馮旭杰，宋曉敏，陳明星，何祥，李佳杰

（1.交通運(yùn)輸部科學(xué)研究院，北京 100029；2.福建省運(yùn)輸事業(yè)發(fā)展中心，福建 福州 350025）

0 引言

隨著地鐵網(wǎng)絡(luò)化運(yùn)營(yíng)以及設(shè)施設(shè)備老化，突發(fā)事件的發(fā)生概率逐漸增大。應(yīng)急公交服務(wù)是處理地鐵突發(fā)故障的一種關(guān)鍵應(yīng)對(duì)策略，可為故障區(qū)間提供應(yīng)急接駁服務(wù)。開(kāi)行地鐵應(yīng)急接駁公交，需要確定派車(chē)場(chǎng)站和接駁公交的行車(chē)計(jì)劃。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)地鐵故障情形下的應(yīng)急公交服務(wù)已有關(guān)注和研究，取得了較多成果。Jin等[1]提出了應(yīng)急接駁公交服務(wù)的三階段優(yōu)化方法，即生成公交路徑備選集、公交路徑選取、優(yōu)化公交車(chē)輛分配和發(fā)車(chē)間隔。Kepaptsoglou等[2]提出了接駁公交服務(wù)的設(shè)計(jì)框架，包括設(shè)計(jì)候選路徑以及公交分配。宋吉鵬[3]基于斷面客流量研究了地鐵區(qū)間故障時(shí)所需接駁公交數(shù)量的計(jì)算方法。Hu等[4]構(gòu)建了考慮上下行的應(yīng)急接駁公交非線性整數(shù)規(guī)劃模型，并采用改進(jìn)后的遺傳算法求解；Gu等[5]以減少公交接駁時(shí)間和降低乘客延誤為目標(biāo)，建立了公交應(yīng)急接駁優(yōu)化模型，并采用啟發(fā)式算法求解。部分學(xué)者以降低乘客延誤、應(yīng)急疏散時(shí)間等為目標(biāo)，提出了應(yīng)急接駁公交的實(shí)時(shí)調(diào)度優(yōu)化方法[6-8]。在此基礎(chǔ)上，Chen等[9]進(jìn)一步考慮了應(yīng)急接駁公交快慢車(chē)運(yùn)營(yíng)模式。

除應(yīng)急接駁公交路徑設(shè)計(jì)及調(diào)度優(yōu)化，還有不少研究重點(diǎn)關(guān)注應(yīng)急接駁公交派車(chē)場(chǎng)站的選址問(wèn)題，已有較為豐富的研究成果[10-13]，特別是Revelle等[10]對(duì)設(shè)施選址問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)調(diào)查和闡述，Pender等[11]將設(shè)施選址理論和方法應(yīng)用到公交接駁領(lǐng)域。聶鑫路等[14]針對(duì)城市軌道交通應(yīng)急救援站選址問(wèn)題，基于應(yīng)急救援的時(shí)間及發(fā)生概率，提出以滾動(dòng)式多步求解的方法建立粒子維度自適應(yīng)模型。劉爽等[15]提出了應(yīng)急接駁公交派車(chē)場(chǎng)站選擇優(yōu)化方法，其中地鐵車(chē)站滯留風(fēng)險(xiǎn)權(quán)重由車(chē)站風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型量化確定。鄧亞娟等[16]進(jìn)一步考慮了乘客等待時(shí)間延誤，構(gòu)建了應(yīng)急接駁公交派車(chē)場(chǎng)站反向集合覆蓋選擇模型。何祖勇等[17]考慮了乘客等待時(shí)間容忍度，提出了應(yīng)急接駁公交派車(chē)場(chǎng)站數(shù)量最少和時(shí)間懲罰成本最低的雙目標(biāo)模型，并利用ε-約束法將其轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化模型。

