邊界層干擾理論建模方法

2.1 流場(chǎng)區(qū)域劃分

CSWBLI與傳統(tǒng)SWBLI流場(chǎng)結(jié)構(gòu)相似,主要區(qū)別在于激波彎曲帶來(lái)的非均勻性,尤其體現(xiàn)在入射激波/分離激波發(fā)生Ⅰ類Edney干擾后產(chǎn)生的2道透射彎曲激波。圖3給出了CSWBLI流動(dòng)結(jié)構(gòu)示意圖。彎曲入射激波與分離激波相交,產(chǎn)生2道透射激波和,激波后流場(chǎng)的非均勻性使得與均表現(xiàn)出彎曲特征。流動(dòng)穿過(guò)激波+與穿過(guò)激波+熵增不同,因此從激波交點(diǎn)發(fā)出一道彎曲滑移線(剪切層)將兩區(qū)域分隔開(kāi)。透射激波與上壁面后端膨脹扇相互干擾,產(chǎn)生彎曲激波′。此外,理論上存在2條特殊流線可將整個(gè)流場(chǎng)近似劃分為3個(gè)區(qū)域：流線在穿過(guò)入射激波后剛好流經(jīng)膨脹波與透射激波的干擾起始點(diǎn),即激波與′的分隔點(diǎn)；流線在穿過(guò)分離激波后剛好流經(jīng)透射激波與分離包的交點(diǎn),即激波的端點(diǎn)。2條流線將流場(chǎng)劃分為區(qū)域Ⅰ～區(qū)域Ⅲ,其中區(qū)域Ⅰ主要流動(dòng)結(jié)構(gòu)為上游彎曲入射激波壓縮與下游彎曲激波/膨脹波相互干擾；區(qū)域Ⅱ主要流動(dòng)結(jié)構(gòu)為彎曲激波/分離激波相互干擾；區(qū)域Ⅲ主要流動(dòng)結(jié)構(gòu)為少部分無(wú)黏外流、邊界層黏性內(nèi)流以及邊界層分離。

圖3 產(chǎn)生分離的彎曲激波/邊界層干擾模型Fig.3 Flow model of CSWBLI with separation

2.2 Ⅰ區(qū)流動(dòng)建模方法

對(duì)于Ⅰ區(qū)流動(dòng),上游彎曲入射激波可根據(jù)壁面型線由CST方法得到。下游彎曲激波/膨脹波干擾流動(dòng)特征如圖4所示,由于上游入射彎曲激波波后的非均勻性,膨脹波內(nèi)的馬赫線實(shí)際為曲線,將彎曲馬赫線離散為若干微元段,基于等熵流動(dòng)假設(shè)求解,具體分為膨脹波過(guò)程以及激波過(guò)程。

在圖4(a)所示的膨脹波過(guò)程中,EW1為膨脹扇的起始馬赫線,其參數(shù)可在上游入射彎曲激波波后流場(chǎng)內(nèi)插值得到。將馬赫線離散為若干微元段,每段可近似為直線段,即圖4(a)中線段、′,其斜率由馬赫波波前流向角和馬赫角確定,圖中和分別為微元段的局部流向角和局部馬赫角。對(duì)于從點(diǎn)發(fā)出的膨脹扇,沿膨脹角離散為若干微元膨脹扇,且要求流線流經(jīng)每微元膨脹扇轉(zhuǎn)角相等,由描述等熵膨脹/壓縮的P-M方程式(7)求解包括由離散點(diǎn)發(fā)出的流線流向角在內(nèi)的流場(chǎng)參數(shù)。流線與馬赫線交于點(diǎn),聯(lián)立兩直線方程可確定點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而求解點(diǎn)流動(dòng)參數(shù)。重復(fù)上述過(guò)程可逐步解得膨脹扇流場(chǎng)。

(7)

