吳瓊,馬雷

(華東師范大學物理與電子科學學院理論物理研究所,上海 200241)

0 引言

隨著科技的發(fā)展,計算機技術也日新月異。圖像作為人類獲取信息的主要來源之一,在醫(yī)學、航空航天等領域有著重要作用。在數(shù)字圖像處理中,必須從大量數(shù)據(jù)中提取重要信息,圖像的邊緣提取可以消除圖像的無關信息,從而保留圖像的特征,減少冗余信息量,為后續(xù)工作打下基礎,所以圖像邊緣檢測技術是數(shù)字圖像處理領域最核心的技術之一。近年來,隨著網(wǎng)絡和多媒體技術的發(fā)展,圖像數(shù)據(jù)庫變得越來越龐大,如何實現(xiàn)圖像邊緣的實時精確定位和提取成為一個亟需解決的難題。

量子計算與量子信息是一門新興的交叉學科,涉及物理學、計算機科學、數(shù)學和信息科學等領域。由于量子計算基于量子態(tài)的疊加性,既可以降低圖像的存儲空間,又可以減小計算的復雜度。目前為止,量子圖像處理已經(jīng)在圖像加密[1]、圖像水印[2]、圖像分割[3]等問題上取得了一定的突破,近年來,人們對量子圖像邊緣算法進行了大量研究。

2015年,基于量子圖像的靈活表示(FRQI)[4]模型,Zhang等[5]提出了一種新型量子圖像邊緣提取算法—Qsobel算法?；跀?shù)字圖像增強量子表示(NEQR)模型[6],Fan等[7]在2019年提出了改進的量子拉普拉斯算法;2020年,Li等[8]提出了經(jīng)典Marr-Hildreth邊緣檢測(即LoG算法)的量子實現(xiàn)。但是,對于經(jīng)典邊緣檢測算法中涉及的卷積運算,這些基于FRQI、NEQR模型的量子邊緣檢測算法在量子電路上的操作十分復雜。

2017年,Yao等[9]提出一種新的量子圖像表示―量子概率編碼(QPIE)模型,他們將圖像的像素值用量子態(tài)的概率幅表示,圖像的像素位置用量子態(tài)的基態(tài)表示,并且提出了量子Hardmard邊緣檢測(QHED)算法,用一個Hardmard門就做到了相鄰像素相減的效果,從而粗略地得到了一個圖像的邊緣,此算法完全不依賴于圖像的大小。

綜上所述,盡管量子圖像處理近年來已經(jīng)取得不少成果,但它還遠未發(fā)展成熟,仍有不少工作需要去做,例如運用更簡易的操作完成量子邊緣提取算法。本文基于經(jīng)典LoG算法提出了一種新的量子圖像邊緣檢測算法,并通過計算機模擬計算證明了其有效性和可行性。然后,在圖像中加入了連續(xù)變化的退相干數(shù)據(jù),考察了該算法對噪聲的敏感程度,結果表明在量子存儲和量子計算過程中所發(fā)生的退相干在一定范圍內對該量子LoG邊緣檢測算法并無較大影響,量子LoG圖像邊緣檢測算法能夠滿足圖像的高保真度要求。而對于環(huán)境干擾產(chǎn)生的噪聲影響,該量子算法在噪聲發(fā)生概率較低的范圍內表現(xiàn)出較高的保真度。最后,通過與其他量子算法進行比較,證明本文所提出量子LoG圖像邊緣檢測算法量子成本低,且抗噪性較好。

1 經(jīng)典LoG算法

拉普拉斯算子是經(jīng)典的邊緣提取算子之一,用于邊界檢測時具有簡單、計算速度快、容易實現(xiàn)等好處,但由于其對噪聲太敏感,對信噪比不太高的圖像,檢測出邊界的準確率會大打折扣。為了減少噪聲帶來的影響,可以使用濾波器對圖像進行濾波處理,其中高斯濾波器就是一種較為常用的濾波器。對于圖像,一般采用二維高斯函數(shù),通過高斯濾波和拉普拉斯算子處理可以得到輸出圖像h(x,y)=?2[g(x,y)*f(x,y)],式中*代表卷積運算,g(x,y)是二維高斯函數(shù),f(x,y)是原圖像,(x,y)是圖像的橫、縱坐標[10]。

在線性系統(tǒng)中微分和卷積運算可以交換次序,可得

也稱為LoG算子(高斯-拉普拉斯算子),σ是正態(tài)分布的標準方差。一般使用離散的LoG算子來對圖像進行邊緣提取。

利用上述函數(shù)構造(2k+1)×(2k+1)的LoG卷積核,卷積核尺寸w=2k+1與σ的關系為:(INT表示取整運算)[11]。LoG算子的單位元素可表示為

