李帥君，張亞鵬，陳金光

（1.赤峰學院 數(shù)學與計算機科學學院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000；2.鄭州工商學院 工學院，河南 鄭州 451400）

1 引言

1.1 研究背景

本文問題背景來源于2019年全國大學生數(shù)學建模競賽B題[1]。

“同心鼓”是團隊成員之間練習團隊合作技能的拓展項目。該拓展項目是由一面牛皮雙面鼓構(gòu)成，由多根繩子固定于鼓身，繩子的固定點均勻分布于鼓身一周，并且每根繩子的長度相同。每位團隊成員拉一根繩子使得鼓面處于水平狀態(tài)。在項目開始時，球由鼓面中心正上方豎直落下，團隊成員相互協(xié)作將球顛起，維持其在鼓面上的彈動。顛球期間，隊員的手只能抓在繩子的尾部，不允許觸碰鼓或繩子的其他部分。項目中使用排球的重量為270g。鼓的質(zhì)量為3.6kg，鼓身的高度為22cm，鼓面的直徑為40cm。其中隊員人數(shù)大于或等于8人，相鄰隊員之間的最短距離應大于或等于60cm。項目由初始狀態(tài)開始時，球由鼓面中心正上方40cm處豎直落下，球顛起后距離鼓面的高度應大于或等于40cm，如果小于40cm，則此次項目結(jié)束[2]。該項目的研究目標是團隊成員相互合作保持盡可能多的連續(xù)顛球次數(shù)。

經(jīng)過閱讀相關資料后，目前關于對“同心協(xié)力”擊球策略問題的研究較少，其中鄭學謙在參考文獻[1]中通過使用VC++進行編程求解，運用相關參數(shù)關系表達式構(gòu)建鼓的運動模型，給出了鼓面在彈力一致且均勻的情況下，隊員在發(fā)力出現(xiàn)誤差時的最優(yōu)調(diào)整策略。毛紫陽在參考文獻[2]中通過微分方程和慣量矩陣建立了鼓面傾斜模型，討論了在最小的力或最少的做功條件下的最優(yōu)策略，給出了隊員用力出現(xiàn)誤差時對鼓的影響與鼓面傾斜時精確的調(diào)整方案。本文通過建立排球和鼓的物理模型，對其運動狀態(tài)進行受力分析和力的合成，建立排球與鼓之間的功能關系，使用動量定理和沖量表達式，分析排球與鼓在發(fā)生碰撞前后的運動情況并對得到的數(shù)據(jù)，最終給出在不同狀態(tài)下使排球顛球次數(shù)最多的最佳擊球策略。

1.2 問題要求

（1）在理想狀態(tài)下，每位團隊成員都可以準確控制其自身的用力方向、時機和力度，嘗試討論團隊成員之間的最佳協(xié)作策略，并得出此類策略下保持顛球的高度[2]。

（2）在實際情形中，每位團隊成員的發(fā)力時機和力度是有缺陷的，不可能做到完全的精確控制，存在一定誤差，最終可能會導致鼓面出現(xiàn)傾斜的狀態(tài)。假設隊員人數(shù)為8人，繩子的長度為1.7m，鼓面初始時刻的狀態(tài)是水平靜止的，初始位置的高度比繩子水平時的高度下降了11cm，表1中給出了每位團隊成員的不同發(fā)力時機和力度，計算0.1s時鼓面的傾斜角度[2]。

表1 發(fā)力時機（單位：s）和用力大?。▎挝唬篘）取值

（3）當鼓面發(fā)生傾斜時，球彈起的方向不再豎直，于是需要團隊成員調(diào)整各自的拉繩方式。假設人數(shù)為10人，繩長為2m，球的彈起高度為60cm，相對于豎直方向產(chǎn)生1°的傾斜角，并且傾斜的方向在水平面上的投影指向某兩位團隊成員之間，與這兩位團隊成員之間所產(chǎn)生的夾角比例為1:2。為了將球改變?yōu)樨Q直方向的彈跳狀態(tài)，給出在能夠精確控制的條件下每位團隊成員的發(fā)力時機和力度[2]。