在圖4(b)所示的激波過(guò)程中,透射激波′與膨脹波EW1、EW2等依次相交,使得激波′逐漸向上偏轉(zhuǎn)。其中、、分別為微元段的局部壓力、馬赫數(shù)和激波角。由于在膨脹波過(guò)程中已得到沿馬赫線有關(guān)參數(shù),因此激波過(guò)程主要通過(guò)離散激波,逐步求解激波/馬赫波干擾。在圖4(b) 中,流線流經(jīng)膨脹波EW1上半段加激波段與流經(jīng)激波段加EW1下半段后壓力、流向角相等。其中,流經(jīng)激波參數(shù)變化由R-H方程求解,流經(jīng)馬赫波參數(shù)變化由等熵流動(dòng)二階近似關(guān)系式(8)求解,聯(lián)立此二方程逐步解出激波′的段激波角。此后更新參數(shù),即令馬赫線EW1參數(shù)更新為馬赫線EW2參數(shù),重復(fù)上述過(guò)程逐步解出透射激波′每一微元段的激波角,進(jìn)而求解出激波曲線幾何形狀。

(8)

圖4 彎曲激波/膨脹波干擾流動(dòng)特征Fig.4 Flow characteristic of curved shock wave/expansion wave interaction

2.3 Ⅱ區(qū)流動(dòng)建模方法

對(duì)于Ⅱ區(qū)彎曲激波/分離激波干擾流動(dòng),由于氣流穿過(guò)激波+與穿過(guò)+熵增不同,2個(gè)區(qū)域被一道滑移線隔開(kāi)。激波由于波前參數(shù)非均勻而呈現(xiàn)彎曲特征,激波盡管波前參數(shù)可等效為均勻流場(chǎng),但由于波后流動(dòng)受彎曲滑移線兩側(cè)復(fù)雜流場(chǎng)影響,因此仍然表現(xiàn)出彎曲特征?；凭€兩側(cè)的壓力、流向角相同,可以通過(guò)如圖5(a) 所示的-極曲線確定交點(diǎn)的壓比以及偏轉(zhuǎn)角：由于在激波交點(diǎn)的氣流穿過(guò)激波和與穿過(guò)和的增壓比相同,讀取如圖5(a)中壓比和偏轉(zhuǎn)角即可計(jì)算出對(duì)應(yīng)激波角,進(jìn)而求解該點(diǎn)附近流動(dòng)狀態(tài)。對(duì)于傳統(tǒng)的直線型激波相互干擾,由于波后流場(chǎng)參數(shù)均勻,因此交點(diǎn)處流動(dòng)參數(shù)即為干擾區(qū)流場(chǎng)的流動(dòng)參數(shù)。然而,對(duì)于彎曲的透射激波和,僅獲得滑移線起始點(diǎn)位置的坐標(biāo)(零階信息)以及激波角(一階信息)無(wú)法得到完整激波曲線。這主要是因?yàn)椋杭僭O(shè)在入射激波上選定若干離散點(diǎn),, …,進(jìn)行流線追蹤,則當(dāng)且僅當(dāng)離散點(diǎn)位于時(shí)滿足圖5(a)中曲線Reg2的激波壓縮變化,其他離散點(diǎn)均要首先在激波后經(jīng)過(guò)一段等熵壓縮,且離散點(diǎn)越接近交點(diǎn)則壓縮距離越短,增壓越小,如圖5(b)所示。

本質(zhì)上,-極曲線可認(rèn)為是對(duì)R-H方程的應(yīng)用,即僅能獲取流場(chǎng)參數(shù)的零階信息(坐標(biāo)值)以及一階信息(激波角)。但根據(jù)1.1節(jié)介紹的彎曲激波理論,獲取完整彎曲激波的方法需要解析點(diǎn)參數(shù)的更高階信息。因此分別對(duì)激波、列出彎曲激波方程組式(9)和式(10),其中下標(biāo)“11”和“12”表示波前與波后參數(shù),下標(biāo)“21”和“22”表示波前與波后參數(shù)。對(duì)于二維平面流動(dòng),橫向曲率=0。同時(shí),滑移線兩側(cè)壓力、偏轉(zhuǎn)角處處相等,即壓力梯度和流線曲率相等。求解方程組式(9)～式(11),共計(jì)6個(gè)方程6個(gè)未知數(shù),即、、、、、,可以得到、激波曲率和。

