金愛娟，王碩勛，李少龍，劉付鑫，吳銘毅

工藝與裝備

基于改進超螺旋算法的永磁同步電動機控制

金愛娟，王碩勛，李少龍，劉付鑫，吳銘毅

（上海理工大學，上海 200093）

為提高傳統(tǒng)PID控制下永磁同步電動機在遇到負載突變、重載啟動、頻繁變速等外界條件變化時性能突變的問題，文中將超螺旋滑模引入電機控制中，以更好地應(yīng)對外界條件的變化。通過在原有的超螺旋滑模算法中，加入自適應(yīng)比例項和積分項，使其獲得更快的收斂速度和更強的魯棒性。然后引入一種新的過飽和系數(shù)，來應(yīng)對引入積分項所帶來的超調(diào)問題。在Matlab/SMULINK的仿真環(huán)境中，搭建所提方法的模型，并與傳統(tǒng)的PID控制、超螺旋滑模控制以及比例項改進超螺旋滑?？刂扑罱ǖ哪Ｐ妥鰧Ρ?。結(jié)果表明，文中方法在遇到外界條件變化下，穩(wěn)定性提高了33%～91%、快速性提高了27%～76%。文中優(yōu)化后的超螺旋滑?？刂破饔懈叩聂敯粜院透斓目焖偈諗啃?，改善了系統(tǒng)的性能，能夠有效應(yīng)對負載突變、重載啟動、頻繁變速等問題，使應(yīng)用文中所提方法的永磁同步電動機能夠更加符合包裝機的要求。

永磁同步電機；超螺旋算法；自適應(yīng)；過飽和系數(shù)

《中國制造2025》提出，我國應(yīng)該大力推廣自動化功能包裝、高通量檢測及分級包裝等設(shè)備的應(yīng)用[1]。這就要求包裝和印刷的設(shè)備應(yīng)該具有更高的力學性能，而包裝和印刷設(shè)備中的核心部件便是電機。永磁同步電機（Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM）因其具有結(jié)構(gòu)簡單緊湊、控制精度高、轉(zhuǎn)矩慣性高等優(yōu)點，在包裝和印刷領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[2]。例如在立式包裝機中，以永磁同步電機為基礎(chǔ)的電子凸輪以控制精度高等優(yōu)點取代了傳統(tǒng)的機械凸輪。但是包裝機的工作環(huán)境往往比較惡劣，還會出現(xiàn)一些不可避免的因素如：負載突變、重載啟動和頻繁變速等。在包裝行業(yè)中，由負載變換導(dǎo)致的額外扭矩力震蕩會導(dǎo)致控制精度的下降，定位時間變長，最終導(dǎo)致整個系統(tǒng)的不穩(wěn)定；重載啟動則要求較大的啟動轉(zhuǎn)矩，若啟動轉(zhuǎn)矩不足則很容易導(dǎo)致電機堵轉(zhuǎn)，嚴重時燒毀電機；頻繁變速則對電機的動態(tài)性能提出了更高的要求。

近年來，為了進一步擴大永磁同步電機的應(yīng)用，國內(nèi)外學者都進行了大量的研究，一些現(xiàn)代控制理論的研究成果已經(jīng)成功應(yīng)用于PMSM的速度控制系統(tǒng)，例如：模糊控制、自適應(yīng)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和滑模控制等，其中滑模控制由于其動態(tài)響應(yīng)快、魯棒性強的特點而廣泛的應(yīng)用于實際系統(tǒng)中[3]。