然而，當(dāng)前對(duì)派車(chē)場(chǎng)站選擇的研究未充分考慮行車(chē)計(jì)劃，而行車(chē)計(jì)劃是影響應(yīng)急接駁公交場(chǎng)站選擇的重要因素：一方面通過(guò)開(kāi)行快車(chē)可加快公交周轉(zhuǎn)，從而減少所需公交車(chē)數(shù)量；另一方面通過(guò)行車(chē)計(jì)劃可以更準(zhǔn)確地計(jì)算乘客等待時(shí)間和時(shí)間損失。因此，本文在已有研究的基礎(chǔ)上，構(gòu)建地鐵應(yīng)急接駁公交派車(chē)場(chǎng)站方案選擇與行車(chē)計(jì)劃協(xié)同優(yōu)化模型，在保證應(yīng)急接駁公交周轉(zhuǎn)可行的基礎(chǔ)上，計(jì)算不同派車(chē)場(chǎng)站數(shù)量和行車(chē)計(jì)劃下的乘客時(shí)間損失，確定最優(yōu)的派車(chē)場(chǎng)站方案。

1 問(wèn)題描述

本文以包含多條地鐵線路的網(wǎng)絡(luò)為研究對(duì)象，應(yīng)急接駁公交需應(yīng)對(duì)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)所有地鐵線路的潛在故障情形，因此應(yīng)急接駁公交派車(chē)場(chǎng)站的選擇需考慮根據(jù)歷史運(yùn)營(yíng)數(shù)據(jù)分析得到的各線路故障發(fā)生概率。為權(quán)衡運(yùn)營(yíng)單位和乘客雙方利益，本文考慮公交數(shù)量和乘客時(shí)間損失最小兩個(gè)目標(biāo)。

在地鐵區(qū)間故障情形下，故障區(qū)間的車(chē)站將陸續(xù)聚集乘客，需通過(guò)應(yīng)急接駁公交進(jìn)行疏散。應(yīng)急接駁公交沿著故障區(qū)間平行開(kāi)行。本文考慮快車(chē)和慢車(chē)兩種公交模式，快車(chē)僅?？抗收蠀^(qū)間的兩端車(chē)站以及區(qū)間內(nèi)換乘站等重點(diǎn)車(chē)站，慢車(chē)則?？抗收蠀^(qū)間內(nèi)的所有車(chē)站，快慢車(chē)在上下行方向的開(kāi)行路徑完全相同并循環(huán)運(yùn)行，直至故障結(jié)束。圖1 為應(yīng)急接駁公交派車(chē)場(chǎng)站與行車(chē)計(jì)劃示例，圖中線路3車(chē)站M9至M12故障，快車(chē)停站方案為M9-M10-M7-M12，慢車(chē)停站方案為M9-M10-M11-M7-M12。

為計(jì)算乘客時(shí)間損失以及確保公交周轉(zhuǎn)的可行性，需得到各故障場(chǎng)景下應(yīng)急接駁公交發(fā)車(chē)時(shí)刻表。本文對(duì)故障時(shí)段進(jìn)行離散化處理，以1min為單位時(shí)間長(zhǎng)度將時(shí)段等間隔劃分為若干時(shí)間間隔。以最小化乘客時(shí)間損失為目標(biāo)，可在各時(shí)間間隔分別決定故障兩端車(chē)站是否發(fā)出一個(gè)公交快車(chē)/慢車(chē)，其中快車(chē)和慢車(chē)的發(fā)車(chē)決策需滿(mǎn)足場(chǎng)站內(nèi)車(chē)輛數(shù)量的約束，如圖1所示的M9累計(jì)發(fā)出的車(chē)輛數(shù)應(yīng)不大于派車(chē)場(chǎng)站B2和對(duì)向故障車(chē)站M12累計(jì)到達(dá)的車(chē)輛數(shù)。

2 模型構(gòu)建

2.1 模型假設(shè)

本文模型主要基于以下假設(shè)：

（1）為盡快疏散地鐵客流，應(yīng)急接駁公交派車(chē)場(chǎng)站在地鐵區(qū)間故障后將第一時(shí)間將公交車(chē)輛派往地鐵故障區(qū)間的兩端車(chē)站；

（2）為減少對(duì)正常運(yùn)行公交的干擾，應(yīng)急接駁公交的所有快車(chē)和慢車(chē)均從派車(chē)場(chǎng)站始發(fā)和終到，不從正常運(yùn)行的公交中調(diào)度；

