胡釗暉，鄧琎，李再參，吳鋒,b，鐘萬勰,b

(1.大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系，遼寧 大連 116024；2.云南省機(jī)械研究設(shè)計(jì)院有限公司 a.云南省機(jī)電一體化應(yīng)用技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室;b.鐘萬勰院士工作站，昆明 650031)

0 引 言

在工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，直接利用有限元仿真難以達(dá)到高效、快速設(shè)計(jì)的要求，利用代理模型進(jìn)行高效優(yōu)化是當(dāng)下的研究熱點(diǎn)之一。在利用代理模型進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，為在設(shè)計(jì)空間中建立全局高精度代理模型，采樣方法尤為重要。隨機(jī)采樣方法得到的樣本點(diǎn)集分布極不均勻，所構(gòu)造的代理模型的精度很差。目前，學(xué)者大多采用均勻性分布較好的樣本點(diǎn)集，如拉丁超立方抽樣，以及基于數(shù)論理論的Hammersely點(diǎn)集、Sobol點(diǎn)集和Halton點(diǎn)集等。然而，這些點(diǎn)集存在明顯缺點(diǎn)：高維點(diǎn)集在低維投影時(shí)，投影點(diǎn)常出現(xiàn)聚集現(xiàn)象，分布不再均勻。樣本的均勻性對(duì)代理模型的精度具有顯著影響，采用均勻性好的樣本點(diǎn)集，往往可以用很少的樣本數(shù)得到精度更好的代理模型，從而實(shí)現(xiàn)更高效的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

實(shí)際上，均勻性好的樣本點(diǎn)集在優(yōu)化設(shè)計(jì)、隨機(jī)模擬、試驗(yàn)設(shè)計(jì)等諸多問題中都有重要的應(yīng)用價(jià)值，如何生成均勻性更好的樣本點(diǎn)集一直是研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[5]將點(diǎn)集模擬為星系的動(dòng)力學(xué)演化，并證明“最小距離最大化”原則等價(jià)于力學(xué)分析中的最小勢(shì)能原理?；谧钚?shì)能原理，文獻(xiàn)[5]提出一種基于動(dòng)力學(xué)演化模型優(yōu)化的采樣方法。相較于其他點(diǎn)集，動(dòng)力演化點(diǎn)集的均勻性更好，可以為構(gòu)造高精度代理模型和優(yōu)化設(shè)計(jì)提供均勻樣本，已經(jīng)成功用于隨機(jī)問題分析。然而，動(dòng)力學(xué)演化樣本生成方法是否適用于代理模型和優(yōu)化設(shè)計(jì)，還值得進(jìn)一步研究。

本文將動(dòng)力學(xué)演化樣本生成方法引入到代理模型優(yōu)化設(shè)計(jì)中，通過拉丁超立方抽樣得到初始樣本點(diǎn)集，基于動(dòng)力學(xué)演化計(jì)算生成均勻性更好的樣本點(diǎn)集，并用于代理模型的構(gòu)造，采用遺傳算法得到最優(yōu)解，從而給出一套基于動(dòng)力學(xué)演化的代理模型優(yōu)化方法。通過經(jīng)典測(cè)試函數(shù)和某實(shí)際機(jī)床的優(yōu)化分析，研究所提出的基于動(dòng)力學(xué)演化的代理模型優(yōu)化方法的性能。

1 基于動(dòng)力學(xué)演化樣本的代理模型優(yōu)化

1.1 代理模型優(yōu)化

基于代理模型優(yōu)化方法的計(jì)算步驟通常為：(1)在設(shè)計(jì)變量空間選取樣本；(2)基于各樣本，采用有限元仿真計(jì)算得到響應(yīng)值；(3)根據(jù)樣本和響應(yīng)值，生成代理模型；(4)采用優(yōu)化算法尋找代理模型的最優(yōu)解。在這4個(gè)基本步驟中，影響優(yōu)化結(jié)果的主要因素有3個(gè)，即樣本、代理模型和優(yōu)化算法，本文代理模型和優(yōu)化算法分別選擇經(jīng)典的Kriging模型和遺傳算法,主要研究樣本生成。

結(jié)合動(dòng)力學(xué)演化方法生成樣本:首先基于拉丁超立方采樣生成初始樣本，然后基于動(dòng)力學(xué)演化方法對(duì)該樣本進(jìn)行優(yōu)化，得到更為均勻的樣本分布，以期提高代理模型的精度，進(jìn)而提高優(yōu)化結(jié)果。

1.2 動(dòng)力學(xué)演化方法

假設(shè)采樣空間為立方體=[0,1],其中樣本點(diǎn)集為,={,,…,}，每個(gè)點(diǎn)視為一個(gè)質(zhì)量為的星體，點(diǎn)與點(diǎn)之間存在相互作用力，整個(gè)點(diǎn)集的作用量和Lagrange函數(shù)為

(1)

式中：為引力常數(shù)；為點(diǎn)與點(diǎn)之間的歐氏距離。

根據(jù)Hamilton變分原理可得

(2)

其中：

(3)

為追求靜態(tài)解，可給每個(gè)星體施加一個(gè)人為的阻尼力，于是式(2)可表示為

(4)

(5)

式中：上標(biāo)()中的表示在時(shí)間=×Δ處的值。

整理式(5)得

(6)

