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基于矩陣半張量積的模糊邏輯研究進(jìn)展

2022-10-19 00:53孫長(zhǎng)樂(lè)李海濤
關(guān)鍵詞:矩陣變量邏輯

孫長(zhǎng)樂(lè),李海濤

(山東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山東 濟(jì)南 250358)

0 引言

模糊邏輯利用部分專(zhuān)家知識(shí)或有限的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)處理系統(tǒng)的復(fù)雜性、非線(xiàn)性與不確定性,是復(fù)雜系統(tǒng)建模與控制的革命性方法[1,2]。自Zadeh于1988年提出模糊邏輯以來(lái)[3,4],經(jīng)過(guò)三十多年的研究發(fā)展,模糊邏輯已經(jīng)引起了許多學(xué)科的關(guān)注并已成功應(yīng)用于眾多領(lǐng)域:控制工程[5-7]、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)[8-11]、故障檢測(cè)與診斷[12-16]、模式識(shí)別[17-20]等。

模糊推理是模糊邏輯系統(tǒng)最為核心的部分,一般可分為兩類(lèi):Mamdani規(guī)則推理[21]、T-S模糊推理[22]。模糊推理可分為前提與結(jié)論兩部分,Mamdani規(guī)則推理與T-S模糊推理前提部分相同,但是Mamdani規(guī)則推理在結(jié)論部分輸出為模糊子集,而T-S模糊推理在結(jié)論部分輸出為多項(xiàng)式函數(shù)。Mamdani規(guī)則推理具有更好的解釋能力,而T-S模糊推理一般與優(yōu)化算法相結(jié)合具有更好的逼近能力。模糊推理通過(guò)模糊規(guī)則將人類(lèi)推理與模糊信息聯(lián)系起來(lái)去處理復(fù)雜系統(tǒng),并進(jìn)行多方面的擴(kuò)展研究。例如,遺傳模糊系統(tǒng)[23-25]將遺傳算法與模糊系統(tǒng)相結(jié)合,對(duì)模糊規(guī)則進(jìn)行設(shè)計(jì)、優(yōu)化,并使其具有一定的學(xué)習(xí)能力。模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[26-29]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)能力與模糊系統(tǒng)的解釋能力相結(jié)合可更有效的處理復(fù)雜系統(tǒng)。分層模糊系統(tǒng)[30-33]利用多個(gè)低維模糊子系統(tǒng)構(gòu)建大規(guī)模模糊系統(tǒng),減少系統(tǒng)模糊規(guī)則數(shù)量,簡(jiǎn)化模糊推理過(guò)程。

模糊推理過(guò)程本質(zhì)上是模糊邏輯處理過(guò)程,現(xiàn)有處理模糊邏輯系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法少之又少,模糊邏輯系統(tǒng)研究過(guò)程中迫切需要一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具以求突破。近年來(lái),程代展教授及其團(tuán)隊(duì)提出矩陣半張量積理論,突破了普通矩陣乘積維數(shù)的限制,還能保持普通矩陣乘積的性質(zhì)[34-36]。矩陣半張量積將模糊推理過(guò)程轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式,從而有效簡(jiǎn)化了模糊推理過(guò)程。特別是對(duì)于具有多重耦合模糊關(guān)系的多輸入多輸出模糊系統(tǒng),當(dāng)多重耦合模糊關(guān)系不可按控制進(jìn)行分解時(shí),多個(gè)模糊控制器必須同時(shí)設(shè)計(jì),其它模糊邏輯理論中逐個(gè)設(shè)計(jì)模糊控制器的方法就不再適用,而基于矩陣半張量積框架的模糊控制器設(shè)計(jì)方法為解決此類(lèi)問(wèn)題提供了便捷的研究框架。基于矩陣半張量積的模糊邏輯的理論核心為模糊關(guān)系矩陣,在其它模糊邏輯理論中,當(dāng)輸入變量的個(gè)數(shù)N>2時(shí),模糊關(guān)系矩陣會(huì)受到維數(shù)的限制,很難進(jìn)行準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔的表示。但利用矩陣半張量積理論,模糊關(guān)系矩陣突破了維數(shù)的限制,進(jìn)而將模糊推理過(guò)程轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)形式,借助相應(yīng)的代數(shù)理論知識(shí),可以更加簡(jiǎn)便的研究模糊邏輯理論。基于矩陣半張量積框架的模糊系統(tǒng)研究取得了重大的理論突破且已成功應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)控制,包括原料質(zhì)量控制系統(tǒng)[37]、電力工業(yè)[38,39]、廢棄物處理[40]、空調(diào)系統(tǒng)設(shè)計(jì)[41-48]等。