（3）公交快車(chē)和慢車(chē)在運(yùn)行過(guò)程中不可改變車(chē)輛的快慢車(chē)屬性，即在故障區(qū)間往返運(yùn)行時(shí)，始終保持快車(chē)或慢車(chē)模式；

（4）對(duì)乘坐快車(chē)或慢車(chē)均可的乘客，其將優(yōu)先選擇快車(chē)以減少旅行時(shí)間；慢車(chē)的運(yùn)輸能力將優(yōu)先保證僅能乘坐慢車(chē)的乘客。

2.2 模型建立

為權(quán)衡公交企業(yè)和乘客的利益，本文考慮應(yīng)急接駁公交數(shù)量和乘客時(shí)間損失最小化兩個(gè)目標(biāo)，分別如式（1）和式（2）所示。其中，乘客時(shí)間損失包括乘客在故障地鐵站的等待時(shí)間、可乘坐快車(chē)的乘客由于乘坐慢車(chē)所增加的旅行時(shí)間以及研究時(shí)段末仍滯留車(chē)站的乘客延誤時(shí)間。

式（1）～式（2）中：f1為應(yīng)急接駁公交數(shù)量；f2為乘客時(shí)間損失（min）；i為備選應(yīng)急接駁公交派車(chē)場(chǎng)站編號(hào)，從1開(kāi)始依次編號(hào)，其集合I表示為I={1,2,…,si}，si為備選應(yīng)急接駁公交派車(chē)場(chǎng)站總數(shù)量；分別為備選公交派車(chē)場(chǎng)站i派出的應(yīng)急接駁公交快車(chē)數(shù)量、慢車(chē)數(shù)量；k為地鐵突發(fā)事件，從1開(kāi)始依次編號(hào)，其集合K表示為K={1,2,…,sk}，sk表示地鐵突發(fā)事件總數(shù)量；j為故障風(fēng)險(xiǎn)較高的地鐵站，從1開(kāi)始依次編號(hào)，其集合J表示為J={1,2,…,sj}，sj為故障風(fēng)險(xiǎn)較高的地鐵站總數(shù)量；t為時(shí)間間隔（min），將研究時(shí)段按單位時(shí)長(zhǎng)等分成時(shí)間間隔，從1 開(kāi)始依次編號(hào)，其集合T表示為T(mén)={1,2,…,st}，st為研究時(shí)段按單位時(shí)長(zhǎng)等分成的時(shí)間間隔總數(shù)量；分別為突發(fā)事件k下，t時(shí)刻在故障地鐵站j等待可選擇快車(chē)或慢車(chē)的乘客數(shù)和僅能選擇慢車(chē)的乘客數(shù)；為突發(fā)事件k下，t時(shí)刻在故障地鐵站j等待可選擇快車(chē)或慢車(chē)但最后上慢車(chē)的乘客數(shù)；分別為突發(fā)事件k下，慢車(chē)、快車(chē)從地鐵故障區(qū)間一端運(yùn)行至另一端的時(shí)間（min）；αk為突發(fā)事件k的發(fā)生概率；δ為研究時(shí)段末仍滯留在車(chē)站的乘客延誤時(shí)間的懲罰系數(shù)，本文取2。

模型主要約束如下：

（1）當(dāng)備選公交派車(chē)場(chǎng)站i被選為最終派車(chē)場(chǎng)站時(shí)，才能服務(wù)故障地鐵站j：

式（3）中：xi為0-1 變量，當(dāng)選擇備選公交派車(chē)場(chǎng)站i為最終派車(chē)場(chǎng)站時(shí)取1，否則為0；yij為0-1變量，備選公交派車(chē)場(chǎng)站i接駁故障地鐵站j時(shí)取1，否則為0；其他符號(hào)意義同前。

（2）由于存放空間限制，公交派車(chē)場(chǎng)站存放公交數(shù)量需滿(mǎn)足上限約束：

式（4）中：Ni為備選公交派車(chē)場(chǎng)站i停放的公交數(shù)量的上限值；M為極大的正數(shù)；其他符號(hào)意義同前。

（3）公交派車(chē)場(chǎng)站向故障地鐵站進(jìn)行應(yīng)急接駁服務(wù)時(shí)，需滿(mǎn)足最大服務(wù)半徑的約束，即當(dāng)公交派車(chē)場(chǎng)站超過(guò)此服務(wù)半徑時(shí)，無(wú)法提供應(yīng)急接駁服務(wù)：