許德智、張偉明[4]等人基于傳統(tǒng)滑模，設(shè)計了自適應(yīng)滑?？刂破?，有較好的魯棒性和動態(tài)響應(yīng)，但是并未優(yōu)化系統(tǒng)的抖振的問題。孫杰等[5]用飽和函數(shù)代替了開關(guān)函數(shù)以減少滑?？刂频亩墩駟栴}，但是飽和函數(shù)會在一定程度上降低系統(tǒng)的收斂速度。李賡等[6]將終端滑模平面引入了PMSM控制器當中，提高了快速收斂性，但是存在奇異現(xiàn)象。孫廣輝、馬志強[7]等人引入了非奇異終端滑模平面，在規(guī)避奇異現(xiàn)象的同時保留了終端滑模的快速收斂性，但是非奇異終端滑模平面存在著收斂停滯的現(xiàn)象。Levant等[8]提出了一種超螺旋二階滑模算法，對比與一階滑模，二階滑模對滑模面的導(dǎo)數(shù)進行控制，將產(chǎn)生抖振的開關(guān)函數(shù)轉(zhuǎn)移到了高階導(dǎo)數(shù)上，能夠有效的抑制熊化亮等[9]將超螺旋算法引入了PMSM的速度環(huán)控制中，相較于傳統(tǒng)的滑模控制，超螺旋滑?？刂颇軌蚝芎玫慕鉀Q抗抖振、快速響應(yīng)和魯棒性之間的矛盾。但是只有得知系統(tǒng)的不確定性上界才能判斷超螺旋滑?？刂频姆€(wěn)定條件[10]，而在實際的應(yīng)用當中，這個上界很難確定，為了保證系統(tǒng)的魯棒性，往往會選取較大的超螺旋參數(shù)，但這會帶來劇烈的抖振甚至死機。Li等[11]提出了一種基于自適應(yīng)超螺旋算法的PMSM控制系統(tǒng)，該系統(tǒng)可以有效地解決超螺旋參數(shù)選取過大的問題，但是降低了系統(tǒng)的魯棒性。

為了使PMSM能夠更好地適應(yīng)包裝行業(yè)的要求，文中提出了一種基于改進超螺旋算法的滑?？刂品椒?，在原有的超螺旋算法的基礎(chǔ)上加入了自適應(yīng)比例項和積分項，提高了超螺旋算法的動態(tài)響應(yīng)特性、穩(wěn)態(tài)性能和魯棒性。此外，為了解決引入積分項所帶來的過飽和問題，本文引入了一種抗飽和方法，能夠消除任意速度下的過飽和問題。

1 永磁同步電機數(shù)學模型

為了簡化之后的分析，做如下假設(shè)：鐵心不產(chǎn)生磁飽和現(xiàn)象；忽略電機渦流和磁滯損耗；電機中的電流為三相對稱電流；轉(zhuǎn)子無阻尼纏繞。表貼式永磁同步電機在同步坐標系下的運動方程為[12]

(1)

2 基于改進超螺旋的速度控制器設(shè)計

為了解決一階滑模中一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)導(dǎo)致的抖振問題和頻繁切換控制導(dǎo)致的系統(tǒng)未建模特性顯現(xiàn)，A Levant提出了二階滑模算法，將控制輸入量的導(dǎo)數(shù)作為新的虛擬控制量，施加到滑模面的高階導(dǎo)數(shù)上，從而削弱抖振和提高魯棒性[13]。二階滑?？刂浦械亩A滑模面如圖1所示，系統(tǒng)狀態(tài)不再是在=0整個滑模面上滑動，而是沿著滑模流形線上螺旋前進。

圖1 二階滑模面

相較于其他二階滑模算法，超螺旋算法（Super-Twisting Algorithm, STA）不需要獲取滑模面高階導(dǎo)數(shù)的信息，設(shè)計更加簡單方便[14]。一種常見的STA公式為：

(2)

式中，為滑模變量；為STA系數(shù)；為擾動項。

(3)

式中：1為比例項；2為積分項；且12>0。

滑模平面選取為：

(4)

結(jié)合式（1）和式（4）得到：

(5)

結(jié)合式（3）和式（5）得到控制器的輸出為：

(6)

2.1 穩(wěn)定性分析

定理1，在式（6）中，如果12滿足以下條件：

(7)

則式子能夠在有限時間內(nèi)收斂到原點。

設(shè)計一個變量替換規(guī)則為：

(8)

式（6）可改寫為：

(9)

(10)

(11)

對Lyapunov函數(shù)求微分得到：

(12)

如果>0，>0，那么<0。在常數(shù)12滿足以下條件的情況下不難證明：

(13)

(14)

通過式(14)，可以得到：

(15)

因此，得到

(16)

2.2 自適應(yīng)線性項設(shè)計

根據(jù)2.1節(jié)的證明，將線性項1引入超螺旋算法后，只要保證1>0，系統(tǒng)的穩(wěn)定性就不會受到影響。但是當系統(tǒng)狀態(tài)靠近滑模平面時，此時<1，1趨近于0，比例項僅剩趨近速度較慢的平方根項，從而使得趨近速度變慢。為了解決這個問題，將1項改成自適應(yīng)線性項，此時式（6）變?yōu)椋?/p>

(17)

1）當系統(tǒng)狀態(tài)接近滑模平面時，有：

(18)