2 模型假設與理論基礎

根據(jù)問題所提出的在不同運動環(huán)境下分析鼓與球在指定時間內(nèi)的狀態(tài)，做出如下假設：

（1）假設1：人靜止不動。

（2）假設2：球不受空氣阻力，與鼓接觸面的摩擦力和彈力。

（3）假設3：問題(2)中的兩人為質(zhì)點。

基于基礎數(shù)學、牛頓第二定律、受力分析、力的合成與分解、功能關系、動量定理和沖量表達式等基本定理，對排球和牛皮雙面鼓的物理運動模型進行分析和計算，將最終得出的結(jié)果加以討論，解決上述最佳協(xié)作策略問題，得出最優(yōu)擊球策略。文中使用的部分公式符號說明如表2所示：

表2 符號說明

符號 說 明h2 排球末位置的高度（相對于地面）d 每位隊員發(fā)力為80N時所抓繩子末端的位置與牛皮雙面鼓之間的豎直高度差d0 牛皮雙面鼓處于運動狀態(tài)中的任一位置與每位隊員抓住繩子末端位置的豎直高度差d' 每位隊員發(fā)力為90N時所抓繩子末端的位置與牛皮雙面鼓之間的豎直高度差FN 每位團隊成員對繩子所施加的拉力F合 在某個簡化的單一方向上的合力W d-d'到d所做的功I排球下落速度與牛皮雙面鼓上升速度的沖量v1 排球初始位置的速度v2 排球末位置的速度v3 排球與牛皮雙面鼓發(fā)生碰撞后排球的瞬時速度v4 排球與牛皮雙面鼓發(fā)生碰撞后牛皮雙面鼓的瞬時速度V2 牛皮雙面鼓在d-d'到d之間運動時的速度V3 排球與牛皮雙面鼓發(fā)生碰撞前排球的瞬時速度V4 排球與牛皮雙面鼓發(fā)生碰撞前牛皮雙面鼓的瞬時速度α每位相鄰團隊成員所拉的繩子之間的夾角

3 問題分析

3.1 理想狀態(tài)下鼓與球的運動情況

要研究團隊的最佳協(xié)作策略，首先要清楚地分析出排球和鼓的運動（受力）情況。在理想狀態(tài)下，不計空氣阻力和排球與鼓面發(fā)生碰撞時所產(chǎn)生的摩擦力和彈力，并假設團隊成員有8人，繩子長度為1.7m。球從鼓面中心正上方40cm處豎直落下進行自由落體運動（只受重力），鼓在受到人的拉力后上移，碰撞時產(chǎn)生的相互作用力促使球向上移動。而當隊員們拉鼓，鼓與球碰撞結(jié)束后，使得球能夠有最大的初始速度，這樣一定會使得球被顛起的高度大于40cm，換言之便是實現(xiàn)盡可能多的連續(xù)顛球次數(shù)。由于問題涉及到力的方向、時機和力度，所以使用控制變量法轉(zhuǎn)換變量來討論最佳擊球時機，將三維問題降級轉(zhuǎn)換為二維問題來進行解決。

3.2 隊員發(fā)力存在失誤時鼓面的傾斜狀態(tài)

通過表1中列出的每位團隊成員不同的發(fā)力時機和力度，計算在0.1s時鼓面所產(chǎn)生的傾角。實際上是通過對鼓在不同狀態(tài)下的受力分析（力的合成與分解），從而計算出牛皮雙面鼓鼓面的傾斜角度。假設人為質(zhì)點，已知鼓面的初始狀態(tài)是水平靜止的，此時鼓身周圍的拉力將會處在一個保持平衡的狀態(tài)。通過力的合成與分解，先統(tǒng)一每個力都相同，對俯視圖中鼓受到的力進行分析，再將鼓受到的力合成豎直平面內(nèi)的兩個力，分別計算這兩個拉力與水平方向的夾角。當拉鼓時的一個力發(fā)生變化，使用與平衡時的相同方法進行分析，計算出拉力和水平面的夾角后進而可計算出鼓的傾角。

