張 夢(mèng) 媛

（北京郵電大學(xué)理學(xué)院，北京 100876）

0 引 言

現(xiàn)代保險(xiǎn)公司披露的利潤(rùn)表顯示其利潤(rùn)主要來(lái)源于保費(fèi)收入和投資收益.保險(xiǎn)業(yè)發(fā)展日益成熟，保險(xiǎn)公司承保業(yè)務(wù)遇到瓶頸，其利潤(rùn)不斷下降；疫情爆發(fā)經(jīng)濟(jì)下行，公司原保費(fèi)收入增速同比明顯減緩，而保險(xiǎn)資金運(yùn)用余額增速未受影響.因此，投資業(yè)務(wù)逐漸成為支撐保險(xiǎn)公司持續(xù)發(fā)展的重要業(yè)務(wù).此外，保險(xiǎn)資金投資渠道和投資比例進(jìn)一步放開(kāi)，為保險(xiǎn)資金運(yùn)用創(chuàng)造了更好的發(fā)展環(huán)境.

保險(xiǎn)資金指保險(xiǎn)公司在日常經(jīng)營(yíng)工作中所能用的各類(lèi)資金總和，主要包括資本金（保險(xiǎn)公司的開(kāi)業(yè)資金）和保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的準(zhǔn)備金等.保險(xiǎn)公司可以利用暫時(shí)閑置的資金進(jìn)行投資，從而實(shí)現(xiàn)資金的保值增值，這種經(jīng)濟(jì)活動(dòng)即為保險(xiǎn)資金投資，或?yàn)楸ｋU(xiǎn)資金運(yùn)用.與其他投資一樣，保險(xiǎn)資金投資遵循安全性、盈利性和流動(dòng)性3個(gè)原則，然而保險(xiǎn)行業(yè)的特殊性還決定了其自身獨(dú)特的投資特點(diǎn).如保險(xiǎn)公司要保證發(fā)生事故和災(zāi)害時(shí)能對(duì)客戶(hù)進(jìn)行足額償付，所以為保障資金的安全性，需要限制保險(xiǎn)資金投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例.

由以上分析知，在中國(guó)銀行保險(xiǎn)監(jiān)督管理委員會(huì)（簡(jiǎn)稱(chēng)銀保監(jiān)會(huì)）監(jiān)管要求下，保險(xiǎn)公司有必要制定合理高效的保險(xiǎn)資金投資組合，從而能更好地抵御風(fēng)險(xiǎn)，提高收益來(lái)保障償付能力.Cramer［1］最早開(kāi)始研究保險(xiǎn)資金組合；Markowitz［2］首次建立了均值方差模型，并界定了理性投資者的概念；Lobo等［3］考慮到投資組合中的參數(shù)不確定性問(wèn)題，提出了用魯棒優(yōu)化方法解決；Nemirovski和 Ben-Tal［4］綜述了魯棒優(yōu)化在不確定線(xiàn)性規(guī)劃和二次曲線(xiàn)規(guī)劃中的主要應(yīng)用結(jié)果；Ben-Tal和 Ghaoui［5］介紹了魯棒優(yōu)化基本模型的構(gòu)建以及涉及到的概念；Reddy［6］認(rèn)為保險(xiǎn)公司面臨的投資風(fēng)險(xiǎn)與投資收益成正相關(guān)，即投資風(fēng)險(xiǎn)越大，投資收益越高；Bertsimas和 Sim［7］提出將一般圓錐規(guī)劃轉(zhuǎn)化成魯棒對(duì)等的方法，可以保證魯 棒解的可行性；Quaranta 和 Zaffaroni［8］用魯棒優(yōu)化技術(shù)代替隨機(jī)規(guī)劃來(lái)處理不確定性，以此最小化股票投資組合的條件風(fēng)險(xiǎn)值；Olivares-Nadal和DeMiguel［9］證明數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的投資組合問(wèn)題在收益和交易成本之間可達(dá)到最優(yōu)平衡；許仨［10］采用效用函數(shù)和在險(xiǎn)價(jià)值等因素，建立了保險(xiǎn)投資最優(yōu)模型；趙慶［11］綜述了魯棒優(yōu)化在不同投資組合模型中的應(yīng)用；劉小東［12］基于均值方差模型的保險(xiǎn)資金投資組合，進(jìn)行了實(shí)證研究；高瑩等［13］結(jié)合線(xiàn)性矩陣不等式和魯棒優(yōu)化方法，解決了均值方差模型結(jié)果容易因參數(shù)變動(dòng)而變得不可行的問(wèn)題；安曉敏［14］建立了勢(shì)不確定集下的魯棒投資組合決策模型.受現(xiàn)有研究啟發(fā)，本文利用已有的均值方差模型和魯棒優(yōu)化方法，致力于構(gòu)建基于魯棒優(yōu)化的保險(xiǎn)資金投資組合模型，并選取近幾年保險(xiǎn)投資數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，確認(rèn)魯棒優(yōu)化在投資組合中是否具有良好性質(zhì).