(9)

(10)

圖5 入射激波/分離激波干擾極曲線Fig.5 Shock polar of incident shock/separation shock interaction

(11)

對(duì)于激波的曲線特征而言,激波角相當(dāng)于描述其形狀的一階參數(shù),即′。曲率相當(dāng)于描述其形狀的二階參數(shù),即″。在透射激波、交點(diǎn)處作泰勒展開(kāi),如式(12)所示,可以得到透射曲線激波坐標(biāo)(,),下標(biāo)“=u”和“=d”分別表示點(diǎn)上下側(cè)激波,下標(biāo)“”表示以點(diǎn)作為展開(kāi)點(diǎn)。由于與仍處在入射激波與影響域內(nèi),因此將激波、曲線離散后在入射激波波后流場(chǎng)內(nèi)插值即可得到其波前參數(shù),如壓力、流向角等。

≈+′(-)+″(-)2=u,d

(12)

2.4 Ⅲ區(qū)流動(dòng)建模方法

Ⅲ區(qū)流動(dòng)涉及湍流邊界層的流動(dòng)近似。分離激波在邊界層內(nèi)與湍流邊界層的速度分布相關(guān),法向速度梯度的存在使得該區(qū)域分離激波向壁面彎曲,形成長(zhǎng)度有限的一段彎曲分離激波′,而彎曲分離激波′的高度及形狀取決于當(dāng)?shù)剡吔鐚雍穸燃八俣确植?。湍流邊界層包含黏性層流層、?duì)數(shù)層以及外層,且每層占比受多種因素如雷諾數(shù)、壓力梯度等影響,本文擬采用表征湍流邊界層速度分布的Coles方程來(lái)描述邊界層內(nèi)流動(dòng),即：

(13)

式中：為邊界層厚度；為邊界層位移厚度；為邊界層外流速度；為摩擦速度且/= (/2),為摩擦系數(shù)；= 0.41為von Karman常數(shù)；(/)為尾跡分量,并存在以下關(guān)系式：

關(guān)于湍流SWBLI的分離區(qū)尺寸,目前還無(wú)法解析地給出其表達(dá)式。文獻(xiàn)[28-29]指出,無(wú)論對(duì)于層流還是湍流邊界層的分離,其分離區(qū)上游影響長(zhǎng)度均可表示為幾個(gè)無(wú)量綱特征參數(shù)的相關(guān)函數(shù)：

(14)

式中：為上游影響長(zhǎng)度,即分離點(diǎn)與無(wú)黏激波入射點(diǎn)間長(zhǎng)度；為未受干擾時(shí)激波入射點(diǎn)的邊界層厚度；Const表示常數(shù)；、和分別為來(lái)流馬赫數(shù)、壓力及以邊界層厚度為特征長(zhǎng)度的雷諾數(shù)；Δ為流經(jīng)激波的增壓值；、、為各項(xiàng)指數(shù),在不同條件下取值不同,對(duì)于本文4 ≤≤6、≥10條件,參照文獻(xiàn)[28]分別取、、為-1/3、-7/5、4/3。圖6反映了式(14) 關(guān)于影響長(zhǎng)度擬合情況與數(shù)值模擬及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比,其中黑色實(shí)線“Standard line”反映了式(14)左右表達(dá)式的函數(shù)關(guān)系,圖中黑色圓點(diǎn)代表本文采用數(shù)值模擬方法得到的各算例結(jié)果,其余數(shù)據(jù)點(diǎn)取自文獻(xiàn)[28]。由于邊界層特性與發(fā)展長(zhǎng)度緊密相關(guān),因此本節(jié)在Ⅲ區(qū)流動(dòng)建模以及后文數(shù)值驗(yàn)證中均考慮了一定的邊界層發(fā)展長(zhǎng)度。這一方面可以使得湍流邊界層充分發(fā)展,另一方面也可以通過(guò)控制彎曲激波入射點(diǎn)處的邊界層厚度分析其對(duì)彎曲激波/邊界層干擾的影響規(guī)律。

