竺偉梁，龐兆君，司驥躍，杜忠華，程 春

(1. 南京理工大學機械工程學院，南京 210094; 2. 北京機械設(shè)備研究所，北京 100854；3. 寧波大學沖擊與安全工程教育部重點實驗室，寧波 315211)

0 引 言

降低空間碎片帶來的危害是航天界的共同愿望，清理空間碎片的空間繩網(wǎng)技術(shù)應(yīng)運而生并得到了快速發(fā)展。作為新型的空間繩網(wǎng)技術(shù)之一，脈沖展開式飛網(wǎng)利用旋轉(zhuǎn)離心力抑制繩網(wǎng)回彈，實現(xiàn)繩網(wǎng)在無控條件下持久保形，對加快空間碎片清理具有重要促進作用。由于繩網(wǎng)自身材料和結(jié)構(gòu)特性，在發(fā)射后一段時間內(nèi)網(wǎng)面的展開狀態(tài)是不穩(wěn)定的。脈沖展開式飛網(wǎng)發(fā)射展開到網(wǎng)面最大狀態(tài)后將經(jīng)歷回彈-再展開的振蕩階段才能逐漸實現(xiàn)穩(wěn)定。為便于表述，后文中將該階段稱為回彈振蕩期；將回彈振蕩期內(nèi)網(wǎng)面從完全展開狀態(tài)到回彈后最小展開狀態(tài)的降幅稱為最大回彈率。脈沖展開式飛網(wǎng)展開過程中最大回彈率越小、回彈振蕩期越短則網(wǎng)面展開穩(wěn)定性越高。因此，降低最大回彈率、縮短回彈振蕩期對飛網(wǎng)穩(wěn)定展開具有重要意義。

繩網(wǎng)優(yōu)化是提升繩網(wǎng)展開性能的有效方法，根據(jù)優(yōu)化對象可分為繩網(wǎng)發(fā)射參數(shù)優(yōu)化、繩網(wǎng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化和網(wǎng)面質(zhì)量分布優(yōu)化。其中，繩網(wǎng)發(fā)射參數(shù)優(yōu)化相對成熟，通過優(yōu)化發(fā)射速度、發(fā)射角度等提升繩網(wǎng)的展開性能。例如Zhang等設(shè)計了一種半解析的優(yōu)化方法，基于簡化的多柔性梁單元全動力學模型優(yōu)化了繩網(wǎng)的發(fā)射參數(shù)以擴大繩網(wǎng)在指定位置的展開面積。高慶玉、Chen等基于kriging代理模型和MOEA/D-EGO耗時優(yōu)化算法建立了空間繩網(wǎng)的多目標優(yōu)化問題，以繩網(wǎng)發(fā)射速度、發(fā)射夾角和質(zhì)量塊質(zhì)量為優(yōu)化對象,優(yōu)化提升了網(wǎng)面展開性能。繩網(wǎng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化是一種較為新穎的繩網(wǎng)優(yōu)化方法，其通過優(yōu)化繩網(wǎng)結(jié)構(gòu)來提升繩網(wǎng)的展開性能。司驥躍等采用移動可變形組件法構(gòu)建了繩網(wǎng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型，并用遺傳算法對繩網(wǎng)的構(gòu)型進行整體優(yōu)化，使得優(yōu)化后繩網(wǎng)的有效展開位移提升36.18%。上述兩種繩網(wǎng)優(yōu)化方法在一定程度上能夠提升網(wǎng)面的展開性能，但也存在一定局限性。繩網(wǎng)發(fā)射參數(shù)優(yōu)化是初淺的，未能優(yōu)化繩網(wǎng)自身的動力學特性。此外，該方法在實際應(yīng)用中受工況約束影響較大。繩網(wǎng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化則是一種相對深層的優(yōu)化，通過優(yōu)化網(wǎng)面自身的動力學特性以提升繩網(wǎng)展開性能。然而，網(wǎng)面結(jié)構(gòu)優(yōu)化前后網(wǎng)面結(jié)構(gòu)和網(wǎng)面節(jié)點質(zhì)量分布都發(fā)生了變化，難以清楚地界定優(yōu)化指標提升的本質(zhì)原因，也無法歸納得出一般規(guī)律。質(zhì)量分布優(yōu)化也是一種動力學特性優(yōu)化，現(xiàn)有關(guān)于柔性體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布優(yōu)化問題多集中在柔性薄板和柔性伸展臂方面，在繩網(wǎng)動力學方面還沒有學者開展相關(guān)研究。因此，網(wǎng)面質(zhì)量分布優(yōu)化是一種提升繩網(wǎng)展開穩(wěn)定性的新穎方法。該方法以網(wǎng)面各節(jié)點層的質(zhì)量為優(yōu)化對象，建立網(wǎng)面各層質(zhì)量分布規(guī)律，提升繩網(wǎng)的展開穩(wěn)定性。相比于繩網(wǎng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化，網(wǎng)面質(zhì)量分布優(yōu)化可歸納出各層節(jié)點質(zhì)量分布對繩網(wǎng)展開穩(wěn)定性的一般規(guī)律。