隨著矩陣半張量積理論的提出,邏輯系統(tǒng)研究取得了重大突破并成功應(yīng)用于眾多方向,包括動(dòng)態(tài)博弈[48-51],動(dòng)態(tài)-靜態(tài)布爾網(wǎng)絡(luò)[52-56]與網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的建模及安全性分析[57-60]等。程代展教授在矩陣半張量積框架上對(duì)混合值邏輯定義、運(yùn)算以及應(yīng)用給出了一個(gè)較為系統(tǒng)的綜述[61]。然而,對(duì)基于矩陣半張量積框架下的模糊系統(tǒng)研究進(jìn)展鮮有較為系統(tǒng)的總結(jié),本文旨在對(duì)基于半張量積理論的模糊系統(tǒng)發(fā)展研究進(jìn)行綜合概述,并給出基于矩陣半張量積理論的模糊系統(tǒng)的研究前景。

1 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1.1 符號(hào)簡(jiǎn)介

(1)Mm×n為m×n階實(shí)矩陣構(gòu)成的集合。

(6) 給定α,β∈Dk,α與β的布爾乘α×Bβ,定義為α×Bβ=(α∧β),∧為“合取”邏輯算子。

1.2 矩陣半張量積

矩陣A、B做普通矩陣乘積時(shí),A的列數(shù)必須等于B的行數(shù)。矩陣半張量積是普通矩陣乘積的推廣,突破了矩陣A、B做普通矩陣乘積時(shí)維數(shù)的限制,同時(shí)還保持了普通矩陣乘積的性質(zhì)。

矩陣半張量積可以將邏輯算子轉(zhuǎn)化為矩陣形式,是邏輯演算代數(shù)化的一個(gè)重要方法,并已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用[62-65]。

下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明混合值邏輯映射的代數(shù)化,以便讀者理解。

給定邏輯變量x1∈Δ2,x2∈Δ2,x3∈Δ2,邏輯函數(shù)f(x1,x2,x3)=x1∧x2∨x3,則有形式

式中合取邏輯算子的矩陣表示形式Mc=δ2[1 2 2 2],析取邏輯算子的矩陣表示形式Md=δ2[1 1 1 2],結(jié)構(gòu)矩陣Mf=δ2[1 1 1 2 1 2 1 2]。

2 模糊控制系統(tǒng)研究進(jìn)展

模糊推理是模糊控制系統(tǒng)中最重要也是最復(fù)雜的一部分,現(xiàn)有對(duì)模糊推理進(jìn)行分析研究的數(shù)學(xué)方法較少。隨著程代展教授提出矩陣半張量積理論,并與其團(tuán)隊(duì)取得了一些基本研究成果,為模糊集描述與一般模糊關(guān)系描述提供了一種新方法。利用矩陣半張量積方法可以將模糊推理過(guò)程轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式,使得模糊推理過(guò)程研究取得了突破性進(jìn)展。