式（5）中：dij為備選公交派車(chē)場(chǎng)站i和故障地鐵站j之間的距離（km）；lmax為備選公交派車(chē)場(chǎng)站的最大應(yīng)急接駁距離（km）；其他符號(hào)意義同前。

（4）在備選公交派車(chē)場(chǎng)站中選擇p個(gè)作為最終的派車(chē)場(chǎng)站：

式（6）中各符號(hào)意義同前。

（5）應(yīng)急接駁公交在地鐵故障區(qū)間的兩端車(chē)站發(fā)車(chē)必須滿(mǎn)足公交數(shù)量的約束，并且根據(jù)假設(shè)，快、慢車(chē)不改變其屬性，因此，需在兩端車(chē)站對(duì)快、慢車(chē)分別進(jìn)行考慮：

同時(shí)，需計(jì)算各時(shí)間間隔的上車(chē)乘客和等待乘客數(shù)。上車(chē)乘客可分為3 類(lèi)：僅能上慢車(chē)的乘客，其數(shù)量計(jì)算公式見(jiàn)式（12）；上快車(chē)或慢車(chē)均可的乘客中最終上慢車(chē)的乘客，其數(shù)量計(jì)算公式見(jiàn)式（13）；上快車(chē)或慢車(chē)均可的乘客中最終上快車(chē)的乘客，其數(shù)量計(jì)算公式見(jiàn)式（14）。根據(jù)假設(shè)，上快車(chē)或慢車(chē)均可的乘客中最終上慢車(chē)的乘客數(shù)為慢車(chē)剩余能力（除去僅能上慢車(chē)的乘客）與等待乘客數(shù)（除去上快車(chē)的乘客）的較小值。等待乘客則分為2類(lèi)：僅能選擇慢車(chē)的乘客，其數(shù)量計(jì)算公式見(jiàn)式（15）；可選擇快車(chē)或慢車(chē)的乘客，其數(shù)量計(jì)算公式見(jiàn)式（16）。

快慢車(chē)數(shù)量為正整數(shù)或0，其他決策變量為0-1變量：

式（17）～式（18）中：z為正整數(shù)；其他符號(hào)含義同前。

2.3 模型處理

式（4）、式（7）～式（10）、式（12）～式（14）為非線性約束，可通過(guò)引入0-1輔助變量進(jìn)行線性化處理[18]，其余的線性約束利用線性求解器進(jìn)行求解。同時(shí)，針對(duì)所建立的雙目標(biāo)優(yōu)化模型，利用ε-約束法[17]進(jìn)行單目標(biāo)轉(zhuǎn)化。即首先以式（2）為單目標(biāo)求解最小乘客時(shí)間損失，隨后可將式（2）進(jìn)行一定松弛并作為模型約束，從而建立以式（1）為單目標(biāo)的優(yōu)化模型，如式（19）所示。

約束條件為式（3）～式（10）、式（12）～式（18）以及式（20）。

式（19）～式（20）中：各符號(hào)意義同前。

通過(guò)該處理，可利用ε的變化求得關(guān)于公交數(shù)量與乘客時(shí)間損失的帕累托（Pareto）最優(yōu)解集。

3 案例分析

3.1 案例參數(shù)

以國(guó)內(nèi)某城市的部分地鐵網(wǎng)絡(luò)（見(jiàn)圖2）為例驗(yàn)證方法的有效性。該地鐵網(wǎng)絡(luò)包括7條線路，故障發(fā)生概率及客流需求等信息如表1 所示，故障發(fā)生概率較高的是表1中的7個(gè)區(qū)間：A2—A6、B4—B10、C6—C12、D5—D14、E8—E13、F1—F9、G4—G6。模型中公交派車(chē)場(chǎng)站數(shù)量p預(yù)設(shè)為7 個(gè)，公交最大接駁距離lmax取值為8km，公交載客能力C為80 人/車(chē)，選定19 個(gè)備選公交派車(chē)場(chǎng)站，場(chǎng)站停車(chē)能力及與故障地鐵站的距離如表2所示，其中公交派車(chē)場(chǎng)站可接駁的故障地鐵站已根據(jù)約束（6）和lmax進(jìn)行篩選。案例采用Gurobi Solver 9.5求解。