本文針對脈沖展開式飛網(wǎng)，基于多體系統(tǒng)傳遞矩陣法建立了網(wǎng)面質(zhì)量分布模型，以縮短回彈振蕩期和降低繩網(wǎng)回彈率為目標優(yōu)化了網(wǎng)面的質(zhì)量分布狀態(tài)，提升了脈沖展開式飛網(wǎng)的展開穩(wěn)定性。

1 繩網(wǎng)動力學建模與脈沖展開式飛網(wǎng)展開原理

1.1 繩網(wǎng)動力學模型

繩網(wǎng)動力學建模中，常用的方法有絕對節(jié)點坐標法、有限元法和集中質(zhì)量法。其中集中質(zhì)量法計算效率高、可移植性強,在繩網(wǎng)優(yōu)化迭代方面具有較大優(yōu)勢。本文采用集中質(zhì)量法，將一條連續(xù)的繩段離散成若干質(zhì)量節(jié)點，相鄰節(jié)點之間通過并聯(lián)的無質(zhì)量彈簧-阻尼單元互相連接，如圖1所示。相鄰節(jié)點間的力可表示為：

圖1 質(zhì)點-彈簧-阻尼模型Fig.1 Mass point-spring-damper model

(1)

(2)

式中：為繩段的楊氏模量；是繩段的截面積；是阻尼比；是繩段的密度；是節(jié)點和之間的繩段質(zhì)量。

進一步將繩網(wǎng)沿網(wǎng)面結(jié)點離散成若干質(zhì)量節(jié)點和彈簧-阻尼單元，并用無向圖=(,)進行表示，如圖2所示。其中，頂點集={1,2,3,…,}代表繩網(wǎng)上離散的質(zhì)量節(jié)點集，邊集代表繩網(wǎng)上相鄰節(jié)點之間的連接繩段集。網(wǎng)面上各節(jié)點之間的連接情況可由鄰接矩陣()表述，其組成元素為，則繩網(wǎng)上節(jié)點的受力可表示為：

圖2 繩網(wǎng)模型Fig.2 Net model

(3)

1.2 脈沖展開式飛網(wǎng)展開原理

脈沖展開式飛網(wǎng)是一種展開過程中利用單次脈沖實現(xiàn)持續(xù)保形的空間繩網(wǎng)，飛網(wǎng)展開過程可分為兩個階段：第一階段為牽引體彈射階段，牽引體以一定發(fā)射角度進行彈射并帶動繩網(wǎng)在空中展開;第二階段為單脈沖作用階段，當飛網(wǎng)面積展開至60%后，牽引體產(chǎn)生切向脈沖力致使網(wǎng)面旋轉(zhuǎn)，并利用旋轉(zhuǎn)離心力實現(xiàn)持續(xù)保形，如圖3所示。

圖3 傳統(tǒng)繩網(wǎng)與脈沖展開式飛網(wǎng)展開過程對比Fig.3 Comparison of the unfolding process between the traditional net and the single-pulse-deployed net

相比于傳統(tǒng)繩網(wǎng)展開，脈沖展開式飛網(wǎng)可避免回彈纏繞，并持續(xù)保持網(wǎng)面展開狀態(tài)。然而，脈沖展開式飛網(wǎng)首次展開至最大值后將經(jīng)歷回彈-再展開的回彈振蕩期，如圖4所示。回彈振蕩期內(nèi)飛網(wǎng)展開狀態(tài)不穩(wěn)定、展開率波動較大將影響對目標的可靠抓捕。