圖6 入射激波的上游影響長(zhǎng)度Fig.6 Upstream influence length for incident shock

綜上,本節(jié)建立的CSWBLI理論模型,可以快速預(yù)測(cè)二維彎曲激波/湍流邊界層干擾流場(chǎng)中以彎曲激波相交和分離區(qū)等為特征的典型流動(dòng)結(jié)構(gòu),CST方法的應(yīng)用使得彎曲激波波后非均勻流動(dòng)的求解精度更高,也為彎曲激波/邊界層干擾的全流場(chǎng)建模奠定基礎(chǔ)。由于Ⅲ區(qū)建模依賴于工程擬合以及邊界層流動(dòng)近似,因此將在第3節(jié)對(duì)該無(wú)黏理論模型開(kāi)展數(shù)值驗(yàn)證。

3 CSWBLI模型驗(yàn)證

3.1 數(shù)值方法驗(yàn)證

本節(jié)將采用數(shù)值方法驗(yàn)證第2節(jié)提出的CSWBLI模型精度。求解雷諾平均Navier-Stokes方程組,通量項(xiàng)采用二階迎風(fēng)格式離散。以結(jié)構(gòu)網(wǎng)格對(duì)計(jì)算域進(jìn)行網(wǎng)格劃分,并對(duì)邊界層附近加密。為確保網(wǎng)格無(wú)關(guān)性,本文分別繪制3套網(wǎng)格,分別為粗糙網(wǎng)格(18萬(wàn))、中等網(wǎng)格(36萬(wàn))、精細(xì)網(wǎng)格(70萬(wàn)),并設(shè)置相同計(jì)算條件求解流場(chǎng)。分別提取上述3種網(wǎng)格流場(chǎng)中的壁面壓力分布進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果如圖7(圖中為流場(chǎng)入口高度)所示,發(fā)現(xiàn)采用中等網(wǎng)格與粗網(wǎng)格所得初始升壓位置誤差約為0.6%,而壓力峰值誤差為1.8%,由此可以驗(yàn)證網(wǎng)格因素對(duì)計(jì)算結(jié)果影響甚微。綜合考慮計(jì)算量及計(jì)算效率,后文數(shù)值模擬過(guò)程均采用中等網(wǎng)格對(duì)計(jì)算域進(jìn)行劃分。

圖7 不同網(wǎng)格劃分下沿壁面壓力分布Fig.7 Pressure distribution along wall with different meshing method

為了選擇合理的湍流模型,首先參考文獻(xiàn)[16,30]設(shè)計(jì)了2種斜激波/湍流邊界層干擾構(gòu)型,并分別采用SA (Spalart-Allmaras)、-、-Shear Stress Transport (SST)湍流模型進(jìn)行仿真,結(jié)果如圖8(a)和圖8(b)所示。對(duì)比文獻(xiàn)[16,30]中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn),SA湍流模型對(duì)于分離點(diǎn)位置的預(yù)測(cè)均較其他模型更為準(zhǔn)確。事實(shí)上,已有相關(guān)論述表明,SA模型可以有效反映邊界層的黏性影響區(qū),對(duì)存在逆壓梯度的邊界層模擬效果較好,因此本文后續(xù)均采用SA模型開(kāi)展數(shù)值驗(yàn)證。