3.3 球的彈跳發(fā)生偏移時球在鼓面的碰撞位置

當鼓面發(fā)生傾斜時，球的落點就會發(fā)生偏移而不會處于鼓面中心，以及鼓面傾斜的角度與隊員拉繩子的力成反比。此時就需要隊員調(diào)整拉繩的策略和隊員的用力方向與力度。如果需要將球的運動狀態(tài)調(diào)整為豎直的彈跳狀態(tài)，需要團隊成員調(diào)整鼓的位置使球與鼓面中心發(fā)生碰撞。當團隊成員進行移動或發(fā)力去改變鼓的位置以及鼓面的平衡狀態(tài)時，同時要考慮團隊成員的移動速度和發(fā)力時機。當所有因素考慮周全且接近于最佳時，球最終將會在鼓面上豎直彈跳。

4 模型的建立與求解

4.1 理想狀態(tài)下的最佳擊球時機

4.1.1 定義最佳擊球時機

當排球與鼓的碰撞過程完成后，如果排球獲得了較大的上升速度，也就是說，在排球與牛皮雙面鼓碰撞時排球能夠獲得最大的能量，由簡單的物理原理，我們可以確定出排球在獲取的能量最大時所上升的距離將成為排球可上升的最高高度。因為不同的碰撞時機會影響排球的上升高度，所以牛皮雙面鼓的鼓面和排球沖量的改變也不同，由圖1所示我們可以考慮牛皮雙面鼓的鼓面和排球的碰撞關系。

4.1.2 分析理想狀態(tài)下使得排球彈回至最大高度的碰撞時刻

圖1中，由項目初始狀態(tài)開始釋放排球時，排球由鼓面中心正上方h=29cm處由靜止狀態(tài)開始豎直落下，假設排球的初末位置距離地面的高度分別為h1、h2，排球初末位置的速度分別為v1、v2。重力加速度為g，排球的質(zhì)量為m，牛皮雙面鼓的質(zhì)量為M，牛皮雙面鼓鼓面的彈性系數(shù)μ=0，根據(jù)動能守恒定律的表達式：

由式(1)可得排球在距離牛皮雙面鼓鼓面的高度為h=h2-h1處的瞬時速度為：

同理可得知排球由牛皮雙面鼓鼓面中心正上方h2=40cm處由靜止開始豎直落下時開始計時，到第t時刻排球的瞬時速度：

又因為在項目開始之前需要每位隊員用力拉繩使牛皮雙面鼓保持靜止狀態(tài)。假設團隊成員人數(shù)x=8人，繩子長度l=1.7m，每位隊員抓繩子末端的位置與牛皮雙面鼓中心的豎直高度差為d（規(guī)定牛皮雙面鼓中心高于每位隊員抓繩子末端位置為正，低于每位隊員抓繩子末端位置為負），每位隊員對繩子所施加的力FN=80N，每位隊員拉的繩子之間的夾角為α。故牛皮雙面鼓在項目開始之前處于靜止狀態(tài)下的受力情況俯視圖如圖2所示，側(cè)視圖如圖3所示（視牛皮雙面鼓為質(zhì)點）：

圖2 靜止狀態(tài)下的受力情況俯視圖

圖3 靜止狀態(tài)下的合力受力情況側(cè)視圖

并且滿足：

每位隊員抓繩子末端的位置與牛皮雙面鼓中心的豎直高度差：

牛皮雙面鼓靜止時繩子與水平面之間的夾角（F合為四位隊員單側(cè)方向的合力）：

項目由初始狀態(tài)開始釋放排球時，排球由鼓面中心正上方h2=40cm處由靜止狀態(tài)開始豎直落下，且每位隊員需要在各自作用力的方向上施加力的大小使牛皮雙面鼓上升，并使牛皮雙面鼓產(chǎn)生了豎直方向向上的加速度。假設當每位員對繩子所施加的力為F'N=90N時，且當牛皮雙面鼓靜止時，兩側(cè)隊員的合力大小為：