1 基于均值方差模型的保險(xiǎn)投資組合策略

1.1 假設(shè)條件與模型構(gòu)建

早在 1952年，美國(guó)著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家 Markowitz［2］提出只用收益（均值）和風(fēng)險(xiǎn)（方差）2個(gè)變量就能研究投資組合問(wèn)題，由此建立了均值方差模型，模型基本假設(shè)條件為：投資收益水平可以用期望收益率衡量；投資風(fēng)險(xiǎn)水平通過(guò)收益率的方差度量；理性投資者行為具有“風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避性”和“追求收益性”，即投資者在收益既定時(shí)選擇風(fēng)險(xiǎn)最小組合，在風(fēng)險(xiǎn)既定時(shí)選擇收益最大組合；投資組合杜絕賣(mài)空現(xiàn)象，即組合中各類(lèi)資產(chǎn)比例非負(fù).在基本假設(shè)條件下，建立保險(xiǎn)資金投資組合模型的假設(shè)如下：

假設(shè)2 據(jù)銀保監(jiān)會(huì)規(guī)定，保險(xiǎn)資金投資各類(lèi)資產(chǎn)的金額受一定比例限制，設(shè)為 αi≤ wi≤ βi，i=1，2，…，n.

假設(shè)3 各類(lèi)資產(chǎn)的收益率向量和標(biāo)準(zhǔn)差向量均 為 常 值 ，分 別 表 示 為 R=（r1，r2，…，rn)′和 Ω =（σ1，σ2，…，σn)′，則投資組合收益率 rp為各類(lèi)投資資產(chǎn)收益率的加權(quán)平均值，即

用投資的n種資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣C來(lái)表示投資組合的風(fēng)險(xiǎn)水平，即

式中 ：C=cov(ri，rj)= σiσjρij，ρij是ri和rj的相關(guān)系數(shù).

假設(shè)4 投資者進(jìn)行理性投資，在達(dá)到最低預(yù)期收益前提下要求風(fēng)險(xiǎn)最小.

基于均值方差模型的基本條件和上述假設(shè)1～4，可以建立如下保險(xiǎn)資金投資組合的均值方差模型，模型目標(biāo)是滿(mǎn)足最低預(yù)期收益率時(shí)最小化投資風(fēng)險(xiǎn)：

式中：αi和βi分別代表銀保監(jiān)會(huì)規(guī)定的投資第i類(lèi)資產(chǎn)權(quán)重的下限和上限；第一個(gè)約束條件代表保險(xiǎn)公司的預(yù)期收益率最低為μ.

1.2 實(shí)證分析與模型求解

1.2.1 樣本數(shù)據(jù)選擇

根據(jù)2018年銀保監(jiān)會(huì)發(fā)布的《保險(xiǎn)資金運(yùn)用管理辦法》［15］，保險(xiǎn)資金運(yùn)用限于銀行存款、債券、股票、基金、不動(dòng)產(chǎn)和境外投資等形式.因此，本文選取以上6種形式來(lái)配置保險(xiǎn)資金投資組合，選擇2015年1月1日—2019年12月31日作為研究區(qū)間，相應(yīng)的研究數(shù)據(jù)主要有銀行存款利率、債券收益率、股票回報(bào)率、基金收益率、不動(dòng)產(chǎn)和境外投資收益率，數(shù)據(jù)來(lái)源于中國(guó)人民銀行網(wǎng)站、中證指數(shù)有限公司官網(wǎng)和恒生指數(shù)有限公司官網(wǎng).本文認(rèn)為保險(xiǎn)公司投資銀行存款無(wú)風(fēng)險(xiǎn)，而債券、股票、基金、不動(dòng)產(chǎn)和境外投資均有風(fēng)險(xiǎn)，以下按投資是否有風(fēng)險(xiǎn)分類(lèi)確定所投資的各項(xiàng)資產(chǎn)收益率.