圖8 不同湍流模型數(shù)值驗(yàn)證Fig.8 CFD verification with different turbulence models

3.2 流場(chǎng)波系結(jié)構(gòu)對(duì)比

為了驗(yàn)證CSWBLI理論模型對(duì)二維彎曲激波/邊界層干擾流動(dòng)特性的預(yù)測(cè)精度,本節(jié)在不同均勻來(lái)流條件下,采用不同二次函數(shù)形式給出彎曲壁面構(gòu)型。為防止該壁面邊界層對(duì)入射激波型線的干擾,對(duì)曲壁面進(jìn)行無(wú)摩擦處理。同時(shí)為使平板邊界層充分發(fā)展,在其上游延伸出一定距離的預(yù)發(fā)展長(zhǎng)度作為遠(yuǎn)場(chǎng)。參數(shù)表示上游預(yù)留的平板長(zhǎng)度,表示來(lái)流入口高度。計(jì)算方法及湍流模型同3.1節(jié)。對(duì)于來(lái)流=6,壁面型線=++1,其中=-0.067 8,=-0.191 9,計(jì)算所得密度梯度數(shù)值紋影如圖9所示,其結(jié)果與CSWBLI理論模型的定性描述相似,即由彎曲上壁面生成1道入射彎曲激波至下壁面平板邊界層引起邊界層分離,進(jìn)而分離區(qū)產(chǎn)生一道分離激波與入射彎曲激波相互干擾并形成2道彎曲透射激波。

圖9 入射彎曲激波/邊界層干擾數(shù)值紋影(y=-0.067 8·x2-0.191 9x+1, Ma∞=6)Fig.9 Numerical schlieren of incident curved shock wave/boundary layer interaction (y=-0.067 8·x2-0.191 9x+1, Ma∞=6)

本文提出的CSWBLI無(wú)黏理論模型著重構(gòu)建了干擾流動(dòng)特征,尤其體現(xiàn)在對(duì)彎曲激波及彎曲激波干擾結(jié)構(gòu)的有效復(fù)現(xiàn)。圖10給出了CSWBLI無(wú)黏模型理論計(jì)算所得各道激波,包括彎曲入射激波、分離激波、透射激波和以及受膨脹波影響的彎曲激波′。圖10中黑色點(diǎn)劃線表示采用簡(jiǎn)化模型理論求解的波系,背景云圖為采用3.1節(jié)計(jì)算方法得到的CFD結(jié)果。圖10(b)和圖10(c)分別為邊界層分離點(diǎn)、激波干擾點(diǎn)附近局部放大圖。圖10(a)內(nèi)各關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)值是在通過(guò)CFD方法得到的流場(chǎng)云圖中直接讀取所得,圖10(b)和圖10(c)坐標(biāo)軸上數(shù)值表示通過(guò)CSWBLI無(wú)黏理論模型計(jì)算的關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)值。將坐標(biāo)看作以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量,分別比較理論模型與云圖各關(guān)鍵點(diǎn)向量的模與向量角。將各關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)值誤差表示在圖11(a)中,縱坐標(biāo)表示理論結(jié)果與CFD結(jié)果的比值?？梢园l(fā)現(xiàn),除分離點(diǎn)外,各關(guān)鍵點(diǎn)向量模誤差最大值小于0.13%,向量角誤差最大值小于2.63%。

圖10 CFD結(jié)果與理論計(jì)算波系對(duì)比(y=-0.067 8x2-0.191 9x+1, Ma∞=6)Fig.10 Comparison of shock waves between CFD and theoretical results (y=-0.067 8x2-0.191 9x+1, Ma∞=6)

此外,分別改變來(lái)流馬赫數(shù)、壁面型線參數(shù)、上游邊界層預(yù)發(fā)展長(zhǎng)度進(jìn)行理論計(jì)算與數(shù)值驗(yàn)證,各算例參數(shù)條件匯于表1,相對(duì)誤差情況分別如圖11(b)～圖11(e)所示?？梢钥闯霎?dāng)參數(shù)條件改變時(shí)其誤差均可保持在較小水平,在算例3的極限情況下最大誤差低于4.5%。由于式(14)本身的擬合精度,部分關(guān)鍵點(diǎn)的數(shù)值結(jié)果與理論結(jié)果存在偏離。然而從整體上看,本文所構(gòu)建的CSWBLI流動(dòng)模型在給定的范圍內(nèi)能夠?qū)崿F(xiàn)較好的流場(chǎng)重構(gòu)。