F'N=90N時每位隊員抓繩子末端的位置與牛皮雙面鼓中心的豎直高度差d'為：

F'N=90N時牛皮雙面鼓靜止時繩子與水平面的夾角（F'合為四位隊員單側(cè)方向的合力）：

假設隊員在排球下落時拉繩的力由FN=90N瞬間變?yōu)镕'N=90N的過程中，牛皮雙面鼓在豎直方向向上做加速度逐漸減小的變加速運動，可得當F'N=90N時牛皮雙面鼓在-d處豎直向上運動的瞬時加速度為：

當牛皮雙面鼓豎直方向向上運動時，牛皮雙面鼓在繩子的作用下做加速度逐漸減小的變加速運動，當牛皮雙面鼓與每位隊員抓繩子末端位置的高度差為d-d'時，牛皮雙面鼓將做勻減速運動。故排球在牛皮雙面鼓與每位隊員抓繩子末端位置的高度差為d-d'到d之間與排球發(fā)生碰撞可使排球吸收的能量最大。牛皮雙面鼓在d-d'到d之間運動時的速度為V2。設牛皮雙面鼓處于運動狀態(tài)中的任一位置與每位隊員抓繩子末端的位置的豎直高度差為d0，可得出牛皮雙面鼓在d-d'到d之間的功能關系：

當排球向下運動，且牛皮雙面鼓向上運動時，排球下落速度與牛皮雙面鼓上升速度的沖量值最大時，排球向上彈回的速度最大。設排球與牛皮雙面鼓碰撞前的瞬時速度分別為v3，v4，排球與牛皮雙面鼓碰撞后的瞬時速度分別為v'3，v'4。根據(jù)動量定理：

得出動量定理表達式：

根據(jù)動能守恒定律表達式：

動量定理表達式與動能守恒定律表達式聯(lián)立，推導得：

進而與設定數(shù)據(jù)替換：

設牛皮雙面鼓豎直向上運動的時間為tp，假設隊員在排球下落時拉繩的力由FN=80N變?yōu)镕'N=90N的過程中在t'時刻所用的力為FN0，由做功關系式：

可以得出隊員在排球下落時拉繩的力由FN=80N逐漸變?yōu)镕N0的過程中的平均作用力：

將式(13)、式(26)聯(lián)立，可以得出牛皮雙面鼓向上運動時在瞬時速度為V4時的時間t'p：

代入得：

當排球與牛皮雙面鼓碰撞后的瞬時速度v'3最大時，碰撞的時刻即為該團隊的最佳協(xié)作時間。即可確定v3的最佳值，假設排球由項目開始時速度由v0開始計時到v3時的時刻為tq，代入式(3)得：

可推導出：

即當排球發(fā)出時開始計時，每位隊員在排球發(fā)出后tq-t'p時刻同時增加力的大小拉動繩子可使排球彈回到最高點。當排球以v'3的速度彈回時，排球的顛球高度為最高。由速度-位移公式：

代入對應變量可得顛球高度H：

代入式(21)得：

得出由排球發(fā)出時開始計時，每位隊員在排球發(fā)出后的tq-t'p時刻同時增加力的大小拉動繩子可使排球彈到最高點H處。

4.1.3 實現(xiàn)最多的顛球次數(shù)的最佳協(xié)作策略

綜合對排球的運動狀態(tài)、牛皮雙面鼓的運動狀態(tài)、牛皮雙面鼓的鼓面與排球的碰撞關系進行分析，由鼓面處于最佳速度時的運動狀態(tài)得出排球與鼓面的最佳碰撞時刻t'p（如圖4中所示），即為在理想狀態(tài)下每位隊員同時在tq-t'p時刻拉繩使得鼓面向上的速度最大時與排球碰撞后，排球彈回至最大高度以獲得更大的重力勢能來實現(xiàn)盡可能多的顛球次數(shù)。