2.1 歷史回顧

模糊控制系統(tǒng)一般分為模糊化、知識(shí)庫(kù)、模糊推理、解模糊化四部分,其中以基于模糊規(guī)則求解模糊控制量的模糊推理為核心部分[66,67]。模糊推理在處理系統(tǒng)不確定性、隨機(jī)性與復(fù)雜性方面有著天然的優(yōu)勢(shì)。模糊推理一般可分為Mamdani規(guī)則推理與T-S模糊推理,模糊規(guī)則表達(dá)式為“IFXisATHENYisB”,其中,Mamdani規(guī)則推理類(lèi)型中“B”為模糊子集[68,69],T-S模糊推理中“B”為與變量X相關(guān)的多項(xiàng)式[70-74]。

(1) 求取矩陣D,其中dxy=μA(x1)∧μB(x2)

(2) 求取模糊關(guān)系矩陣MR

除上述通過(guò)模糊關(guān)系矩陣進(jìn)行模糊推理以外,還可以通過(guò)隸屬度函數(shù)圖像進(jìn)行模糊推理。模糊系統(tǒng)中輸入變量個(gè)數(shù)r≤2時(shí),模糊推理過(guò)程通過(guò)模糊關(guān)系矩陣可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式,簡(jiǎn)化推理過(guò)程,降低推理過(guò)程的復(fù)雜度。當(dāng)r≥3時(shí),從步驟(1)、(2)可知,模糊關(guān)系矩陣變?yōu)閞維矩陣,無(wú)法應(yīng)用于模糊推理過(guò)程,模糊推理過(guò)程計(jì)算復(fù)雜度劇增。但模糊控制系統(tǒng)具有設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單,實(shí)現(xiàn)性較強(qiáng),控制效果明顯等優(yōu)點(diǎn),在各方面得到了廣泛的應(yīng)用,因此多輸入變量模糊系統(tǒng)的模糊關(guān)系矩陣研究是一個(gè)比較重要且有意義的課題。

2.2 模糊控制系統(tǒng)最新研究進(jìn)展

基于矩陣半張量積方法,文獻(xiàn)[75-77]將模糊推理過(guò)程轉(zhuǎn)化為模糊關(guān)系矩陣進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算,不再受系統(tǒng)輸入變量個(gè)數(shù)的限制,即模糊關(guān)系矩陣不受維數(shù)的限制,模糊推理研究取得了突破性進(jìn)展。

基于矩陣半張量積理論,模糊關(guān)系矩陣不再受維數(shù)的限制。為了文章緊密性,通過(guò)兩輸入單輸出模糊系統(tǒng)對(duì)模糊關(guān)系矩陣進(jìn)行介紹。系統(tǒng)輸入變量X={x1,…,xm}、Y={y1,…,yn},輸出變量Z={z1,…,zr},隸屬度值{μR(xi,yj,zk)|i=1,…,m;j=1,…,n;k=1,…,r}按Id(k;r)×Id(i,j;m,n)順序進(jìn)行排列,進(jìn)而構(gòu)建系統(tǒng)的模糊關(guān)系矩陣

如圖1模糊控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖所示,基于矩陣半張量積方法,模糊關(guān)系矩陣替代模糊規(guī)則,將模糊推理過(guò)程轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)運(yùn)算過(guò)程,簡(jiǎn)化其計(jì)算復(fù)雜度,降低了模糊控制器設(shè)計(jì)的復(fù)雜性。

圖1 模糊控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

為便于讀者理解,下面用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明基于矩陣半張量積理論的模糊推理過(guò)程。

給定兩輸入單輸出的模糊控制系統(tǒng),系統(tǒng)輸入變量A、B均有7個(gè)模糊子集{NB,NM,NS,ZO,PS,PM,PB},輸出變量U有13個(gè)模糊子集{NVB,NB,NMB,NMS,NS,NVS,ZO,PVS,PS,PMS,PMB,PB,PVB}。給定模糊輸入VA=[0 0 0.75 0.25 0 0 0]T,VB=[0 0 0 0 0.25 0.75 0]T,模糊規(guī)則如表1所示,求模糊輸出VU。