表1 地鐵運(yùn)行區(qū)間的故障發(fā)生概率、接駁客流需求和快慢車(chē)運(yùn)行信息

表2 備選公交派車(chē)場(chǎng)站停放能力以及與故障地鐵站的距離

3.2 模型效果分析

為驗(yàn)證本文模型的有效性，將其與無(wú)快車(chē)模式的應(yīng)急接駁公交派車(chē)場(chǎng)站選擇方法（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“無(wú)快車(chē)方法”）進(jìn)行對(duì)比，即去除本文模型中的快車(chē)，公交車(chē)輛全部為慢車(chē)。同時(shí)，本文方法在每一時(shí)間點(diǎn)均可決策是否發(fā)出1 個(gè)快車(chē)/慢車(chē)，為確保對(duì)比的公平性，無(wú)快車(chē)方法在每一時(shí)間點(diǎn)可決策是否發(fā)出0/1/2個(gè)慢車(chē)。以乘客時(shí)間損失最小化為目標(biāo)，利用Gurobi 求解本文方法及無(wú)快車(chē)方法，結(jié)果如表3和表4所示。

表3 本文及無(wú)快車(chē)方法的求解結(jié)果

表4 故障區(qū)間的對(duì)應(yīng)派車(chē)場(chǎng)站

表4 （續(xù)）

由表3 可看出，本文方法在不增加公交數(shù)量的情況下，通過(guò)快車(chē)模式加速公交周轉(zhuǎn)，雖然增加了總發(fā)車(chē)次數(shù)，但使得乘客時(shí)間損失降低4.17%。以線路B 為例，線路B 的派車(chē)場(chǎng)站為S4,S6 和S13，圖3～圖5 為兩種方法在線路B 的行車(chē)計(jì)劃，本文方法和無(wú)快車(chē)方法的總發(fā)車(chē)次數(shù)分別為96（63 次快車(chē)+33 次慢車(chē)）和88，本文方法通過(guò)快車(chē)模式，雖然增加了總發(fā)車(chē)次數(shù)，但可在一趟全程運(yùn)輸（上行+下行）中節(jié)約8min。同時(shí)，由圖3～圖5可看出，公交車(chē)輛在上下行方向可有效銜接，保證了方案的可行性。

表3 為最小乘客時(shí)間損失目標(biāo)下求解結(jié)果，通過(guò)調(diào)整ε取值，可求得本文方法的Pareto 最優(yōu)前沿，如表5 所示。從表5 可看出，隨著ε的增大，公交數(shù)量逐漸減少，從而減少了求解時(shí)間，但乘客的時(shí)間損失將增加。這是因?yàn)樵谒沙跁r(shí)間損失這一目標(biāo)時(shí)，可以降低對(duì)應(yīng)急接駁公交服務(wù)的需求程度，減少所需公交派車(chē)場(chǎng)站數(shù)量和公交數(shù)量。需要說(shuō)明的是，案例設(shè)置了派車(chē)場(chǎng)站總數(shù)為7個(gè)的限制，最終所選派車(chē)場(chǎng)站數(shù)量可以少于7個(gè)，但不能超過(guò)7 個(gè)，根據(jù)派車(chē)場(chǎng)站數(shù)量的求解結(jié)果來(lái)判斷該場(chǎng)站最終是否被選擇。例如ε為1時(shí)，S4,S6 和S15 的快慢車(chē)數(shù)量均為0，此時(shí)的派車(chē)場(chǎng)站總數(shù)為4個(gè)，即：S12,S16,S17,S18。不同ε下，各方案通過(guò)派車(chē)場(chǎng)站以及快慢車(chē)數(shù)量的變化確定當(dāng)前乘客時(shí)間損失約束下的最小公交總量。