圖4 理想狀態(tài)下牛皮雙面鼓在一個周期內(nèi)運動的速度-時間圖像

4.2 現(xiàn)實情形中隊員的發(fā)力時機和力度與某一特定時刻鼓面傾斜角度的關系

4.2.1 初始時刻鼓的狀態(tài)

由于在項目開始前牛皮雙面鼓的受力不會發(fā)生變化，且團隊成員人數(shù)x=8，繩子長度l=1.7m，每位隊員抓繩子末端的位置與牛皮雙面鼓的豎直高度差d'=11cm，假設隊員之間的距離均勻分布并且每位隊員在項目開始之前對繩子所施加的力為FN=80N，則在初始時刻牛皮雙面鼓受力均勻，同時鼓面處于水平靜止狀態(tài)。

4.2.2 特定時刻鼓面傾斜角度的論證

在項目開始時，每位隊員各自保持恒定的發(fā)力方向拉繩使得鼓面具有向上的加速度，拉繩期間隊員在對發(fā)力時機或發(fā)力大小的控制出現(xiàn)失誤便會導致鼓面發(fā)生傾斜，并且鼓面的傾斜角度的大小因發(fā)力時機和每位隊員所產(chǎn)生作用力大小的不同而受到不同程度的影響。由表1中的數(shù)據(jù)做如下分析：