2）當系統(tǒng)狀態(tài)遠離滑模平面時，則：

(19)

加入自適應(yīng)線性項后，無論是接近滑模平面時還是遠離滑模平面時，趨近速率都得到了提高，加入自適應(yīng)線性項的超螺旋滑模速度控制器的框圖見圖2。

圖2 改進超螺旋滑模速度控制器框圖

2.3 抗飽和系數(shù)的設(shè)計

根據(jù)2.1節(jié)的證明，將積分項2引入超螺旋算法后，只要保證2>0，系統(tǒng)的穩(wěn)定性就不會受到影響。但是在PMSM啟動的過程中，積分項可能會引起系統(tǒng)嚴重的超調(diào)甚至震蕩[18]。為了解決這個問題，在系統(tǒng)中引入抗飽和系數(shù)，設(shè)計為：

(20)

式中：λ為正常數(shù)；為受到限幅前的轉(zhuǎn)速環(huán)輸出電流；為受到限幅后的轉(zhuǎn)速環(huán)輸出電流；tanh為雙曲正切函數(shù)，y=1+tanh(x)和y=ex的函數(shù)對比圖像見圖3。

圖3 y=1+tanh(x)、y=ex的函數(shù)圖像

Fig.3 Function image of y=1+tanh(x), y=ex

通過觀察圖3，可以發(fā)現(xiàn)=1+tanh()以=0和=2作為漸近線，當趨于負無窮時，趨于0，且趨近速度比傳統(tǒng)的指數(shù)函數(shù)更快。

加入抗飽和系數(shù)后，式（17）變?yōu)椋?/p>

(21)

根據(jù)式（21），得到最終的控制器為改進自適應(yīng)超螺旋控制器（AMST–SMC），AMST–SMC內(nèi)部框圖見圖4。

圖4 AMST–SMC結(jié)構(gòu)框圖

3 基于AMST-SMC的PMSM仿真實驗與分析

基于AMST–SMC的PMSM控制框圖見圖5。根據(jù)圖5在Matlab/Simulink環(huán)境中搭建相應(yīng)的仿真模型。文中將通過以下3種實驗以對應(yīng)永磁同步電動機不同的工況，來對AMST–SMC進行分析。

1）為應(yīng)對永磁同步電動機在工作中出現(xiàn)的各種負載擾動。設(shè)計電機以恒速1 000 r/min空載啟動，在0.2 s時負載突增至10 N·m，在0.3 s時負載突減10 N·m，以驗證AMST–SMC擁有更加良好魯棒性。

2）為應(yīng)對永磁同步電動機在工作中出現(xiàn)的帶載啟動問題。設(shè)計電機以1 000 r/min重載5 N·m啟動，以驗證AMST–SMC擁有更加良好的帶載啟動能力。

3）為應(yīng)對永磁同步電動機在工作中頻繁變速的情況。設(shè)計電機以500 r/min空載啟動，在0.2 s時給定轉(zhuǎn)速突變至1 000 r/min，以驗證AMST–SMC擁有更加良好的動態(tài)性能。

為了增加實驗的可靠性，文中選取了比例–積分–微分控制器（Proportion Integration Differentiation, PID）、超螺旋滑?？刂破鳎⊿T–SMC）、比例項改進超螺旋滑?？刂破鳎∕ST–SMC）作為對照實驗。PID參數(shù)選取為：k=0.2、k=30；ST–SMC參數(shù)選取為：=600、=100 000；MST–SMC參數(shù)選取為：=600、=100 000、=30；MST–SMC參數(shù)選取為：=600、=100 000、1=30、2=4 000、λ=1。選取的永磁同步電動機參數(shù)見表1。

圖5 基于MAST–SMC的PMSM控制框圖

表1 永磁同步電動機參數(shù)