表1 系統(tǒng)模糊規(guī)則表

通過(guò)模糊規(guī)則表可知此系統(tǒng)的模糊關(guān)系矩陣

基于模糊規(guī)則表可求得模糊關(guān)系矩陣,然而在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中,有些模糊控制系統(tǒng)無(wú)法直接給出模糊控制規(guī)則表,只有相應(yīng)的系統(tǒng)測(cè)量數(shù)據(jù),此時(shí)模糊關(guān)系矩陣求解就會(huì)相對(duì)困難。為此,文獻(xiàn)[78]在隸屬度函數(shù)中參數(shù)不確定時(shí)基于最小二乘法等優(yōu)化算法利用測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)進(jìn)行逼近,進(jìn)而間接求取模糊關(guān)系矩陣;當(dāng)系統(tǒng)變量模糊集對(duì)應(yīng)的隸屬度參數(shù)準(zhǔn)確時(shí),基于測(cè)量數(shù)據(jù)使用直接法對(duì)模糊關(guān)系矩陣進(jìn)行求解。例如對(duì)三輸入單輸出模糊控制系統(tǒng),給定P組測(cè)量數(shù)據(jù),模糊關(guān)系矩陣求解過(guò)程如:

(1) 指定測(cè)量數(shù)據(jù)中任意一組輸入輸出數(shù)據(jù)(x1i,x2i,x3i,yi),對(duì)其進(jìn)行模糊化,求解其向量表示形式Vx1(x1i)Vx2(x2i)Vx3(x3i)Vy(yi)。

文獻(xiàn)[79]提出了基于模糊關(guān)系矩陣的多輸入多輸出模糊系統(tǒng)的通用逼近方法,從理論上證明了該框架下的模糊系統(tǒng)能夠以所需的精度逼近非線(xiàn)性函數(shù),并通過(guò)仿真驗(yàn)證了其有效性。模糊系統(tǒng)中控制規(guī)則完備時(shí),模糊關(guān)系矩陣是唯一確定的,模糊規(guī)則非完備時(shí),模糊關(guān)系矩陣有多個(gè)。文獻(xiàn)[80]針對(duì)模糊隨機(jī)變量,將概率轉(zhuǎn)移矩陣與模糊關(guān)系矩陣相結(jié)合,提出了隨機(jī)模糊控制器的設(shè)計(jì)方法,當(dāng)模糊規(guī)則完備時(shí),隨機(jī)模糊控制器是唯一確定的。

3 分層模糊控制系統(tǒng)研究進(jìn)展

3.1 歷史回顧

模糊系統(tǒng)中控制規(guī)則會(huì)隨著系統(tǒng)輸入變量的增加呈現(xiàn)出指數(shù)增長(zhǎng)的趨勢(shì),即給定的模糊系統(tǒng)有m個(gè)輸入變量,每個(gè)變量有n個(gè)模糊子集,那么模糊規(guī)則有nm條,輸入變量增加p個(gè),模糊規(guī)則數(shù)量變?yōu)閚m+p條,這種現(xiàn)象稱(chēng)為“維數(shù)災(zāi)難”。模糊規(guī)則數(shù)量增多會(huì)增加模糊控制器設(shè)計(jì)的難度與模糊推理的復(fù)雜度。為處理模糊系統(tǒng)“維數(shù)災(zāi)難”問(wèn)題,文獻(xiàn)[81]提出了分層模糊系統(tǒng)的思想,即整個(gè)模糊系統(tǒng)由多個(gè)低維模糊子系統(tǒng)構(gòu)成,使得模糊規(guī)則的數(shù)量會(huì)隨著輸入變量個(gè)數(shù)的增加呈現(xiàn)線(xiàn)增加,有效減少了大規(guī)模模糊系統(tǒng)的模糊規(guī)則數(shù)量[82]。分層模糊控制系統(tǒng)已廣泛的應(yīng)用于航空航天[83,84],機(jī)器人控制[85,86],社會(huì)管理[87]等領(lǐng)域[88-91]。