圖11 關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)的CFD與理論結(jié)果對(duì)比Fig.11 Comparison of CFD and theoretical results of coordinates of key points

表1 不同CSWBLI算例參數(shù)設(shè)定Table 1 Parameter setting in different cases of CSWBLI

3.3 分離區(qū)結(jié)構(gòu)對(duì)比

3.2節(jié)表明CSWBLI理論模型可以有效預(yù)測(cè)二維彎曲激波/邊界層干擾的彎曲激波相交及分離區(qū)特征。本節(jié)將所預(yù)測(cè)的分離區(qū)結(jié)構(gòu)等效為壁面,并在此基礎(chǔ)上結(jié)合二維彎曲壁面開(kāi)展無(wú)黏流動(dòng)數(shù)值仿真。作為對(duì)比,同步對(duì)相同二維彎曲壁面直接開(kāi)展有黏數(shù)值仿真。圖12(a)給出了有黏數(shù)值仿真和結(jié)合CSWBLI理論模型的無(wú)黏數(shù)值仿真得到的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)。可以發(fā)現(xiàn)二者流動(dòng)結(jié)構(gòu)吻合良好,但由于邊界層內(nèi)分離激波′的彎曲特性,理論模型與仿真流場(chǎng)的實(shí)際分離點(diǎn)存在一定偏差。若將壓力平臺(tái)處激波沿圖12(a)中白色虛線延伸至平板并將其交點(diǎn)定義為名義分離點(diǎn),可以發(fā)現(xiàn)名義分離點(diǎn)與理論模型得到的分離點(diǎn)重合度較高。

為了定量對(duì)比2個(gè)流場(chǎng),圖12(b)與圖12(c)分別提取了流線與流線上壓力分布進(jìn)行對(duì)比。其中,圖12(a)有黏流場(chǎng)中流線、仍選取為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)分界線；而在圖12(a) 無(wú)黏流場(chǎng)內(nèi),流線仍為穿過(guò)膨脹波初始馬赫線與透射激波交點(diǎn)的流線,流線則要求其與分離激波的交點(diǎn)和有黏流場(chǎng)中的交點(diǎn)橫坐標(biāo)相同,即保證在兩流場(chǎng)中沿流線的初始?jí)荷恢孟嗤?/p>

對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),圖12(a)中有黏和無(wú)黏流場(chǎng)的激波及流場(chǎng)云圖基本呈現(xiàn)對(duì)稱分布,說(shuō)明干擾流場(chǎng)內(nèi)分離包結(jié)構(gòu)是產(chǎn)生復(fù)雜流動(dòng)結(jié)構(gòu)的主要原因,而本文構(gòu)建的CSWBLI無(wú)黏模型能夠有效反映該分離包結(jié)構(gòu),進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)流場(chǎng)波系的重構(gòu),即通過(guò)無(wú)黏流動(dòng)來(lái)復(fù)現(xiàn)有黏流動(dòng)的主要特征。從圖12(b)和圖12(c)沿流線、壓力分布的對(duì)比來(lái)看,無(wú)黏流場(chǎng)可以精準(zhǔn)模擬有黏流場(chǎng)的波系位置及激波強(qiáng)度,再次證明了CSWBLI無(wú)黏模型的高重構(gòu)性。

圖12 有黏/無(wú)黏流場(chǎng)流動(dòng)結(jié)構(gòu)和無(wú)量綱壓力分布對(duì)比Fig.12 Flow structure and dimensionless pressure distribution comparison in viscous/inviscid flowfield