表5 本文方法的Pareto最優(yōu)前沿方案（ε靈敏度分析）

3.3 派車(chē)場(chǎng)站數(shù)量靈敏度分析

由于派車(chē)場(chǎng)站數(shù)量對(duì)本文方法具有重要影響，對(duì)派車(chē)場(chǎng)站數(shù)量進(jìn)行靈敏度分析。

首先，在松弛派車(chē)場(chǎng)站總數(shù)為7個(gè)的限制下，以乘客時(shí)間損失最小為目標(biāo)求解本文模型，結(jié)果如圖6所示。

由圖6 可看出，隨著派車(chē)場(chǎng)站數(shù)量的增加，應(yīng)急公交數(shù)量逐漸增多，而乘客時(shí)間損失則逐漸下降，但時(shí)間損失的下降速度逐步放緩，如派車(chē)場(chǎng)站數(shù)量從4增加到5和從9增加到10，乘客時(shí)間損失下降比例分別為9.6%和2.7%。主要原因在于各派車(chē)場(chǎng)站有最大停放能力的約束，在較少派車(chē)場(chǎng)站數(shù)量的限制下，能提供的應(yīng)急接駁公交數(shù)量有限，導(dǎo)致乘客時(shí)間損失較大。隨著派車(chē)場(chǎng)站數(shù)量的增加，乘客時(shí)間損失將得到降低，但所需的公交數(shù)量將增多，各公交平均承擔(dān)的車(chē)次數(shù)量將降低，導(dǎo)致乘客時(shí)間損失下降速度放緩。

接下來(lái)，為進(jìn)一步分析派車(chē)場(chǎng)站數(shù)量對(duì)本文方法的影響，固定公交數(shù)量（以派車(chē)場(chǎng)站7 個(gè)對(duì)應(yīng)公交數(shù)量133輛為約束），求解乘客時(shí)間損失最小目標(biāo)下的方案，結(jié)果如圖7所示。

由圖7 可以更明顯地看出公交派車(chē)場(chǎng)站數(shù)量對(duì)乘客時(shí)間損失的影響：即使公交數(shù)量保持不變，派車(chē)場(chǎng)站數(shù)量的增加仍可有效地降低乘客時(shí)間損失。主要原因是多個(gè)場(chǎng)站分散布置可更好地兼顧整個(gè)地鐵線網(wǎng)，從而更好地應(yīng)對(duì)各線路故障情形。但派車(chē)場(chǎng)站數(shù)量進(jìn)一步增加時(shí)，乘客時(shí)間損失的下降速度放緩，說(shuō)明當(dāng)前派車(chē)場(chǎng)站數(shù)量下應(yīng)急接駁公交行車(chē)計(jì)劃已接近最優(yōu)，增加其他派車(chē)場(chǎng)站對(duì)乘客時(shí)間損失的降低空間不大。因此，應(yīng)急接駁公交派車(chē)場(chǎng)站應(yīng)盡可能地均勻分散選擇，但也無(wú)需過(guò)量選擇，可根據(jù)實(shí)際情況靈活確定。

4 結(jié)語(yǔ)

本文以地鐵應(yīng)急接駁公交場(chǎng)站選擇與行車(chē)計(jì)劃協(xié)同優(yōu)化為研究對(duì)象，構(gòu)建了所需公交數(shù)量和乘客時(shí)間損失最小化的雙目標(biāo)優(yōu)化模型。利用ε-約束法將雙目標(biāo)模型轉(zhuǎn)化為多個(gè)單目標(biāo)模型，并利用Gurobi 求解模型的帕累托最優(yōu)前沿。本文方法可為突發(fā)事件下地鐵應(yīng)急接駁公交派車(chē)場(chǎng)站選擇和行車(chē)計(jì)劃制定提供參考，決策者可根據(jù)實(shí)際需要，權(quán)衡應(yīng)急接駁公交派車(chē)場(chǎng)站數(shù)量、公交數(shù)量以及乘客時(shí)間損失等指標(biāo)，合理選擇最終方案。然而，由于應(yīng)急接駁公交?？康冗\(yùn)營(yíng)方案具有多樣性，構(gòu)建接駁公交派車(chē)場(chǎng)站選擇和公交運(yùn)營(yíng)方案的協(xié)同優(yōu)化模型是下一步的研究方向。