Step1序號1求解

由式(4)的論證可知隊員之間的夾角的為：

由式(5)的論證可知單側(cè)隊員的合力為：

由式(7)的論證可得出在項目開始之前牛皮雙面鼓靜止時繩子與水平面方向的夾角：

當其中一位隊員在同一時刻內(nèi)用力過大至FN=90N導致鼓面發(fā)生傾斜，需要對鼓的受力情況進行重新分析，如圖5所示。

圖5 一位隊員用力過大至FN=90N導致鼓面發(fā)生傾斜的受力情況俯視圖

可以得知鼓面向FNC方向升高并傾斜，對力進行分析的合力側(cè)視圖如圖6所示：

圖6 一位隊員用力過大至FN=90N導致鼓面發(fā)生傾斜的合力受力情況側(cè)視圖

由受力分析圖可得：

當F合2cosβ'=F合cosθ'且F合2sinβ'+F合sinθ'=G時，鼓將會恢復平衡狀態(tài)，聯(lián)立上述兩式：

解得：

設鼓面傾斜角為γ，可由β'和θ'計算當有一位隊員用力過大時鼓面的傾斜角度：

故在0.1s時鼓面傾斜方向為向用力過大的隊員方向向上傾斜。

Step2序號2求解

當其中兩位相鄰位置隊員在同一時刻內(nèi)用力過大至FN=90N導致鼓面發(fā)生傾斜，需對鼓的受力情況進行重新分析，如圖7所示：

圖7 兩位相鄰隊員用力過大至FN=90N導致鼓面發(fā)生傾斜的受力情況俯視圖

可以得知鼓面向F合2方向升高并傾斜，對力進行分析的合力側(cè)視圖如圖8所示：

圖8 兩位相鄰隊員用力過大至FN=90N導致鼓面發(fā)生傾斜的合力受力情況側(cè)視圖

由受力分析圖可得：

當F合4cosβ'=F合3cosθ'且F合4cosβ'+F合3sinθ'=G時，鼓將會恢復平衡狀態(tài)，聯(lián)立上述兩式：

解得：

設鼓面傾斜角為γ，可由β'和θ'計算當有一位隊員用力過大時鼓面的傾斜角度：

故在0.1s時鼓面傾斜方向為向用力過大的兩位隊員角平分線方向向上傾斜。

Step3序號3求解

當其中兩位間二位隊員在同一時刻內(nèi)用力過大至FN=90N導致鼓面發(fā)生傾斜，需對鼓的受力情況進行重新分析，如圖9所示：

圖9 兩位間二位隊員用力過大至FN=90N導致鼓面發(fā)生傾斜的受力情況俯視圖

可以得知鼓面向FNC與F'NC夾角的角平分線方向升高并傾斜，對力進行分析的合力側(cè)視圖如圖10所示。

圖10 兩位間二位隊員用力過大至FN=90N導致鼓面發(fā)生傾斜的合力受力情況側(cè)視圖

由受力分析圖可得：

當F合6cosβ'=F合5cosθ'且F合6sinβ'+F合5sinθ'=G時，鼓將會恢復平衡狀態(tài)，聯(lián)立上述兩式：

解得：

設鼓面傾斜角為γ，可由β'和θ'計算當有一位隊員用力過大時鼓面的傾斜角度：

故在0.1s時鼓面傾斜方向為向兩位隊員夾角的角平分線方向向上傾斜。

Step4序號4求解

當其中一位隊員在比正常情況下提前0.1s發(fā)出80N的力導致鼓面發(fā)生傾斜，需對鼓的受力情況進行重新分析，如圖11所示：

圖11 一位隊員提前0.1發(fā)出80N的力導致鼓面發(fā)生傾斜的受力情況俯視圖

可以得知鼓面向FNC方向降低并傾斜，對力進行分析的合力側(cè)視圖如圖12所示。

圖12 一位隊員提前0.1s發(fā)出80N的力導致鼓面發(fā)生傾斜的合力受力情況側(cè)視圖

由受力分析圖可得：

當F合8cosβ'=F合7cosθ'且F合8sinβ'+F合7sinθ'=G時，鼓將會恢復平衡狀態(tài)，聯(lián)立上述兩式：

解得：

設鼓面傾斜角為γ，可由β'和θ'計算當有一位隊員用力過大時鼓面的傾斜角度：

故在0.1s時鼓面傾斜方向為向提前出力的隊員方向向上傾斜。

Step5序號5求解

當其中兩位相鄰隊員在比正常情況下提前0.1s發(fā)出80N的力導致鼓面發(fā)生傾斜，需對鼓的受力情況進行重新分析，如圖13所示：