圖4 傳統(tǒng)繩網(wǎng)與脈沖展開式飛網(wǎng)的展開率對比Fig.4 Comparison of the unfolding ratio between the traditional net and the single-pulse-deployed net

優(yōu)化網(wǎng)面的質(zhì)量分布是一種理想的優(yōu)化方式，從飛網(wǎng)自身動力學特性出發(fā)，調(diào)整網(wǎng)面質(zhì)量分布以降低網(wǎng)面回彈率、提升網(wǎng)面展開穩(wěn)定性。該方法無需調(diào)整繩網(wǎng)發(fā)射參數(shù)，因此對一些繩網(wǎng)發(fā)射條件嚴苛的工程具有更好的適應(yīng)性。

2 質(zhì)量分布模型

實際應(yīng)用中，網(wǎng)面結(jié)構(gòu)較大、網(wǎng)格數(shù)多、自由度大，難以直接對網(wǎng)面質(zhì)量分布進行優(yōu)化求解。此外，較多的網(wǎng)格數(shù)將導(dǎo)致質(zhì)量分布優(yōu)化問題中的優(yōu)化變量過多，質(zhì)量分布最優(yōu)解的收斂效果難以保證。因此需根據(jù)繩網(wǎng)結(jié)構(gòu)特性和網(wǎng)面質(zhì)量分布規(guī)律建立網(wǎng)面質(zhì)量分布優(yōu)化模型，降低優(yōu)化變量個數(shù)。

繩網(wǎng)由多個繩段相互連接組成，繩段的受力和運動特性與繩網(wǎng)的動力學特性有著較大的相似性。為便于理論推導(dǎo)，首先建立一維繩段模型，并推導(dǎo)質(zhì)量分布對繩段拉伸和回彈問題的影響規(guī)律。隨后將一維繩段的質(zhì)量分布規(guī)律推廣至脈沖展開式飛網(wǎng)，并建立網(wǎng)面質(zhì)量分布模型，從而將多優(yōu)化變量的網(wǎng)面質(zhì)量分布問題轉(zhuǎn)化為單一優(yōu)化變量模型以提升多目標優(yōu)化求解效率。

2.1 基于傳遞矩陣的一維繩段質(zhì)量分布模型推導(dǎo)

多體系統(tǒng)傳遞矩陣法是一種高效的多體系統(tǒng)研究方法，在兵器、航空、航天等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。采用矩陣形式對離散的繩段模型進行表述，并通過矩陣累乘得到繩段的動力學傳遞矩陣。多體系統(tǒng)的響應(yīng)可由模態(tài)主振動疊加而成，若某階模態(tài)下多體系統(tǒng)的固有頻率為，則對應(yīng)的狀態(tài)量可表述為：

=ei

(4)

式中：i為虛數(shù)單位；稱為模態(tài)坐標下的狀態(tài)量。

=-1

(5)

式中:表示第個物體。

繩段受外力拉伸擾動后，繩段的最大回彈量與其最大拉伸量成正相關(guān)，因此可選取繩段最大拉伸量作為觀測對象。繩段受擾動后在短時間內(nèi)即可達到最大拉伸狀態(tài)，該過程中比例項起主導(dǎo)作用。為便于分析，在短時間內(nèi)可略去阻尼項。因此，繩段模型可進一步簡化為彈簧質(zhì)點模型。對于一根兩端自由且左右對稱的一維繩段，在左右對稱擾動下可構(gòu)建一端固定、另一端自由的多體系統(tǒng)動力學模型，如圖5所示。其中固定端代表繩段的中心點，模型中各離散節(jié)點質(zhì)量分別為，，…，，∈{2,4,6,…,-2}。繩段的質(zhì)量分布通過調(diào)節(jié)離散節(jié)點的質(zhì)量實現(xiàn)。

圖5 繩段動力學模型Fig.5 Dynamical model of rope segment

將一個彈簧和一個節(jié)點視為一個單元，該單元的傳遞矩陣為：

(6)

式中：為節(jié)點的質(zhì)量；為系統(tǒng)的固有頻率；為彈簧的彈性系數(shù)。

對于兩個相鄰的單元，其傳遞矩陣為：

(7)

(8)

(9)

(10)

圖6 等效鄰接單元模型Fig.6 Equivalent model to adjacent element

(11)