（1）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率.保險(xiǎn)資金投資的銀行存款主要包括定期存款和活期存款，因此，選取1年定期存款利率和活期存款利率，以二者的平均值當(dāng)作無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率.由中國(guó)人民銀行網(wǎng)站公布的利率數(shù)據(jù)可知，2015—2019年活期存款利率均為0.003 5，1年定期存款利率均為0.015 0，取二者均值可得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率為0.009 3.

（2）風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率.對(duì)于債券、股票和基金，本文以中證全債指數(shù)、上證綜合指數(shù)和上證基金指數(shù)為基準(zhǔn)來(lái)分別計(jì)算各自收益率.首先，利用對(duì)數(shù)差分算出月收益率為

式中：Mt代表各指數(shù)在t月的收益率，Pt表示各指數(shù)在t月的數(shù)值.加和月收益率得到年均收益率為

對(duì)于不動(dòng)產(chǎn)，主要指投資的土地、建筑物等，本文以地產(chǎn)指數(shù)為基準(zhǔn)，計(jì)算保險(xiǎn)資金投資此資產(chǎn)的收益率，方法同上.

境外投資，我國(guó)保險(xiǎn)資金的境外投資活動(dòng)主要在香港市場(chǎng)進(jìn)行，以香港恒生指數(shù)計(jì)算境外投資收益率，方法同上.

通過(guò)上述方法，得到2015—2019年各風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率，詳細(xì)列于表1.各資產(chǎn)投資比例限制：為防范系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，銀保監(jiān)會(huì)在2014年發(fā)布了《關(guān)于加強(qiáng)和改進(jìn)保險(xiǎn)資金運(yùn)用比例監(jiān)管的通知》，針對(duì)保險(xiǎn)公司配置各類(lèi)資產(chǎn)的份額進(jìn)行限制：投資股票和基金的賬面余額，合計(jì)不能超過(guò)本公司上季末總資產(chǎn)的30%；投資于不動(dòng)產(chǎn)的賬面余額不高于公司上季末總資產(chǎn)的30%；境外投資余額合計(jì)不高于本公司上季末總資產(chǎn)的15%.

表1 2015—2019年風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率

1.2.2 模型求解

由樣本數(shù)據(jù)確定式（3）中，投資總資產(chǎn)種類(lèi)n=6；r1、r2、r3、r4、r5和r6分別為銀行存款、債券、股票、基金、不動(dòng)產(chǎn)和境外投資的收益率，分別為0.009 3、0.031 5、0.023 6、0.053 9、0.278 1和 0.042 6；w1和w2為銀行存款和債券的投資比例，銀保監(jiān)會(huì)未對(duì)其作上限要求；w3、w4、w5和w6分別為股票、基金、不動(dòng)產(chǎn)和境外投資的投資比例，取值范圍為w3+w4≤30%、w5≤ 30%、w6≤ 15%.

根據(jù)各類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率，計(jì)算出協(xié)方差矩陣為

將以上數(shù)據(jù)代入保險(xiǎn)資金投資組合均值-方差模 型（3）得：

第一類(lèi)投資資產(chǎn)銀行存款為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，故目標(biāo)函數(shù)中W=（w2，w3，w4，w5，w6)′.

令μ取不同值，代表公司能接受的不同最低收益率，利用MATLAB編程求解.得到滿(mǎn)足最低收益率時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合（表2）.可知，隨著保險(xiǎn)公司所能接受最低預(yù)期收益率μ增加，公司所面臨的資金投資組合總風(fēng)險(xiǎn)σ2p逐漸變大，得到的收益率rp也隨之增加，符合市場(chǎng)規(guī)律.參考此表，不同保險(xiǎn)公司可根據(jù)自身所能接受的最低收益來(lái)制定風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合.

表2 滿(mǎn)足最低收益率時(shí)的最小風(fēng)險(xiǎn)組合

保險(xiǎn)公司在制定投資組合策略時(shí)，經(jīng)常會(huì)有很多現(xiàn)實(shí)約束，一個(gè)重要原因是在均值方差模型中，參數(shù)比如投資組合的期望收益率和協(xié)方差矩陣通常都用統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)而定，這是不準(zhǔn)確的.因此，當(dāng)參數(shù)發(fā)生一個(gè)很小的波動(dòng)時(shí)，就有可能導(dǎo)致解變得不可行.所以，有必要對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，找到一種有效的手段來(lái)處理參數(shù)的不確定性給投資決策帶來(lái)的問(wèn)題.