4 CSWBLI理論模型應(yīng)用

第3節(jié)通過(guò)數(shù)值方法驗(yàn)證了CSWBLI理論模型,該理論模型無(wú)論是對(duì)二維彎曲激波/邊界層干擾的波系結(jié)構(gòu)還是分離區(qū)位置與尺寸均擁有較好的描述。本節(jié)將嘗試?yán)迷撃Ｐ蛯?duì)二維彎曲激波/邊界層干擾現(xiàn)象進(jìn)行規(guī)律性研究,著重考慮彎曲入射激波強(qiáng)度、邊界層厚度、下游擾動(dòng)3個(gè)關(guān)鍵參數(shù)對(duì)二維CSWBLI流動(dòng)的影響規(guī)律,并在此基礎(chǔ)上總結(jié)分離區(qū)增長(zhǎng)特性。

根據(jù)1.2節(jié)干擾過(guò)程增壓比方程式(6),壓力平臺(tái)性質(zhì)主要由來(lái)流馬赫數(shù)、壁面摩擦系數(shù)決定。而與邊界層性質(zhì)及發(fā)展情況有關(guān),用于描述邊界層發(fā)展情況的參數(shù)可采用當(dāng)?shù)乩字Z數(shù)。對(duì)于較大的情況,應(yīng)用von Karman隱式方程求解,即

(15)

除此之外,入射激波強(qiáng)度對(duì)SWBLI干擾流場(chǎng)也有較大影響。當(dāng)來(lái)流條件一定,斜激波強(qiáng)度可選用激波角表示,但對(duì)于激波角沿曲線變化的彎曲激波而言,需要一個(gè)能夠綜合描述整體激波狀態(tài)的參數(shù)來(lái)衡量其強(qiáng)度。根據(jù)CST方法,來(lái)流條件一定時(shí)彎曲激波幾何條件由壁面曲線形狀決定且一一對(duì)應(yīng)。對(duì)于二次函數(shù)壁面形狀=++,系數(shù)作為入射激波高度的無(wú)量綱基準(zhǔn),令=1,同時(shí)令二次曲線對(duì)稱軸位置-/(2)為常數(shù),此時(shí)可提取參數(shù)作為衡量壁面形狀的唯一幾何參數(shù)。實(shí)際上,對(duì)壁面求二階導(dǎo)得″=2,因此參數(shù)可用于描述壁面的彎曲程度。來(lái)流馬赫數(shù)一定時(shí),代表入射激波的值絕對(duì)值越大則入射激波強(qiáng)度越高。

(16)

式中：表示波后速度；為激波曲線。由式(16)可知,波后等效背壓實(shí)際相當(dāng)于波后的質(zhì)量平均壓力,代表了下游擾動(dòng)對(duì)于入口激波狀態(tài)的綜合影響。對(duì)于本文+的激波相交結(jié)構(gòu),式(16)擴(kuò)展為

(17)

圖13表示不同入射激波下,通過(guò)控制上游邊界層預(yù)發(fā)展長(zhǎng)度來(lái)探究激波入射點(diǎn)邊界層厚度對(duì)分離區(qū)尺寸的影響規(guī)律。分離區(qū)尺寸隨入射點(diǎn)邊界層厚度明顯增長(zhǎng),且激波強(qiáng)度越高則增長(zhǎng)幅度越大。由于在CSWBLI理論建模時(shí)應(yīng)用了式(14),因此其增長(zhǎng)關(guān)系大致滿足的2/3次冪。而對(duì)于同一邊界層厚度條件,入射激波強(qiáng)度越大則分離區(qū)尺寸越大。圖中= -0.098 4為該入射條件下激波強(qiáng)度的最大邊界,若繼續(xù)增大彎曲激波強(qiáng)度,則入射激波在平板發(fā)生正則反射后無(wú)法匹配流線轉(zhuǎn)角,即發(fā)生馬赫反射。