在擾動力的作用下，鏈式系統(tǒng)的傳遞矩陣可增廣至3×3的矩陣，對應(yīng)的狀態(tài)量也增廣至3×1的列向量，如式(12)所示。

(12)

4=

(13)

當1,3?2,4,且min(1,3)>2時：

(14)

顯然，4是關(guān)于2的近似反比例遞減函數(shù)，即繩段的最大拉伸量是關(guān)于2的減函數(shù)。其中，=2+4為繩段的總質(zhì)量。

圖7 三種繩段的質(zhì)量分布函數(shù)Fig.7 Three mass distribution functions of the rope

為驗證一維繩段模型推導(dǎo)結(jié)果的正確性，現(xiàn)基于MWorks和Matlab進行驗證。設(shè)置8個串聯(lián)的彈簧阻尼質(zhì)點單元，為避免節(jié)點質(zhì)量過小導(dǎo)致的積分誤差，將繩段總質(zhì)量分為兩部分：一部分為各節(jié)點均分的基礎(chǔ)質(zhì)量，另一部分為質(zhì)量分布規(guī)律決定的可變質(zhì)量。具體參數(shù)設(shè)置詳見表1。

表1 仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters

分別建立線性遞增、均勻分布、凸形遞減、線性遞減和凹形遞減共5組質(zhì)量分布，各組可變質(zhì)量分布情況如圖8所示。

圖8 5種質(zhì)量分布中可變質(zhì)量的分布Fig.8 Five distributions of assignable mass

圖9 不同質(zhì)量分布下繩段的最大伸長量對比Fig.9 Comparison of maximum elongation of rope segments with different mass distributions

2.2 網(wǎng)面質(zhì)量分布模型建立

繩網(wǎng)由若干繩段連接而成，具有類似繩段的運動特性。將繩段的質(zhì)量分布規(guī)律拓展至二維繩網(wǎng)，并通過數(shù)值仿真驗證網(wǎng)面質(zhì)量分布規(guī)律。借鑒一維繩段模型，通過集中質(zhì)量法將網(wǎng)面按照節(jié)點進行離散，并將節(jié)點從網(wǎng)面中心向邊緣進行逐層劃分，如圖10所示。為避免節(jié)點質(zhì)量過小導(dǎo)致的積分誤差，將繩網(wǎng)的總質(zhì)量劃分為基礎(chǔ)質(zhì)量和可變質(zhì)量兩部分。在繩網(wǎng)總可變質(zhì)量守恒條件下通過調(diào)節(jié)各層節(jié)點的可變質(zhì)量實現(xiàn)網(wǎng)面質(zhì)量分布調(diào)整。

圖10 繩網(wǎng)節(jié)點層Fig.10 Tiers of the mass-nodes upon the net

繩網(wǎng)各層節(jié)點數(shù)可表示為：

(15)

式中：∈。對于節(jié)點總層數(shù)為的繩網(wǎng)，第層的節(jié)點質(zhì)量為()。任意兩不同層的節(jié)點質(zhì)量(),()為兩個相互獨立的變量。因此，節(jié)點總層數(shù)為的繩網(wǎng)優(yōu)化變量個數(shù)為。結(jié)合式(15),繩網(wǎng)的可變總質(zhì)量為：

(16)

不失一般性，以邊長為5 m，單邊15格的方形Kevlar繩網(wǎng)為例。從網(wǎng)面中心逐層向外，將網(wǎng)面各層節(jié)點質(zhì)量按照線性遞增、均勻分布、凸形遞減、線性遞減和凹形遞減五種質(zhì)量分布規(guī)律賦值，并保證繩網(wǎng)可變質(zhì)量守恒，如表2所示。其中，繩網(wǎng)總質(zhì)量為0.2448 kg，基礎(chǔ)質(zhì)量0.1224 kg，可變質(zhì)量0.1224 kg?？刂茽恳w彈射速度為5 m/s，牽引體質(zhì)量為350 g，發(fā)射偏角為30°，脈沖速度10 m/s，繩索的彈性模量為70 GPa，泊松比為0.3。

表2 五種網(wǎng)面質(zhì)量分布規(guī)律Table 2 Five kind of net surface mass distribution models