圖13 兩位相鄰隊員提前0.1發(fā)出80N的力導致鼓面發(fā)生傾斜的受力情況俯視圖

可以得知鼓面向FNC方向降低并傾斜，對力進行分析的合力側(cè)視圖如圖14所示：由受力分析圖可得：

圖14 兩位相鄰隊員提前0.1s發(fā)出80N的力導致鼓面發(fā)生傾斜的合力受力情況側(cè)視圖

當F合10cosβ'=F合9cosθ'且F合10cosβ'+F合9sinθ'=G時，鼓將會恢復平衡狀態(tài)，聯(lián)立上述兩式：

解得：

設鼓面傾斜角為γ，可由β'和θ'計算當有一位隊員用力過大時鼓面的傾斜角度：

故在0.1s時鼓面傾斜方向為向提前出力的隊員方向向上傾斜。

Step6序號6求解

當其中兩位間二位隊員在比正常情況下提前0.1s發(fā)出80N的力導致鼓面發(fā)生傾斜，需對鼓的受力情況進行重新分析，如圖15所示：

圖15 兩位間二位隊員提前0.1s發(fā)出80N的力導致鼓面發(fā)生傾斜的受力情況俯視圖

可以得知鼓面向FNC與F'NC夾角的角平分線方向升高并傾斜，對力進行分析的合力側(cè)視圖如圖16所示：

圖16 兩位間二位隊員比正常提前0.1s發(fā)出80N的力導致鼓面發(fā)生傾斜的合力受力情況側(cè)視圖

由受力分析圖可得：

當F合12cosβ'=F合11cosθ'且F合12sinβ'+F合11sinθ'=G時，鼓將會恢復平衡狀態(tài)，聯(lián)立上述兩式：

解得：

設鼓面傾斜角為γ，可由β'和θ'計算當有一位隊員用力過大時鼓面的傾斜角度：

故在0.1s時鼓面傾斜方向為向提前出力的兩位間二位隊員夾角的角平分線方向向上傾斜。

Step7序號7求解

當其中一位隊員在比正常情況下提前0.1s且用力過大至FN=90N導致鼓面發(fā)生傾斜，需對鼓的受力情況進行重新分析，如圖17所示：

圖17 一位隊員提前0.1s發(fā)出90N的力導致鼓面發(fā)生傾斜的受力情況俯視圖

可以得知鼓面向FNC方向升高并傾斜，對力進行分析的合力側(cè)視圖如圖18所示：

圖18 一位隊員提前0.1s發(fā)出90N的力導致鼓面發(fā)生傾斜的合力受力情況側(cè)視圖

由受力分析圖可得：

當F合14cosβ'=F合13cosθ'且F合14sinβ'+F合13sinθ'=G時，鼓將會恢復平衡狀態(tài)，聯(lián)立上述兩式：

解得：

設鼓面傾斜角為γ，可由β'和θ'計算當有一位隊員用力過大時鼓面的傾斜角度：

故在0.1s時鼓面傾斜方向為向用力過大的隊員方向向上傾斜。

Step8序號8求解

當其中兩位間二位隊員在比正常情況下提前0.1s且與之交叉相鄰的其他兩位隊員在比正常情況下用力過大至FN=90N導致鼓面發(fā)生傾斜，需對鼓的受力情況進行重新分析，如圖19所示：

圖19 兩位隊員提前0.1s用力且交叉相鄰的兩位隊員增加10N導致鼓面發(fā)生傾斜的受力情況俯視圖

可以得知鼓面向F合16方向升高并傾斜，對力進行分析的合力側(cè)視圖如圖20所示：

圖20 兩位隊員提前0.1s用力且交叉相鄰的兩位隊員增加10N導致鼓面發(fā)生傾斜的合力受力情況側(cè)視圖

由受力分析圖可得：

當F合16cosβ'=F合15cosθ'且F合16sinβ'+F合15sinθ'=G時，鼓將會恢復平衡狀態(tài)，聯(lián)立上述兩式：

解得：

設鼓面傾斜角為γ，可由β'和θ'計算當有一位隊員用力過大時鼓面的傾斜角度：

故在0.1s時鼓面傾斜方向為向為向F合16方向向上傾斜。

Step9序號9求解

當其中兩位間二位隊員在比正常情況下提前0.1s且與之對向相鄰的其他兩位隊員在比正常情況下用力過大至FN=90N導致鼓面發(fā)生傾斜，需對鼓的受力情況進行重新分析，如圖21所示：