分層模糊控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過(guò)程中,中間層涉及的模糊規(guī)則結(jié)構(gòu)幾乎沒(méi)有任何物理意義,其規(guī)則解釋性較弱,難以設(shè)計(jì)[92]。文獻(xiàn)[93]提出一種新的映射規(guī)則庫(kù)方案,基于原系統(tǒng)模糊規(guī)則獲取分層系統(tǒng)的模糊規(guī)則,增強(qiáng)了中間層系統(tǒng)設(shè)計(jì)的可解釋性。分層模糊控制子系統(tǒng)之間經(jīng)過(guò)解模糊化、模糊化過(guò)程,控制變量的精度會(huì)受到影響。針對(duì)此問(wèn)題,文獻(xiàn)[94]提出一種基于轉(zhuǎn)移矩陣快速推理獲取分層模糊系統(tǒng)矩陣表達(dá)形式的方法,構(gòu)造輔助矩陣,有效避免了中間層人工參與過(guò)程,使得中間層系統(tǒng)設(shè)計(jì)更加透明。

3.2 分層模糊系統(tǒng)最新研究進(jìn)展

基于矩陣半張量積方法,分層模糊系統(tǒng)研究取得了較大進(jìn)展。文獻(xiàn)[95]提出基于矩陣半張量積方法的分層模糊系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)方法,構(gòu)建了分層模糊系統(tǒng)的矩陣半張量積代數(shù)框架,基于混合值邏輯函數(shù)的半張量積分解方法,降低了中間層設(shè)計(jì)的復(fù)雜度,使得中間層系統(tǒng)設(shè)計(jì)更加透明。

分層模糊系統(tǒng)可分為串聯(lián)、并聯(lián)與混合分層模糊系統(tǒng),其中混合分層模糊系統(tǒng)為串聯(lián)與并聯(lián)分層模糊系統(tǒng)的組合,因此綜合運(yùn)用串聯(lián)、并聯(lián)層次模糊系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)方法即可構(gòu)建混合分層模糊系統(tǒng)。

串聯(lián)分層模糊系統(tǒng)的代數(shù)表達(dá)形式如

(1)

并聯(lián)分層模糊系統(tǒng)的代數(shù)表達(dá)形式如

(2)

基于混合值邏輯函數(shù)的矩陣半張量積分解方法,整個(gè)模糊系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)矩陣可以分解為形如串聯(lián)、并聯(lián)分層模糊系統(tǒng)中子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)矩陣,進(jìn)而獲取分層模糊系統(tǒng)中子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)矩陣?;诰仃嚢霃埩糠e分解的方法,將模糊推理過(guò)程轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式,使得設(shè)計(jì)過(guò)程更加透明、簡(jiǎn)潔,其次,在中間層子系統(tǒng)設(shè)計(jì)過(guò)程中不需要人工參與也不需要構(gòu)建輔助矩陣,并降低了分層模糊控制系統(tǒng)的計(jì)算復(fù)雜度。

4 模糊關(guān)系方程與模糊關(guān)系不等式研究進(jìn)展

4.1 歷史回顧

模糊關(guān)系方程與模糊關(guān)系不等式方程求解問(wèn)題是模糊集與模糊系統(tǒng)領(lǐng)域最重要的問(wèn)題之一。由于其重要性與研究難度,該問(wèn)題一直是富有挑戰(zhàn)性的研究課題[96,97]。

模糊關(guān)系方程求解問(wèn)題可詮釋為給定模糊集A∈F(U×W)、B∈F(U×V),尋找一個(gè)X∈F(W×V)滿(mǎn)足

A°X=B。

(3)