五種網(wǎng)面質(zhì)量分布規(guī)律對應(yīng)的網(wǎng)面展開狀態(tài)如圖11所示。繩網(wǎng)質(zhì)量分布對最大回彈率的影響規(guī)律基本與一維繩段問題中所得規(guī)律一致，在線性遞增、均勻分布、凸形遞減、線性遞減和凹形遞減五個網(wǎng)面質(zhì)量分布規(guī)律中，凹形遞減的質(zhì)量分布規(guī)律所對應(yīng)的網(wǎng)面展開最穩(wěn)定。五種網(wǎng)面質(zhì)量分布規(guī)律所對應(yīng)的網(wǎng)面最大回彈率依次遞減，分別為74.15%，67.50%，60.10%，58.23%，35.57%。

圖11 五種質(zhì)量分布狀態(tài)下脈沖展開式飛網(wǎng)展開率對比Fig.11 Comparison of unfolding ratio of the single-pulse-deployed net under five mass distributions

基于網(wǎng)面節(jié)點分層特性，可將各層節(jié)點質(zhì)量設(shè)為優(yōu)化變量進行優(yōu)化，對于節(jié)點總層數(shù)為的繩網(wǎng)則有個待優(yōu)化的變量。實際工程中通常網(wǎng)面層數(shù)較多，導(dǎo)致繩網(wǎng)質(zhì)量分布優(yōu)化問題中優(yōu)化變量過多，最優(yōu)解難以快速收斂。因此，需要根據(jù)網(wǎng)面質(zhì)量分布規(guī)律建立網(wǎng)面質(zhì)量分布模型，降低繩網(wǎng)質(zhì)量分布優(yōu)化問題中優(yōu)化變量的個數(shù)。由前文分析可知，凹形遞減分布是一種較優(yōu)的質(zhì)量分布規(guī)律，故以此對網(wǎng)面質(zhì)量分布模型進行探究。

第一象限內(nèi)的反比例函數(shù)(-)+是一種典型的凹形遞減函數(shù)，可通過調(diào)節(jié)增益、相位偏移量和常數(shù)項得到不同曲率的凹形遞減函數(shù)。根據(jù)網(wǎng)面節(jié)點層號離散的特點，將反比例函數(shù)改寫為離散形式，得到網(wǎng)面質(zhì)量分布模型：

(17)

式中：為節(jié)點總層數(shù)；為節(jié)點層編號，根據(jù)對網(wǎng)面各層節(jié)點質(zhì)量()進行賦值。為滿足?∈[1,],(,,,)≥0，需保證0<<1且(=,,,)≥0。此時，網(wǎng)面質(zhì)量分布模型中未知自變量為,,。引入邊界條件：(=,,,)=0，即有：

(18)

將式(15)，式(16)代入式(18)得到：

(19)

對于給定可變總質(zhì)量為和繩網(wǎng)節(jié)點總層數(shù)為的繩網(wǎng)，是關(guān)于相位偏移量的單值函數(shù)。故式(17)可進一步改寫為：

(20)

式中：∈(0,1)。此時，網(wǎng)面質(zhì)量分布模型中未知自變量僅為相位偏移量。

3 脈沖展開式飛網(wǎng)多目標優(yōu)化

脈沖展開式飛網(wǎng)展開過程中，以最大回彈率和網(wǎng)面回彈振蕩期(數(shù)值上按照展開率均值穩(wěn)定在95%以上所需的時間進行計算)為目標函數(shù)進行優(yōu)化。

將網(wǎng)面質(zhì)量分布模型和遺傳算法相結(jié)合的優(yōu)化方法(后稱本文方法)，僅需優(yōu)化單一變量即可得到優(yōu)化的網(wǎng)面質(zhì)量分布結(jié)果。該多目標優(yōu)化可表述為：

(21)

式中：()代表相位偏移量與目標函數(shù)集[,]之間的映射；()為關(guān)于參數(shù)的凹形遞減質(zhì)量分布函數(shù)；為繩網(wǎng)的可變總質(zhì)量。

繩網(wǎng)多目標優(yōu)化問題中，和之間具有沖突性，難以找到一個使得兩目標函數(shù)均為最優(yōu)的解。因此，采用Pareto非劣解對優(yōu)化結(jié)果進行表述。以網(wǎng)面邊長為5 m、單邊15格的方向繩網(wǎng)(=8)為例，質(zhì)量均勻分布為初始解進行多目標優(yōu)化。