圖21 兩位隊員提前0.1s用力且對向相鄰的其他兩位隊員增加10N導致鼓面發(fā)生傾斜的受力情況俯視圖

可以得知鼓面向F合16方向升高并傾斜，合力側(cè)視圖對力進行分析如圖22所示：

圖22 兩位隊員比正常提前0.1s用力且對向相鄰的其他兩位隊員增加10N導致鼓面發(fā)生傾斜的合力受力情況側(cè)視圖

由受力分析圖可得：

當F合17cosβ'=F合18cosθ'且F合17cosβ'+F合18sinθ'=G時，鼓將會恢復平衡狀態(tài)，聯(lián)立上述兩式：

解得：

設鼓面傾斜角為γ，可由β'和θ'計算當有一位隊員用力過大時鼓面的傾斜角度：

故在0.1s時鼓面傾斜方向為向F合17方向向上傾斜。

4.2.3 使得鼓面傾斜角度最小的論證結(jié)果

通過上述計算及論證得出的結(jié)果，在實際情形中每位團隊成員在不同的發(fā)力時機和發(fā)力大小情況下所得出的鼓面傾角如表3所示。

由表3中得出鼓面傾角的數(shù)據(jù)和圖23中的3D顏色映射曲面圖可知，在現(xiàn)實情形中團隊成員對繩子的控制存在一定誤差導致鼓面出現(xiàn)傾斜狀態(tài)時，當所有隊員同時發(fā)力并且僅有兩位相鄰隊員增加10N的力時，鼓面產(chǎn)生的傾斜角度最小。

表3 發(fā)力時機（單位：s）和用力大小（單位：N）取值得出的鼓面傾角

圖23 鼓面傾斜角度與不同隊員個數(shù)出現(xiàn)誤差情況時的3D顏色映射曲面圖

4.3 鼓在傾斜狀態(tài)下調(diào)整鼓使球保持豎直彈跳狀態(tài)的策略

4.3.1 排球的彈跳方向發(fā)生偏移后鼓的調(diào)整策略

當鼓面產(chǎn)生傾斜狀態(tài)時，排球與鼓面發(fā)生碰撞后，排球的跳動方向發(fā)生偏移，需要每位隊員協(xié)作對各自的力進行調(diào)整，從而使排球與豎直方向產(chǎn)生夾角。假設參加該項目的團隊成員一共有10人，繩子的長度為2m，排球與鼓面發(fā)生碰撞后所反彈的高度為60cm，同時產(chǎn)生相對于豎直方向偏移1°的傾斜角。通過隊員對各自的發(fā)力時機和力度進行控制使鼓面具有與球運動方向相反的偏移方向、讓鼓面中心與排球發(fā)生碰撞，實現(xiàn)使排球逐漸趨于豎直的彈跳狀態(tài)最終達到穩(wěn)定豎直向上彈的效果。

4.3.2 尋找排球與鼓面的位置關系

在排球與鼓面發(fā)生碰撞后，排球反彈高度為60cm時排球與鼓面之間的關系如圖24所示。

由圖24可知，當排球彈回后需調(diào)整鼓的位置與角度，需要兩名隊員施力移動牛皮雙面鼓至排球豎直下落中心，使得排球可以獲得最大的彈回速度。

圖24 發(fā)生碰撞后排球高度為60cm時排球與鼓面之間的關系圖

4.3.3 鼓面的最佳擊球位置

依據(jù)對牛皮雙面鼓鼓面的彈力示意圖可以得出排球下落時與鼓面發(fā)生碰撞的最佳位置，如圖25所示（顏色越淺表示的彈力越大，即為排球與鼓面的最佳碰撞位置）：

圖25 牛皮雙面鼓鼓面彈力示意圖

當牛皮雙面鼓與排球發(fā)生碰撞前，牛皮雙面鼓在隊員的共同作用力下使得鼓面中心與排球發(fā)生碰撞時使排球產(chǎn)生最佳上彈速度，同時鼓面向與排球相反的傾斜方向進行傾斜可使得排球逐漸趨向于豎直彈跳的狀態(tài)，最終達到穩(wěn)定豎直方向彈跳的效果。

5 總結(jié)

通過對排球與鼓面發(fā)生碰撞后的運動狀態(tài)分析，運用基礎力學與能量動力學知識，得出在理想狀態(tài)下控制牛皮雙面鼓使排球與鼓面發(fā)生碰撞后，產(chǎn)生最佳彈起角度與高度，以此得出對應的拉繩時間以獲得最大顛球次數(shù)。同時討論了現(xiàn)實情況下，因隊員發(fā)力大小和發(fā)力時機出現(xiàn)失誤時，使鼓面傾角迅速恢復至最小的協(xié)作方法，由此使排球的彈跳狀態(tài)快速恢復到豎直彈跳狀態(tài)，最終實現(xiàn)最多的擊球次數(shù)。