圖13 CSWBLI分離上游影響長(zhǎng)度隨邊界層厚度及入射激波強(qiáng)度的變化Fig.13 Variation of upstream influence length in CSWBLI with local boundary layer thickness and incident shock intensity

圖14反映不同入射彎曲激波下,固定上游預(yù)發(fā)展長(zhǎng)度,分離區(qū)尺寸隨波后背壓的變化規(guī)律。其中黑色點(diǎn)劃線為CSWBLI模型適用邊界。由圖可見(jiàn),激波強(qiáng)度越大則其可承受背壓值越高。在本文設(shè)定條件下,當(dāng)分離激波強(qiáng)度小于入射彎曲激波強(qiáng)度時(shí)(即圖中||≥0.04),分離區(qū)與波后背壓值呈負(fù)相關(guān)。進(jìn)一步減小入射激波強(qiáng)度,該變化趨勢(shì)相反,即在較弱入射激波下,分離區(qū)尺寸隨波后背壓而增大。此外,可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于較小強(qiáng)度的入射激波,分離區(qū)尺寸對(duì)背壓的變化更為敏感,下游很小的擾動(dòng)將造成分離區(qū)尺寸較大的改變。

圖14 CSWBLI分離上游影響長(zhǎng)度隨波后反壓的變化Fig.14 Variation of upstream influence length in CSWBLI with back pressure

綜上所述,本節(jié)描述了分離區(qū)隨入射激波強(qiáng)度、激波入射點(diǎn)邊界層厚度、下游擾動(dòng)的增長(zhǎng)規(guī)律。本文所建立基于CST方法的CSWBLI無(wú)黏模型實(shí)際構(gòu)造了描述彎曲激波與邊界層干擾的多元函數(shù),因此以上述影響因子作為輸入條件,以干擾流場(chǎng)特性作為輸出參數(shù),可以有效分析流場(chǎng)內(nèi)參數(shù)分布規(guī)律。

5 結(jié) 論

1) 基于M?lder彎曲激波理論,結(jié)合經(jīng)典的自由干擾理論,構(gòu)建了帶有分離的二維入射彎曲激波/平板湍流邊界層干擾的初步模型CSWBLI。流場(chǎng)內(nèi)3個(gè)區(qū)域采用不同方法加以分析。其中,采用泰勒展開(kāi)求解彎曲激波/分離激波干擾波系的方法有效克服了極曲線法在彎曲激波特性求解應(yīng)用的難題。

2) 二維入射彎曲激波/湍流邊界層干擾,主要特征在于波后各向異性參數(shù)分布。其流動(dòng)結(jié)構(gòu)包括入射彎曲激波、分離激波、彎曲透射激波、分離包結(jié)構(gòu)。相較于入射斜激波/邊界層干擾,CSWBLI中激波呈現(xiàn)出明顯彎曲特性。

3) 通過(guò)數(shù)值方法對(duì)比無(wú)黏理論模型與黏性干擾流動(dòng)情況,提取二者關(guān)鍵點(diǎn)位置向量及沿流線壓力分布做定量對(duì)比。不同條件下流場(chǎng)建模精度不同,最大誤差小于4.5%,最小誤差趨近于0。因此總體而言理論模型能夠較好地實(shí)現(xiàn)黏性流場(chǎng)的重構(gòu)。

4) 建立了以分離點(diǎn)當(dāng)?shù)剡吔鐚雍穸取⑷肷浼げ◤?qiáng)度、波后等效背壓為自變量,以分離區(qū)上游影響長(zhǎng)度為因變量的函數(shù)關(guān)系。在本文設(shè)定條件下,分離區(qū)尺寸隨入射點(diǎn)邊界層厚度增加而增長(zhǎng)；而分離區(qū)受下游擾動(dòng)影響情況與入射激波強(qiáng)度有關(guān),強(qiáng)度較大的激波有能力承受更高的背壓。