為對比本文質(zhì)量分布模型下的多目標優(yōu)化效果，設(shè)置對照組：根據(jù)網(wǎng)面節(jié)點分層特性，將每層的節(jié)點質(zhì)量設(shè)置為優(yōu)化變量，并采用遺傳算法進行逐層優(yōu)化，優(yōu)化過程中優(yōu)化變量總數(shù)為。對照組可表述為：

(22)

經(jīng)多目標優(yōu)化分別得到4組Pareto非劣解集，如圖12所示。由于繩段單向受力特點導(dǎo)致的繩網(wǎng)動力學映射不連續(xù)性，使得遺傳算法優(yōu)化得到的Pareto非劣解呈集散狀分布并伴隨多個重疊的非劣解。圖中點的位置代表目標函數(shù)的值，點的大小代表解的重疊度。在相同且較少的遺傳代和種群數(shù)量條件下,本文方法能夠更快地收斂得到更優(yōu)的解；而對照組中，直接采用遺傳算法對網(wǎng)面節(jié)點質(zhì)量進行逐層優(yōu)化的方法則需要更多遺傳代和種群數(shù)量才能收斂得到較優(yōu)解。

圖12 邊長為5 m，單邊15格的方形繩網(wǎng)的Pareto解集Fig.12 Pareto solution set for a square rope net with side length 5 m and 15 grids on each side

本文方法優(yōu)化后,飛網(wǎng)在7 s至9 s內(nèi)恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài)，最大回彈率控制在29.5%以內(nèi)。從初始解到較優(yōu)解的提升是由網(wǎng)面質(zhì)量分布模型實現(xiàn)的，提升幅度較大；在較優(yōu)解的基礎(chǔ)上繼續(xù)增加迭代次數(shù)所獲得的網(wǎng)面展開性能提升是由遺傳算法對參數(shù)的進一步優(yōu)化實現(xiàn)的，提升幅度較小。最大回彈率由網(wǎng)面質(zhì)量均勻分布狀態(tài)下的67.5%降低至網(wǎng)面質(zhì)量分布優(yōu)化后的28%；回彈振蕩期由網(wǎng)面質(zhì)量均勻分布狀態(tài)下的17 s縮短至網(wǎng)面質(zhì)量分布優(yōu)化后的7.2 s。本文方法求得的非劣解對應(yīng)的網(wǎng)面各層質(zhì)量分布基本重合，且越往網(wǎng)面邊緣質(zhì)量差異越小，如圖13所示。

圖13 本文方法求得的網(wǎng)面各層可變質(zhì)量分布Fig.13 Mass distributions corresponding to the Pareto set

選擇本文方法中重疊度最高的非劣解作為最優(yōu)解并提取其對應(yīng)的網(wǎng)面展開狀態(tài)和展開率曲線，如圖14和圖15所示。從網(wǎng)面展開狀態(tài)上看：最優(yōu)解對應(yīng)的網(wǎng)面展開狀態(tài)良好，網(wǎng)面在展開后基本處于平整狀態(tài)，僅在最大回彈點時網(wǎng)面中心處有略微回彈;而質(zhì)量分布均勻的脈沖展開式飛網(wǎng)展開狀態(tài)相對不穩(wěn)定，網(wǎng)面的平整度較差，尤其是在最大回彈點,網(wǎng)面出現(xiàn)較大凹陷，且網(wǎng)面邊角處有較明顯的折疊，如圖14所示。從網(wǎng)面展開率方面看：優(yōu)化后脈沖展開式飛網(wǎng)的回彈現(xiàn)象得到了較好的抑制，發(fā)射后網(wǎng)面展開率快速上升且波動小，僅在3 s內(nèi)即可使得網(wǎng)面展開率穩(wěn)定在80%以上，網(wǎng)面回彈振蕩期縮減至7.2 s內(nèi);而對于網(wǎng)面質(zhì)量均勻分布的繩網(wǎng)則需要在10 s后展開率才能穩(wěn)定在80%。此外，優(yōu)化后的脈沖展開式飛網(wǎng)具有更好的展開穩(wěn)定性，脈沖作用后展開率處于小幅波動狀態(tài)并逐漸向完全展開狀態(tài)收斂；而網(wǎng)面質(zhì)量均勻分布的脈沖展開式飛網(wǎng)仍有周期性的大幅度振蕩，難以快速穩(wěn)定，如圖15 所示。因此在相同發(fā)射工況下，優(yōu)化后的脈沖展開式飛網(wǎng)具有更好的展開穩(wěn)定性。