文獻(xiàn)[98]提出了一種模糊關(guān)系系統(tǒng)的識(shí)別算法,該算法對(duì)系統(tǒng)模糊數(shù)據(jù)或非模糊數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類(lèi),構(gòu)建基本模糊集,并根據(jù)相應(yīng)的性能指標(biāo)對(duì)模糊關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。文獻(xiàn)[99]提出基于規(guī)則的方法,使用符號(hào)矩陣與輔助矩陣,求解最廣泛的解決集。文獻(xiàn)[100]通過(guò)排除規(guī)則事先排除冗余解,并通過(guò)構(gòu)建準(zhǔn)則矩陣和輔助矩陣給出了求解模糊關(guān)系的算法,通過(guò)簡(jiǎn)單的邏輯運(yùn)算即可求得獨(dú)立的解集。

模糊關(guān)系不等式方程表示為

s≤A°x≤t,

(4)

式中s=[s1,s2,s3,…,sm]T,A=(aij)∈[0,1]m×n,x=[x1,x2,x3,…,xn]T,t=[t1,t2,t3,…,tm]T。

文獻(xiàn)[101]定義了模糊關(guān)系不等式路徑,簡(jiǎn)化了模糊關(guān)系不等式求解過(guò)程,并給出受限于多個(gè)模糊關(guān)系不等式的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化算法,縮小優(yōu)化搜索范圍。文獻(xiàn)[102]對(duì)這一算法進(jìn)行簡(jiǎn)化,并給出了模糊關(guān)系不等式路徑與最小解之間的關(guān)系,提出了具有模糊關(guān)系不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題的新解法。文獻(xiàn)[103]討論了模糊關(guān)系不等式最小解的唯一性,通過(guò)定義關(guān)鍵集、關(guān)鍵系統(tǒng)給出了求解模糊關(guān)系不等式的算法。

4.2 模糊關(guān)系方程最新研究進(jìn)展

給定邏輯方程

(5)

(1) 根據(jù)邏輯方程構(gòu)造有序集合Ξ={0, 0.32, 0.68, 1}

(3) 基于矩陣半張量方法,將邏輯方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式

(6)

式(4)可進(jìn)一步寫(xiě)為

由向量形式轉(zhuǎn)化為模糊值

4.3 模糊關(guān)系不等式最新研究進(jìn)展

基于矩陣半張量積理論,文獻(xiàn)[108,109]定義相關(guān)參數(shù)集,并證明了模糊關(guān)系不等式解集最小解的唯一性,提出了求解模糊關(guān)系不等式全解的算法。下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)介紹相關(guān)算法。

(7)

(1) 根據(jù)邏輯方程構(gòu)造有序集合Ξ={0, 0.1 0.2 0.3, 0.5, 0.7 0.9 1}。

(2) 將集合Ξ中的元素轉(zhuǎn)化為向量形式

(4) 求得解集Γ=Γ1∩Γ2,并求出解集中最大解對(duì)應(yīng)的模糊值為[0.5 1]T,最小解對(duì)應(yīng)的模糊值分別為[0.2 0]T與[0.0.2]T,模糊關(guān)系不等式的全部解可表示為

文獻(xiàn)[110]將這一結(jié)果進(jìn)行擴(kuò)展,將更為廣泛的五種模糊關(guān)系不等式轉(zhuǎn)化為式(2)的形式,利用參數(shù)集進(jìn)行求解運(yùn)算,并給出了相應(yīng)的求解算法。文獻(xiàn)[111]對(duì)基于布爾半張量積復(fù)合算子的模糊關(guān)系不等式進(jìn)行了研究,通過(guò)構(gòu)造參數(shù)集的方法,求得其模糊關(guān)系不等式的所有解。

5 基于矩陣半張量積方法的模糊控制系統(tǒng)應(yīng)用研究進(jìn)展

利用矩陣半張量積方法,構(gòu)建模糊關(guān)系矩陣替代模糊規(guī)則進(jìn)行模糊推理過(guò)程,大大簡(jiǎn)化了模糊推理過(guò)程,為模糊邏輯分析與推理提供了新方法,并成功應(yīng)用于實(shí)際控制系統(tǒng)。