下面給出一個w=5,σ=0.7,尺寸為5×5的LoG卷積核的例子,即

2 量子LoG圖像邊緣檢測算法

量子圖像的表示有FRQI模型、NEQR模型、QPIE模型等,考慮到邊緣檢測涉及大量像素灰度值的計算,本研究采用QPIE模型表示量子圖像。

2.1 量子圖像QPIE模型

對于二維圖像Q=(Qi j)ML[9],其中Qi j為位置(i,j)處的像素值,i=1,···,M;j=1,···,L;M、L分別代表該二維圖像長、寬的像素數(shù)量。用向量Q來表示圖像的像素值,即Q=vec(Q)=(Q1,1,Q2,1,···,QM,1,Q1,2,···,Qi,j,···,QM,L)T。

圖像數(shù)據(jù)Q可以被映射為一個有n=log2(ML)個量子比特的純量子態(tài),其中計算基矢|k〉對像素的位置進行編碼,系數(shù)ck對像素值進行編碼,當k＜ML時,ck=Qi j/(∑Q2ij)1/2;當k≥ML時,ck=0。通常,在將圖像信息寫入量子態(tài)之前要將像素值按適當比例縮放,使所得的量子態(tài)歸一化。一旦圖像的數(shù)據(jù)以量子形式表現(xiàn)出來,就可以通過各種量子算法對其進行后續(xù)處理。

2.2 量子LoG邊緣檢測算法

根據(jù)QPIE模型,對于一個有N=ML=2n個像素的圖像Q,其可以表示為純量子態(tài)

將LOG算子模板編碼到含有5個量子比特的量子系統(tǒng)中,同樣可以得到LOG算子的量子態(tài)為

對量子態(tài)|Q〉和|QLoG〉進行張量積運算:|R〉=|Q〉?|QLoG〉。

定義一個概率幅置換算符U,表示為

將I2n?H?5應用在量子態(tài)上,即

式中I2n表示一個2n×2n的單位矩陣,H?5表示5個Hardmard門直積。

對量子態(tài)進行測量,當后5個量子比特的結果是|00000〉時,就得到了量子圖像邊緣,其量子電路如圖1。

圖1 基于LoG算子的量子圖像邊緣檢測電路Fig.1 Quantum image edge detection circuit based on LoG operator

得到原始圖像的所有邊緣像素點后,還可以對邊緣圖像進行二值化,即

式中閾值T是利用最大類間方差法計算得到的,由此可以得到邊緣圖像的二值圖。

2.3 數(shù)值模擬與仿真分析

在經(jīng)典計算機上利用Matlab軟件對量子LOG邊緣檢測算法進行了模擬仿真計算,對四幅在數(shù)字圖像處理領域常用的灰度圖像進行邊緣提取,結果如圖2所示。

圖2 量子LoG算法對圖像的邊緣檢測。(a)～(d)均為包含256 pixel×256 pixel的灰度圖像;(e)～(h)經(jīng)典LoG算法的結果;(i)～(l)量子LoG算法的仿真結果Fig.2 Quantum LoG algorithm for edge detection of images.(a)-(d)Grayscale images containing 256 pixel×256 pixel;(e)-(h)Results of classical LoG algorithm;(i)-(l)Simulation results of the quantum LoG algorithm

由圖2可見,在圖像邊緣檢測效果的比較上,量子LoG算法并不弱于經(jīng)典LoG算法,基本保留了圖像邊緣的重要信息,且能夠檢測到更多邊緣,提取的信息更加豐富,說明量子LoG算法在一定程度上是可以取代經(jīng)典LoG算法的,并且其運算速度比經(jīng)典算法快得多。而相比其他的量子算法,例如文獻[8]中基于NEQR模型提出的Marr-Hildreth邊緣檢測,對于一個有2n個像素的圖像,它需要n+23個比特,而本研究基于QPIE模型提出的量子LoG算法只需要n+5個比特,大大簡化了計算的復雜度,更易于在量子計算機上實現(xiàn),這也是本研究所提出新算法的最大優(yōu)勢。

3 量子LoG圖像邊緣檢測算法的退相干分析

由于量子位、量子門和量子存儲器會受到外部環(huán)境和其他量子器件相互作用的影響,會發(fā)生量子糾纏,這些糾纏造成了最終圖片信息的退相干,從而丟失有價值的信息。下面考慮兩種退相干類型的誤差,討論了退相干對量子LoG圖像邊緣檢測算法的影響。

3.1 在量子存儲和提取過程中發(fā)生的退相干類型

在存儲和提取信息過程中,量子態(tài)可能會由于誤操作等因素產(chǎn)生一定的誤差。假設量子態(tài)中每7個比特中就有1個比特位或產(chǎn)生位翻轉型(σx型)誤差,或產(chǎn)生相位翻轉型(σz型)誤差,或產(chǎn)生混合型(σy型)誤差,可描述為