圖14 優(yōu)化前后繩網(wǎng)展開狀態(tài)對比Fig.14 Comparison of the deployment status of the net before and after optimization

圖15 優(yōu)化前后繩網(wǎng)展開率對比Fig.15 Comparison of the unfolding ratio of the net before and after optimization

同理，采用本文方法對常見的網(wǎng)面節(jié)點層數(shù)為8～15的脈沖展開式飛網(wǎng)進行網(wǎng)面質(zhì)量分布優(yōu)化，得到不同層數(shù)繩網(wǎng)所對應(yīng)的非劣解集合。由相位偏移量的邊界條件0<<1，各對應(yīng)的非劣解可改寫為：

(23)

式中：為小于1的正向比例系數(shù)。

由非劣解集合分析得到關(guān)于非劣解的正向比例系數(shù)∈[0.965,0.985]，如圖16所示。進一步由線性回歸得的線性表達式為：

圖16 不同層數(shù)規(guī)格繩網(wǎng)的η的回歸分析Fig.16 Regression analysis of η with different nets

=-0001225+09852

(24)

殘差分布在±0.01之間。將式(23)、式(24)代入式(19)和(20)得網(wǎng)面質(zhì)量分布經(jīng)驗式：

(25)

即對于給定的繩網(wǎng)節(jié)點層數(shù)為的繩網(wǎng)，可通過代數(shù)運算得到優(yōu)化的網(wǎng)面質(zhì)量分布。

取={8,9,…,15}分別計算脈沖展開式飛網(wǎng)的網(wǎng)面質(zhì)量分布經(jīng)驗式，并代入繩網(wǎng)動力學映射與多目標優(yōu)化、質(zhì)量均布對應(yīng)的網(wǎng)面展開情況進行對比。圖17給出了單邊25格繩網(wǎng)=13的對比結(jié)果，網(wǎng)面質(zhì)量分布經(jīng)驗式具有良好的繩網(wǎng)展開狀態(tài)，與多目標優(yōu)化最優(yōu)解所對應(yīng)的繩網(wǎng)展開狀態(tài)基本一致。其余規(guī)格繩網(wǎng)的對比結(jié)果與之相同，不再贅述。

圖17 脈沖展開式飛網(wǎng)的展開率對比Fig.17 Comparison of the unfolding ratios of the single-pulse-deployed net

4 結(jié) 論

針對脈沖展開式飛網(wǎng)展開后仍存在的較大回彈問題，本文從網(wǎng)面質(zhì)量分布角度優(yōu)化提升飛網(wǎng)展開時的穩(wěn)定性。研究結(jié)果表明：1)基于傳遞矩陣方法和集中質(zhì)量法推導(dǎo)得到的一維質(zhì)量分布規(guī)律在二維網(wǎng)面中仍然成立，在線性遞增、均勻分布、凸形遞減、線性遞減和凹形遞減五個質(zhì)量分布模型中,凹形遞減的網(wǎng)面質(zhì)量分布所對應(yīng)的網(wǎng)面展開穩(wěn)定性最好。2)本文基于反比例函數(shù)建立的網(wǎng)面質(zhì)量分布模型對不同規(guī)格繩網(wǎng)均具有較好的適應(yīng)性，可快速調(diào)節(jié)相位偏移量,得到不同的網(wǎng)面質(zhì)量分布狀態(tài)且極大地降低了網(wǎng)面優(yōu)化問題中優(yōu)化變量的個數(shù)，提升了繩網(wǎng)優(yōu)化問題的求解效率。3)最大回彈率由網(wǎng)面質(zhì)量均勻分布狀態(tài)下的67.5%降低至網(wǎng)面質(zhì)量分布優(yōu)化后的28%；回彈振蕩期由網(wǎng)面質(zhì)量均勻分布狀態(tài)下的17 s縮短至網(wǎng)面質(zhì)量分布優(yōu)化后的7.2 s。4)網(wǎng)面質(zhì)量分布經(jīng)驗公式所對應(yīng)的網(wǎng)面展開狀態(tài)良好，與多目標優(yōu)化最優(yōu)解基本一致。