2 魯棒約束下的保險(xiǎn)投資組合模型

魯棒優(yōu)化是一種有效應(yīng)對(duì)優(yōu)化問(wèn)題中參數(shù)不確定性的優(yōu)化方法，具體而言，魯棒優(yōu)化方法是將參數(shù)的不確定性處理成能直接描述且較為簡(jiǎn)單的幾何形式（如矩形和橢球形），由此把原規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化成確定優(yōu)化問(wèn)題，使最終解在輸入任何一個(gè)可能參數(shù)時(shí)，都能一定程度上達(dá)到最優(yōu).因此，可用魯棒優(yōu)化來(lái)解決上述模型中投資組合收益率不確定問(wèn)題.

2.1 基于線(xiàn)性矩陣不等式的魯棒優(yōu)化模型

近年來(lái)，線(xiàn)性矩陣不等式（linear matrix inequality，LMI）已經(jīng)成為構(gòu)建魯棒優(yōu)化模型的一種重要方法.原因之一為MATLAB中推出的LMI工具箱［13］，使得用此方法進(jìn)行魯棒優(yōu)化變得更加直接、可操作性更強(qiáng).因此，為解決均值方差模型中參數(shù)不確定性問(wèn)題，首先將其轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)確定、約束條件為L(zhǎng)MI的魯棒優(yōu)化模型，即

此模型中具有ζ和W這2個(gè)決策變量：W表示所投資資產(chǎn)組合的金額比例權(quán)重向量；ζ表示投資資產(chǎn)組合的最大方差，ζ=max=maxW′CW.模型的目標(biāo)函數(shù)旨在求得ζ最小時(shí)的投資組合權(quán)重向量W，其經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)保險(xiǎn)公司面臨市場(chǎng)上最大風(fēng)險(xiǎn)ζ=max時(shí)，選擇合適的投資策略W，使得保險(xiǎn)資金投資組合收益波動(dòng)最小mWinζ.

式（3）～（5）的本質(zhì)是目標(biāo)函數(shù)和約束條件的形式轉(zhuǎn)化.式（5）中約束條件①是由ζ-W′CW ≥0根據(jù)Schur補(bǔ)性質(zhì)［14］等價(jià)變換而來(lái)；其余約束條件所表示的含義與式（3）相同.

2.2 不確定集與魯棒對(duì)等模型

2.3 實(shí)證分析

2.3.1 魯棒優(yōu)化模型求解步驟

通過(guò)LMI解決保險(xiǎn)資金投資組合魯棒優(yōu)化問(wèn)題的具體步驟框架［16］如圖1所示.第1步，確定保險(xiǎn)公司投資能接受的μ；第2步，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)設(shè)出投資資產(chǎn)的收益率變動(dòng)情況，給出如式（6）類(lèi)型的收益率不確定集UR，并據(jù)此計(jì)算相應(yīng)的協(xié)方差矩陣；第3步，根據(jù)模型用MATLAB求解，得出各投資組合的最大方差，再求出最小風(fēng)險(xiǎn)的魯棒解；第4步，令μ取表2中所有設(shè)的μ值，重復(fù)第2和3步，由此得到具有魯棒性的最小風(fēng)險(xiǎn)組合.

圖1 基于魯棒優(yōu)化的保險(xiǎn)資金投資組合問(wèn)題框架[16]

2.3.2 仿真計(jì)算

選取2015—2019年研究區(qū)間中數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證，并將實(shí)證部分中的收益率和協(xié)方差作為基準(zhǔn)收益率R1、基準(zhǔn)協(xié)方差C1.

據(jù)本文所選數(shù)據(jù)，一般假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率不變，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率變動(dòng)幅度≤20%，故設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)為使結(jié)果具有代表性且方便計(jì)算，選取不確定集中收益率的下限Ra和上限Rb，其分別對(duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣為Ca和Cb.