Tab.1 Parameters of PMSM

3.1 變載實驗

在變載實驗中，先以轉(zhuǎn)速1 000 r/min空載啟動，在0.2 s時將負載突增10 N·m。在0.3 s時負載突減10 N·m，

仿真結(jié)果見圖6，觀察電機轉(zhuǎn)速和電磁轉(zhuǎn)矩波形，數(shù)據(jù)整理見表2—4。

通過表2和圖6a可知，在阻尼特性方面，AMST–SMC的超調(diào)量為0.55%，比傳統(tǒng)的PID控制縮小了98.4%，比次優(yōu)的MST–SMC縮小了93.7%。在快速性方面，AMST-SMC的調(diào)節(jié)時間為0.01 s，比傳統(tǒng)的PID控制快了90%，比次優(yōu)的MST-SMC快了28.6%。在穩(wěn)態(tài)性能方面，AMST–SMC的穩(wěn)態(tài)誤差為0.019 r/min，比傳統(tǒng)的PID控制縮小了91.2%，比次優(yōu)的MST–SMC縮小了57.8%。無論是在阻尼特性、快速性還是穩(wěn)態(tài)性能方面，AMST–SMC都優(yōu)于PID和MST–SMC。這說明在空載啟動時，AMST- SMC能夠更快的到達穩(wěn)態(tài)，并且抖動最小，因此AMST– SMC相較于其他對比方法擁有更好的空載啟動性能。

表2 變載實驗啟動時電機性能指標

Tab.2 Performance index of motor at start in variable load experiment

圖6 變載實驗仿真波形

通過表3、4和圖6a可知，在阻尼特性方面，負載轉(zhuǎn)矩突增時AMST–SMC的超調(diào)量為1.718%，比傳統(tǒng)的PID控制縮小了76.4%，比次優(yōu)的MST–SMC縮小了0.8%；負載轉(zhuǎn)矩突減時AMST–SMC的超調(diào)量為1.693%，比傳統(tǒng)的PID控制縮小了76.7%，比次優(yōu)的MST–SMC縮小了5.1%。在快速性方面，AMST–SMC的調(diào)節(jié)時間為0.008，比傳統(tǒng)的PID控制快了74.2%，比次優(yōu)的MST–SMC快了33.3%。無論是阻尼特性還是快速性，AMST–SMC都優(yōu)于傳統(tǒng)的PID的控制，也就說明了在遇到負載轉(zhuǎn)矩突增或突減的情況下，AMST–SMC比PID控制有更好的魯棒性。在阻尼特性方面，負載轉(zhuǎn)矩突增時，AMST–SMC與MST–SMC只相差了0.8%；負載轉(zhuǎn)矩突減時，AMST–SMC與MST–SMC也只相差了5.1%。但是在快速性方面AMST–SMC比MST–SMC快了33%，也就說明了在遇到負載轉(zhuǎn)矩突增或突減的情況下，AMST–SMC能夠更快的恢復(fù)穩(wěn)態(tài)。并且觀察圖6b、圖6c，可以發(fā)現(xiàn)AMST–SMC對比其他方法，其轉(zhuǎn)矩在受到負載轉(zhuǎn)矩變動的情況下，能夠更快的到達新的穩(wěn)態(tài)，且?guī)缀鯖]有轉(zhuǎn)矩抖動，因此AMST–SMC控相比與其他對比方法，在負載轉(zhuǎn)矩突增和突減時，擁有更好的魯棒性。

3.2 負載啟動實驗

在負載啟動實驗中，先以轉(zhuǎn)速1 000 r/min，負載轉(zhuǎn)矩5 N·m，帶載啟動，仿真結(jié)果見圖7，觀察電機轉(zhuǎn)速和電磁轉(zhuǎn)矩波形，數(shù)據(jù)整理見表5。

表3 變載實驗突增負載時電機性能指標

Tab.3 Performance index of motor in load increase simulation

表4 變載實驗突減負載時電機性能指標

Tab.4 Performance index of motor in load reduction simulation

表5 負載啟動實驗電機性能指標

Tab.5 Performance index of motor in load start simulation

圖7 負載啟動仿真實驗波形

通過表5和圖7a可知，在阻尼特性方面，AMST–SMC的超調(diào)量為0.82%，比傳統(tǒng)的PID控制縮小了97.7%，比次優(yōu)的MST–SMC縮小了79.6%。在快速性方面，AMST–SMC的調(diào)節(jié)時間為0.01 s，比傳統(tǒng)的PID控制快了75.9%，比次優(yōu)的MST–SMC快了17.3%。在穩(wěn)態(tài)性能方面，AMST–SMC的穩(wěn)態(tài)誤差為0.029 r/min，比傳統(tǒng)的PID控制縮小了69.8%，比次優(yōu)的MST–SMC縮小了47.3%。無論是在阻尼特性、快速性還是穩(wěn)態(tài)性能方面，AMST–SMC都優(yōu)于PID和MST–SMC。這說明在負載啟動時，AMST–SMC能夠更快的到達穩(wěn)態(tài)，并且抖動最小。由圖7b、圖7c可以看出，在負載啟動的時候，AMST–SMC的轉(zhuǎn)矩波形更加平穩(wěn)，誤差小，反應(yīng)快，超調(diào)接近為0。因此AMST–SMC控制相比于其他對比方法擁有更好的負載啟動性能。