通過(guò)文獻(xiàn)[112]中混合動(dòng)力電動(dòng)汽車(chē)能量管理與控制系統(tǒng)介紹基于矩陣半張量積方法的模糊控制系統(tǒng)實(shí)際應(yīng)用過(guò)程。車(chē)輛行駛期間,電池電量充足時(shí),車(chē)輛電動(dòng)機(jī)主要由電池供電;電池電量不足時(shí),發(fā)動(dòng)機(jī)工作,一方面給電池充電,另一方面為電動(dòng)機(jī)工作提供能量;當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)所提供的能量不足以使電動(dòng)機(jī)正常工作時(shí),電池會(huì)為電動(dòng)機(jī)提供能量。

混合動(dòng)力電動(dòng)汽車(chē)能量模糊控制系統(tǒng)以電池儲(chǔ)能狀態(tài)(SOC)、駕駛員命令指令(Pdriver)與電機(jī)轉(zhuǎn)速(ωEM)為輸入變量,發(fā)動(dòng)機(jī)功率(Pgen)與比例因子(scalefacctor)為輸出變量。電池儲(chǔ)能狀態(tài)有四個(gè)模糊子集{toolow,low,normal,toohigh};駕駛員功率命令有兩個(gè)模糊子集{normal,high};電機(jī)轉(zhuǎn)速有三個(gè)模糊子集{low,optimal,high}。輸入變量的隸屬度函數(shù)如圖2所示。

注:(a) 電機(jī)轉(zhuǎn)速的隸屬度函數(shù);(b) 發(fā)動(dòng)機(jī)功率的隸屬度函數(shù);(c) 比例因子的隸屬度函數(shù)。圖2 輸入變量的隸屬度函數(shù)

系統(tǒng)模糊規(guī)則表示如

系統(tǒng)模糊規(guī)則可表示為

基于模糊規(guī)則可得此系統(tǒng)的模糊關(guān)系矩陣為

混合動(dòng)力電動(dòng)汽車(chē)能量模糊控制系統(tǒng)的輸出表示如y1=MR1x1x2x3,y2=MR2x1x2x3。

基于文獻(xiàn)[112]所提出的最小入度控制算法,檢查輸入變量中是否存在冗余變量。首先對(duì)x1進(jìn)行檢查,將模糊關(guān)系矩陣MR1等分為4部分

MR1=δ5[ 5 5 5 5 5 5 2 4 4 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]。

可見(jiàn)MR1均勻分割為4個(gè)不相同模塊,則說(shuō)明x1不是冗余變量。其次分別對(duì)x2、x3進(jìn)行檢查

得知x2、x3均不是y1的冗余變量。類(lèi)似的,對(duì)x1、x2、x3是不是y2的冗余變量進(jìn)行檢查,得知x2、x3為y2的冗余變量,矩陣MR2可簡(jiǎn)化為MR2=δ2[2 1 1 1]。

假設(shè)輸入變量x1為0.8,x2為45 kW,x3為450 rad/s,其向量形式表示如

模糊輸出變量y1、y2可表示為

采用重心法進(jìn)行解模糊化,系統(tǒng)實(shí)際輸出變量y1為3.3,y2為1?;旌蟿?dòng)力電動(dòng)汽車(chē)能量模糊控制系統(tǒng)采用矩陣半張量積理論,利用模糊關(guān)系矩陣替代了模糊規(guī)則,簡(jiǎn)化了模糊推理過(guò)程,加快了系統(tǒng)的響應(yīng)。