式中:p為產(chǎn)生誤差的概率,eσi為一個大小為128 pixel×128 pixel的關于σi的誤差矩陣,即

量子比特還可能同時發(fā)生三種類型的誤差,理論上可以用此三類誤差的線性組合表示。例如,假設三種誤差同時等概率發(fā)生,可描述為

用量子態(tài)之間的保真度來衡量兩個圖像之間的相似度,從而檢測量子邊緣算子的抗噪性能。對于兩個純態(tài)|φ〉和|φ〉,保真度可以通過其內積的模平方定義,表示為[12]

顯然,0≤F≤1。若這兩個態(tài)是完全相同的,則F=1;若兩個態(tài)完全正交,則F=0,即說明兩個圖像毫無關聯(lián)。對于量子存儲上的誤差,可用(12)式來計算兩個邊緣圖的保真度。

3.2 與環(huán)境相互作用產(chǎn)生的退相干類型

假設量子圖像與環(huán)境有相互作用,由于外部噪聲的狀態(tài)與圖像數(shù)據(jù)不在同一個Hilbert空間內,是一種混合態(tài)的關系,可描述為

式中:p為發(fā)生誤差的概率,|Qnoise〉為高斯噪聲態(tài)。

混合態(tài)密度矩陣為

而對于一個純態(tài)|φ〉和任意態(tài)的密度矩陣ρ,它們的保真度可以表示為

3.3 量子LoG邊緣檢測算法與量子Hadamard邊緣檢測算法的抗噪性比較

考慮到本研究基于QPIE模型來表示量子圖像,為了檢測量子LoG邊緣檢測算法的抗噪性,將所提出算法與文獻[9]中的量子Hadamard邊緣檢測(QHED)算法進行比較(QHED算法是利用相鄰像素之間的差值來判斷圖像邊緣的)。對于同一幅圖像,假設在量子計算或存儲過程中,每7個量子比特中可能有1個量子比特產(chǎn)生誤差,其數(shù)值模擬結果如圖3。圖3(a)為量子存儲過程中三種不同類型誤差帶來的影響,兩種量子算法的保真度都隨產(chǎn)生誤差概率p的增加而下降,其中σy型誤差的下降速度最快,σx型誤差次之,σz型誤差下降的速度最慢。由此可以看出,在相位翻轉型誤差下圖像保真度較高,邊緣提取的結果較好,對量子LoG算法的結果影響較小;而位翻轉誤差或混合型誤差則對量子算法產(chǎn)生較大的干擾;圖3(b)為三種誤差同時等概率產(chǎn)生時的情況,其保真度下降幅度在圖3(a)三種誤差之間,由此可見量子比特分別產(chǎn)生三類噪聲的影響要高于量子比特同時產(chǎn)生三類噪聲的影響;圖3(c)為外部環(huán)境造成的誤差對保真度的影響,隨著概率p的增大,保真度呈現(xiàn)出線性下降的趨勢?？梢园l(fā)現(xiàn)其保真度的變化比純態(tài)下的保真度變化曲線更光滑,這是由于混態(tài)是按概率混合的,且混態(tài)的密度矩陣也用了統(tǒng)計平均的方法,因而混態(tài)下的保真度變化曲線更光滑。

由圖3可見,與QHED算法相比,量子LoG圖像邊緣檢測算法在面對存儲與提取過程中的退相干誤差噪聲時,其保真度隨著噪聲的增大而下降的程度更為平緩,顯示出量子LoG圖像邊緣檢測算法具有更好的抗噪特性,這一點在圖像的識別上也非常重要。由于在量子LoG圖像邊緣檢測算法中還考慮了鄰域像素數(shù)據(jù)的影響,獲得的邊緣信息更為豐富,因而減少了發(fā)生錯誤識別的可能性。對于高斯類型的環(huán)境噪聲,兩種算法所得數(shù)據(jù)的保真度變化趨勢基本相近。

圖3 量子LoG邊緣檢測算法與QHED算法的抗噪性對比。(a)三類誤差分別產(chǎn)生;(b)三類誤差同時產(chǎn)生;(c)環(huán)境噪聲存在Fig.3 Comparison of noise immunity between quantum LoG edge detection algorithm and QHED algorithm.(a)Three kinds of errors occur respectively;(b)Three kinds of errors occur at the same time;(c)Environmental noises exist

4 結論

針對邊緣提取的實時性問題和現(xiàn)有量子圖像邊緣檢測算法的不足,提出了量子LoG圖像邊緣檢測算法。對于一幅2n個像素的圖像,量子LoG圖像邊緣檢測算法只需用n+5個量子比特即可完成邊緣提取。與經(jīng)典的邊緣提取算法相比,該方案的計算速度大大提升,能夠有效解決經(jīng)典算法所遇到的實時性問題。與現(xiàn)有的量子圖像邊緣檢測算法相比,本研究提出的量子算法所需量子比特更少,更易于實驗實現(xiàn)。此外,通過分析在量子存儲和環(huán)境相互作用中可能產(chǎn)生的退相干問題,發(fā)現(xiàn)該量子LoG圖像邊緣檢測算法具有較好的抗噪性。