3.3 空載變速實驗

在空載變速實驗中，先以轉(zhuǎn)速500rmp空載啟動，在0.2s時將給定轉(zhuǎn)速突變至1000rmp。仿真結(jié)果見圖8，觀察電機轉(zhuǎn)速和電磁轉(zhuǎn)矩波形，數(shù)據(jù)整理見表6。

表6 空載變速實驗電機性能指標

Tab.6 Motor performance index in no-load variable speed experiment motor

圖8 空載變速實驗仿真實驗波形

通過表6和圖8a可知，在阻尼特性方面，AMST–SMC的超調(diào)量為2.264%，比傳統(tǒng)的PID控制縮小了85.1%，比次優(yōu)的ST–SMC縮小了19.2%。在快速性方面，AMST–SMC的調(diào)節(jié)時間為0.0078s，比傳統(tǒng)的PID控制快了72.6%，比次優(yōu)的MST–SMC快了11.4%。在變速實驗中，ST–SMC擁有比MST–SMC更小的超調(diào)量，MST–SMC擁有比ST–SMC更短的調(diào)節(jié)時間。但是AMST–SMC無論是在超調(diào)量方面還是調(diào)節(jié)時間方面都是最優(yōu)的，兼顧了兩者的優(yōu)點。通過對圖8b、圖8c分析可得，AMST–SMC的轉(zhuǎn)矩反應(yīng)快，超調(diào)小，有更加平穩(wěn)的波形，因此AMST–SMC相較于其他對比方法擁有更好的變速性能。

4 結(jié)語

文中為解決永磁同步電動機工作中常遇到的負載突變、重載啟動、頻繁變速問題，將超螺旋滑?？刂埔氲搅薖MSM的轉(zhuǎn)速環(huán)控制中，并針對上述問題對超螺旋滑?？刂七M行了優(yōu)化。將自適應(yīng)比例項和積分項引入了超螺旋滑模控制中，提高了系統(tǒng)的響應(yīng)特性和穩(wěn)態(tài)特性。并且為了解決引入積分項帶來的超調(diào)問題，引入一種新的過飽和系數(shù)，以實現(xiàn)在任意速度下的退飽和。通過實驗仿真數(shù)據(jù)可以得到，優(yōu)化過后的超螺旋滑?？刂颇軌蚋媒鉀Q上述3個問題，提高了系統(tǒng)的收斂速度和魯棒性。

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Control of Permanent Magnet Synchronous Motor Based on Improved Super Twisting Algorithm

JIN Ai-juan, WANG Shuo-xun, LI Shao-long, LIU Fu-xin, WU Ming-yi

(University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

The work aims to apply super twisting sliding mode to motor control to better cope with environment changes to solve the performance change of permanent magnet synchronous machines (PMSM) under traditional PID control due to environment changes such as sudden load change, heavy load starting, and frequent speed changes. By adding adaptive proportional term and integral term to the original super spiral sliding mode algorithm, faster convergence speed and stronger robustness were obtained. Then, a new supersaturation coefficient was introduced to deal with the overshoot problem caused by the introduction of the integral term.In the simulation environment of Matlab/SMULINK, the proposed model was built and compared with the model built by the traditional PID control, super twisting sliding mode control and proportional term improved super twisting sliding mode control. The result showed that, the proposed method improved the stability and rapidity by 33%～91% and 27%～76%, respectively when the environment changed. The super spiral sliding mode controller optimized in this paper has higher robustness and faster rapid convergence, improves the performance of the system, and can effectively cope with the sudden load change, heavy load starting, and frequent speed change problems mentioned in the previous article. It makes the PMSM proposed in the work more conform to the requirements of packaging machine.

permanent magnet synchronous machines (PMSM); super twisting algorithm; adaptive; supersaturation coefficient

TS206.4

A

1001-3563(2022)19-0198-10

10.19554/j.cnki.1001-3563.2022.19.023

2021–11–22

國家自然科學基金（11502145）

金愛娟（1972—），女，博士，上海理工大學副教授，主要研究方向為控制理論、電機控制和電力電子。

責任編輯：曾鈺嬋