6 結(jié)論與展望

近年來(lái),基于矩陣半張量積理論的模糊邏輯系統(tǒng)研究已經(jīng)得到了國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注,其理論研究成果在機(jī)器人控制、混合動(dòng)力車(chē)輛控制、電力系統(tǒng)控制等實(shí)際系統(tǒng)應(yīng)用方面得到了驗(yàn)證?;诎霃埩糠e的模糊邏輯理論與其它模糊邏輯理論的對(duì)比分析如:(1) 對(duì)于多輸入單輸出模糊系統(tǒng),在其它模糊邏輯理論中,當(dāng)輸入變量的個(gè)數(shù)N>2時(shí),由于維數(shù)的限制,模糊關(guān)系矩陣很難準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔的表示出來(lái),進(jìn)而導(dǎo)致模糊推理過(guò)程的計(jì)算復(fù)雜度增加,且隨著系統(tǒng)輸入變量的增多,模糊推理過(guò)程的計(jì)算復(fù)雜度劇增;而利用矩陣半張量積理論,模糊關(guān)系矩陣的維數(shù)突破了維數(shù)的限制,進(jìn)而可以大幅度降低模糊推理過(guò)程的計(jì)算復(fù)雜度,緩解實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中內(nèi)存使用問(wèn)題與實(shí)時(shí)性能問(wèn)題。(2) 對(duì)于具有多重耦合模糊關(guān)系的多輸入多輸出模糊系統(tǒng),當(dāng)多重耦合模糊關(guān)系不可按控制進(jìn)行分解時(shí),多個(gè)模糊控制器必須同時(shí)設(shè)計(jì),其它模糊邏輯理論中逐個(gè)設(shè)計(jì)模糊控制器的方法便不再適用,而基于矩陣半張量積框架的模糊控制器設(shè)計(jì)方法便可解決此類(lèi)情況。

模糊系統(tǒng)的主要缺點(diǎn)是不能適應(yīng)變化的情況,為此利用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的模糊推理系統(tǒng)[113]或?qū)⒛:到y(tǒng)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法相結(jié)合都能很好的處理這種情況[114]。另一方面,建立模糊規(guī)則的知識(shí)是不確定性的,這種不確定性反映在不確定的前件或結(jié)論的隸屬度部分,I型模糊系統(tǒng)是不能直接處理這種不確定性的,為此,II型模糊系統(tǒng)的概念被提出,通過(guò)模糊化隸屬度函數(shù)來(lái)處理這種不確定性[115]。對(duì)于基于矩陣半張量積框架的模糊邏輯理論方面,文獻(xiàn)[78]利用系統(tǒng)數(shù)據(jù)構(gòu)建模糊關(guān)系矩陣模型來(lái)改善模糊系統(tǒng)適應(yīng)性問(wèn)題,但鮮有文獻(xiàn)研究II型模糊系統(tǒng)或者模糊系統(tǒng)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法的結(jié)合問(wèn)題?,F(xiàn)有文獻(xiàn)大部分致力于完善基于半張量積的模糊邏輯理論底部框架,仍需大量學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究與探討。

針對(duì)矩陣半張量積框架下模糊邏輯系統(tǒng)分析與控制這一基本課題,雖然取得了一系列優(yōu)秀的研究成果,但仍有部分問(wèn)題尚需解決:(1) 模糊推理過(guò)程一般可分為Mamdani規(guī)則推理與T-S模糊推理?,F(xiàn)有研究主要集中在如何利用矩陣半張量積理論構(gòu)建模糊關(guān)系矩陣,將Mamdani規(guī)則推理過(guò)程轉(zhuǎn)化為代數(shù)過(guò)程來(lái)簡(jiǎn)化推理過(guò)程,對(duì)于T-S規(guī)則推理過(guò)程研究較少。(2) 利用矩陣半張量積理論所構(gòu)建的多輸入多輸出模糊系統(tǒng)的模糊關(guān)系矩陣維數(shù)較大,如何進(jìn)一步縮小模糊關(guān)系矩陣的維數(shù),是一個(gè)比較有意義的課題。(3) 矩陣半張量積理論是模糊邏輯表達(dá)式轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)式過(guò)程中的重要數(shù)學(xué)方法,進(jìn)一步完善矩陣半張量積理論,進(jìn)而克服模糊系統(tǒng)“維數(shù)災(zāi)難”現(xiàn)象,是一個(gè)較為重要且有意義的課題。

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