由上文數(shù)據(jù)可知，當(dāng)收益率取Ra=0.8R1時(shí)，協(xié)方差矩陣Ca為

當(dāng)收益率Rb=1.2R1時(shí)，協(xié)方差矩陣Cb為

將Ra、Rb的取值及矩陣Ca和Cb代入投資組合魯棒優(yōu)化模型，在μ取表2中所設(shè)的μ值時(shí)，求出具有魯棒性的結(jié)果（表3）.可知，隨著保險(xiǎn)公司可接受的預(yù)期收益率最低值增加，保險(xiǎn)資金投資組合的風(fēng)險(xiǎn)增加，最終獲得的組合收益也增加，仍然符合市場(chǎng)規(guī)律.

表3 具有魯棒性的最小風(fēng)險(xiǎn)組合

3 結(jié)果比較與經(jīng)濟(jì)意義解釋

為了更加直觀地對(duì)比保險(xiǎn)資金投資組合均值方差模型和魯棒優(yōu)化模型的績(jī)效情況，當(dāng)預(yù)期收益率最低值μ相同時(shí)，即保險(xiǎn)公司進(jìn)行投資活動(dòng)前對(duì)投資組合的最低預(yù)期收益率相同時(shí)，2個(gè)模型投資組合實(shí)際獲得的投資收益率和承受風(fēng)險(xiǎn)的比較如圖2所示.在不同保險(xiǎn)資金投資組合模型下，實(shí)際收益率隨著最低預(yù)期收益率變動(dòng)均呈上凸圖形，見(jiàn)圖2（a），說(shuō)明在均值方差模型和魯棒模型中，投資收益率都是隨最低預(yù)期收益率先快速增長(zhǎng)后緩慢增長(zhǎng)，且魯棒優(yōu)化模型具有較高且穩(wěn)定的收益.分析可知，此現(xiàn)象是由于當(dāng)保險(xiǎn)公司能接受一個(gè)較低預(yù)期收益率時(shí)，公司可能正處于發(fā)展上升期，實(shí)際收益增長(zhǎng)迅速；而當(dāng)預(yù)期收益率達(dá)到臨界值，并且還在提高，說(shuō)明公司發(fā)展已較為成熟，投資資金增多，面臨的風(fēng)險(xiǎn)增加，投資收益總量較之前提高，但增速不如之前快.在不同保險(xiǎn)資金投資組合模型下，承受風(fēng)險(xiǎn)隨最低預(yù)期收益率變動(dòng)均呈遞增趨勢(shì)，見(jiàn)圖2（b），這說(shuō)明不論是哪種保險(xiǎn)資金投資組合模型，預(yù)期收益率增加時(shí)，公司需要承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)必然增加，符合市場(chǎng)規(guī)律.然而在保險(xiǎn)公司能接受的同一最低預(yù)期收益率下，魯棒約束的保險(xiǎn)資金投資組合模型需要承受的風(fēng)險(xiǎn)恒小于基于均值方差的保險(xiǎn)投資組合模型所需承受的風(fēng)險(xiǎn)，很好地體現(xiàn)出了魯棒優(yōu)化模型較為保守的特點(diǎn)，即具有相同預(yù)期收益率時(shí)，其承受的風(fēng)險(xiǎn)較小.

圖2 均值方差模型與魯棒優(yōu)化模型對(duì)比（a）收益率；（b）風(fēng)險(xiǎn)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文主要研究了魯棒約束下制定保險(xiǎn)資金投資組合策略問(wèn)題.在均值方差模型的基礎(chǔ)上，增加了保險(xiǎn)資金投資各項(xiàng)資產(chǎn)比例的約束條件，建立了保險(xiǎn)投資組合均值方差模型.此外考慮到模型中參數(shù)不確定性問(wèn)題，運(yùn)用魯棒優(yōu)化方法對(duì)模型進(jìn)行了擴(kuò)展，構(gòu)建了魯棒約束下的保險(xiǎn)投資組合均值方差模型.同時(shí)選取2015—2019年的市場(chǎng)數(shù)據(jù)，對(duì)基本模型和擴(kuò)展模型進(jìn)行了實(shí)證研究，得到了相同預(yù)期收益率下各自的最優(yōu)投資組合；并且比較分析了2個(gè)模型結(jié)果，表明魯棒優(yōu)化模型得到的投資組合具有更高收益且更加保守，在預(yù)期收益率相同時(shí)面臨更小的風(fēng)險(xiǎn)，這為保險(xiǎn)公司進(jìn)行資金投資活動(dòng)提供了新思路.