式(6)演化迭代過程中涉及的演化參數(shù)選擇和點(diǎn)出界處理等，均可參考文獻(xiàn)[5]的相應(yīng)說明。此處以拉丁超立方抽樣方法生成100個(gè)二維樣本點(diǎn)集，其樣本點(diǎn)分布見圖1(a)。以該樣本點(diǎn)集為初始點(diǎn)集，假定初始速度為0，根據(jù)式(5)進(jìn)行演化計(jì)算，最終得到勢(shì)能最小的樣本點(diǎn)集，其分布見圖1(b)。演化后的點(diǎn)集要比演化前的點(diǎn)集均勻得多。

(a)拉丁超立方點(diǎn)集

2 測(cè)試算例

為方便論述，將基于拉丁超立方抽樣的Kriging代理模型簡(jiǎn)記為LK模型，將基于動(dòng)力學(xué)演化技術(shù)對(duì)拉丁超立方樣本進(jìn)行優(yōu)化并構(gòu)建的Kriging代理模型簡(jiǎn)記為DLK模型。

2.1 數(shù)學(xué)函數(shù)測(cè)試

選擇二維情況下優(yōu)化測(cè)試常用的4個(gè)解析數(shù)學(xué)函數(shù)(見式(7))，比較拉丁超立方點(diǎn)集及其演化點(diǎn)集在構(gòu)建代理模型時(shí)的精度，并結(jié)合遺傳算法，對(duì)比代理模型全局最優(yōu)解與函數(shù)全局最優(yōu)解的精度。

(7)

為比較演化前、后代理模型的精度，上述4個(gè)函數(shù)的樣本數(shù)均選100。為測(cè)試所構(gòu)建的LK模型和DLK模型的精度，在優(yōu)化變量定義域內(nèi)隨機(jī)生成200個(gè)點(diǎn)集，將均方根誤差和相對(duì)平均絕對(duì)誤差作為誤差評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，其定義分別為

(8)

(9)

表 1 點(diǎn)集的誤差計(jì)算結(jié)果

由表1可知，對(duì)于均方根誤差和相對(duì)平均誤差而言，DLK模型的結(jié)果均顯著好于LK模型的結(jié)果。這表明，經(jīng)過動(dòng)力學(xué)演化后的樣本可以顯著提高Kriging代理模型的精度。

采用遺傳算法對(duì)得到的LK模型和DLK模型進(jìn)行全局尋優(yōu)，得到的結(jié)果見表2。

表 2 測(cè)試函數(shù)優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

由表2可知，對(duì)于所研究的4個(gè)測(cè)試函數(shù)，DLK模型的優(yōu)化精度均好于LK模型的優(yōu)化精度，其中在函數(shù)上表現(xiàn)得尤為明顯。因此，使用動(dòng)力學(xué)演化的樣本不僅能構(gòu)建精度更好的代理模型，而且在尋找全局最優(yōu)解方面也更為有效。

2.2 機(jī)床橫梁優(yōu)化實(shí)例

選用某龍門銑床橫梁，其結(jié)構(gòu)模型見圖2。橫梁材料為HT250鑄鐵，密度為=7 200 kg/m，彈性模量=66.2 GPa，泊松比=0.27。機(jī)床橫梁需要與立柱滑塊等進(jìn)行裝配，外部尺寸無法作為設(shè)計(jì)變量，因此將結(jié)構(gòu)上3個(gè)孔洞尺寸作為設(shè)計(jì)變量，分別為頂部圓孔直徑80 mm≤≤160 mm，背部圓角正方形孔洞邊長425 mm≤≤485 mm和側(cè)面圓角矩形孔洞長度220 mm≤≤280 mm。優(yōu)化目標(biāo)為在使得橫梁最大應(yīng)力盡可能小的情況下提升機(jī)床橫梁的整體剛度。

采用10個(gè)樣本，分別生成該橫梁最大應(yīng)力的LK和DLK計(jì)算模型，并采用遺傳算法進(jìn)行全局優(yōu)化，優(yōu)化后得到3個(gè)變量的最優(yōu)值，將之代入有限元軟件，計(jì)算得到最大應(yīng)力值。2個(gè)模型的計(jì)算結(jié)果對(duì)比見表3。DLK模型優(yōu)化得到的最大應(yīng)力明顯小于LK模型優(yōu)化得到的最大應(yīng)力，再次表明使用動(dòng)力學(xué)演化的樣本可以找到更優(yōu)的設(shè)計(jì)解。

(a)等軸側(cè)視圖

表 3 LK模型與DLK模型的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

3 結(jié)束語

首先，將動(dòng)力學(xué)演化樣本生成方法引入代理模型優(yōu)化設(shè)計(jì)，通過拉丁超立方抽樣得到初始樣本點(diǎn)集；然后，基于動(dòng)力學(xué)演化計(jì)算，生成更均勻的樣本點(diǎn)集，并用于代理模型構(gòu)造；最后，基于遺傳算法得到最優(yōu)解，從而給出一套基于動(dòng)力學(xué)演化的代理模型優(yōu)化方法。通過函數(shù)測(cè)試和機(jī)床橫梁優(yōu)化實(shí)例，證明演化后樣本集在代理模型構(gòu)建和模型全局尋優(yōu)方面的優(yōu)越性。